初升高数学暑期衔接资料(教师版)

2015初升高暑假数学辅导资料

(一) 集合的含义与表示（2课时）

（Ⅰ）、基本概念及知识体系：

1、了解集合的含义、领会集合中元素与集合的∈、关系；元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。集合：用大写字母A，B，C，…表示；

2、能准确把握集合语言的描述与意义：列举法和描述法：注意以下表示的集合之区别：｛y=x2+1｝；｛x2-x-2=0｝，｛x| x2-x-2=0｝,｛x|y=x2+1｝；

｛t|y=t2+1｝；｛y|y=x2+1｝；｛(x,y)|y=x2+1｝；；｛｝,｛0｝

3、特殊的集合：N、Z、Q、R；N*、；

（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：

一、集合的概念以及元素与集合的关系：

1、元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。

集合：用大写字母A，B，C，…表示；元素与集合的关系：∈、

②、特殊的集合：N、Z、Q、R；N*、；

③、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性：

★【例题1】、已知集合A=｛a-2,2a2+5a,10｝,又-3∈A，求出a之值。

●解析：分类讨论思想；a=-1(舍去），a=

▲★课堂练习：

1、书本P5：练习题1；P11：习题1.1：题1、

2、5：①②

2、已知集合A=｛1，0，x｝,又x2∈A，求出x之值。(解：x=-1)

3、已知集合A=｛a+2,（a+1）2，a2+3a+3｝,又1∈A，求出a之值。（解：a=0)

二、集合的表示---------列举法和描述法

★【例题2】、书本P3：例题1、P4：例题2

★【例题3】、已知下列集合：（1）、

=｛n | n = 2k+1,k

N,k

5｝；（2）、

=｛x | x = 2k, k

N, k

3｝；（3）、

=｛x | x = 4k＋1,或x = 4k－1,k

k

3｝；

问：（Ⅰ）、用列举法表示上述各集合；（Ⅱ）、对集合

，

，

，如果使k

Z,那么

，

，

所表示的集合分别是什么？并说明

与

的关系。

解：(Ⅰ)、⑴

=｛n | n = 2k+1,k

N ,k

5｝＝｛1，3，5，7，9，11｝；

⑵、

=｛x | x = 2k, k

N, k

3｝＝｛0，2，4，6｝；

⑶、

=｛x | x = 4k

1,k

k

3｝＝｛－1，1，3，5，7，9，11，13｝；

（Ⅱ）、对集合

，

，

，如果使k

Z,那么

、

所表示的集合都是奇数集；

所表示的集合都是偶数集。

▲点评：（1）通过对上述集合的识别，进一步巩固对描述法中代表元素及其性质的表述的理解；

（2）掌握奇数集．偶数集的描述法表示和集合的图示法表示。

★【例题4】、已知某数集A满足条件：若

，则

.

①、若2

，则在A中还有两个元素是什么；②、若A为单元素集，求出A和

之值.

● 解：①

和

；②

（此时

）或

（此时

）。

▲●课堂练习：

1、书本P5：练习题2；P12：题3、4

2、设集合M=｛x|x= 4m+2,m∈Z｝,N=｛y|y= 4n+3,n∈Z｝，若

x0∈M,y0∈N，则x0·y0与集合M、N的关系是（ A）：A、x0·y0∈M B、x0·y0M C、x0·y0∈N D、无法确定

●解：x0·y0= 4(4mn+3m+2n+1)+2,则x0·y0∈M

三、今日作业：

1、已知集合B=｛x|ax2-3x+2=0,a∈R｝,若B中的元素至多只有一个，求出a 的取值范围。（解：a=0或a≥9/8)

2、已知集合M=｛x∈N|

∈Z｝，求出集合M。（解：M=｛0，1，2，5｝

3、已知集合N=｛

∈Z | x∈N｝，求出集合N。（解：N=｛1，2，3，6｝

四、提高练习：

★【题1】、(2006年·辽宁·T5·5分）设⊕是R上的一个运算,A是R上的非空子集,若对任意的a、b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于0）四则运算都封闭的是（ C ）

A 自然数集

B 整数集

C 有理数集

D 无理数集

★【题2】（2006年·山东·T1·5分）定义集合运算：A⊙B=｛z︳z=

xy(x+y)，z∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为（ D ）

（A）0 （B）6 （C）

12 （D）18

★【题3】（2005年·湖北·T1·5分）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=

，则P+Q中元素的个数是（ B ）

A．9 B．8 C．

7 D．6

★【题4】（广东2007年理科·8题）设

是至少含有两个元素的集合，在

上定义了一个二元运算“*”（即对任意的

，对于有序元素对（

），在

中有唯一确定的元素

与之对应）．若对任意的

，有

，则对任意的

，下列等式中不恒成立的是（ A ）

A．

B．

C．

D．

（Ⅲ）、课堂回顾与小结：

1、记准N、Z、Q、R；

2、分清列举法和描述法，注意集合中的元素是否满足互异。◆

讲义二：集合之间的基本关系（2课时）

（Ⅰ）、基本概念及知识体系：

1、集合之间的基本关系：包含关系------子集、真子集、空集；集合的相等。

2、注意韦恩图、利用数轴的数形结合思想以及分类讨论的数学思想的培养与应用。

（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：

（一）、集合之间的基本关系：子集、真子集、空集（如方程x2+1=0的根）；集合的相等。

（二）、含有n个元素的集合A的子集个数是_____2n,,真子集个数是___2n-1,非空真子集：2n-2

★【例题1】、已知集合P=｛x|x2-5x+4≤0｝,Q=｛x|x2-(b+2)x+2b≤0｝且有PQ，求实数b的取值范围。

●解：{b|1≤b≤4}；注意利用数轴去加以判断。

★【例题2】、（2007年湖南·10题）．设集合

，

都是

的含两个元素的子集，且满足：对任意的

，

（

，

），都有

（

表示两个数

中的较小者），则

的最大值是（ B ）

A．10 B．11 C．12 D．13 ★【例题3】、（2007年北京文科·15题·12分）记关于

的不等式

的解集为

，不等式

的解集为

．

（

）若

，求

；（

）若

，求正数

的取值范围．

●解：（

）由

，得

．

（

）

．

由

，得

，又

，所以

，即

的取值范围是

．

▲★课堂练习：

1、书本P7：练习题1、

2、3；P12： 5：①②③；B组第2题。

2、已知集合A=｛2，8，a｝, B=｛2，a2-3a+4｝,又AB，求出a之值。(解：a= -1或4)

3、已知集合A=｛x|-3≤x≤4｝B=｛x|2m-1≤x≤m+1｝,当BA时，求出m之取值范围。（解：m≥-1)

特别注意：当BA时，B一定包括有两种情形：B=或B≠，解题时极易漏掉B=这一情况从而出错！

（三）、今日作业：

●1、判断下列集合A与B之间有怎样的包含或相等关系：

①、已知集合A=｛x|x=2k-1,k∈Z｝B=｛x|x=2m+1,m∈Z｝(解：A=B）

②、已知集合A=｛x|x=2k,k∈Z｝B=｛x|x=4m,m∈Z｝(解：B A）

●2、已知集合M=｛x|-2≤x≤5},N={x|m+1≤x≤2m-1}

①、若NM，求实数m的取值范围；（解：m≤3，注意N为的情况！)

②、若x∈Z，则M的非空真子集的个数是多少个？（解：28-2=254个）

③、（选做）当x∈R 时，没有元素使得x∈M与x∈N同时成立，求实数m 的取值范围（解：m<2或m>4)

（四）、提高练习：

★【题1】、设集合S=｛a,b,c,d,e｝,则包含｛a,b｝的S的子集共有

（D ）个

A 2

B 3

C 5

D 8

★【题2】、集合A=｛（x,y)|2x+y=5,x∈N,y∈N｝,则A的非空真子集的个数为（C ）

Ａ４Ｂ５Ｃ６Ｄ７

★【题3】、对于两个非空数集A、B，定义点集如下：A×B=

｛(x,y)|x∈A,y∈B｝,若A=｛1，3｝，B=｛2，4｝，则点集A×B的非空真子集的个数是___14_个

★【题4】、集合

的真子集个数是（ A ）

（A）16 （B）8 （C）

7 （D）4

●解答、

，A的真子集有：

，共7个，选C

★【题5】、（2004湖北）已知集合P=｛m|-1

A P=Q B

PQ C PQ D P∩Q=Q

★【题6】、设集合M=｛x|x=

+

,k∈Z｝,N=｛x|x=

+

,k∈Z｝,则（ B）

A M=N B

MN C MN D M∩N=

（Ⅲ）、课堂回顾与小结：

3、分清子集、真子集、空集；注意的特殊性。

4、利用韦恩图，利用数轴，注意分类讨论思想的培养与应用。

讲义三：集合之间的基本运算（2课时）

（Ⅰ）、基本概念及知识体系：

1、集合之间的基本运算：①、交集A∩B=｛x|x∈A且x∈B｝;

②、并集A∪B=｛x|x∈A或x∈B｝；

③、全集和补集：CUA=｛x|x∈U且xA｝

2、注意韦恩图、利用数轴的数形结合思想以及分类讨论的数学思想的培养与应用。

（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：

（一）、集合之间的基本运算：

A∩B=｛x|x∈A且x∈B｝; A∪B=｛x|x∈A或x∈B｝；CUA=｛x|x∈U且xA｝

（二）、A∪B=A ?BA，要特别注意B是否为的情况的讨论。

★【例题1】、已知集合A=｛x|x2-2x-8=0｝,B=｛x|x2+ax+a2-12=0｝且有A∪B=A ，求实数a的取值集合。

●解：{a|a<-4,或a=-2,或a≥4}；注意，注意分类讨论。

★【例题2】、已知全集U=｛x|x≤4｝,集合A=｛x|-2

（A∪B）

●解：{a|a<-4,或a=-2,或a≥4}；注意，注意分类讨论。

★【例题3】、已知集合A=｛x|x2-4mx+2m+6=0｝,B=｛x|x<0｝,且有

A∩B≠，求实数m的取值范围。

●解：（正难则反，补集的思想）｛m|m≤-1｝

▲★课堂练习：

◆1、书本P11：练习题1、2、3、4；P12： 6、7、8、9；B组第3、题。

◆2、、(2006年·辽宁·T1·5分）设集合A=｛1，2｝，则满足A∪B=｛1,2,3｝的集合B的个数为( C )

A 1

B 3

C 4

D 8

◆3、(2005年·全国Ⅰ·T2·5分）设I为全集，S1、S2、S3是I 上的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下列论断正确的是（ C ）

A CIS1∩（S2∪S3）=

B S1（CIS2∩CIS3） C

CIS1∩CIS2∩CIS3= D S1（CIS2∪CIS3）

4、已知集合A=｛x|-3≤x≤4｝B=｛x|2m-1≤x≤m+1｝,当A∪B=A时，求出m之取值范围。

（解：m≥-1)

特别注意：当BA时，B一定包括有两种情形：B=或B≠，解题时极易漏掉B=这一情况从而出错！

（三）、今日作业：

●1、已知集合A=｛x|x+2>0｝,B=｛x|ax-3<0｝且有A∪B=A，求a 的取值范围。 (解：｛a|a≤-3/2｝）

●2、书本P12：10题、B组4题。

（四）、提高练习：

●★【题1】、设全集U=R，A=｛x|

<0｝,B=｛x|x<-1｝,则图中阴影部分所表示的集合是（ C ）

A ｛x|x>0｝

B ｛x|-3

C ｛x|-3

D ｛x|x<-1｝

●★【题2】、集合A=｛（x,y)|2x+y=5,x∈N,y∈N｝,则A的非空真子集的个数为（C ）

Ａ４Ｂ５Ｃ６Ｄ７

★【题3】、集合M=｛x||x-3|≤4｝,N=｛y|y=

+

｝,则M∩N=____｛0｝

★【题4】、(2004年·上海·T3·4分）设集合A=｛5，log2(a+3)｝，集合B=｛a,b｝若满足A∩B=｛2｝，则A∪B=____｛1，2，5｝

【题5】、①已知集合A=｛y|y=

｝,B=｛y|y=x2-2x-3,x∈R｝,则A∩B=____｛y|y≥0｝

②已知集合A=｛x|y=

｝,B=｛y|y=x2-2x-3,x∈R｝,则A∩B=____｛x|x≥1或

≤x≤

｝

★【题6】、已知集合P=｛x|x2-5x+4≤0｝,Q=｛x|x2-(b+2)x+2b≤0｝且有PQ，求实数b的取值范围。

解：(答案：{b|1≤b≤4}）

★【题7】、若全集I=R，(x),g(x)均为x的二次函数，且P=｛x|(x)<0｝,Q=｛x| g(x)≥0,｝则不等式组

的解集可用P、Q表示为___( P∩CRQ)

★【题8】、．如右图所示，I为全集，M、P、S为I的子集，则阴影部分所表示的集合为（ C ）

A．(M∩P)∪S B．(M∩P)∩S

C．(M∩P)∩(CI S） D．(M∩P)∪(CI S）

●题9、（2007年江苏第2题）．已知全集

，

，

，则A∩(CRB)为（ A ）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

★题10、（07北京）已知集合

，

，若

，则实数

的取值范围是 .

（Ⅲ）、课堂回顾与小结：

5、注意集合之间的运算：交、并、补；

6、利用韦恩图，利用数轴，注意分类讨论思想的培养与应用。

讲义四：函数及其表示（1）

（Ⅰ）、基本概念及知识体系：

1、函数概念：书本：P15实例1、炮弹的发射——解析法；实例

2、臭氧问题——图象法；实例

3、恩格尔系数——列表法；

2、函数的定义：P16定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数

和它对应，那么称

为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：

. 其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合

叫值域（range）；注意记为y=f(x),x∈A；

3、构成函数的三要素是：定义域、值域、对应法则。

4、函数y=f(x)的定义域和值域：已学的一次函数

、二次函数

的定义域与值域？

●练习：题1、

，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。

→题2、求

值域.

5、区间的概念：

●练习：1、用区间表示：R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x

2、用区间表示：函数y＝

的定义域，值域是。

●作业：已知函数f(x)=3x

＋5x－2,求f(3)、f(-

)、f(a)、f(a+1)

（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：

（一）、函数的概念：

（二）、函数的定义域的常见求法：

★【例题1】、书本P17例题1、例题2

★【例题2】、如果函数(x)满足：对任意的实数m、n都有(m)+ (n)= (m+n)且(1003)=2，则(1)+ (3)+ (5)+…+(2005)=____(2006)

★【例题3】、(06·重庆·T21·12分)已知定义域为R的函数f(x)满足

(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.

（Ⅰ）若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a)；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式.

▲解：（Ⅰ）因为对任意x∈R，有f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以

f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.

又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.；若f(0)=a，则f(a-

02+0)=a-02+0，即f(a)=a.

（Ⅱ）因为对任意xεR，有f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x.；又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0.

所以对任意x∈R，有f(x)- x2 +x= x0.；在上式中令x= x0,有f(x0)-x

+ x0= x0,

又因为f(x0)- x0，所以x0- x

=0，故x0=0或x0=1.；若x0=0，则f(x)- x2 +x=0，即f(x)= x2 –x.

但方程x2 –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x2≠0.

若x2=1,则有f(x)- x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件.