几种定积分的数值计算方法
几种定积分的数值计算方法
摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计
算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明.
关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形
Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals
Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods.
Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid
1. 引言
在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数
)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式
?-=b
a
a F
b F x f )
()()(
求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b
a
a F
b F x f )
()()(
求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况:
(1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx
e
x
?-1
02
, ?
1
sin dx x
x
等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。
(2)函数)(x f 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。 (3)函数)(x f 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较．
2.几何意义上的数值算法
s 在几何上表示以],[b a 为底,以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积A ,因此,计
算s 的近似值也就是A 的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[b a ,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[b a 上等分n 的小区间
,x 1-i h x i +=b x a x n ==,0,其中n
a b h -=
表示小区间的长度.
2.1矩形法
矩形法就是用小矩形面积近似代替各个小曲边梯形面积,从面积得到S 的近似值.若取小区间左端点的函数值为小矩形的高,如图1中所示,则∑
=-=
n
i i x f n
a b A 1
).(
图1 分割曲边矩形近似积分
2.2 梯形法
梯形法则用小直边梯形的面积近似代替小曲边梯形面积,见图2,从而得到S 的近似
值,即??
?
?
??++-=∑
-=1
1
)(2
)
()(n i i x f b f a f n a b A .
图2 分割曲边梯形近似积分
2.3抛物线法
抛物线法以抛物线为曲边梯形的曲边,曲边梯形的面积近似代替小曲边梯形的面积,如图3所示.
图3 抛物线积分
210,,x x x 对应的曲线上的点210,,P P P 可以唯一地确定一条抛物线c bx ax y ++=2
,这
条抛物线将作将代替从0x 至2x 的曲线段,此时积分可以转化为对抛物线积分,而抛物线的积分可以利用牛顿—莱布尼玆公式.第1、2个小区边梯形的面积: )]()(4)([3
)210212
0x f x f x f h
dx c bx ax A x x ++=++=?（
上面利用了条件210,,P P P 是抛物线上的点以及等式1022x x x =+.同理可证： )]()(4)([3
h 4322x f x f x f A ++=
…… )]()(4)([3
122/n n n n x f x f x f h A ++=
--
所以,})(2
)(4)]()({[1
2/1
22
/1
1232/21∑
∑-==--+++=
+++≈n i i n i i n
a b n x f x f b f a f A A A S
3.概率意义上的数值算法
概率算法是定积分问题数值求解的一类常用方法,其设计思想简单,易于实现 .尽管算法要耗费较多计算时间,但是往往能得到问题的近似解,并且近似程度能随计算时间的增加而不断提高.概率算法可用于计算定积分的近似值.
3.1平均值法
考虑定积分?
=
b
a
dx x f I )(的近似计算,其中)(x f 在[]b a ,内可积,用平均值法计算该积
分,首先随机产生n 个独立的随机变量,且服从在[]b a ,上均匀分布,即),2,1(n i i =ξ;其次,计算I 的近似值I ,∑
=-=
n
i i f n
a b I 1
)(ξ.
由中心极限定理知,若{}),2,1(n i i =ξ相互独立、同分布,且数学期望及标准差0>σ存在,则当n 充分大时,随机变量n
I
I Y σ
-=
渐近服从正态分布)1,0(N ,即对任意的0>αt ,
}t I -I P{}t Y P{n
σαα<
=<
这表明,用平均值法计算定积分的收敛速度较慢,在概率意义下的误差阶仅为
)1(
n O .
3.2“类矩形”Monte-Carlo 方法
由于平均值法计算定积分的收敛速度较慢,且在概率意义下的误差阶仅为)1(
n O ,
就有对平均值法的改进，“类矩形” Monte-Carlo 方法,改进过程为：先将积分区间[]b a ,n 等分, 随机产生n 个相互独立且服从[]1,0上均匀分布的随机变量序列),2,1(},{n i i =ξ；然后由这n 个随机点类似于矩形公式构造计算公式,即作变换 n i i n
a b a i i ,2,1),
1(=-+-+=ξη
将}{i ξ映射到子区间 []n i b a a b n
i a a b n
i a ,,2,1,
,)}(),(1{ =?-+
--+
最后,计算I 的近似值I ~,∑
=-=
n
i i f n
a b I 1
)(~η．
下面用两个命题证明“类矩阵”方法的可行性. 命题1 设[][]
[]有记,,,)(max ,,)(0,1b a x x f M b a C x f b a x ∈?'=∈∈
M a b a b x f dx x f b
a
2
)
())(()(2
0-≤
--?
证明:由Lagrange 中值定理得
)())(()()(000之间与介于x x x x f x f x f ξξ-'+=
上式两边在[]b a ,积分,得
??
-'+
-=b
a b
a
dx
x x f a b x f dx x f ))(())(()(00ξ
由)(x f '得连续性,得
.
2)()(21)())(())(()(2
22020000M a b b a x b a x M dx
x x M
dx x x f a b x f dx x f b
a
b
a
b
a
-≤??
?
???++--=-≤-'≤
--?
?
?
ξ
命题2 设[],,,)(1n
a b h b a C x f -=
∈
[]
[]
n i x f M x f M ih a h i a x i b a x ,.2.1,)(max
,)(max ,)1(, ='=
'=+-+∈∈
I ~与I 如上,则I ~
与I 的误差满足)1(~n
O I I =-.
证明: ?
∑
=--
=
-b
a
n
i i f n
a b dx x f I I 1
)()(~
η
∑?
∑=+-+=-=
n
i ih
a h
i a n
i i f h dx x f 1)1(1
)()(η
∑?
=+-+-≤
n
i ih
a h
i a i hf dx x f 1
)1()
()(η
由命题1得, n
i h M hf dx x f i
ih
a h
i a i ,,2,1,2
)()(2
)1( =≤
-?
+-+η
于是
∑
=-≤
≤
-n
i i
a b n
M h
M I I 1
2
2
)
(22
~
即
)1
(~
n
O I I =-.
3.3“类梯形”Monte-Carlo 方法
再给出平均值法的另一种改进.首先将[]b a ,n 等分,再在每个子区间上随机产生n 2个相互独立且服从]1,0[上均匀分布的随机变量序列,并两两分组,得
),,3,2,1(},,{212n i i i =-ξξ;做变换
)
12(2)
22(2221212i i i i i n
a
b a i n a b a ξηξη+--+
=+--+
=--
将12-i ξ,i 2ξ分别映射到子区间
n
i a b n
i a a b n
i a a b n i a a b n i a ,,3,2,1)],(),(21
2[)]
(212),(1[ =-+--+
--+
--+
然后在每个等分子区间上)](),(1[a b n
i a a b n
i a -+
--+
利用i i 212,ηη-两点类似于梯形
公式构造“类梯形”公式 )]()([212i i i f f n
a b S ηη+-=-
近类似
?
+-+ih a h
i a dx
x f )1()(.
最后计算I 的近似值I
~~
,∑
=-+-=
n
i i i f f n
a b I 1
2122
)
()(~~ηη．
下面证明“类梯形”方法可行性的两个命题：
命题3 设()[]2,f x a b ∈C ，记[]
(),m ax ''x a b f x ∈M=，则()1212,x x a x x ?≤≤，有
)()()()
3
122
12
b
a
b a b a f x dx f x f x M ---
+≤
?????
．
证明： 过()()()()1122,,,x f x x f x 两点的直线方程为
()()()211121
()()f x f x P x f x x x x x -=+
--
所以 ()(),1,2.i i P x f x i ==令
12()()()()()()R x f x P x k x x x x x =-=-- （1）
将x 看成[],a b 上的一个定点,构造辅助函数
12()()()()()()t f t P t k x t x t x φ=----
由于12()()()0x x x φφφ===,由Rolle 中值定理,'()t φ在(),a b 内至少有两个零点,对
'()t φ再用Rolle 中值定理,知''()t φ在(),a b 内至少有一个零点,即存在(),a b ξ∈,使
''()''()2()0f k x φξξ=-=,所以''()()2
f k x ξ=
．将它代入（1）式,并两段同时从a 到b 积分,
得
()()()1
2
1212121
2
1212122
''()()()2
()()2
()()()()()()2b
a b
a
b
a
x x b
a
x x b a f
x dx f
x f x f x x x x dx
M x x x x
dx
M x x x x dx x x x x dx x x x x dx ξ--
+????
=
--≤
--??
=--+--+--??
????
??
????
记
1
2
1
2
121
2
1
2
1
2
(,)()()()()()()x x b
a
x x L x x x x x x
dx x x x x
dx x x x x
dx =
--+
--+
--???
不妨设12a x x b <<<,则将12(,)L x x 分别对求偏导数,得
122
2212
121()()()0
2()()()
2
x x a b L b a x x x a b L b a x x x +=----=+=--
+-=
解得唯一驻点：
121(3)4
1(3)4
x a b x a b ?
=+???
?=+?? 又
3
3
33()()
(,),(,)44166
a b a b b a b a L L a b ++--==
故当12a x x b ≤<≤时,
()()()()
3
1212(,)2
2
12
b
a
b a b a M f x dx f x f x L x x M ---
+≤
≤
?????
结论成立．
命题4 [],,)(2b a C x f ∈设
[]
[]
n i x f M x f M n
a b h ih a h i a x i b a x ,2,1,)(max
,)(max ,,)1(,=''=
''=-=
+-+∈∈
I 与I ~~如上,则I 与I
~~
的误差满足:)1(~~
2n
O I I =-.
证明：
∑?
∑?
∑
?
∑
=+-+-=+-+=-=-+-
≤
+-=
---
=
-n
i ih
a h
i a i i n
i ih
a h
i a n
i i i b
a n
i i i h
f f dx x f f f h dx x f f n
a b dx x f I I 1
)1(2121)1(1
2121
2122
)
()()(2
)
()()(2
)
()(~~ηηηηηη
由命题3,得
n i h M h f f dx x f i
ih
a h
i a i i ,,2,1,12
2
)
()()(3
)1(212 =≤
+-
?
+-+-ηη
于是
∑
=-≤
≤
-n
i i
n
M a b h M I I 1
2
3
3
12)(12
~~
即
)1(~~
2n
O I I =-.
4.例题
对于积分dx 141
2
?
+x
,该积分精确值为 3.1416.下面分别给出本文所涉及计算方法对
它的计算结果:
4.1用三种基于几何意义的算法:矩形算法,梯形法,抛物线法作比较,结果如表1:
表1 几何意义算法的比较
分割数
算法 近似值 误差
1
10
矩形
3.14241294 1
3.8-e 梯形 3.1399398 3
7.1-e 抛物线 3.1415569 8
1.4-e 2
10
矩形
3.1415528 1
3.8-e
梯形 3.1416496 5
7.1-e 抛物线
3.14160128
11
0.4-e
4.2用平均值法,及其改进“类矩形”Monte-Carlo 方法, “类梯形”Monte-Carlo 方法计
算结果如表2:
表2 概率意义算法的比较
5．结语
本文介绍的几种求积公式各有特点：梯形求积公式和抛物线法求积公式是低精度公式,但对于光滑性较差的被积函数有时比用高精度方法能得到更好的效果,尤其是梯形求积公式．当被积函数为周期函数时,效果更为突出.由表1分析,一般情形下,三种基于几何的算法中矩形算法的误差最大,梯形法次之,抛物线法最高.抛物线法的积分精度远远高于另外两种方法,特别是在积分区间分割份数较小的情况下,仍然保持较高的近似程度.
“类矩形”Monte-Carlo 方法; “类梯形”Monte-Carlo 方法是平均值法的改进,提高了平均值法的精确度．通过表2可以看出,直接用平均值法计算定积分,410节点的计算已经很可观了,但计算结果只有2位有效数字,而选取同样的节点数,计算量几乎不变,类矩阵法就达到了4位有效数字,类梯形法则达到了8位有效数字,恰好与上述定理中误差阶的估计是一致的,从而也验证了“类矩形”Monte-Carlo 方法和”类梯形”Monte-Carlo 方法的高效性．从表2中也可以看出随着节点数的增大,积分精度会不断提高,当然计算复杂度就会增加.
节点数
算法 近似值 误差
4
10
平均值法
3.13849728 3
1.3--e
类矩形法 3.1416903 5
0.7-e
类梯形法
3.14160029
9
0.2--e
参考文献
[1] 费祥历,刘奋,马铭福.高等数学(第2版上册)[M].山东:石油大学出版社,2008: 211-287．
[2] 徐萃薇,孙绳武.计算方法引论(第三版).北京:高等教育出版社,2007.
[3] 王晓东.计算机算法分析与设计[M].北京:电子工业出版社,2001:197-228.
[4] 徐钟济.蒙特卡罗方法[M].上海:上海科学技术出版社,1985.
[5] 张平文,李铁军,数值分析[M].北京:北京大学出版社,2007.
[6] 阮宗利.计算一元定积分的若干数值算法及其比较[J].中国石油大学学报(科技教
育),2010:182-184.
[7] 朱长青. 计算方法及其应用.北京:科学出版社,2006.
[8] 张威,刘志军,李艳红.数值分析与科学计算.北京:清华大学出版社,200,5
[9] 明万元,郑华盛.求解数值积分的两类新的Monte-Carlo方法[J].南昌航空大学学
报,2010,40(10):180-186.
[10]刘长虹,关永亮等.蒙特卡洛在数值积分上的应用[J].上海工程技术大学学报,2010,24(1):43-46.
[11]王岩.Monte-Carlo方法应用研究[J].云南大学学报(自然科学版),2006,28(SI):23-26.
定积分的简单应用求体积
定积分的简单应用求体 积 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022
定积分的简单应用(二) 复习： （1） 求曲边梯形面积的方法是什么 （2） 定积分的几何意义是什么 （3） 微积分基本定理是什么 引入： 我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。 1. 简单几何体的体积计算 问题：设由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的平面图形（如图甲） 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V 分析： 在区间[,]a b 内插入1n -个分点，使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把曲线()y f x =（a x b ≤≤）分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -?=-，1,2,,i n =。这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ?的小圆片，如图乙所示。当i x ?很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。因此，第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=? 该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和：
2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈?+?+ +? 这个问题就是积分问题，则有： 22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==?? 归纳： 设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π=? 2. 利用定积分求旋转体的体积 （1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数 （2） 分清端点 （3） 确定几何体的构造 （4） 利用定积分进行体积计算 3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积 若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为 2()b a V g y dy π=? 类型一：求简单几何体的体积 例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积 思路： 由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。 解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角 坐标系，如图:BC y a =。则该旋转体即为圆柱的体积为： 22300|a a V a dx a x a πππ=?==?
数值计算方法试题及答案
【 数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数， 则 a =( )， b =（ ）， c =（ ）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 ； 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。
几种定积分的数值计算方法
几种定积分的数值计算方法 摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计 算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明. 关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形 Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods. Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid
1. 引言 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数 )(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况: (1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e x ?-1 02 , ? 1 sin dx x x 等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。 (2)函数)(x f 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。 (3)函数)(x f 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较． 2.几何意义上的数值算法 s 在几何上表示以],[b a 为底,以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积A ,因此,计 算s 的近似值也就是A 的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[b a ,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[b a 上等分n 的小区间 ,x 1-i h x i +=b x a x n ==,0,其中n a b h -= 表示小区间的长度. 2.1矩形法
浅谈定积分的应用
浅谈定积分的应用 **** **** （天津商业大学经济学院，中国天津 300134) 摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。 关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功 The Application of Definite Integral **** **** (Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China) Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definitio n of definite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in t he higher mathematics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, t hrough the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very co nvenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work 0、前言 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。 微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5]。本文将举例介绍定积分在的我们日常学习和生活当中的应用。 1定积分的基本定理和几何意义 1.1、定积分的定义 定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。即由0=y ，a x =， b x =,()x f y =所围成图形的面积。 定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的容是： 如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())(' x f X F =，那么
§1.7定积分的简单应用
定积分的简单应用 一：教学目标 知识与技能目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 过程与方法 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：2 01y x x x y x ?=??==? =??及，所以两曲线的交点为 （0，0）、（1，1），面积S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 2 0S =(x -x )dx 321 3 023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 2 x y =y x A B C D O
巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x = 以及x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯 形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标， 直线4y x =-与 x 轴的交点． 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的 面积． 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 334 82822044 2222140||(4)|23 x x x =+-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图， 再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限． 例3.求曲线], [sin 320π∈=x x y 与直线,,3 20π==x x x 轴所围成的图形面积。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一 一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。 3、已知是三次样条函数，则 =( )，=（），=（）。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则 ( )，( )，当时( )。 5、设和节点则 和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。 8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是 阶方法。 10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。 二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1），（2），（3），（4）， （1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。 (1), (2), (3), (4)
三、1、 2、（15 (1)(1) 试用余项估计其误差。 （2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。 四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组，其中 ， （1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。 五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、（下列2题任选一题，4分） 1、1、数值积分公式形如 （1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。 2、2、用二步法 求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题：（共16分，每小题２分） １、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（）
定积分的简单应用(6)
§1.7 定积分的简单应用（一） 一：教学目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 解：201y x x x y x ?=??==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积 S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 20S =(x -x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S. 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图阴影部分的面积． 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 33482822044 2222140||(4)|3323 x x x =+-=. 例3.求曲线],[sin 3 20π ∈=x x y 与直线,,3 20π ==x x x 轴所围成的图形面积。 答案： 2 33 2320 = -=? ππo x xdx S |cos sin ＝ 练习 1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。 答案：3 32 33323132 23 1= -+=--? |))x x x dx x x S （－＋（＝ 2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M （0，－3） 2 x y =y x = A B C D O
数值分析习题与答案
第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1. 2.4)有 已知x*的相对误差满足，而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限，相对误差限 有2位有效数字， 有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2）
解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2） 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取，利用：式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，因
，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限 ，故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少? 解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得 3. 若，求和.
解：由均差与导数关系 于是 4. 若互异，求 的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性 可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表
求定积分的四种方法
定积分的四种求法 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1 用定义法求 2 30 x dx ? 的值. 分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限． 解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝ 2 n ． （2）近似代替：△3 2()i i i S f x x n ξ?? =?=? ??? （3）求和：3 3 111222n n n i i i i i i S x n n n ===?????? ?≈?=? ? ? ????? ??∑∑∑. （4）取极限：S=333 2242lim n n n n n n →∞?? ?????? +++?? ? ? ? ???? ?????? L ＝4433322 44221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞??+++=?+??L ＝22 4(21) lim n n n n →∞++=＝4． ∴ 2 30 x dx ? =4．. 评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲． 二、微积分基本定理法
例2 求定积分 2 21 (21)x x dx ++? 的值. 分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解． 解：函数y ＝2 21x x ++的一个原函数是y ＝3 23 x x x ++． 所以.2 2 1 (21)x x dx ++? ＝322 1()|3x x x ++＝81421133????++-++ ? ????? ＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数． 三、几何意义法 例3 求定积 分 1 1 dx -? 的值. 分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出． 解 ：1 1dx -?表示圆x 2＋y 2＝1在第一、 二象限的上半圆的面积． 因为2 S π =半圆，又在x 轴上方． 所 以 1 1 dx -? ＝ 2 π ． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出． 四、性质法 例4 求下列定积分： ⑴ 44 tan xdx π π-?；⑵22 sin 1 x x dx x π π - +?． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很 难
定积分的几个简单应用
定积分的几个简单应用 一、定积分在经济生活中的应用 在经济管理中，由边际函数求总函数，一般采用不定积分来解决，或者求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决． 例1 某商场某品牌衬衫的需求函数是q p 15.065-=，如果价格定在每件50元，试计算消费者剩余． 解 由p 50=，q p 15.065-=，得10000=q ，于是 dq q )5015.065(10000 0--? 10000023 ) 1.015(q q -= 50000=， 所求消费者剩余为50000元． 例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+='（件／天），求从第5天到第10天产品的总产量． 解 所求的总产量为 ??+='=10 5105)1240()(dt t dt t Q Q 1052) 640(t t +=650=（件）． 二、用定积分求极限 例1 求极限 ∑=∞→n k n n k 123 lim ． 解 n n n n n n n n k n k 12111123 +++=∑= )21(1n n n n n +++= ． 上式是函数[]1,0)(在x x f =的特殊积分和．它是把[]1,0分成n 等分，i ξ取?? ????-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数[]1,0)(在x x f =可积，由定积分定义，有
∑=∞→n k n n k 12 3lim ??????+++=∞→)21(1lim n n n n n n 3210==?dx x ． 例2 求极限 2213lim k n n k n k n -∑ =∞→． 解 212213)(11n k n k n k n n k n k n k -?=-∑∑==． 上式是函数[]1,01)(2在x x x f -=的特殊积分和．它是把区间[]1,0分成n 等分，i ξ取?? ????-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数21)(x x x f -=在[]1,0可积，由定积分定义，有 2213lim k n n k n k n -∑=∞→3 1)1(311102321 02=??????--=-=?x dx x x ． 三、用定积分证明不等式 定积分在不等式的证明中有着重要的应用．在不等式的证明中，可根据函数的特点，利用定积分的性质来证明． 例1 设)(x f 是闭区间[]b a ,上的连续函数，且单调增加，求证： ?? +≥b a b a dx x f b a dx x xf )(2)(． 证明 作辅助函数 dt t f x a dt t tf x x a x a ??+-=)(2)()(?， 显然0)(=a ?，且 )(2 )(21)()(x f x a dt t f x xf x x a ?+--='? )(2 ))((21)(2x f a a x f x f x ---=ξ [])()(2 ξf x f a x --=， 其中[]x a ,∈ξ．因为)(x f 在[]b a ,上单调增加，所以0)(≥'x ?，从而)(x ?在闭区间[]b a ,上单调增加，所以 0)()(=≥a x ??，
定积分的简单应用
定积分的简单应用 海口实验中学陈晓玲 一、教材分析 “定积分的简单应用”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2－2第一章1.7的内容。从题目中可以看出，这一节教学的要求就是让学生在充分认识导数与积分的概念，计算，几何意义的基础上，掌握用积分手段解决实际问题的基本思想和方法，在学习过程中了解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大生命力。在整个高中数学体系中，这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础。 二、教学目标（以教材为背景，根据课标要求，设计了本节课的教学目标） 1、知识与技能目标： （1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题； （2）学会将实际问题化归为定积分的问题。 2、过程与方法目标： 通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。 3、情感态度与价值观目标： 通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识运用于生活的意识。 三、教学重点与难点 1、重点：应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值。 2、难点：将实际问题化归为定积分的问题。 四、教学用具：多媒体 五、教学设计
教学环节教学设计师生 互动 设计意图 一、 创设情境 引出新课1、生活实例： 实例1：国家大剧院的主题构造 类似半球的构造，如何计算建造时中间玻璃段的使用面积？ 边缘的玻璃形状属于曲边梯形，要计算使用面积可以通过计算 曲边梯形的面积实现。 实例2：一辆做变速直线运动的汽车，我们如何计算它行驶的 路程？ 2、复习回顾： 如何计算曲边梯形的面积？ 3、引入课题： 定积分的简单应用 学生:观 察。 教师：启 发，引导 学生：思 考，回 忆。 学生：疑 惑，思 考，感 受。 教师：启 发，引 导。 学生：复 习，回忆 老师：引 入课题 数学源于生活，又服 务于生活。 通过对国家大剧院的 观察，创设问题情境，体 验数学在现实生活中的 无处不在，激发学生的学 习热情，引导他们积极主 动的参与到学习中来。 启发学生把物理问题 与数学知识联系起来，训 练学生对学科间的思维 转换和综合思维能力。 学生感受定积分的工 具性作用与应用价值。 在生活实例的启发 下，引导学生把所学知识 与实际问题联系起来，回 忆如何计算曲边梯形面 积。 这是这节课的知识基 础。 引入本节课的课题。 哎呀，里程表坏了，你 能帮我算算我走了多 少路程吗? x y o y f(x) = a b A ?=b a dx x f A) (
数值计算方法》试题集及答案
《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ，拉 格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度 为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001-
知识讲解_定积分的简单应用(基础)
定积分的简单应用 【学习目标】 1.会用定积分求平面图形的面积。 2.会用定积分求变速直线运动的路程 3.会用定积分求变力作功问题。 【要点梳理】 要点一、应用定积分求曲边梯形的面积 1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积： ()[()()]b b a a S f x dx f x g x dx ==-?? 2.如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线 ()y f x =(0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积： ()()[()()]b b b a a a S f x dx f x dx g x f x dx = =-=-? ?? 3．由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =（不妨设在区间[,]a c 上 ()0f x ≤，在区间[,]c b 上()0f x ≥）围成的图形的面积： ()c a S f x dx = + ? ()b c f x dx ? ＝()c a f x dx -?＋()b c f x dx ?. 4. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()f x f x ≥及直线x a =，x b =()a b <围
成图形的面积： 1212[()()]()()b b b a a a S f x f x dx f x dx f x dx =-=-??? 要点诠释： 研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： ① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积； ② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）； 要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 （1）画出图形； （2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； （4）写出平面图形面积的定积分表达式； （5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。 要点三、定积分在物理中的应用 ① 速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间 [,]a b 上的定积分，即()b a S v t dt =?. ②变力作功 物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W = ()b a F x dx ? . 要点诠释： 1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情 况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。 2. 求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。 【典型例题】 类型一、求平面图形的面积 【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例1】 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
数值分析作业答案
数值分析作业答案 插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange插值基底。 （3）用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底 设多项式为: ， 所以： 所以f(x)的二次插值多项式为： （2）用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： (3) 用Newton基底: 均差表如下： xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有 式中 令得 插值点个数
是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、，求及。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系： 所以有： 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可； 当时，，构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得 在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得 再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得 而，将代入，得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有： 确定误差限： 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk，xk+1]上有 而最值 进而得误差估计： 16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。
导数的数值计算方法[文献综述]
毕业论文文献综述 信息与计算科学 导数的数值计算方法 一、 前言部分 导数概念的产生有着直觉的起源，与曲线的切线和运动质点的速度有密切的关系．导数用于描述函数变化率，刻画函数的因变量随自变量变化的快慢程度．比如说，物理上考虑功随时间的变化率（称为功率），化学上考虑反应物的量对时间的变化率（称为反应速度），经济学上考虑生产某种产品的成本随产量的变化率（称为边际成本）等等，这些变化率在数学上都可用导数表示． 导数由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性的方法，导数是研究函数的切线、单调性、极值与最值等问题的有力工具；运用它可以简捷地解决一些实际问题，导数的概念是用来研究函数在一点及其附近的局部性质的精确工具，而对于函数在某点附近的性质还可以应用另一种方法来研究，就是通过最为简单的线性函数来逼近，这就是微分的方法．微分学是数学分析的重要组成部分，微分中值定理作为微分学的核心，是沟通导数和函数值之间的桥梁， Rolle 中值定理， Lagrange 中值定理， Cauchy 中值定理， Taylor 公式是微分学的基本定理， 统称为微分学的中值定理，这四个定理作为微分学的基本定理，是研究函数形态的有力工具 ] 1[．在微分学中，函数的导数是通过极限定义的，但 当函数用表格给出时，就不可用定义来求其导数，只能用近似方法求数值导数] 2[．最简单 的数值微分公式是用差商近似地代替微商，常见的有 [3] ． ()()() 'f x h f x f x h +-≈ ， ()()() 'f x f x h f x h --≈， ()()() '2f x h f x h f x h +--≈ ． 需要注意的是微分是非常敏感的问题，数据的微小扰动会使结果产生很大的变化] 4[．
概述定积分的发展及应用
概述定积分的发展与应用 摘要：概述了定积分发展的三个历史阶段,讨论了定积分在各个学科中的具体应用. 关键词：分割近似; 定积分; 流数法; 应用 微积分创立是数学史上一个具有划时代意义的创举,也是人类文明的一个伟大成果.正如恩格斯评价的那样："在一切理论成就中,未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被当作人类精神的最高胜利了." 它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具; 如数学研究, 求数列极限, 证明不等式等. 而在物理方面的应用,能够说是定积分最重要的应用之一,正是因为定积分的产生和发展,才使得物理学中精确的测量计算成为可能, 如：气象,弹道的计算,运动状态的分析等都要用的到微积分. 定积分的发展大致能够分为三个阶段：古希腊数学的准备阶段,17世纪的创立阶段以及19世纪的完成阶段. 1准备阶段 主要包括17世纪中叶以前定积分思想的萌芽和先驱者们大量的探索、积累工作.这个时期随着古希腊灿烂文化的发展,数学也开始散发出它不可抵挡的魅力.整个16世纪,积分思想一直围绕着"求积问题"发展,它包括两个方面：一个是求平面图形的面积和由曲面包围的体积,一个是静力学中计算物体重心和液体压力.德国天文学家、数学家开普勒在他的名著《测量酒桶体积的新科学》一书中,认为给定的几何图形都是由无穷多个同维数的无穷小图形构成的,用某种特定的方法把这些小图形的面积或体积相加就能得到所求的面积或体积,他是第一个在求积中使用无穷小方法的数学家.17世纪中叶,法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了"分割求和"及无穷小的性质的观点求积.可见,利用"分割求和"及无穷小的方法,已被当时的数学家普遍采用. 2 创立阶段 主要包括17世纪下半叶牛顿、莱布尼兹的积分概念的创立和18世纪积分概念的发展.牛顿和莱布尼兹几乎同时且互相独立地进入了微积分的大门. 牛顿从1664年开始研究微积分,早期的微积分常称为"无穷小分析",其原因在于微积分建立在无穷小的概念上.当时所谓的"无穷小"并不是我们现在说的"以零为极限的变量",而是含糊不清的,从牛顿的"流数法"中可见一斑,"流数法"的主要思想是把连续变动的量称为"流量",流量的微小改变称为"瞬"即"无穷小量",将这些变量的变化率称为"流数".用小点来
1.7定积分的简单应用
§1.7定积分的简单应用（二课时） 一：教学目标 知识与技能：初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；让学生深刻理解定积 分的几何意义以及微积分的基本定理。 过程与方法：进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方 法 情感态度与价值观：体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）， 培养学生唯物主义思想。 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程：（第一课时） 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：2 01y x x y x ?=?==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积 S=1 20 0x dx = -? ? ，所以 ?1 20S =x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 巩固练习 计算由曲线3 6y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =- ，曲线y = x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形 2 x y =y x A B C D O
求定积分的四种方法
求定积分的四种方法 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1 用定义法求2 30x dx ?的值. 分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限． 解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n ． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ??=?=? ??? （3）求和：33 111222n n n i i i i i i S x n n n ===???????≈?=? ? ? ????? ??∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞????????+++?? ? ? ???????????L ＝4 43332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞??+++=?+? ?L ＝224(21)lim n n n n →∞++=＝4． ∴2 30x dx ?=4．. 评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲． 二、微积分基本定理法 例2 求定积分2 21(21)x x dx ++?的值. 分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解． 解：函数y ＝2 21x x ++的一个原函数是y ＝3 23x x x ++．
所以.2 2 1(21)x x dx ++?＝3221()|3x x x ++＝81421133????++-++ ? ?????＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数． 三、几何意义法 例3 求定积 分1 1dx -?的值. 分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的 面积，只要作出图形就可求出． 解 ：1 1dx -?表示圆x 2＋y 2＝1在第一、 二象限的上半圆的面积． 因为2S π= 半圆，又在x 轴上方． 所 以1 1dx -?＝2 π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出． 四、性质法 例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx π π-?；⑵22sin 1 x x dx x ππ-+?． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解． 解：由被积函数tan x 及22sin 1 x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零． 所以⑴ 4 4 tan xdx π π-?＝0；