数学_简单三对角矩阵矩阵行列式的基本探究

简单三对角矩阵矩阵行列式的基本探究

张云鹏 (2014070904021)

指导教师：李厚彪

【摘要】三对角矩阵的行列式的计算在行列式的计算中占据特殊地位,由于三对角矩阵具有明显的规律性但其行列式运算又有一定的难度经常成为出题的热点，本篇小论文给简单三角矩阵行列式运算做出基本解法，并通过三对角矩阵得到一组Cos （nx ）与Sin(nx)的简明展开公式。 【关键词】三对角矩阵; 矩阵; 数列递推; 三角函数; 斐波那契数列

1. 引言

在进行行列式计算之前我们先探究一下斐波那契数列通项公式的计算方法。

例1、现已知斐波那契数列满足如下关系：()01111,1,,1n n n F F F F F n +-===+≥，试求其通项公式。

解：

易知对于1、2项为任意值但满足()

11,1n n n F F F n +-=+≥的数列的加法与数乘满足线性

空间八条条件。

则存在满足()

11,1n n n F F F n +-=+≥的两个数列

{}n a 、{}n b 。

他们的任意;(k 0)n

n a kb =≠不恒成立。

则任意{}n c 中的任意一项12n n n c k a k b =+使恒成立。

鉴于

()

11,1n n n F F F n +-=+≥的递推形式，我们不妨设数列

{}n a 、{}n b 为两组几何级数，其

公比分别为1q 、2q ；且()1n

n a q =、()2n

n b q =

根据

()

11,1n n n F F F n +-=+≥可列方程n n-1n-2q =q +q ，化简可知2

q -q-1=0。

又因为011,1F F ==，可求得1255k ,k 55

=

=-。 经计算可知15

q=2±，则n

n

n n 1+51-5a =b =22???? ? ? ? ?????，。

又因为011,1F F ==，可求得1255k ,k 55

=

=-。 则斐波那契数列的表示为11515225n n n F ??????+-??=- ? ? ? ?????????

我们简化上述求法为特征方程法。并可以广泛运用在三对角矩阵矩阵行列式的计算中。

2. 简单三对角矩阵行列式的特征方程

行列式的计算说到底是一种值的计算，对于简单三对角矩阵更可以理解为一种数列{}n a 的通项公式计算。那么我们计算简单的三对角矩阵的行列式时，可以先按特定的行列展开得到一种递推公式，然后根据递推公式进行计算，得出数列{}n a 的通项公式。其常用方法与斐波那契数列的求法相似。

例2、计算n 7500027500

02700A =

0007500027

解：设n n

a =A 。

从最后一行展开

n

a ，可知

()

()

n+n

n+n-1

n-2n n-10A a =17a 1200

05

-+-

继续展开可知

n n-1n-2a =7a 10a -。

此时我们可以根据导论中的解法设出满足

n n-1n-2

a =7a 10a -的两个等比数列

()

1b n

n q =、

()

2c n

n q =。

可列方程

2q -7q+10=0

，并可解的

12q =2;q =5。

又根据12a =7;a =39。可知n n

n 52a =33-（5）（2）。

附注：《线性代数与空间解析几何学习指导》的36页给出了本题另外一种解法。

但该种运算具有一定的局限性：其特征方程必有两个不等根（对实根不做要求）。

此要求一旦不满足，就无法构成线性空间进行运算。

例3、计算

n 2100012100

01200A =

0002100012

。

解：设n n

a =A 。

从最后一行展开

n

a ，可知

()

()

n+n

n+n-1

n-2n n-10A a =12a 100

01

-+-

继续展开可知n n-1n-2a =2a -a 。

可列方程

2q -2q+1=0

，并可解的

12q =q =1

此时无法解出

{}

n a 的通项公式。

可见此时特征方程的解法是失效的。 我们改写

n n-1n-2

a =2a -a 为

n n-1n-1n-2

a -a =a -a 。之后就可以轻松得到

n a =n+1。

综上所述：简单三角矩阵的行列式的解可利用特征方程得到，特征方程失效的场合可以根据递推关系轻松推得通项公式。

【小猜想：

n g(1)(1)000(1)

g(2)(2)000(2)g(3)00A =

000g(n-1)(n 1)0

(n 1)

g(n)

h f h f h f --

也可以通过特征方程解出。】

3. 三角函数的n 次展开。

关于三对角矩阵的行列式的证明题又颇为经典的一道。

例4、证明

cos 10001

2cos 100012cos 00cos nx==

0002cos 10

1

2cos n x x x A x

x

。

解：设n n

a =A 。

从最后一行展开

n

a ，可知

()

n+n-1

n-2n n-10

A a =2cosxa 100

01

+-

继续展开可知

n n-1n-2a =2cosxa -a 。

接下来的证明可由数学归纳法与三角恒等变形求得，此处略。

（详见《线性代数与空间解析几何学习指导》48页）

接下来我们把

cos 10001

2cos 100012cos 00cos nx==

0002cos 10

1

2cos n x x x A x

x

视作已知探究

cos(nx)的展开式。

由已得到的递推公式n n-1n-2a =2cosxa -a ，可列方程

2

q -2cosx q+1=0。 解得

()2

q=cosx 1-cos x i ±，即

q=cosx sin xi

±。

经计算

()()n

n

cosx sin xi cosx-sin xi cos nx=

2

++。

于是我们就得到了用复数表示的cos nx 的展开式。

既然cos nx 可展开，我们有足够的理由相信sin nx 也可以以类似方式展开。 利用三角恒等变形我们可以得到以下结果：

()()()()()()()()()()()sin nx=sin n-1x x =sin n-1x cos x cos n-1x sin x =sin n-1x cos x sin xcos n-2x x =sin n-1x cos x sin xcosxcos n-2x-sinxsinxsin n-2x

111

=sin n-1x cos x+sin 2xcos n-2x+cos 2xsin n-2x-22+????

+++????

+()()()sin n-2x

211

=sin n-1x cos x+sin nx-sin n-2x

22

化简可得()()sin nx=2cosxsin n-1x sin n-2x -。

设

n a =sin nx ，可得n n-1n-2a =2cosxa -a 。

最终计算结果为()()n

n

i cosx sin xi i cosx-sin xi sin nx=2

+-。 综上所述，我们可以得到()()()()n n

n n i cosx sin xi i cosx-sin xi sin nx=2cosx sin xi +cosx-sin xi cos nx=2

?+-???+?

??。

该表达式利用复数表达实数，并通过i 的引入免去的cos nx 的奇偶讨论，并使得任意角的三角函数值理论上可计算。

4. 通过特征方程构造简单三对角矩阵行列式

谈完了简单三对角矩阵行列式的求解，我们接下来谈谈简单三角行列式的构造。 我们以构造简单三对角矩阵行列式sin nx=n A 为例。

设

n a =sin nx ，由(3)中论述可知n n-1n-2a =2cosxa -a 。

并将递推公式改写为

n-2

n-1n 12

00

A 00A 0a =

+000k 0

2cos x

k 0

。

其中

12k ,k 应满足12-k k =-1。

我们不妨令

12k =k =1。

则

n-1n 0

A a =

10

12cos x

。 又因为递推公式从第三项开始生效，可写出1

2sin x 0

a =sin x a =02cos x ，。

则可知

sin x 00000

2cos 100012cos 00sin nx==

0002cos 10

1

2cos n x x A x

x

。

由构成过程看，展开简单三对角矩阵行列式时最好从最后向上展开。

5. 参考文献

[1] 黄廷祝，成孝予. 线性代数与空间解析几何[M]. 第三版. 北京：高等教育出版社，2007.

[2] 黄廷祝，余时伟，线性代数与空间解析几何学习指导[M]. 北京：高等教育出版社，2005.