初中数学竞赛专题辅导--函数图像

初中数学竞赛专题选讲

函数的图象

一、内容提要

1. 函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量x 为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵

坐标的点的集合，叫做函数y=f(x)的图象.

例如一次函数y=kx+b (k,b 是常数，k ≠0)的图象是一条直线

① l 上的任一点p 0(x 0,y 0) 的坐标，适合等式y=kx+b, 即y 0=kx ② 若y 1=kx 1+b ，则点p 1(x 1,y 1) 在直线l 上.

2. 方程的图象：我们把y=kx+b 看作是关于x, y 的二元

一次方程kx －y+b=0, 那么直线l 就是以这个方程的解为坐标

的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象.

二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c 是常数，a ≠0,b ≠0) 叫做直线方程. 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象. 例如：

二元二次方程y=ax 2+bx+c(a ≠0) (即二次函数)的图象是抛物线；二元分式方程y=

(k ≠0) (即反比例函数)的图象是双曲线. 3. 函数的图象能直观地反映自变量x 与函数y 的对应规律. 例如：

① 由图象的最高，最低点可看函数的最大，最小值；

② 由图象的上升，下降反映函数 y 是随x 的增大而增大(或减小)；

③ 函数y=f(x)的图象在横轴的上方，下方或轴上，分别表示y>0,y<0,y=0. 图象所对应

的横坐标就是不等式f(x)>0,f(x)<0 的解集和方程f(x)=0的解.

④ 两个函数图象的交点坐标，就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公

共解.等等

4. 画函数图象一般是：

①应先确定自变量的取值范围. 要使代数式有意义，并使代数式所表示的实际问题有意义，还要注意是否连续，是否有界.

②一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)，所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点).

③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解析式. 二、例题

例1. 右图是二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)，

试决定a, b, c 及b 2－4ac 的符号. 解：∵抛物线开口向下， ∴a<0.

∵对称轴在原点右边，∴x=－

2>0且a<0, ∴b>0. ∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上， ∴截距c>0. ∵抛物线与横轴有两个交点， ∴b 2－4ac>0.

例2. 已知：抛物线f ：y=－(x －2)2+5.

试写出把f 向左平行移动2个单位后，所得的曲线f 1的方程；以及f 关于x 轴对称的曲线f 2 的方程. 画出f 1和f 2的略图，并求：

（1） x 的值什么范围，曲线f 1和f 2都是下降的；

（2） x 的值在什么范围，曲线f 1和f 2围成一个封闭图形；

（3）求在f 1和f 2围成封闭图形上，平行于y 轴的线段的长度的最大值.

（1980年福建省中招试题）

解：f 1 ：y=－x 2+5 (由顶点横坐标变化确定的)， f 2 ：y=(x －2)2－5 (由开口方向相反确定的). （1）当x ≥0时，f 1下降，

当x ≤2时，f 2下降，

∴当0≤x ≤2时，曲线f 1和f 2都是下降的.

（2）求两曲线的交点横坐标，

即解方程组?????--=+-=.

5)2(52

x y x y ，

x 2－2x －3=0 . ∴x=－1；或x=3.

∴当－1≤x ≤3时，曲线f 1和f 2围成一个封闭图形.

(3)封闭图形上，平行于y 轴的线段的长度，就是对应于同一个横坐标，两曲线上的点的纵坐标的差.

在区间 –1≤x ≤3内，

设f 1 上的点P 1(x,y 1), f 2 上的点P 2(x,y 2)，求y 1－y 2的最大值，可用配方法： y 1－y 2 ＝ (－x 2+5)－[ (x －2)2－5]

＝－2x 2+4x+6 ＝－2(x －1)2+8.

∵－2<0， ∴y 1－y 2有最大值.

当x=1 时，y 1－y 2的值最大是8. 即线段长度的最大值是8. 例3. 画函数y=21-++x x 的图象.

解：自变量x 的取值范围是全体实数，下面分区讨论：当x<－1 时， y=－(x+1)－(x －2)=－2x+1；当－1 ≤x<2时， y=x+1－(x －2)=3 ；当x ≥2时， y=x+1+x －2=2x －1.

即y=21-++x x =??

??≥-<≤--<+-).2(12)21(3)1(12x x x x x ；；

∴ 画函数y=21-++x x 的图象如下图：

例4. 画方程[x]2+[y]2=1 的图象， [m] 表示不超过m 的最大整数.

(1985年徐州市初中数学竞赛题).

解：∵[x]2≥0，且 [y]2=1－[x]2≥0，

∴[x]2≤1 . ∴ 0≤[x]2≤1.

∵[m] 表示不超过m 的最大整数， ∴当[x]2=0?[x]=0?0≤x ≤1 .

当[x]2

=1?[x]=?

??<≤<≤--).21(1)01(1x x ，

自变量x 的取值范围是：－1≤x<2.

如图阴影部分的四个正方形，就是所求方程的图象.

只包括各正方形左、下边界，不包括各正方形右、上边界.

例5. 直线y=x+m 与双曲线y=

在第一象限相交点A ，S Rt △AOB =3. ① 求m 的值；

②设直线与x 轴交于点C ，求点C 的坐标； ③求S △ABC .

解： ①设A 坐标为 (x, x+m).

∵ S △AOB =

OB ×BA. ∴???

????=

++=x m m x m x x )(2

整理得 ?????=+=-+m

mx x mx x 22

∴m=6

② ∵直线与x 轴交于点C.

把y=0 代入y=x+6 得x=－6, ∴点C 的坐标是(－6，0) ③∵直线y=x+m 与双曲线y=

在第一象限相交点A ，解方程组??

??=+=x y x y 6

6 得?????+=+-=153153y x 即点A 的坐标是 (－3+15，3+15).

∴BC=1536+-+-=3+15 ∴S △ABC =

(3+15)(3+15)=12+315. 例6.

选择题(只有一个正大确的答案).

①函数y=kx+k 与y=

在同一坐标系中的图象的大体位置是 ( )

② 函数 y=1－2x x - 的图象是( )

解：①常数k 是同一个值，.双曲线y=

在一、三象限，k>0, 那么y=kx+k 中，当k>0时，直线上升且在y 轴上的截距为正. 所以应选 (D)；

②注意到y=1－2x x -中，当x=0和x=1时 y 有最大值1，故选 (A). 三、练习 1. 填空：

① 横坐标为－2的点的集合，记作直线＿＿＿＿＿，纵轴记作直线＿＿＿＿＿＿，横轴记作直线＿＿＿＿＿，横坐标与纵坐标互为相反数的点的集合是直线＿＿＿＿＿＿，经过一、三象限，平分两坐标轴夹角的直线记作方程＿＿＿＿＿＿＿.

② 点P （x, y ）关于横轴的对称点P 1的坐标是（），点P 关于原点的对称点P 2的坐标是（）.

③ f ：y=3(x －2)2+5,关于横轴对称的抛物线f 1记作＿＿＿＿＿＿＿ f 关于原点对称的抛物线f 2记作＿＿＿＿＿＿＿.

④ A （1，3）关于直线y=x 的对称点A ，

的坐标是（）.

点B （－2，3）关于直线y=－x 的对称点B ，

的坐标是（）. 2. 根据图象位置判断指定的常数的符号

① 直线y=kx+b 经过二、一、四象限，则k,b 的符号是＿＿＿＿＿＿ ② 抛物线y=ax 2+bx+c 的位置，如图所示，试确定下列代数式的符号

a__, －

2______,b______,c_______, b 2－4ac______,

a b ac 442

-______ a

b b 242---_____

3. 选择题（只有一个正确的答案）

（1）下图（1）是一次函数px+qy+r=0的图象，下列条件正确的是（）. （A ）p=q, r=0 . (B) p=－q, r=0. (C)p=q, r=1. (D) p=－q, r=1. （2）下图（2）是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，如下答案哪个正确？（）（A ）a+b+c=0. （B ）a+b+c<0. （C ）a+b+c>0. （D ）a+b+c 值不定.

(1)

（3）二次函数y=a(x+m)2+n 中，a>0 , m>0, n>0 它的图象（）

(4)两个一次函数y=mx+n y=nx+m 且mn<0, 那么它们在同一坐标系内的图象大致为（）

（D ）

（5）在同一坐标系内，y=ax+b 与y=ax 2+b 的图象大体位置是（）

(6)已知函数y+ax+b 和y=ax 2+bx+c 那么它们的图象是（）

（1983年福建省初中数学竞赛题）

4. 画下列函数的图象

①y=x

x 2

； ②y=2x ； ③y=(x )2； ④ y=－x .

5. 有m 部同样的机器，同时开始工作，需要m 小时完成某项任务.设由x 部机器完成某一任务，求所需的时间y(小时)与机器台数x(x 为小于m

的整数)的函数关系，并画出当m=5时函数的图象.

画如下方程、函数的图象

①2=+y x ；②y=x 2－2|x|－3.

7. 这是一张追及图看图回答： ① 谁追及谁？

② 谁早出发，早几小时？

③ 甲、乙在这段路程速度各多少？

y 甲，y 乙和时间x 的函数

8. 如图，抛物线L 1：y=ax 2+2bx+c 和抛物线L 2：y=(a+1)x 2+2(b+2)x+c+3 的位置如图所示.①.判断哪条抛物线经过A 、B 、C 三点，说明理由； ②.求出点B 和点C 的横坐标；

③.若AB ＝BC ，OC ＝OD ，求a, b, c 的值 .

9. 坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的格点(整点)，试在二次函数 y=

910102+-x x

年全国初中数学联赛题)

（8）

练习题参考答案

1. ①x=－2, x=0, y=0, y=－x, y=x ； ②(x,y),(－x,－y)；

③y=－3(x －2)2－5, y=－3(x+2)2－5 ④(3，1)，(－3，2) 2. ①k<0, b>0. ②正，负，正，负，负，正，负.

3. ①(A)， ②(B)， ③(B)， ④(C)， ⑤(D)， ⑥(C)

4. ①∵x ≠0，∴图象不以过原点；② y ≥0；③x ≥0；④ y ≤0.

5. y=x

m 2

(x 是正整数x ≤m=5).

6. （如图）

7. ①乙追及甲； ②甲先1小时； ③时速甲4、乙5千米；

④乙用4小时追上甲先走的4千米 ⑤y 甲=4x, y 乙=5x 8. ①∵由图象a,a+1异号，∴L 2过A ，B ，C 三点. ②－3，－1. ③－31，0，3

1. 9. (2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)，(－3，3)，(－6，6).

由x 2－x+18≤10x .

当x ≥0时，x 2－x+18≤10x, x 2－11x+18≤0, (x －2)(x －9)≤0，

2≤x ≤9, 这时，有4个整数点：(2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)；当x<0时，x 2－x+18≤－10x, x 2＋9x+18≤0，（x+6）(x+3)≤0，

－6≤x ≤－3, 这时有两个整数点：(－3，3)，(－6，6).

初中数学竞赛常用解题方法(代数)

初中数学竞赛常用解题方法（代数）一、配方法例1练习：若2 ()4()()0x z x y y z ----=，试求x+z 与y 的关系。二、非负数法例21 ()2 x y z =++. 三、构造法（1）构造多项式例3、三个整数a 、b 、c 的和是6 的倍数.，那么它们的立方和被6除，得到的余数是( ) (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 不确定的（2）构造有理化因式例4、已知(2002x y =. 则2 2 346658x xy y x y ----+=___ ___。（3）构造对偶式例5、已知αβ、是方程2 10x x --= 的两根，则4 3αβ+的值是___ ___。（4）构造递推式例6、实数a 、b 、x 、y 满足3ax by +=,2 2 7ax by +=,3 3 16ax by +=,4 4 42ax by +=.求5 5 ax by +的值___ ___。（5）构造几何图形例7、（构造对称图形）已知a 、b 是正数，且a + b = 2. 求u =___ ___。练习：（构造矩形）若a ，b 形的三条边的长，那么这个三角形的面积等于___________。四、合成法例8、若12345,,,x x x x x 和满足方程组

123451234512345123451234520212 224248296 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=++++=++++=++++=++++= 确定4532x x +的值。五、比较法（差值比较法、比值比较法、恒等比较法）例9、71427和19的积被7除，余数是几？练习：设0a b c >>>，求证：222a b c b c c a a b a b c a b c +++>. 六、因式分解法（提取公因式法、公式法、十字相乘法） 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+ 例10、设n 是整数，证明数3 231 22 M n n n =++为整数，且它是3的倍数。练习：证明993 991993 991+能被1984整除。七、换元法（用新的变量代换原来的变量）例11、解方程2 9(87)(43)(1)2 x x x +++= 练习：解方程 11 (1) 11 (1x) x =. 八、过度参数法（常用于列方程解应用题）例12、一商人进货价便宜8%，售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的 %x 增加到(10)%x +，x 等于多少? 九、判别式法（24b ac ?=-判定一元二次方程20ax bx c ++=的根的性质）例13、求使2224 33 x x A x x -+=-+为整数的一切实数x. 练习：已知,,x y z 是实数，且 2 2 2 212 x y z a x y z a ++=++=

初中数学竞赛重要定理公式(代数篇)

初中数学竞赛重要定理、公式及结论代数篇【乘法公式】完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2，立方和（差）公式：(a±b)(a2 ?ab+b2)=a3±b3 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3 (a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4） (a±b)5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3＋5ab4±b5） ………… 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n-1- a2n-2b+a2n-3b2- … ＋ab2n-2- b2n-1)=a2n-b2n(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2n-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地：（a-b）(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…＋ab n-2+b n-1)=a n-b n 公式的变形及其逆运算由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab 由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b) 由公式的推广③可知：当n为正整数时 a n- b n能被a-b 整除，a2n+1+b2n+1能被a+b整除，a2n-b2n能被a+b 及a-b整除。重要公式（欧拉公式） (a+b+c)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)=a3+b3+c3-3abc 【综合除法】一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式f(x)除以除式g(x)，(g(x)≠0) 得商式q(x)及余式r(x)时，就有下列等式： f(x)=g(x)q(x)-r(x) 其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x)=0。当r(x)=0时，就是f(x)能被g(x)整除。【余式定理】多项式f(x)除以x-a所得的余数等于f(a)。【因式分解方法】拆项、添项、配方、待定系数法、求根法、对称式和轮换对称式等。【部分分式】把一个分式写成几个简单分式的代数和，称为将分式化为部分分式，它是分式运算的常用技巧。分式运算的技巧还有：换元法、整体法、逐项求和、拆项求和等。【素数和合数】2是最小的素数，也是唯一的一个既是偶数又是素数的数．

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第26讲含参数的一元二次方程的整数根问题

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方法．例1 m是什么整数时，方程 (m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0 有两个不相等的正整数根．解法1首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以 m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2．这时x1=6，x2=4．解法2首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即 m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是

这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法．例2 已知关于x的方程 a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．解因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程 mx2-(m-1)x＋1＝0 有有理根，求m的值．解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令 Δ=(m-1)2-4m＝n2，其中n是非负整数，于是 m2-6m+1=n2，

初中数学竞赛专题辅导因式分解一

因式分解多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2． (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 ＝(a-b)2+2c(a-b)+c2 =(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2 (4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5)

初中数学函数三大专题复习

初中数学函数三大专题复习目录专题一一次函数和反比例函数 (1) 一、一次函数及其基本性质 (1) 1、正比例函数 (1) 2、一次函数 (1) 3、待定系数法求解函数的解析式 (2) 4、一次函数与方程、不等式结合 (3) 5、一次函数的基本应用问题 (5) 二、反比例函数及其基本性质 (7) 1、反比例函数的基本形式 (7) 2、反比例函数中比例系数k的几何意义 (8) 3、反比例函数的图像问题 (9) 4、反比例函数的基本应用 (11) 专题二二次函数 (13) 一、二次函数的基本性质以及二次函数中三大参数的作用 (13) 1、二次函数的解析式及其求解 (13) 2、二次函数的基本图像 (14) 3、二次函数的增减性及其最值 (16) 4、二次函数中三大参数的和函数图像的关系 (16) 5、二次函数和不等式、方程的结合 (18) 二、二次函数的基本应用 (19) 1、二次函数求解最值问题 (19) 2、二次函数中的面积问题 (21) 3、涵洞桥梁隧道问题 (24) 4、二次函数和圆相结合 (26) 三、二次函数中的运动性问题 (27) 1、动点问题 (27) 2、折叠、旋转、平移问题 (33) 专题三锐角三角函数以及解直角三角形 (36) 1、锐角三角函数的基本定义及其计算 (36) 2、锐角三角函数的基本应用 (37)

专题一一次函数和反比例函数一、一次函数及其基本性质 1、正比例函数形如()0≠=k kx y 的函数称为正比例函数，其中k 称为函数的比例系数。（1）当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；（2）当k<0时，直线y=kx 经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小。 2、一次函数形如b kx y +=的函数称为一次函数，其中k 称为函数的比例系数，b 称为函数的常数项。（1）当k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；y 随x 的增大而增大；（2）当k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限；y 随x 的增大而增大；（3）当k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限；y 随x 的增大而减小；（4）当k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限；y 随x 的增大而减小。例题1：在一次函数y ＝(m －3)x m -1＋x ＋3中，符合x ≠0，则m 的值为。随堂练习：已知自变量为x 的函数y=mx +2-m 是正比例函数，则m =________，该函数的解析式为_______。例题2：已知一次函数y =kx +b 的图象经过第一、二、三象限，则b 的值可以是（） A 、﹣2 B 、﹣1 C 、0 D 、2 随堂练习： 1、直线y =x －1的图像经过象限是（） A 、第一、二、三象限 B 、第一、二、四象限 C 、第二、三、四象限 D 、第一、三、四象限 2、一次函数y =6x ＋1的图象不经过．．．（） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限例题3：已知一次函数2-+=n mx y 的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（） A 、m ＞0，n ＜2 B 、m ＞0，n ＞2 C 、m ＜0，n ＜2 D 、m ＜0，n ＞2 随堂练习：已知关于x 的一次函数n mx y +=的图象如图所示，则2||m m n --可化简为。例题4：已知一次函数y =kx +b 的图像经过二四象限，如果函数上有点()()1122,,,x y x y ，如果满足12y y >，那么1x 2x 。

初中数学竞赛专题培训(4)：代数式的化简与求值

初中数学竞赛专题培训第四讲分式的化简与求值分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．例1 化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．例2 求分式当a=2时的值．分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．例3 若abc=1 ，求分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零．解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．例4 化简分式：

分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．说明互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．例5 化简计算(式中a ，b ，c 两两不相等)：似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a -b)(a -c)，而分子又恰好凑成(a -b)+(a -c)，因此有下面的解法．解说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例6 已知：x+y+z=3a(a ≠0，且x ，y ，z 不全相等)，求分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成 (x -a)+(y -a)+(z -a)=0，那么题目只与x -a ，y -a ，z -a 有关，为简化计算，可用换元法求解．解令x -a=u ，y -a=v ，z -a=w ，则分式变为 u 2+v 2+w 2 +2(uv+vw+wu)=0．由于x ，y ，z 不全相等，所以u ，v ，w 不全为零，所以u 2 +v 2 +w 2 ≠0，从而有说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．例7 化简分式：适当变形，化简分式后再计算求值． (x -4)2 =3，即x 2 -8x+13＝0．原式分子=(x 4 -8x 3 +13x 2 )+(2x 3 -16x 2 +26x)+(x 2 -8x+13)+10 =x 2 (x 2 -8x+13)+2x(x 2 -8x+13)+(x 2 -8x+13)+10

2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. .