高三数学平面向量一轮复习资料

向量

一.知识清单 向量有关概念

1．有向线段： 叫做有向线段，它包含 三个要素

2.向量： 叫做向量 ３．向量的长度(或模）： 就是此向量的长度 ４.向量的表示： 表示向量，如AB a 或 ５.零向量： 叫做零向量,记作

0 6．单位向量： 叫做单位向量

7．平行向量： 叫做平行向量（也叫做共线向量）。如向量a 与b 平行（或共线）,记作//a b

8．相等向量： 叫做相等向量。如果向量a 与b 相等,记作a =b 二.基础训练

1.在下列各命题中,真命题为( )

A 两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同

B 模为0的向量与任一向量平行

C 向量就是有向线段

D a =b 是a b =的必要不充分条件 ２．下列命题中,假命题是( ） A 向量AB 与向量BA 长度相等

Ｂ 两个相等向量若起点相同,则终点必相同 C 只有零向量的模等于0 Ｄ 共线的单位向量相等

３.已知下列命题：①ａ=b,ｂ=c ，则ａ＝ｃ; ②若ａ／/b,b//c 则a//c;③若ａ=b,则a/／b; ④若ａ／/ｂ,则a=ｂ.其中命题正确的序号是( )

A ①③

B ②③

C ④③

D ①② ４．在四边形AB ＣＤ中, AB DC =,且AB AD =，则四边形ＡBCD 是 5.如图，D 、

E 、

F 分别是ABC ?的三边BC 、CA 和AB 的中点,试写出: (1）与EF 平行的向量； (2)与EF 相等的向量；

三.强化训练

1．下列说法正确的是（ )

Ａ 方向相同或相反的向量是平行向量 B 零向量的长度是０

C 长度相等的向量叫相等向量

D 共线向量是在一条直线上的向量

2.下列命题中，真命题的个数为( ） ① 若a b =，则a =b 或a =b -

② 若AB DC =,则A 、B 、C 、D 是一个平行四边形的四个顶点 ③ 若a ＝b ，b c =，则a =c ④ 若//a b ,//b c ，则//a c

A ４

B 3

C ２

D 1

3．下列命题,正确的是（ ） A a b a b =?= B a b a b >?> C //a b a b =? Ｄ 00a a =?=

4．如图,ABCD 是边厂为３的正方形，把各边三等分后，共有1

６个交点，从中选取2个交点组成向量，则与AC 平行且长度为的向量个数是

A B

C

D B C

D

向量的加法与减法

一．知识清单

1． 向量加法的定义

已知向量ａ、b ，在平面内任取一点A 作AB =a ，BC =b ，则向量 叫做a 与b

（1 根据向量加法的定义求向量的方法,叫向量加法的三角形法则,使用三角形法则特别要注意“首尾相接”,具体做法是:把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示（其中后面向量的起点与前一个向量的终点重合,既用同一个字母来表示),则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和。如a ＝AB ,b=BC ,ｃ=CD 则a+b ＋c=

AB BC CD AD ++=。

(2）向量加法的平行四边形法则

向量加法还可以用平行四边形法则:先把两个已知向量的起点 到同一点,再以这两个已知向量为 作平行四边形，则 就是这两个已知向量的和。

以点A 为起点作向量AB =a ，AD =b,以ＡB 、AD 为邻边作

ＡB

ＣD 。则以A 为起点的对角线AC 就是a 与ｂ的和，记作a+b=AC 向量的加法满足交换律、结合律

（１)交换律: 。

（２)结合律： 。 以上运算对多个向量也是成立的 2． 向量的减法 1．相反向量:与a 的向量,叫做a 的相反向量，记作 。零向量的相反向量仍是 。

２.向量的减法:向量a 加上向量b 的 ,叫做a 与b 的差，记作:a-ｂ。求两个向量差的运算,叫做 。已知a 、b ,如

图，在平面内任取一点O ，作OA =ａ，OB =b ,则 =a-b ,

既a-b 可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量，如图。 （１）-(-a)＝a ；

（２)a+(－a)=(-a)＋ａ=０

(3)a 、b 为相反向量，则a=－ｂ,ｂ＝-a,ａ+b=0； (４)差向量是由减向量的终点指向被减向量的终点。 ３．两个向量的和与差仍是

二.基础训练

１.化简以下各式：（1）AB BC CA ++；(２）AB AC BD CD -+-；(３）OA OD AD -+

(４)NQ QP MN MP ++-,结果为零向量的个数是( ）

A 1

B 2

C 3 Ｄ ４

2.已知8,5AB AC ==，则BC 的取值范围是

a a

b

a

b a+b

O A

C D B

３．在如图所示的四边形AB ＣD 中,设AB =a ，AD =b ，则DC 等于 4.设a 、ｂ是非零向量,则“a b a b -=+”成立的充要条件是（ ) A a 、b 方向相同 B a 、b 方向相反 C a=ｂ D a b =

５．在矩形ABCD 中,3AB =，1BC =，则向量(AB AD AC ++）的长度等于

6.如图M 是线段AB 的中点，求证:对于任意一点O ，

1

()2

OM OA OB =+成立。

７. 在平行四边形A ＢC Ｄ中,若AB AD AB AD +=-,则必有（ ） Ａ 0AD = B 00AB AD ==或 C A ＢC Ｄ是矩形 D ＡBC Ｄ是正方形

三.强化训练

1.在四边形ABC Ｄ中，AC AB AD =+,试判断四边形的形状

2．如图，在四边形ＡBC Ｄ中，下列结论中错误的是（ ） A AB DC = B AD AB AC += C AB AD BD -= Ｄ 0AD CB += 3．在

AB ＣＤ中，AB =a ，AD =b ，AN =3NC ,M 为BC 的

中点,则MN = (用a ，ｂ表示）。

4．如图所示，D 是ABC ?的边ＡB 上的中点,则向量CD 等于（ )

A 12BC BA +

Ｂ 1

2

BC BA -+ C 12BC BA -- D 1

2

BC BA -

５.给出下列命题：（1)若向a 与b 平行，则a 与b 方向相反或者相同；(2）ABC ?中,必有0AB BC CA ++=；(3)四边形A ＢCD 是平行四

边形的充要条件是AB DC =；（4)若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则ａ+ａ-b 与a

、ｂ之一方向相同。其中正确的是( ） A （１）（2

） B (3）(4） C (1）(4） Ｄ (2）(3)

M

B

A

B

C

D

C

实数与向量的积

一．知识清单

1. 实数与向量的积的定义

实数λ与向量a 的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下： （１） ；

（2）当0λ>时,λa 的方向与ａ的方向 ；当0λ<时，λａ的方向与a 的方向

;0λ=时,λa = 。 2. 实数与向量的积的运算律:设R λμ∈，则 (1）()a λμ= ; (２）()λμ+ａ= ; (３）λ（a+b )= ； 3．两个向量共线的充要条件

向量b 与非零向量a 共线的充要条件是 ，使得b ＝λa ４. 平面向量基本定理

如果12,e e 是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a, ,使得1122a e e λλ=+

5．基底

用来表示某一平面内任一向量的一对不共线的向量,叫做 。 6.三点共线的充要条件

,OA OB 不共线,三点Ａ、B 、P 共线的充要条件是()AP t AB t R =∈ 二．基础训练

1.已知a =12e e +，b ＝122e e -,则向量a ＋2b 与2a-b （ ）

A 一定共线

B 一定不共线

C 仅当12e e 与共线时共线

D 以上均不成立 ２．在

ABCD 中,A Ｃ与ＢD 交于点Ｍ,若设AB =a ，AD =ｂ，则下列选项中与12-

a +1

2

b 相等的向量是( )

A MA

B MB Ｃ M

C

D MD ３．设四边形ABCD 中，有1

2

DC AB =

,且AD BC =,则这个四边形是（ ) A 平行四边形 B 矩形 C 等腰梯形 Ｄ 菱形

4．已知向量12,e e 不共线，实数x,y 满足1212(34)(23)63x y e x y e e e -+-=+，则ｘ-ｙ的值等于（ )

Ａ ３ Ｂ -３ C 0 D 2 5.若Ｍ是ABC ?的重心，则下列各向量中与AB 共线的是（ ) A AB BC AC ++ B AM MB BC ++ Ｃ AM BM CM ++ Ｄ 3AM AC + 6．若3a =,b 与a 的方向相反，且5b =，则a ＝ b 7.已知向量12,e e 不共线

(1)若12AB e e =-,1228BC e e =-,1233CD e e =+,求证Ａ、B 、D 三点共线； (2）向量12e e λ-与12e e λ-共线,求实数λ的值 三．强化训练

１.已知向量a 、b 且AB =a+2b ，BC =-5a ＋６b,CD =7a -2b,则一定共线的三点是( ）

A A 、

B 、D Ｂ Ａ、B 、

C C C 、Ｂ、

D D A 、C 、Ｄ 2．如图D 是ABC ?的边AB 上的中点,则向量CD =( ） A 12BC BA +

Ｂ 1

2BC BA -+ Ｃ 12BC BA -- D 1

2

BC BA -

3．如图,在ABC ?中,OA =a,OB =b,M 为OB 的中点,N 为AB 的中点,Ｐ为ＯN 、AM 的交点，则AP 等（ ）

A 23ａ13- b

B 23-a 1

3-b C 13ａ23-b D 13-a 23

+ｂ

4．如图所示），已知4

3

AP AB =，用OA 、OB 表示OP ,则OP 等

于( )

A 1433OA O

B -+ B 14

33OA OB +

Ｃ 1433OA OB - Ｄ 1433

OA OB --

B

C

D A

A

O M

N

P

B

平面向量的数量积及运算率

一．知识清单 １．向量ａ与ｂ的夹角

两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB = ｂ,则(0180)AOB θθ∠=≤≤叫做 当0θ=时,a 与b ；当180θ=时, a 与b 。 ２．向量ａ与ｂ垂直

如果a 与b 的夹角是90,叫做 ,记作a ⊥b ３．向量a 与ｂ的数量积

两个非零向量a 和ｂ,它们的夹角为θ，则数量cos a b θ?,叫做 ,记作a b ?,既

a b ?= 。规定：零向量与任一向量的数量积为０。两个向量的数量积是一个

量,这个 量的大小与两个向量的长度及其夹角有关。 ４．向量b 在a 方向上的投影

若向量a 与b 的夹角是θ,则 叫做向量ｂ在a 方向上的投影。当θ为 角时,它是正值；当θ为 角时，它是负值;当θ= 时,它是０;当θ= 时,它是b ;当θ= 时,它是b -。 二．基础训练

１．已知3b =,a 在b 方向上的投影是

3

2

,则a ?b 为 ２．在边长为２的等边三角形ABC 中，AB BC ?的值是 ３．已知6a =,a 与b 的夹角为

3

π

,且（a ＋2b )?(a -3b )=72-,则b 为 ４．设a 、b 是夹角为60的单位向量，则2a ＋b 和3a －2b 的夹角为 ５．若2

0AB BC AB ?+=,则三角形为 三角形。 ６．设a ＝b ＝3a b -=，则a ?b =

７．若向量a 、b 、c 满足a +b ＋c ＝0,且3a =，b ＝１,c =４,则a ?b +b ?c ＋c ?a ＝

三．强化训练

1．已知向量a 与b 的夹角为120，3a =,13a b +=，则b 等于

２.已知向量a 、b 满足1a =,b =4，且a ?b ＝２,则a 与b 的夹角为

３.若a 与b -c 都是非零向量,则“a ?b ＝a ?c ”是“a ⊥（b －c )”的( ）

Ａ 充分而不必要条件 Ｂ 必要而不充分条件 Ｃ 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件

４．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ??

?+?= ???

且12AB AC AB AC ?=，则三角形ABC 为( )

A 三边不相等的三角形

B 直角三角形

C 等腰非等边三角形 Ｄ 等边三角形

５．如图所示,已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积最大的是（ )

Ａ 1213PP PP ? Ｂ 1214PP PP ? C 1215PP PP ? D 1216PP PP

?

123

6P

平面向量的坐标运算

一．知识清单 １．向量的坐标运算

在直角坐标系内,分别取与x 轴、y 轴 i 、ｊ作为基底,对于任一向量a ，有且只有一对实数x 、y ,使得a=x i+y j,我们把(),x y 叫做向量a 的(直角）坐标,记作a =(),x y ,其中x 叫做 ,y 叫做 。 ２．平面向量的坐标运算

设ａ=()11,x y ，ｂ=()22,x y ,则 （１)a +b= ; （2)ａ－b ＝ ； (3）λa= ； ３.向量平行的坐标表示

设向量a ＝()11,x y ，ｂ＝()22,x y ,且b ≠0，则a //b 的充要条件是 4．向量的坐标与点的坐标间的关系

(1）若点A 的坐标为A (),x y ，则向量OA 的坐标为OA ＝(),x y 。其中O 为原点,也就是说,点Ａ的坐标等于 。因此,在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用 唯一表示。

(2)若点A ()11,x y ,B ()22,x y ,则AB ＝ ,既一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 的坐标减去 的坐标。 二.基础训练

1．a ＝()2,3-,b =()1,5，则３ａ+b =

2.已知A 、Ｂ、Ｃ三点共线,且Ａ()3,6-，B ()5,2-，若C 点的横坐标为6,则C 点的纵坐标是

３．设向量ａ＝()1,3-,b =()2,4-，c =()1,2--,若表示向量４ａ、4ｂ-２c 、２(a -ｃ)、d 的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量ｄ的坐标为

４.已知a ＝()1,1-，b =()2,y ，且２a +２b 与a －２ｂ平行,则y 等于

5．设a ＝3,sin 2α??

???,b ＝1cos ,3α?

? ??

?，ａ//b ,则锐角α为 。

6．已知

ＡBC Ｄ的对角线交于Ｏ，且()()3,7,2,1,AD AB ==-求OB 的坐标

7.设Ａ、Ｂ、C 、Ｄ四点坐标依次为()1,0-、()0,2、()4,3、()3,1，

则四边形ＡBCD 为( ) A 正方形 Ｂ 矩形 C 菱形 Ｄ 平行四边形

三．强化训练

1．已知(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-,且A 、B 、C 三点共线,则k =

２.(已知向量a ＝()3,4，ｂ＝()sin ,cos αα且a //ｂ则tan α=

3.设向量ａ=()1,3-,b ＝()2,4-。若表示向量4a 、３ｂ－２a 、c 的有向线段首尾相接能构

成三角形,则向量c 为

4.已知点()1,5A --和向量a=()2,3,若AB =３a ，则点Ｂ的坐标为

5.已知向量a=()1,2，b ＝()2,3，c =()3,4，且c ＝1λa ＋2λb ，则1λ、2λ的值分别

为 。

平面向量数量积的坐标运算

一．基础知识

１．两个向量数量积的坐标表示

设11(,)a x y =,22(,)b x y =,则a ?b ＝

２．向量的长度

设(,)a x y =,则a =

３．平面上两点距离公式

设11(,)A x y =,22(,)B x y =,则AB =

４．两个非零向量垂直的条件

设11(,)a x y =,22(,)b x y =,则a ⊥b ?

注意：若i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量,则i ?i = ,i ?j ＝j ?i ＝ ,j ?j ＝

二．基础训练

１．若(4,3)a =，向量b 是垂直于a 的单位向量,则b 等于

２．若(2,3)a =，(4,7)b =-,则a 在b 的方向上的投影为

３．已知向量(3,4)a =,(2,1)b =-,如果向量a ＋x b 与b -垂直,则x 的值为

４．已知(3,1)A ，(6,1)B ,(4,3)C ，D 为线段BC 的中点,则向量AC 与DA 的夹角为 ５．已知(1,2)A ，(4,0)B ,(8,6)C ,(5,8)D 四点,则四边形ABCD 是

６．已知向量(1,sin )a θ=，(1,cos )b θ=，则a b -的最大值为

７．已知,,A B C 是三角形ABC 三内角，向量(1,3)a =-,(cos ,sin )b A A =，且a ?b =1,

求角A

三．强化训练

1.已知向量(3,1)a =,b 是不平行于x 轴的单位向量,且a ?b ，则b 等于

2.已知向量(1,2)a =，(2,4)b =--,5c =，若（a +b ）?c =

52，则a 与c 的夹角为 3．与向量71

(,)22a =,17(,)22

b =-的夹角相等，且模为１的向量是

4.在三角形ABC 中,90C ∠=,(,1),(2,3)AB k AC ==,则k 的值是

５.已知向量(sin ,1)a θ=，(1,cos )b θ=,22ππθ-

<< （１)若a ⊥b ，求θ （２）求a b +的最大值

６．在直角坐标系xOy 中，已知点(2cos 1,2cos 22)P x x ++和点(cos ,1)Q x -,其中[]0,x π∈,若向量OP 与OQ 垂直，求x 的值

平移