等比数列教学设计

第五届全国高中青年数学教师优秀课大赛

教学设计

课题: 等比数列 (第一课时)

执教人: 韩灵

单位: 山西省太原市育英中学

1.1.1 正弦定理

教学目标︰

1、通过实例，理解等比数列的概念

通过从丰富实例中抽象出等比数列的模型，使学生认识到这一类型数列也是现实世界中大量存在的数列模型;同时经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳等比数列的定义的过程。

2、 探索并掌握等比数列的通项公式

通过等差数列的通项公式的推导过程的类比，探索等比数列的通项公式，通过与指数函数的图象类比，探索等比数列的通项公式的图象特征及与指数函数之间的关系。

3、 通过等比数列与指数函数的关系体会数列是一种特殊的函数。

教学重点：理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要的数列模型之一，

探索并掌握等比数列的通项公式。

教学难点：等比数列与其对应函数的关系。

教学过程：

一、 创设情境,引入新课

在前几节课中,我们学习了等差数列的定义、等差数列的通项公式及等差中项的定义，今天我们就来学习另外一种特殊的数列，首先看实例1。

● 实例分析1：在《数学3》(必修)中，我们认识了二进制数。它是一串由“0”和“1”构

成的数。计算机存储数据时就是以二进制数的形式储存的。计算机存储的最基本单位是“位(bit)”，每一位只能存储一个“0”或一个“1”，所以1个位可以存储0、1两种不同的信息.如果有2个位，就可以存储00、01、10、11四种不同的信息.我们记n 个位共能储存的不同信息 n a 种，写出{ n a }的前5项。

【老师】首先请一位同学读题，最后一句话说的是什么含义呢？老师引导学生分析本题的含义，并画出树状图形象的表示。

【学生】通过观察，分析，理解题意，从而得到{ n a }的前5项为2,4,8,16,32。 ①

● 实例分析2：公元前5至前3世纪，中国战国时，《庄子》一书中有“一尺之棰，

日取其半，万世不竭”的关于物质无限可分的观点。你能解释这个论述的含义吗？

【学生】思考、讨论，用现代语言叙述。

【老师】 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？

【学生】发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1，21，41，81，16

1，…。 ② 【老师】大家知道计算机病毒的传播是非常快的，速度大的惊人，那么让我们看一个这样的实例。

实例分析3：一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄，通过邮件进行传播。如

果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是什么？

【学生】合作讨论,得出什么为第一轮，第二轮。从而得到种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是1,20,202，203

,…。③

【老师】回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的数列①②③，说说它们有什么共同特点？ 引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系。我们可以发现： 数列①从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____；

数列②从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____；

数列③从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____；

也就是说这个数列有一个共同的特点：从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数。 我们把这样的数列称为等比数列。这就是我们今天要研究的课题，等比数列。

【设计意图】目的是让学生明白等比数列是来源于生活中的例子，观察所给各个数列的共同特点，进一步归纳出等比数列的定义。

二、探究新课

1、等比数列的定义

探究1：类比等差数列的定义，大家能否给等比数列下个定义？

【设计意图】学会类比的思想。

【学生】独立思考，类比等差数列的定义。给等比数列下定义。

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母q 表示。

【老师】用数学符号语言怎样表示等比数列的定义呢？如果我们第n 项用n a 表示，那么它的前一项该怎么表示，那么比怎么表示？这里的n 的取值范围呢？

【学生】讨论，交流。)2(1≥=-n q a a n n 或)1(1

≥=+n q a a n

n 【老师】请同学们打开课本，看看课本上是怎样给等比数列下定义的，和刚才那位同学下的定义一样吗？有什么不同？

【学生】阅读课本，仔细对比，找出不同。学生发现课本中有q ≠0这个条件.

思考：等比数列的定义中，可否去掉“q ≠0”的条件？为什么？能否将“ ”的条件改写成“ ”？为什么？

【设计意图】引导学生对等比数列内涵再认识和进一步理解。

【学生】讨论，辨析，得到结论，不能去掉“q ≠0”的条件，因为如果q=0,则分子为0,而每

一个分子都可能出现在分母中,则分母为0无意义;

表达式说明在等比数列中的任意项都不能为0.

感悟:等比数列中q ≠0,0≠n a .

【老师】那么是否存在既是等差又是等比的数列呢？

【学生1】常数列。

【老师】是吗?有不同意见吗?

【学生2】非零的常数列既是等差又是等比数列。

练习1：判断下列数列是否为等比数列，若是，请指出公比q 。

（1） 1,2, 8，32，128,… 。 ---不 是

（2） -1,－5，－25，－125,…。 -- 是 q =5

（3） 2，2，2，2，… 。 --- 是 q =1

（4） 1，-0.5，0.25，-0.125，… 。 --- 是 q = - 0.5

（5） 1, 2，1, 2,1, 2…。 --- 不是

【老师】思考:公比q 的取值范围是什么呢？

【学生】正数、负数，但是不能为零。

练习2：求下列各组数中插入怎样的数后是等比数列。

（1）1， ____ ， 9

（2）-1，____ ，-4

（3）-12，____ ，-3

（4）1， _____ ，1

q a a n n =-1q a a n n 1-=q a a

n n =-1

【学生1】根据等比数列的定义，得出插入3后，构成等比数列。

【学生2】补充插入-3后，也能构成等比数列。学生思考，得到两个都符合题意.。 下面三个小题可根据（1），顺利得到答案。

【老师】在学习等差数列的定义后，我们也做过这样的题目，在两数中间插入一个数，使三数成等差数列，那么我们把中间这个数称为等差中项。类比等差中项的概念，我们把刚才插入的那个数称为等比中项。

2、等比中项

探究2：前面的等差数列一节里我们有等差中项的定义，你能仿照等差中项，给出等比中项的定义吗？等差中项与等比中项有何差异？

【老师】类比等差中项的概念，大家给等比中项下个定义吧。

【学生】如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。学生思考得结论：任何两个数都有等差中项，有且只有一个，而只有同号的两个数才有等比中项，而且有两个，且互为相反数。

3、等比数列的通项公式

我们继续来研究一下情境中的这三个数列。

探究3：试着写出上面三个数列的通项公式，并猜想等比数列的通项公式。

【设计意图】体现由特殊到一般的思想，先写出具体实例的通项公式，使学生经历观察，归纳，猜想的过程。

①n

n a 2= ②121-=n n a ③120-=n n a

【学生】通过观察，看出这三个数列的通项公式，并寻找这三个公式中共性的地方，把①改写成122-?=n n a ，②1211-?=n n a ，③1201-?=n n a ，观察，发现都有n-1次幂的形式，而且乘号前面的数字2,1,1都是首项1a ，乘号后面的数字2，,2

120都是各项的公比，所以猜想等比数列的通项公式是a n =a 1q n -1。

【老师】这位同学猜想的很好，那我们就来推导一下等比数列的通项公式，看看和这位同学猜想的一致吗？

探究4： 类比等差数列通项公式的推导过程，请你写出首项为a1，公比是q 的等比数列的通项公式。

【老师】我们在学习等差数列的通项公式时，用过哪些方法？

【学生1】回忆了用不完全归纳法证明通项公式的方法，类比等差数列的推导过程，设等比

数列{a n }首项为a 1，公比为q ，根据等比数列的定义，我们有：

a 2=a 1q,

a 3=a 2q=a 1q 2,…

即a n =a 1q n -1.

【老师】请同学们想一想，你还有其它方法吗？

【学生2】根据等比数列的定义，我们还可以写出

q a a a a a a a a n n =====-1

342312..., 进而有11

-=n n q a a ，即a n =a 1q n -1. 【学生3】a n =a n -1q=a n -2q 2=a n -3q 3=…=a 1q n -1. 亦得 a n =a 1q n -1。

【老师】等比数列的通项公式：a n =a 1q n-1 （n ∈N ﹡,q ≠0）

我们知道了等比数列的通项公式后，下面我们做课本52页练习，来看一下它有哪些应用。 学生做练习，老师巡视，予以指导。

探究5：在课本50页的平面直角坐标系中，

(1)画出通项公式为a n =2 n -1的数列的图象。

(2)再在坐标系中画出函数y=2x-1的图象，观察它们之间的关系。

(3)若将底数换为 2

1 呢？你有怎样的结论？ 【设计意图】等比数列{}n a 的通项公式还可以写成1111.()n n n n a a a a q

q cq c q q -====其中，当q 为不等于1的正数时，x y q =是一个指数函数，x y cq =是一个的非零常数与一个指数函数的积。

因此从图像上看，表示数列{}n cq 的点都在函数x y cq =的图像上。

【学生】观察、动手作图，发现规律，总结规律，数列是特殊的函数，等比数列是其对应函数图象上孤立的点。

【老师】通过几何画板演示动画。

三、归纳小结 提炼精华

本节课主要学习了：

一个定义：)2(*1

≥∈=-n N n q a a n n 且

一个公式：，a n =a 1q n-1 （n ∈N ﹡,q ≠0）

两种思想：方程思想 、函数的思想。

三种方法：不完全归纳法、迭代法、叠乘法（此条不板书）。

【老师】通过本节课的学习，你有哪些收获？

【学生1】在本节课中，我学习了等比数列的定义，等比中项的公式，学会了等比数列的推导的三种方法，最后学习了等比数列和函数之间的关系。

【学生2】在本节课中我还学习了类比的思想。

【老师】当然我们还有方程的思想以及函数的思想。

【设计意图】让学生自己小结，不仅仅总结知识更重要地是总结数学思想方法。这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯。

四、作业

2.根据右图的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列

吗?

3、课本p53习题2.4 1、2、7、8

五、目标检测设计

1:求下列等比数列的第4项和第5项；（1）4，-8,16, (2)

- 2：求下列各组数的等比中项；（1）4,9； （2）4

;,3,27)1(74a q a 求-==;,8,18)2(142q a a a 与求若==1.在等比数列 中,

{}n a

3:已知等比数列的公比是q，第项为，试求其第n项。