数学竞赛专题讲座 十二、多面体与旋转体

十二、多面体与旋转体

知识、方法、技能

多面体与旋转体的概念和性质是解决其计算与证明的基础，因此对概念的深刻，对性质、公式和定理要熟练掌握．

I ．柱体

柱体包括梭往和圆柱． 1．柱体侧面积和体积

侧面积公式：S cl =（c 为直截面周长，l 为侧棱长） 体积公式: V Sh =（S 为底面积，h 为高）. 2．四梭柱

四棱柱

?????→?底面是平行四边形平行六面体????→?侧棱垂直于底面

直平行六面体

???→

?底面是矩形

长方体

????→?底面是正方形正四棱柱???→?棱长都相等

正方体.

(l)长方体的性质

①长方体的四条对角线长度相等，它们交于一点且在该点互相平分． ②长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和．

③长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别是,,αβγ，则

1cos cos cos 2

2

2

=++γβα．

④长方体的一条对角线与过一个顶点的三个面所成的角分别是123,,θθθ，则

12

2

2

23cos cos cos 1θθθ++=．

(2)正方体的性质

①正方体的对角线和与它不相交的面对角线垂直．

②正方体过同一条对角线的三个对角面两两所成的小于90 的二面角都等于60 ． II ．锥体（锥体包括棱锥和圆锥） 1．锥体的侧面积和体积 正棱锥的侧面积公式：'

12

S ch =（c 是底面周长，'

h 是斜高；

圆锥的侧面积公式：12S cl =（c 是底面周长，l 是母线长）；

锥体的体积公式：13V Sh =

(S 为底面积，h 为高）．

2．四面体

四面体是立体几何中最基本的，也是最重要的几何体，它相当于平面几何中三角形所处的地位．四面体与三角形有着相类似的性质．

四面体的性质：

①连接四面体对棱中点的线段交于一点，且这点平分这些线段． ②连接四面体任一顶点与它对面重心的线段交于一点G ，且这点将所在线段分成的比为3:1，G 称为四面体重心．

③四面体的二面角的平分面粉对棱所成的比等于形成这个二面角的两个侧面的面积之比．

④每个四面体都有内切球，球心I 是四面体的各个二面角的平分面的交点，此点到各面的距离等于球半径．

设四面体四个面的面积分别为1234,,,S S S S , V 表示它的体积，r 表示内切球的半径,

1234,,,h h h h 分别表示各顶点到对面所作的高，有

1234

3V r S S S S =

+++，

1

2

3

4

11111r

h h h h =

+

+

+

．

⑤每个四面体都有外接球，球心O 是各条棱的中垂面的交点，此点到各个顶点的距离等于球半径，

（2）直角四面体及其性质

同一顶点上的三条棱两两垂直的四面体称为直角四面体． 直角四面体的性质：

①直角四面体中，不含直角的面是锐角三角形，其面积S =其

中,,a b c 为互为垂直的三条棱长．

②直角四面体六条棱长的和l 为定值时，直角四面体的体积的最大值为3

7162

l ．

③直角四面体的内切球半径为1234

3S S S S V r a b c S

++-=

=++．

其中4S 表示锐角三角形的面积，123,,S S S 表示三个直角三角形的面积，S 表示表面积．

④直角四面体的外接球半径为R =

．

⑤直角四面体的对棱中点连线长相等，且等于外接球半径． (3)等腰四面体及其性质

对棱都相等的四面体称为等腰四面体．

以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体 等腰四面体的性质：

①等腰四面体各面为全等的锐角三角形，且各面的面积相等．

②等腰四面体的体积为V =

其中,,a b c 分别为三组对棱棱长，2222

1()2

k a b c =

++．

③等腰四面体中，三个侧面间的二面角的余弦值的和等于1．

④等腰四面体中，三个侧面间二面角的正弦值满足：sin sin sin a b c

αβγ==

． ⑤等腰四面体的对棱中点连线长,,a b c d d d 为

a b c d d d =

=

=

⑥等腰四面体的对棱中点的连线共点，互相垂直平分对棱的公垂线．

⑦等腰四面体的外接球的球心、内切球的球心、重心（四面体顶点和对面重的交点）重合．

⑧等腰四面体的内切球半径为r =

其中，1()2

p a b c =

++．

⑨等腰四面体的外接球半径为R =

⑩等腰四面体四条中线（四面体顶点和对面重心连接的线段）长相等为

m =

○

11等腰四面体的四条高相等，且等于内切球半径r 的四倍，即4h r =． (4)正四面体及其性质

每个面都是全等的正三角形的正三棱锥称为正四面体．

对棱都垂直的等腰四面体是正四面体． 两组对棱垂直的等腰四面体是正四面体． 对棱都垂直相等的四面体是正四面体．

对棱中点连线都垂直相等的四面体是正四面体． 正四面体的性质：

①正四面体ABCD 中，过顶点D 的高DE 的中点是O ，那么四面体OABC 是直角四面体．

②正四面体的全面积是棱长平方的12

倍．即2

S =，

3

12

V a =

．

③正四面体两侧面间的二面角为arcsin 3

．

④正四面体各棱中点是正八面体的六个顶点．

⑤正四面体对棱中点连线是对棱的距离为棱长的

2

倍，即2

d a =

．

⑥正四面体的内切球，外接球的球心相同，半径分别为,12

4r R ==

．

III.台体（台体包括棱台和圆台）

台体是锥体被一个平行锥体的底面的平面截得而成，因此在研究台体问题时，往往需要将之恢复成锥体．

2.台体的侧面积和体积

正棱台的侧面积公式：'

'

1()2

S c c h =+，（',c c 分别是上、下底面周长，'

h 是斜高）．

圆台的侧面积公式：'

1()2S c c l =+，（'

,c c 分别是上、下底面周长，l 是斜高）．

台体的体积公式：'

1()3V S S h =

+

（'

,S S 分别是上、下底面面积，h 是高）．

IV ．球体

1．球体的表面积和体积

球的表面积2

4S R π=． 球的体积3

43

V R π=

，其中R 为球的半径．

2．球面两点间的距离

过球面两点大圆所夹劣弧的长度，称为球面两点间的距离．球面上任意两点距离是球面距离．

设半径为R 的球上有两点M 、N ，它们的纬度差为α，经度差为β，则MN 的球面距离为2arcsin(cos sin

)2

l R β

α=．

3．多面体的内切球

若多面体有内切球，则内切球的半径r ，表面积S ，体积V 之间有关系式13

V Sr =．

赛题精讲

例1.已知四面体ABCD 中，AB =m, CD=n ，AB 与CD 间距离为h ，AB 与CD 所成角为θ，求该四面体的体积．

【思路分析】 已知AB 与CD 所成角为θ，将AB 平移得到该角，从而又补出一个四面

体．

【解】如图所示，

过C 作CE||AB ，并使CE=AB ，连接AE 、ED ，∠ECD 是AB 与CD 所成角，即∠ECD=θ．

设MN 是AB 与CD 的公垂线段，由已知MN=h. ∵AB||CE,M N ⊥AB ，

∴AB||面CDE,MN ⊥CE, ∴MN ⊥CD, MN ⊥CE,

∴MN ⊥面CDE ．

因此MN 的长就是AB 到平面CDE 的距离，也就是A 点到平面CDE 的距离，即三棱锥A-CDE 的高．

∴11sin 3

6

A C D E C D E V S h m nh θ-?=

?=

，

∵ABCE 是平行四边形，∴ABC AEC S S ??=．

∴三棱锥D-ABC 与D-ACE 有相等的底面积且高相同． ∴D ABC D AC E V V --=． 故四面体ABCD 的体积1sin 6

V m nh θ=

．

【评述】本题采用补形的方法，将几何体进行转换，这是求几何体体积的重要方法，另外，本题可采用分割法：如图中连接CM 、DM ，将四面体ABCD 分成两个三棱锥：A-CMD 、 B-CMD 求体积．

例2.证明：正四面体各棱在任一平面上的射影的平方和为定值．

证明 如图所示，设正四面体的棱长为a ，过每条棱作对棱的平行平面，构成一正方体，

其棱长为b =

设正方体自A 引出的三条棱与平面M 的垂线所形成的角分别为

,,αβγ．则有1cos cos cos 2

22=++γβα.

（这是因为：作AE 与平面M 垂直且长度为1．以AE 为对角线作一长方体，长宽高分别与正方体的三条棱平行，则它们分别等于

c o s ,c o s ,c o s αβγ，故1cos cos cos 2

22=++γβα.)

因此正方体12条棱在平面 M 上的射影的平方和为定值，即

22222

4(sin sin sin )8b b αβγ++=.

正方体每个面的射影为平行四边形，所以这个面的对角线的射影的平方和等于四边射影的平方和，从而在正方体各面取一条对角线，它们的射影的平方和等于各棱射影的平方和2

8b ．

因此，正四面体各棱在任一平面 M 上的射影的平方和为222

84b a ==.

例3.正三棱锥有一个半径为R 的内切球，求所有这样的正三棱锥中的体积最小的正三棱锥的体积．

【思路分析】建立正三棱锥体积的函数． 【解】 如图，设正三棱锥P 一ABC 的底面边长为a ，高为h , PH ⊥底面ABC ，Ph=h ，内切球球心为O, 则O ∈PH ．

连接AH 并延长交BC 于D ，连PD.

∵H 是正△ABC 的中心，∴AH ⊥BC, PD ⊥BC, D 是BC 的中点，在对称面PAD 中，内切球轴截面⊙O 切AD 于H ，切PD 于E ，连DO ，

则OD 平分∠

6

．

设∠ADP=2α，∠ODH=∠ODE=α,且(0,

)4

π

α∈．

在Rt △OHD 中，cot H D O H α=?,

∴cot a α=?． 在Rt △PHD 中，tan 2PH h H D α==?,

∴cot tan 2cot tan 26h R αααα=??=??．

∴2

33

1cot tan 23

4

V h αα==

??

3

2

tan 1tan tan (1tan )

(

)

2

αα

αα=

≥=+--．

当且仅当tan 2

α=

时，

3

V =．

故正三梭锥体积的最小值为3

．

【评述】 发现内切球与几何体之间的关系是关键，建立函数是求最值的常用方法． 例4.定直线l 1⊥平面α,垂足为M ，动直线l 2在平面α内过定点N ，但不过定点M .MN =a 为定值，在l 1、l 2上分别有动线段AB =b ,CD =c .b 、c 为定值.问在什么情况下四面体ABCD 的体积最大？最大值是多少？

分析:在四面体ABCD 的基础上，补上一个三棱锥B-MCD . 解:如图，连结MC 、MD ，则

∵AM ⊥平面MDC ，BM ⊥平面MDC ∴V A-BCD =V A-MDC -V B-MDC =3

1S △MDC ·(AM-BM )

=

3

1S △MDC ·AB

设M 到CD 的距离为x ,则S △MDC =2

1CD ·x =

2

1cx ,

∴V A-BCD =3

1×

2

1cx ·b =6

1bcx

∵x ≤MN =a ,∴当x =a 时，

即MN 为l 1与l 2的公垂线时，V A-BCD 最大，它的最大值为6

1abc .

点评 x ≤MN ,包含x =MN ,也包含x

A

C

E P

D

O

α

【解】：作PA BD ⊥于D ，连DC 得截面BDC ?．再作⊥PO 底面ABC 于O ，则O 为正三角形ABC 的中心，连AO 并延长交BC 于E ，E 必为BC 中点，且BC AE ⊥，连

DE ，

则BC PA ⊥，PAO ∠是PA 与底面ABC 所成的角，所以α=∠PAO ．因截面DBC ?的底边a BC =为一定值。要截面面积最小，只需BC 上的高DE 最小（如右图）．

⊥PA 截面DBC ，?DE 平面DBC ，DE PA ⊥∴. 又DC DB =，则BC DE ⊥，所以DE 为BC 与PA 的距离，即DE 是截面DBC ?的BC 边上最短的高，而BC 为定值，此时截面面积最小，且απ

-=

∠2

DEA ．

ααsin 4

3sin 2

32

2

12

a a a DE a S DBC =

?

=??=

∴?．

【评注】：在分析问题时，我们要透过现象看本质，在几何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，要分析透彻，明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的最值．

例6.如图，过半径为R 的球面上一点P 作三条两两垂直的弦PA 、PB 、PC ，(1)求证：PA 2+PB 2+PC 2为定值；(2)求三棱锥P —ABC 的体积的最大值.

【分析】：先选其中两条弦PA 、PB ，设其确定的平面截球得⊙O 1，AB 是⊙O 1的直径，连PO 1并延长交⊙O 1于D ，PADB 是矩形，PD 2＝AB 2＝PA 2+PB 2，然后只要证得PC 和PD 确定是大圆就可以了.

【解】 (1)设过PA 、PB 的平面截球得⊙O 1，∵PA ⊥PB ， ∴AB 是⊙O 1的直径，连PO 1并延长交⊙O 1于D ，则PADB 是矩形，PD 2＝PA 2+PB 2.

设O 为球心，则OO 1⊥平面⊙O 1，

∵PC ⊥⊙O 1平面，∴OO 1∥PC ，因此过PC 、PD 的平面经过球心O ，截球得大圆， 又PC ⊥PD.∴CD 是球的直径.

故PA 2+PB 2+PC 2＝PD 2+PC 2＝CD 2＝4R 2定值.

(2)设PA 、PB 、PC 的长分别为x 、y 、z ，则三棱锥P —ABC 的体积V ＝

6

1xyz ，

V 2

＝

36

1x 2y 2z 2

≤

36

1(

3

2

22z

y x ++)3

＝

36

1·

27

646

R ＝

5

43

2R 6.

∴V ≤

27

34R 3

.即 V 最大＝

27

34R 3

.

【评析】：定值问题可用特殊情况先“探求”，如本题(1)若先考虑PAB 是大圆，探求得定值4R 2可为(1)的证明指明方向.球面上任一点对球的直径所张的角等于90°，这应记作很重要的性质.

例7.求半径为R 的球内接圆锥侧面积的最大值

.

解.设圆锥顶角为2α，则母线l=2Rcos α，底面圆半径r=Rsin α，则 圆锥侧面积. S=πγl= 2πR 2sin2αcos α= 4πR 2sin αcos 2α，其中令y=sin αcos 2α，则 y 2=sin 2αcos 4α=sin 2α(1-sin 2 α)2 =

2

1·2sin 2α·(1-sin 2α)(1-sin 2

α)

≤2

1〔

3

)

sin

1()sin

1(sin

22

2

2

a a a -+-+〕3=

27

4

当2sin 2

α=1-sin 2

α即sin α=3

3时，等号成立，

∴y ≤

9

32 ∴S ≤

9

38πR 2

即圆锥侧面积的最大值是

9

38πR 2.

例8.已知AA ′B ′B 是圆柱的轴截面，C 是上底面圆周上不同于A ，B 的一点.①求证平面BA ′ C ⊥平面AA ′C ；②当棱锥A ′-ABC 的体积V ′和圆柱的体积V 的比是1：23，求 二面角B-AA ′-C 的大小；③设A-A ′B-C 为α，又∠CAB=β，∠CA ′B=γ，求证sin

α=γ

βcos cos .

证明.①略.

②易知∠BAC 是二面角B-AA ′-C 的平面角，设圆柱底半径为r ，高为h ，∠CAB=β，则V A ′-ABC =

3

1·S △ABC ·h=

3

1·2

1·2sin β·2rcos β·h=

3

1r 2

s

in 2β又圆柱体积V=πr 2

h ，由V A ′-ABC ：V=1:23，得sin2β=

2

3，2β

=60°或120°，故二面角B-AA ′-C ，为60°或30°.

③由①得平面BA ′⊥平面AA ′C ，作AE ⊥A ′C ，则AE ⊥平面BA ′C ，作EH ⊥A ′B ，连结AH ，可 知∠AHE 是二面角A-A ′B-C 的平面角，∠AHE=α，sin α=

AH

AE

，其中AE= AC ·cos

∠AA ′C=2rcos β·C

A AA ''

；AH=AB ·cos ∠AA ′B=2r ·C A AA r r

C A AA r B A A A ''??=''?=''γcos 2cos 2，

∴

γ

βcos cos =

AH

AE ，即sin α=

γ

βcos cos .

例9．在北纬45

圈上有,A B 两点，设该纬度圈上,A B 两点的劣弧长为

4

R （R 为地球半径），求,A B 两点间的球面距离.

解：设北纬45

圈的半径为r ，则4r R =，设O '为北纬45

圈的

圆心，A O B α'∠=，则4

r R α=，2

4

R R α=， 2

π

α=

，所以AB R ==，在A B C ?中，3

A O

B π

∠=，

所以，,A B 两点的球面距离等于

3

R π

.

说明：要求两点的球面距离，应先由已知条件求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进一步求出这两点的球面距离.

例10．一个圆锥形漏斗口的内周长为8πcm ．漏斗深9.6cm ，将一个球放进漏斗里，球的最高点比漏斗口所在平面高出2.4cm ，求球的体积.

【解前点津】作出轴截面图. 【规范解答】作共同的轴截面图(如图)，得等腰△PAB 和圆O ，球的最高点C ，球心O 和圆锥顶点P 三点共线，D =AB ∩PC ,依题设：

PD =9.6,CD =2.4,AD =

4

28=π

π.

过C 作A 1B 1∥AB 与PA 、PB 的延长线分别交于点A 1、B 1，则A 1B 1与圆O 相切于C . 且有

25

.16

.9121===PD

PC AD

C A .

∴A 1C =1.25AD =5.P A 1=.132

21=+PC

C A

记PA 1与圆O 的切点为E ，则A 1C =A 1E ， 且△PEO ∽△PCA 1，得C

A OE PC

PE 1=

,PE =P A 1-A 1E =13-5=8,

∵OE =

3

101=?PC

C A PE ,即得球半径R =3

10,所以它的体积为81

40003

43

π=

π=

R

V

(cm 3

).

【解后归纳】作出圆锥与球共同的轴截面，则圆锥与球的重要几何量与几何关系都在这一平面图形上充分展现出来了，通过对此平面图形的分析，即可求出球半径，从而求得球体积.

例11．（1990年联赛题）设棱锥M-ABCD 的底面是正方形，且MA=MD,MA ⊥AB 。如果△AMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.

解：⊥∴⊥⊥AB MA AB AD AB ,, 平面MAD ， 由此，面⊥MAD 面AC .记E 是AD 的中点， 从而AD ME ⊥.⊥∴ME 平面AC ，EF ME ⊥

设球O 是与平面MAD 、平面AC 、平面MBC 都相切的球.

如图2，得截面图MEF ?及内切圆O .不妨设∈O 平面MEF ，于是O 是MEF ?的内

心.设球O 的半径为r ，则MF

EM EF S r MEF

++=?2，

设a EF AD ==,1=?AMD S .2

2

2,2??

? ??+=

=∴a a MF a

EM ,

122

2222222

2

-=+≤

?

?

? ??+++

=

a a a a r ,当且仅当a

a 2=

，即2=a 时，等号成立.

∴当2==ME AD 时，满足条件的球最大半径为12-.