最新数学初升高暑假衔接班教案

易学教育个性化教案

教研组长（主任）签字：该页请在下一次上课时带回

教学目录

一、初升高数学衔接班学法指导

二、集合与函数的概念

三、集合的基本关系与集合的表示

四、函数的表示与函数的概念

五、函数的单调性

六、函数的奇偶性

七、基本初等函数——指数函数

八、基本初等函数——对数函数

九、基本初等函数——幂函数

十、梳理与检测

集合

集合的概念

【知识提炼】

1.元素和集合的关系是从属的关系，集合与集合的关系是包含的关系，二者符号表示不同.求解集合问题的关键是搞清楚集合的元素，即元素是什么，有哪些元素.

2.集合的关系有子集、真子集；集合的运算有交集、并集、补集和相等.常常借助Venn 图、数轴和函数图象进行有关的运算，使问题变得直观，简洁.

3.空集是不含任何元素的集合，因其特殊常常容易忽略.在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ?B ,则有A =?或A ≠?两种可能，此时应分类讨论. 【概念梳理】 1.集合与元素

（1）集合元素的三个特征：_________、_______、 ________.

（2）元素与集合的关系是_____或________关系， 用符号_∈___或___?__表示.

(3)集合的表示法：______、_______、_______、 _______.

2.集合间的基本关系

(1)子集、真子集及其性质对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A B ?（或B A ?）. 若A ?B ，且在B 中至少有一个元素x ∈B ，但x ?A ， 则__

__（或__

__）.

? _?__A ；A_?__A ；A ?B ，B ?C ?A__?__C.

(2)集合相等

若A ?B 且B ?A,则_______.

3.集合的运算及其性质 (1)集合的并、交、补运算

并集：A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}； 交集：A ∩B=___{x|x ∈A 且x ∈B}____；

补集：

=__{|}x x U x A ∈?且___. U 为全

集，

表示A 相对于全集U 的补集.

(2)集合的运算性质 并集的性质: A ∪?=A ；A ∪A=A ； 交集的性质： A ∩?=?；A ∩A=A ； 补集的性质： 【要点解读】

要点一集合的基本概念

【例1】已知集合M={y|y=x 2

＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）

A ．（0，1），（1，2）

B ．{（0，1），（1，2）}

C ．{y|y=1,或y=2}

D ．{y|y≥1}

要点二集合的关系

【例2】若A={2，4,3

a －22

a －a ＋7},B={1,a ＋1,2

a －2a ＋2,－

12

(2a －3a －8),3

a ＋2a ＋3a ＋7}，且A ∩B={2，5}，则实数a 的值是________．

【变式训练】已知集合{}

2320A x x x =-+=,{}

210B x x ax a =-+-=，且

A B B =则a 的值为______．

集合的含义与表示课堂回顾与练习

三维目标：

（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。

（2）了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号。 重点：集合的基本概念与表示方法；

难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；

1、集合的有关概念

集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

例1：下列所给对象不能构成集合的是________．

(1)高一数学课本中所有的难题；

(2)某一班级16岁以下的学生；

(3)某中学的大个子；

(4)某学校身高超过1.80米的学生；

变式训练1：

（1）判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

1）大于3小于11的偶数；2）我国的小河流。

（2）在数集{2x,x2-x}中，实数x的取值范围是____________

2、集合的表示方法：

（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A，B，C，P，Q，X，Y，等；集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如a,b,c, 等。

（2）如果a是集合A的元素，就说a 属于集合A，记作a∈A;如果a 不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a?A。

3、常用的数集及其记法：

全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作：N；（注意：0．是自然

．．．数．）

所有正整数组成的集合称为正整数集，记作：N+或N*。

全体整数的集合通常简称整数集，记作：Z；

全体有理数的集合通常简称有理数集，记作：Q；

全体实数的集合通常简称实数集，记作：R。

练习：用符号∈或?填空：

1N ，0N, -3N, 0.5N, 2N

1Z , 0Z, -3Z, 0.5Z, 2Z,

1 Q , 0 Q, -3 Q, 0.5 Q, 2Q,

1 R , 0 R, -3R, 0.5 R, 2R.

4、集合的表示方法：

先介绍记号：大括号“{ }”，在集合里表示总体，而后提出集合的三种表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写出大括内表示集合的方法。

例如：“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}。

（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。一般先在大括号内写上这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线右面写上这个集合的元素的公共属性。

例如：所有的奇数表示为：{x|x=2k+1,k∈Z}

（3）自然语言法

5、集合的性质：

（1）确定性：集合中的元素，必须是确定的，不是含糊不清的，任何一个对象，都能明确判断它是或者不是某全集合的元素，二者必居其一。

（2）互异性：集合中任何两个元素都是不相同的，在同一个集合中，相同的对象只能算作一个元素。

例如：集合{1，1，2}只能当作只有两个元素的集合。应用写为{1，2}才为正确的。

（3）无序性：在用列举法表示一个集合，写出它的各个元素时，与排列先后的顺序没有关系。

例如，对于集合：{-1，1，2}，也可以写成{1，2，-1}或{1，-1，2}等。

但是对于一些列举法中用省略号“……”表示的集合，仍应按它的一定次序排列，（根据它的特征）不能任意书写。

例如，对于自然数集，应写成：{1，2，3，……}，而不能写成：｛3，2，1，……｝；对于正偶数集，应写成：{2，4，6，……}，不能写成：{4，2，6，……}，但对于数集：{1，2，3，4，5}，则可表成：{3，1，5，2，4}。

例题讲解：

例2用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合；

（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；

（3）由1~20以内的所有素数组成的集合。

例3 试分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1）方程x2-2=0的所有实数根组成的集合；

（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合

例4：下面一组集合中各个集合的意义是否相同？为什么？

{1，5} ；{（1，5）}；{5，1}；{（5，1）}

分析：对于这个集合问题，只有明确集合中元素的具体意义才能作出正确解答。

变式训练4：

(1)下面一组集合各个集合的意义是否相同？为什么？

2

{}

P y x

==，2

{|}

Q y y x

==，2

R{|}

x y x

==，2

S{(,)|}

x y y x

==

(2)用列举法表示集合{(x,y)|x ∈{1,2},y∈{1,2,3}}

三、课堂小结，巩固反思：

集合的三性：确实性，互异性，无序性。

四、随堂作业：

1.已知集合M={a,b,c}中的三个元素可构成三角形的三边长，那么?ABC一定不是（）。

（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）等腰三形

2.已知集合A＝{x|x＝2n，且n∈N}，B＝{x|x2－6x＋5=0}，用∈或?填空：

4A，4B，5A，5B

3.已知集合A＝{x|-3

4. 用列举法表示集合

a b ab

G x x

a b ab

??

??==++

??

??

??

．

集合的运算

要点三集合的运算

【例3】集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B．

【变式训练】设全集U={x|0

要点四集合的应用

【例4】已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R*=?，则实数m的取值范围

是_．

【变式训练】设A={x|－21}，B={x|x 2

＋a x ＋b≤0}，已知A∪B={x|x>－2}，A∩B={x|1

集合间的基本关系

（一）复习回顾：

（1）元素与集合之间的关系

（2）集合的三性：确定性，互异性，无序性 （3）集合的常用表示方法：列举法，描述法 （4）常见的数集表示

(二)新课讲解：

问题1：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？ （1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==；

(2)设A 为我班第一组男生的全体组成的集合，B 为我班第一组的全体组成的集合； (3)设{|},{|};C x x D x x ==是两条边相等的三角形是等腰三角形

(4){2,4,6},{6,4,2}E F ==. 归纳：

①一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集.

记作：()A B

B A ??或

读作：A 包含于B(或B 包含A).

②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.

为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图。如图l 和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn 图.

图1 图2

问题2：与实数中的结论“若,,a b b a a b ≥≥=且则”相类比，在集合中，你能得出什么结论?

问题3：已知集合：A={x|x=2m+1，m ∈Z}，B={x|x=2n-1，n ∈Z}，请问A 与B

相等吗？。

（1）集合与集合之间的“相等”关系；

A B B A ??且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =

即?

?????=A B B

A B A

任何一个集合是它本身的子集。即：A A ?

（2）真子集的概念

B

B

A,A

若集合B A ?，存在元素A x B x ?∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。

记作：A

B （或B A ）

读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）

（3）空集的概念

不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：? 规定：

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

（4）结论：由上述集合之间的基本关系，可以得到关于子集的下述性质： （1）．.A A ?（类比a a ≤）

（2）．若,,A B B C ??则C A ?（类比b a ≤，c b ≤则c a ≤）

（3）一般地，一个集合元素若为n 个，则其子集数为2n

个，其真子集数为2n

-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。 练习：

(1)0，{0}与?三者之间有什么关系?

(2)包含关系{}a A ?与属于关系a A ∈有什么区别?试结合实例作出解释.

(3)空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗?

(4)能否说任何一人集合是它本身的子集，即A A ??

(5)对于集合A ，B ，C ，如果A ?B ，B ?C ，那么集合A 与C 有什么关系?

例写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集？

变式训练2：

分别写出集合?，{0}，{0，1}，{0，1，2}的子集及其个数.

（2）已知集合A{2，3，7}，且A中至多有一个奇数，则这样的集合A有（）

（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个

例用适当的符号表示下列各题元素与集合、集合与集合之间的关系。

0与Φ；（2）Φ与{0}；（3）Φ与{Φ}；（4）1与{（0，1）}

例已知集合A={-1，3，2m-1}，集合B={3，m2}，若B?A，则实数m=_____

课堂练习：

1、下面五个关系式：

?{0}；(2)0∈{0}；(3)Φ=0；(4) Φ∈{0}；(5) Φ?{0}其中正确的是（）。

(1)0

（A）(1)(3) （B）(1)(5) （C）(2)(4) （D）(2)(5)

2、已知集合P={1，2}，那么满足Q?P的集合Q的个数是（）

（A）4 （B）3 （C）2 （D）1

3、以下各组中两个对象是什么关系，用适当的符号表示出来．

①0与{0}；②0与?；③?与{0}；④{0,1}与{(0,1)}；⑤{(b，a.)}与{(a.，b)}．

4、已知集合

}5

|

{<

<

=x

a

x

A，x

x

B|

{

=≥}2，且满足B

A?，求实数a的取值

范围。

5、已知集合

{}{}

210,10,

M x x T x ax

=-==-=

若求a的值．

6、有三个元素的集合A，B，已知A={2，x，y}，B={2x，2，2y}，且A=B，求x，y的

值。

7、已知集合A={x|x<-1或x>2}，B={x|4x+m<0}，若B

?A，则m的取值范围是_______________m]

8、已知B={3,x2+ax+a}，C={x2+(a+1)x-3,1}，使B=C，求a,x的值。

9、已知集合A ＝??????x|x ＝k ＋12，k ∈Z ，B ＝????

??x|x ＝1

2k ，k ∈Z ，则A____B.

函数的表示法

一、请同学们回忆一下函数有哪些常用的表示法？

答：列表法、图像法、解析法 二、师生互动，新课讲解

这三种表示法各有什么优、缺点？

列表法

图像法

解析法

定

义

用表格的形式把两个变量间的函数关系表示出来的方法 用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法 一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来的方法

优

点

不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观 可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势

能叫便利地通过计算等手段研究函数性质 缺 点 只能表示有限个元素的函数关系 有些函数的图像难以精确作出 一些实际问题难以找到它的解析式 例1、某种笔记本的单价是5元，买x (x ∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y 元．试

用三种表示法表示函数y=f(x)

注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．

注意：

○1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；

○2解析法：必须注明函数的定义域；

○3图象法：是否连线；

○4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．

例2（课本P20例4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：

第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟988791928895

张城907688758680

赵磊686573727582

班平均

88．278．385．480．375．782．6分

例3、画出函数y = | x |

变式训练3：作出下列函数图象：

（1）y=|x-1|；（2）y=|x|-1；（3）y=|x 2-2x-4|

例4、某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：

（1） 乘坐汽车5公里以内，票价2元；

（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．

???????=543

2y 0551010151520

x x x x <≤<≤<≤<≤

根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：

O

x y 543215

10

15

19

（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；

（2）分段函数的定义域是所有区间的并集，值域是各段函数值域的并集；

4、写出如图的函数解析式：

A组第

5、作出下列函数的图象

（1）y=|x+2|；(2)y=|x2-4x-3|；(3)y=x2+2|x|+1

函数的表示法（2）

一、复习回顾，新课引入

1、函数的定义

设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称

B A f →:为从集合A 到集合B 的函数。

2、映射

函数是“两个数集间的一种确定的对应关系”．当我们将数集扩展到任意的集合时，就可以得到映射的概念．

例如，欧洲的国家构成集合A ，欧洲各国的首都构成集合B ，对应关系f ：国家a 对应它的首都b ．

这样，对于集合A 中的任意一个国家，按照对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的首都与之对应．我们将对应B A f →:称为映射．

一般地，我们有：

映射定义：设A ，B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有惟一确定的元素y 与之对应，那么就称对应B A f →:为从集合A 到集合B 的一个映射(mappi ng),记作

:f A B →．

练习 判断下列对应是不是从A 到B 的映射？

-1023求绝对值

-1B

A

1-2

2-331开平方

-1B

A

1-22

-33

4

19求平方

-1B

A

1-2

2-334

19一种对应

r

q p -1B

A

-2

2-331图甲

图乙

图丙图丁

说明：

①函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射

②这两个集合有先后顺序，A 到B 的射与B 到A 的映射是截然不同的．其中f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．

例1、以下给出的对应是不是从集合A 到B 的映射？

（1）集合A={P|P 是数轴上的点}，集合B=R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应。

（2）集合A={P|P 是平面直角坐标系中的点}，集合B={(x,y)|x ∈R,y ∈R},对应关系f ：平面直角坐标素中的点与它的坐标对应。

（3）集合A={x|x 是三角形}，集合B={x|x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；

（4）集合A={x|x 是新华中学的班级}，集合B={x|x 是新华中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生。

变式训练1：

（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；

（2）*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+；