解析几何专题讲座

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题型一 圆锥曲线的概念及性质

【例1】椭圆x 2

a 2＋y

2

b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A .在椭圆上存在点P

满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( )

A.?

?

?

?0，22 B.????0，12 C ．[2－1,1)

D.????12，1

又e ＝c

a ，∴2e 2＋e ≥1，∴2e 2＋e －1≥0，即(2e －1)(e ＋1)≥0，又0

∴1

2

≤e <1，故选D. 答案：D 拓展提升——开阔思路 提炼方法

圆锥曲线的性质是高考的必考内容，常以选择、填空形式考查，也在大题中考查，重点

考查椭圆、双曲线的离心率及双曲线的渐近线．

变式1．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．

解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n .

在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°. ∵m ＋n ＝2a ，∴m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4a 2－2mn ，

∴4c 2＝4a 2－3mn ，即3mn ＝4a 2－4c 2.又mn ≤????m ＋n 22＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，

∴4a 2－4c 2≤3a 2，∴c 2

a 2≥14，即e ≥12，∴e 的取值范围是????1

2，1. (2)证明：由(1)知mn ＝43b 2，∴S △PF 1F 2＝12sin 60°＝33b 2，

即△PF 1F 2的面积只与短轴长有关．

题型二 圆锥曲线的方程

【例2】设椭圆C ：

222

2

1(0),l ,x y a b F F C A B a

b

+

=>>的右焦点为过的直线与椭圆相交于两点

60,2l AF FB =

直线的倾斜角为

(1)求椭圆C 的离心率；

(2)如果|AB |＝15

4

，求椭圆C 的方程．

解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1<0，y 2>0. (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.

联立?????

y ＝3(x －c )，x 2a 2＋y 2b 2＝1

得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4

＝0.

解得y 1＝－3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2

. 因为FA →＝2FB →

，所以－y 1＝2y 2.

即3b 2

(c ＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2

(c －2a )3a 2＋b 2

得离心率e ＝c a ＝23. (2)因为|AB |＝

1＋13|y 2－y 1|，所以23

·43ab 23a 2＋b 2＝15

4. 由c a ＝23得b ＝53a ，所以54a ＝15

4，得a ＝3，b ＝ 5. 椭圆C 的方程为x 29＋y 2

5

＝1.

拓展提升——开阔思路 提炼方法

求圆锥曲线的方程常利用圆锥曲线的定义或待定系数法求解，但要注意焦点所在坐标轴，避免漏解．

题型三 热点交汇

【例3】)已知直线x －2y ＋2＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y

2

b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 和上顶点D ，椭圆

C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝10

3

分别交于M ，N 两点．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)求线段MN 的长度的最小值．

(1)解：如图，由题意得椭圆C 的左顶点为A (－2,0)， 上顶点为D (0,1)，即a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2

＝1.

(2)直线AS 的斜率显然存在且不为0，设直线AS 的方程为 y ＝k (x ＋2)(k >0)，解得M ????

103，16k 3，且将直线方程代入椭圆C 的方程，得(1＋4k 2

)x 2

＋16k 2

x ＋16k 2

－4＝0.

设S (x 1，y 1)，由根与系数的关系得(－2)·x 1＝16k 2－41＋4k 2.

由此得x 1＝2－8k 2

1＋4k 2，y 1＝4k 1＋4k 2，即S ????2－8k 2

1＋4k 2，4k 1＋4k 2. 又B (2,0)，则直线BS 的方程为y ＝－1

4k x －2)，

联立直线BS 与l 的方程解得N ????

103，－13k .

∴|MN |＝????16k 3＋13k ＝16k 3＋1

3k

≥216k 3·13k ＝8

3

当且仅当

16k 3＝13k k ＝14时等号成立，故当k ＝14时，线段MN 的长度的最小值是83

. 拓展提升——开阔思路 提炼方法

(1)以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，以不等式或导数为工具，考查圆锥曲线的最值、参数范围、不等式论证等问题，是近年高考的热点内容．这类问题综合性强、能力要求高、解法灵活，值得关注．

(2)本题涉及到最值问题时，可先建立问题(即面积)的函数关系式，然后根据其结构特征，运用函数的单调性或基本不等式去获解．求解时应掌握消元技巧，尽量利用根与系数的关系去简化解题过程，提高运算速度和准确度．

题型四 直线与圆锥曲线的位置关系

【例4】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的离心率为6

3

，短轴一个端点到右焦点的距离为 3.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为3

2

，求△AOB 面积的最大值．

解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意?????

c a ＝63，a ＝3，

∴b ＝1，∴所求椭圆方程为x 23

＋y 2

＝1.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝ 3.

②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m . 由已知

|m |1＋k 2

＝

32，得m 2＝3

4

k 2＋1)． 把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得(3k 2

＋1)x 2

＋6kmx ＋3m 2

－3＝0， ∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1x 1x 2＝3(m 2

－1)

3k 2＋1

. ∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·

????36k 2m 2

(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2

＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1

＝3＋

129k 2

＋1k

26

≤3＋12

2×3＋6＝4(k ≠0)． 当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±3

3时等号成立．当k ＝0时，

|AB |＝3，综上所述|AB |max ＝2.

∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值S ＝12×|AB |max ×32＝3

2.

拓展提升——开阔思路 提炼方法

解决直线与圆锥曲线的位置关系问题对于直线与圆锥曲线的交点可利用“设而不求”的

办法，可利用一元二次方程的判别式和根与系数之间的关系进行过渡，解决的常见问题有：弦长、弦的中点、垂直、三点共线等等．

题型五 圆锥曲线中的探索性问题

【例5】 (2010·福建)

已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．

解：解法一：(1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1

(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．

从而有?

????

c ＝2，

2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，

解得?

??

??

c ＝2，a ＝4.

又a 2

＝b 2

＋c 2

，所以b 2

＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 2

12＝1.

(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝3

2

x ＋t .

由? ?

y ＝3

2

x ＋t ，

x 2

16＋y

2

12＝1

得3x 2＋3tx ＋t 2

－12＝0.

因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3(t 2－12)≥0， 解得－43≤t ≤4 3.

另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4可得

|t |9

4

＋1＝4，从而t ＝±213.

由于±213?[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在． 解法二：(1)依题意，可设椭圆C 的方程为 x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)，且有：?????

4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4.

解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16.所以椭圆C 的方程为x 2

16＋y

2

12＝1.

(2)同解法一．

题型六 热点交汇

【例6】已知两点M （-2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影是H ，如果PH →·PH →，PM →·PN

→

分别是公比q ＝2的等比数列的第三、第四项．

(1)求动点P 的轨迹C 的方程；

(2)已知过点N 的直线l 交曲线C 于x 轴下方两个不同的点A ，B ，设R 为AB 的中点，若过点R 与定点Q (0，－2)的直线交x 轴于点D (x 0,0)，求x 0的取值范围．

设2

2222

2

:(,),(0,),(,0),(2,),(2,),4422P x y H y P H x P M x y P N x y P H P H x P M P N x y P M P N x y x P H P H

=-=---=--==+-+-==

(1)解则又则有

∴点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝4(x ≠0)．

(2)当k ＝±1时，不成立．设直线AB 的方程为：y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，R (x 3，y 3)，其中x 3＝x 1＋x 22，

y 3＝

y 1＋y 2

2

. 由?

??

??

y ＝k (x －2)，y 2

－x 2

＝4，化简得(k 2－1)x 2－4k 2x ＋4(k 2

－1)＝0，

∴y 3x 3＝1

k ，∴DQ 的方程为y ＋2x ＝y 3＋2x 3. 令y ＝0，得2x 0＝y 3＋2x 3＝1k ＋2x 3，

∴x 0＝

21k ＋2·k 2

－12k

2＝2

－????1k －122＋

54. 又由Δ＝16k 4－16(k 2－1)2＝32k 2－16>0，y 1＋y 2<0， y 1·y 2>0，可得

2

2

k

2，

∴2－1<－????1k －122＋5

4<1， ∴2

故所求的x 0的取值范围为(2,2＋22)．

变式1．如图，在直角坐标系xOy中，有一组对角线长为a n的正方形A n B n C n D n(n＝1,2，…)，其对角线B n D n依次放置在x轴上(相邻顶点重合)．设{a n}是首项为a，公差为d(d>0)的等差数列，点B1的坐标为(d,0)．

(1)当a＝8，d＝4时，证明：顶点A1、A2、A3不在同一条直线上；

(2)在(1)的条件下，证明：所有顶点A n均落在抛物线y2＝2x上．

(3)为使所有顶点A n均落在抛物线y2＝2px(p>0)上，求a与d之间所应满足的关系式．

解析几何训练题

（1）设双曲线

22

22

1

x y

a b

-=（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )

（2）已知椭圆

2

2

:1

2

x

C y

+=的右焦点为F,右准线为l，点A l

∈，线段A F交C于点B，若3

FA FB

=

,则||

AF

=( )

D. 3

（3）（2009浙江理）过双曲线

22

22

1(0,0)

x y

a b

a b

-=>>的右顶点A作斜率为1

-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C．若

1

2

A B B C

=

，则双曲线的离心率是( ) A

．B

．C

D

（4）设

1

F和

2

F为双曲线

22

22

1

x y

a b

-=(0,0

a b

>>)的两个焦点, 若

12

F F

，，(0,2)

P b是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为

A．

3

2

B．2C．

5

2

D．3

（5）已知双曲线

22

1

22

x y

-=的准线过椭圆

22

2

1

4

x y

b

+=的焦点，则直线2

y kx

=+与椭圆至多有一个交点的充要条件是( )

A.

11

,

22

K

??

∈-

??

??

B.

11

,,

22

K

????

∈-∞-+∞

?

??

????

C.

22

K

?

∈-

?

??

D. ,

22

K

???

∈-∞-+∞

?

?

?

????

（6）已知双曲线()

22

22

10,0

x y

C a b

a b

-=>>

：的右焦点为F,过F

的直线交C于

A B

、两点，若4

AF FB

=,则C的离心率为(

A．

6

5

B.

7

5

C.

5

8

D.

9

5

（7）抛物线2

y x

=-上的点到直线4380

x y

+-=距离的最小值是（）

A．

4

3

B．

7

5

C．

8

5

D．3

（8）对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（）

A.（－∞，0）

B.（－∞，2]

C.［0，2］

D.（0，2）

9、已知直线)0(112

22

2>>=+

+-=b a b

y a

x x y 与椭圆

相交于A 、B 两点。

（1）若椭圆的离心率为

3

3，焦距为2，求椭圆的标准方程；

（2）若OB OA ⊥（其中O 为坐标原点），当椭圆的离率]2

2,

2

1

[∈e 时，求椭圆的长轴长的

最大值。

10．已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆2

2

10200x y x +-+=相切．过点()4,0P -作

斜率为

14

的直线l ，使得l 和G 交于,A B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在线段A B 上，又满

足2

PA PB PC ?=．

（Ⅰ）求双曲线G 的渐近线的方程；

（Ⅱ）求双曲线G 的方程；

（Ⅲ）椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴．如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程．

参考答案

CACBA AAB

（9）.2,3,22.3

3,332

2

=-=

=

==

=

c

a b a c a c e 则解得又即

.12

3

2

2

=+

∴y

x

椭圆的标准方程为

（2）由,0)1(2)(,1,12

2222222

22=-?+-?+??

???+-==+b a x a x b a y x y b

y

a x 得消去 由.1,0)1)((4)2(22222222>+>-+--=?

b a b b a a a 整理得 2

22

112212122222

2(1)

(,,),(,),,.a

a b A x y B x y x x x x a b a b

-+=

=++设则 .1)()1)(1(21212121++-=+-+-=∴x x x x x x y y …………7分 .01)(2,0),(21212121=++-=+∴⊥x x x x y y x x O OB OA 即为坐标原点其中 .02.012)1(22

2222

2

22

22

2=-+=++-

+-∴

b

a b a b

a a

b

a b a 整理得

2

2

2

2

2

2

2

2

1112,e

a

e a a c a b -+

=-=-=代入上式得 ，

).11

1(2

12

2

e

a -+=

∴1[

,

2

2

e ∈

2

2

2

73,1,6

2

a a

b ∴

≤≤+>适合条件

由此得

.2

66

42≤

≤a .6,623

42故长轴长的最大值为≤≤∴

a

10

(1)证明：由题意可知 A 1(8,4)，A 2(18,6)，A 3(32,8)，

∴k A 1A 2＝6－418－8＝15，k A 2A 3＝8－632－18＝1

7.

∵k A 1A 2≠k A 2A 3，

∴顶点A 1，A 2，A 3不在同一条直线上． (2)证明：由题意可知，顶点A n 的横坐标 x n ＝d ＋a 1＋a 2＋…＋a n －1＋12a n ＝2(n ＋1)2

，

顶点A n 的纵坐标y n ＝1

2

a n ＝2(n ＋1)．

∵对任意正整数n ，点A n (x n ，y n )的坐标满足方程y 2＝2x ，

∴所有顶点A n 均落在抛物线y 2

＝2x 上．

(3)解：方法一：由题意可知，顶点A n 的横、纵坐标分别是 x n ＝d ＋12a ＋(n －1)a ＋1

2(n －1)2d ，

y n ＝1

2

[a ＋(n －1)d ]，

消去n －1，可得x n ＝2

d y 2n ＋d ＋a (d －a )2d

.

为使得所有顶点A n

均落在抛物线y 2

＝2px (p >0)上，则有???

d 2

2p d ＋a (d －a )

2d

＝0，

解得d ＝4p ，a ＝8p .

∴a 、d 所应满足的关系式是a ＝2d .

方法二：点A 1

(x 1

，y 1

)的坐标为???

x 1＝d ＋12

y 1

＝1

2a

∵点A 1(x 1，y 1)在抛物线y 2＝2px 上， ∴p ＝y 21

2x 1＝a 24(2d ＋a )

又点A 2

(x 2

，y 2

)的坐标为???

x 2＝32a ＋32

d

y 2

＝1

2(a ＋d )

且点A 2(x 2，y 2)也在抛物线上，

∵a >0，d >0，把点A 2(x 2，y 2)代入抛物线方程，解得a ＝2d . 因此p ＝d 4，∴抛物线方程为y 2＝d

2

x .

又???

x n ＝d ＋12a ＋(n －1)a ＋12(n －1)2

d ＝(n ＋1)22

d

y n

＝1

2[a ＋(n －1)d ]＝n ＋12

d

∴所有顶点A n (x n ，y n )落在抛物线y 2＝d

2上，

∴a 、d 所应满足的关系式是a ＝2d .

10、（Ⅰ）设双曲线G 的渐近线的方程为：y kx =，则由渐近线与圆2210200x y x +-+=

=．

所以，12

k =±

．

双曲线G 的渐近线的方程为：12y x =±

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可设双曲线G 的方程为：224x y m -=．

把直线l 的方程()144

y x =+代入双曲线方程，整理得2

381640x x m ---=．

则8164, 3

3

A B A B m

x x x x ++=

=-

（＊）

∵ 2

PA PB PC ?=，,,,P A B C 共线且P 在线段A B 上，

∴ ()()()2

P A B P P C

x x x x x x --=-，

即：()()4416B A x x +--=，整理得：()4320A B A B x x x x +++= 将（＊）代入上式可解得：28m =． 所以，双曲线的方程为

2

2

128

7

x

y

-

=．

（Ⅲ）由题可设椭圆S

的方程为：(2

22

128

x

y a a

+

=>．下面我们来求出S 中垂直于l 的

平行弦中点的轨迹．

设弦的两个端点分别为()()1122,,,M x y N x y ，M N 的中点为()00,P x y ，则

22

11

22

22

22128128

x y a

x y a ?+=????+=??． 两式作差得：

()()()()

121212122

028

x x x x y y y y a

-+-++

=

由于

1212

4y y x x -=--，1201202,2x x x y y y +=+=

所以，

002

4028

x y a

-

=，

所以，垂直于l 的平行弦中点的轨迹为直线2

4028

x y a

-=截在椭圆S 内的部分．

又由题，这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以，

2

1112

2

a

=

．所以，256a =，

椭圆S 的方程为：2

2

128

56

x

y

+

=．