非齐次线性方程组

非齐次线性方程组解的结构的进一步讨论

摘要：本文通过矩阵的初等变换及非齐次线性方程组的解的有关性质进一步讨论了非齐次线性方程组的解的结构问题，虽然非齐次线性方程组的解向量的全体不能构成向量空间，也没有基础解系，但我们找到了类似齐次线性方程组的基础解系的解向量组，这个解向量组线性无关。并且的任意一个解都可以由这个解向量组线性表示。最后，给出了非齐次线性方程组有全非零解的充要条件，并给出了相应例题。

关键字：非零解，基础解系，线性无关，初等变换

引言

非其次线性方程组???????=+++=+++=+++n

n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112

222222********* （Ⅰ）

的矩阵形式为B AX =.取0=B ,得到其次线性方程组0=AX 称为非其次线性方程组B AX =的导出组。我们知道非其次线性方程组B AX =的解有以下的一些性质：

（1） 若1u 是非其次线性方程组B AX =的一个解，1v 是其导出组0=AX 的一个解，则

11v u +也是0=AX 的一个解。

证明：因为1u 是非其次线性方程组B AX =的一个解，所以有B Au =1，同理有01=Av ，则由()B B Av Au v u A =+=+=+01111.所以11v u +是非其次线性方程组B AX =的解。 （2） 若21,v v 是非其次线性方程组的两个解，则21v v -是其导出组的解

证明：由B Av =1,B Av =2,所以有()02121=-=-=-B B Av Av v v A ,故21v v -为其导出组的解。 2.定理

（非其次线性方程组解的结构定理）若1v 是非其次线性方程组B AX =的一个解，v 是其导出组的通解，则11v v u +=是非其次线性方程组的通解。

证明：由性质（1）可知1u 加上其导出组的一个解仍是非其次线性方程组的一个解，所以只需证明，非其次线性方程组的任意一个解*

v ，一定是1u 与其导出组某一个解1v 的和，取

1*1u v v -=

由性质（2）可知，1v 是导出组的一个解，于是得到11*

v u v +=，即非其次线性方程组的任意一个解与其导出组的某一个解的和。

由上面这个定理我们可以知道，一个其次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表

示。因此，根据定理我们可以用导出组的基础解系来表示出一般方程组的一般解，如果0v 是方程组（Ⅰ）的一个特解，r n -ηηη,,21 是其导出组的一个基础解系，那么（Ⅰ）的任一

个解都可以表示成：r n r n k k k u u --++++=ηηη 22110*

3.由上面2的证明过程，我们可以知道其次线性方程组0=AX 的全部解可由基础解系

r n -ηηη,,21 线性表示出（其基础解系含有r n -个解向量），即

()r n r n r n k k k k k k ---+++ ,,212211ηηη为任意实数。那么，当非其次线性方程组

B AX =有解时，则B AX =至多有多少个线性无关的解向量？B AX =的全部解又如何表示？

定理

若其次线性方程组0=AX 的基础解系为r n -ηηη,,21 ，当非其次线性方程组

0≠=B AX 有解时，则它至多且一定有1+-r n 个线性无关的解向量

121,,,+--r n r n ξξξξ ，B AX =的通解可以表示为1

12211+-+---++++r n r n r n r n k k k k ξξξξ 为满足关系式1121=+++++--r n r n k k k k ，的任意实数。

证明：（ⅰ）若ξ是非其次线性方程组B AX =的解，则ξ为非零解向量，那么向量组ξ，

r n -ηηη,,21 线性无关（否则ξ可由r n -ηηη,,21 线性表示，与ξ是B AX =的解矛盾）。

那么，易证r n r n -+-+=+=+==ηξξηξξηξξξξ123121,,, 都是B AX =的解，并且

121,,,+--r n r n ξξξξ 线性无关。这说明B AX =至少有1+-r n 个线性无关的解向量。

下面再证B AX =至多有1+-r n 个线性无关的解向量。

反证：若B AX =有2+-r n 个线性无关的解向量2121,,,+-+-r n r n ξξξξ ，那么易证

212221,,+-+-+-+----r n r n r n r n ξξξξξξ 均为0=AX 的解，并且线性无关。这样0=AX 具

有1+-r n 线性无关的解向量矛盾，所以，B AX =至多且一定有1+-r n 个线性无关的解向量B AX =。

（ⅱ）对于B AX =的任意一个解，一定可以表示成它的一个特解ξ与其导出组0=AX 的基础解系的线性组合，即()r n r n r n k k k k k k ---++++ ,,212211ηηηξ为任意常数 那么

()()()()()1

3221121221121221111+--------++++----=+++++++----=++++r n r n r n r n r n r n r

n r n k k k k k k k k k k k k k k k ηξξξηξηξηξαξηηηξ

（r n k k k - ,,21为任意实数，且组合系数()r n r n k k k k k k ------ ,,,12121之和等于1.

这说明，B AX =的任意解都可以表示成这样的形式。

另一方面，由于121,,,+--r n r n ξξξξ 都是B AX =的解，对于

112211+-+---++++r n r n r n r n k k k k ξξξξ ，只要满足1121=+++++--r n r n k k k k 仍然是

B AX =的解，所以，B AX =的通解可以表示成112211+-+---++++r n r n r n r n k k k k ξξξξ ，且121,,,+--r n r n k k k k 为满足关系式1121=+++++--r n r n k k k k ，的任意实数。

例2

设0η是线性方程组的一个解，t ηηηη ,,,321是它导出组的一个基础解系，令

010201,,ηηηη+===+t t r r r 。证明：线性方程组的任一一个解

112211+++++=t t r u r u r u ν，其中1121=++++t u u u 。

证明：

由题可设方程组的任一解ν可以表示成t t u u ηηην1120++++= （12,+t u u 为常数） 令1211+---=t u u u ，则

()0101201112011)()(ηηηηηηηην+++++=++++=+++t t t

t t u u u u u u u 112211+++++=t t r u r u r u

（1） 引理：设A 为m n ?矩阵，用初等行变换，把A 化为阶梯形矩阵，并使该梯形矩阵

的每一个非零行的第一个非零元素（从左算起）为1，且该元素所在列的其他元素为零，这样的阶梯形矩阵的为A 的行简化阶梯形矩阵。

定理：非齐次线性方程组存在全非零解的充要条件是，它的增广矩阵A 的秩()r A 与系数矩阵A 的秩()r A 相等，且A 的行简化阶梯型矩阵中每个非零行的非零元素个数大于或等于2.

证明：必要性

方程组有全非零解，则必须满足方程组的条件，因而，()()r A r A =.不妨设其秩为r 且A 的简化阶梯矩阵为：

121,11,21,12,12,12,2,1,210000100000100000000000

0n r r n r r n r r r r r r l l l d l l l d l l l d ++++++??????????

???????????

?

（2） 且其对应的方程组为

11,111,221122,112,2222,11,22r r r r n n r r r r n n r r r r r r r rn n r

x l x l x l x d x l x l x l x d x l x l x l x d ++++++++++++=----+=----+=---

-+

若对某个r ()i i r ≤≤ 有,1,2,0i r i r i n i l l l d ++==

===

则0i x =，这和方程组（2）有全非零全部解矛盾，故对每个i （1,2,r n =）

，至少存在一个j （1r j n +≤≤）使0ij l ≠或0i d ≠，即（2）中第i （1,2,r r =）行至少有

两个非零元素。

充分性：设N 是充分大的正数，令1n r r x N -+=，1n r

r x N -+=，

n x N =

将其带入（2）得：1.1,2,n r

n r i i r i r i N i x l N

l N l d --+++=---

-+（1,2,

r r =）

，当0ij l =（1r j n +≤≤），0i d ≠时，显然成立；当上式右端至少存在一个非零系数，设第一个非

零系数为(),1i r k l k n r +≤≤-，则1,,1,1,1

,1

,1n r k n r k i i r k i r k in i

n r k i r k i n i n r k i r k n r k i r k x l N l N l N d l N l N d l N

l N --+--+++--++--++--++=---

-+??

---+=-+??-????

因为,1,1

,lim 0i r k n k r i n i

n r k N i r k l N l N d l N

++----+→+∞

+--

-+=-

所以

l i m i

N x →+∞

=∞，1,2,

i r =，故存在充分大的正数i N ，使

1,,10n r k n r k

i i r

k

i r

k

i n

i

x l N

l

N l

N d --+-

-+

++=----+

≠

（1,2,

i r =）；

取

{}

12max ,,r N N N N =，

可

使

1,,10

n r k n r k i i r k i r k in i x l N l N l N d --+--+++=---

-+≠（1,2,i r =）

这样，就得到方程组的一个全非零解(

)112,,,,,,

T

n r n r n r r x x x x N N N N ----=

例1 方程组

()()134512345123451

24512

3452412626(1)0

3413

251035

x x x x x x x x x x x x x c x x x x c x x x x x c x ?+++=?

-++-=??

-++--=??+++-=??-+++-=? 有全非零解的充要条件？ 解:其增广矩阵A 的简化阶梯形矩阵为

1

0241

1010

2210010320000000

00

000c ??

??--????-??

??????

故由上述定理可知，该方程组有全非零解的充要条件是c 为任意实数。

例2已知非齐次线性方程组1234123412

341

435131

x x x x x x x x ax x x bx +++=-??

++-=-??+++=?有三个线性五官的解，

（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =, (Ⅱ)求,a b 的值及方程组的通解。

解：（Ⅰ）设123,,ααα是非齐次线性方程组的三个线性无关的解，则1213,αααα--是导出组0Ax =的线性无关解，所以()2n r A -≥，从而()2r A ≤，显然矩阵A 中存在不为零的2阶子式，又有()2r A ≥，从而秩()2r A =。

（Ⅱ）对线性方程组的增广矩阵作为初等行变换，有

11111111114

3511011531310131111110115300424542A a b a a b a a b b a a --????

????=--→--????

????---+????

-????→--????-+--??

于是()()

2r A r A ==故2,3a b ==-，又因为()2,1,1,0T

α=-是Ax b =的解，且

()12,1,1,0T η=-,()24,5,0,1T

η=-是0Ax =的基础解系，所以方程组的通解为

1122k k αηη++（12,k k 为任意实数）