高三数学平面向量专题复习
高三数学平面向量专题复习
一、选择题:
1.若r r
|a -b|=r r |a|=4,
|b|=5,则r r a与b 的数量积为 ( )
A .10
3
B .-10
3
C .10
2
D .10
2.若点P 分
AB 所成的比为
4
3
,则A 分BP 所成的比是( ) A.73 B. 37 C.- 37 D.-7
3 3.若将向量r a =(2,
1)围绕原点按逆时针方向旋转π
4
得到向量b r ,则向量b r 的坐标为( ) A .)
2
23,22(--
B .)223,22(
C .)22,223(-
D .)2
2,223(-
4.在矩形ABCD 中,u u r u u r u u r u u r u u r u u r 设11AE =AB,BF =BC, AB =(a,0),AD =(0,b)22,当u u r u u r
EF ⊥DE 时,
|a|
|b|
的值为 ( ) A .2 B .3 C .2 D .3
5.已知A (5,7),B (2,3),将u u r r
AB a 按=(4,1)平移后的坐标为
( )
A .(-3,-4)
B .(-4,-3)
C .(1,-3)
D .(-3,1)
6.将函数
)(x f y =图象上的点P (1,0)平移至P ′(2,0),则经过这种平移后得到的新
函数的解析式为
( )
A .y =f(x -1)
B .y =f(x)-1
C .y =f(x +1)
D .y =f(x)+1
7.设点P 分有向线段21P P 的比是λ,且点P 在有向线段21P P 的延长线上,则λ的取值范围是( )
A.(-∞,-1)
B.(-1,0)
C.(-∞,0)
D.(-∞,-2
1
) 8.已知02
=+?AB BC AB ,则△ABC 一定是
( )
A .锐角三角形
B .直角三角形
C .钝角三角形
D .等腰直角三角形
9.若非零向量r r
a,b 互相垂直,则下列各式中一定成立的是
( )
A .r r r r
a +
b =a -b B .r r r r |a +b|=|a -b|
C .r r r r (a +b)(a -b)=0
D .r r 2
(a -b)=0
10.设四边形ABCD 中,有DC =2
1
,且||=|BC |,则这个四边形是( ) A.平行四边形 B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形 11.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0),则它的第4个顶点D 的坐标是
A.(2a,b)
B.(a-b,a+b)
C.(a+b,b-a)
D.(a-b,b-a)
12.将椭圆0716*******
2
=---+y x y x 按向量r a 平移,使中心与原点重合,则r
a 的坐标为
( ) A .(2,1) B .(-1,-2) C .(-1,2) D .(1,-2)
二、填空题:
13.在菱形ABCD 中,(
AB +AD )·
(AB -AD )= 。 14.已知e 为单位向量,||a =4,e a 与的夹角为π3
2
,则e a 在方向上的投影为 .
15.已知b a b a ,,3||,4||==的夹角为120°,且b a c 2+=,b k a d +=2,当a c ⊥时,
k= .
16.已知点A (-2,-3),B (-1,-6),C (19,4),则△ABC 的形状是 . 三、解答题:
17.已知△ABC 的顶点坐标为A (1,2),B (2,3),C (3,1),把△ABC 按向量),(n m a =平移后得
到C B A '''?,若C B A '''?的重心为G ′(3,4) 求△ABC 的对应点A ′、B ′、C ′以及a 的坐标.
18.平面内有向量u u r OA =(1,
7),u u r u u r
OB =(5,1),OP =(2,1),点M 为直线OP 上一个动点. (1)当u u r
u u r
MA ,
MB 取最小值,求u u u u r
OM 的坐标; (2)当点M 满足(1)的条件和结论时,求AMB ∠cos 的值. 19.已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),a 与b 之间有关系|ka+b|=
3|a -kb|, (k>0)
(1)用k 表示a ·b;
(2)求a ·b 的最小值,并求此时a ·b 的夹角的大小。
20.(1)已知a,b 是两个非零向量,且a+3b 与7a -5b 垂直,a -4b 与7a -2b 垂直,试求a 与b 的夹
角; (2)已知:|a|=
2,|b|=3,a 和b 的夹角为45°,求使向量a+λb 与λa+b 的夹角是锐角时λ的取值范
围。
21.设a 、b 是两个不共线的非零向量(R t ∈)
(1)记u u r r u u r r u u r r r
1OA =a,OB =tb,OC =(a +b),3
那么当实数t 为何值时,A 、B 、C 三点共线?
(2)若120o r r r u r
且 与夹角为
|a|=|b|=1 a b ,那么实数x 为何值时||b x a -的值最小? 22.设x , y ∈R ,r i 、r j 为直角坐标系内x 、y 轴正方向上的单位向量,若r a =x r i +(y+2)r j ,r b =x r
i +
(y -2)r
j ,且r a 2+r b 2=16.
(1)求点M (x, y )的轨迹C 的方程;
(2)过定点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设u u r u u r u u r
OP =OA +OB ,是否存在直线l 使四边
形OAPB 为正方形?若存在,求出l 的方程,若不存在说明理由.
1、 ABC 中,设命题p : ,命题q : ABC 为等边三角形,则命题p 是
命题q的()
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充分必要条件
D、既不充分又不必要条件
2、在ABC中,若A:B:C=1:2:3,则a:b:c等于()
A、1:2:3
B、1: :2
C、1:4:9
D、1::
3、在ABC中,若sinA:sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC等于()
A、
4、已知A(2,1),B(6,7),将向量向量(2,3)平移后得到一个新向量,那么下面各向量中能与垂直的是()
A、(-3,-2)
B、
C、(-4,6)
D、(0,-2)
5、ABC为钝角三角形的充分不必要条件是()
(1)
A、(1)(4)
B、(2)(4)
C、(3)(4)
D、(1)(2)(3)
6、已知的夹角为锐角,则实数m的取值范围是()
A.
7、已知,则在下列各结论中
(1)(2)m1n1=m2n2
(3)m1n1+m2n2=0 (4)(5)=
是的充分不必要的条件为( )
A、(1)(4)(5)
B、(1)(2)(4)
C、(1)(2)(3)
D、(1)(3)(5)
8、若钝角三角形的三个内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m的取值范围为()
A、(1,2)
B、(2,+∞)
C、(3,+∞)
D、(4,+∞)
二、填空题(每题5分,共20分)
1、若向量与的夹角为30°,且的夹角的余弦值为。
2、已知,是不共线向量,且, 若, 为一组基底,则= 。
3、已知向量则与的夹角为。
4、已知ABC满足,则ABC的形状是三
角形。
三、解答题(本大题共分4题,满分48分)
1、在ABC中内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,设a、b、c满足条件
①b2+c2-bc=a2
②,
求A和tanB的值。
2、设在ABC中内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列
(1)求cosAcosC的取值范围;
(2)若ABC的外接圆半径R=1,求的取值范围。
3、在ABC中内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,且
(1)求的值。
(2)若,求bc的最大值。
4、在ABC中内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,已知a、b、c成等比数列,且
(1)求cotA+cotC的值;
(2)设,求a+c的值。
2021年高中数学-平面向量专题
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
高考数学平面向量专题卷(附答案)
高考数学平面向量专题卷(附答案) 一、单选题(共10题;共20分) 1.已知向量,则=() A. B. C. 4 D. 5 2.若向量,,若,则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量,,且,则=() A. B. C. D. 4.已知平面向量、,满足,若,则向量、的夹角为() A. B. C. D. 5.在中,的中点为,的中点为,则() A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线,且,,记与的夹角是,则最大时, () A. B. C. D. 7.在中,,AD是BC边上的高,则等于() A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知,则的取值范围是() A. [0,1] B. C. [1,2] D. [0,2] 9.已知向量,的夹角为,且,则的最小值为() A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆:上的三点,,,斜率为负数的直线与轴交于,若原点是的重心,且与的面积之比为,则直线的斜率为()
A. B. C. D. 二、填空题(共8题;共8分) 11.在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,﹣1),B(﹣3,﹣4)两点,若点C在∠AOB的平分线上,且 ,则点C的坐标是________. 12.已知单位圆上两点满足,点是单位圆上的动点,且,则 的取值范围为________. 13.已知正方形的边长为1,,,,则________. 14.在平面直角坐标系中,设是函数()的图象上任意一点,过点向直线 和轴作垂线,垂足分别是,,则________. 15.已知为锐角三角形,满足,外接圆的圆心为,半径为1,则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点,长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦,则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为,半径为2,且满足,则 的最小值为________. 18.如图,在中,,点,分别为的中点,若,,则 ________. 三、解答题(共6题;共60分) 19.的内角,,所对的边分别为,,.向量与平行.(Ⅰ)求; (Ⅱ)若,求的面积. 20.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),已知点,点是曲线上任意一点,点为的中点,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
20高考数学平面向量的解题技巧
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知: 1.这部分内容高考中所占分数一般在10分左右. 2.题目类型为一个选择或填空题,一个与其他知识综合的解答题. 3.考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主. 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一,高考每年都考,题型主要有选择题、填空题,也可以与其他知识相结合在解答题中出现,试题多以低、中档题为主. 透析高考试题,知命题热点为: 1.向量的概念,几何表示,向量的加法、减法,实数与向量的积. 2.平面向量的坐标运算,平面向量的数量积及其几何意义. 3.两非零向量平行、垂直的充要条件. 4.图形平移、线段的定比分点坐标公式. 5.由于向量具有“数”与“形”双重身份,加之向量的工具性作用,向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合,综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题,处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等. 6.利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化,向量模的运算转化为向量的运算等;利用数形结合思想将几何问题代数化,通过代数运算解决几何问题.【例题解析】 1. 向量的概念,向量的基本运算 (1)理解向量的概念,掌握向量的几何意义,了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1(2007年北京卷理)已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ,那么( ) A.AO OD =u u u r u u u r B.2AO OD =u u u r u u u r C.3AO OD =u u u r u u u r D.2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力. 解: 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A . 例2.(2006年安徽卷)在ABCD Y 中,,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ,M 为BC 的中点,则MN =u u u u r ______.(用a b r r 、表示) 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解:343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得,12 AM a b =+u u u u r r r , 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3.(2006年广东卷)如图1所示,D 是△ABC 的边AB 上的中点,则向量 =CD ( ) (A )BA BC 2 1+- (B ) BA BC 2 1-- (C ) BA BC 2 1- (D )BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解:BA BC BD CB CD 2 1+-=+=,故选A. 例4. ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等,且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 (C )?? ?- ??31,3 22 (D )?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解:设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时