直线与圆圆与圆的位置关系考点与题型归纳

直线与圆、圆与圆的位置关系考点与题型归纳

、基础知识

1.直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)

2.圆与圆的位置关系(两圆半径为r i,匕，d=|O i O2|)

、常用结论

(1 )圆的切线方程常用结论

①过圆x2 + y2= r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为 x o x+ y o y= r2

②过圆(x- a)2+ (y- b)2= r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为(x o—a)(x— a)+ (y o — b)(y -b) = r2.

③过圆x2 + y2= r2外一点M(x o, y o)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x o x+ y o y =r2.

(2)直线被圆截得的弦长

1 i

弦心距d、弦长I的一半及圆的半径r构成一直角三角形，且有r2 = d2+ ~l 2.

考点一直线与圆的位置关系

考法(一)直线与圆的位置关系的判断

［典例］直线I: mx— y+ 1— m = 0与圆C： x2+ (y— 1)2= 5的位置关系是( )

A•相交 B •相切

C.相离 D •不确定

mx— y+ 1 — m= 0,

［解析］法一：由o o

x2 + y — 1 = 5,

消去 y,整理得(1 + m2)x2— 2m2x+ m2— 5= 0,

因为△= 16m2+ 20>0,

所以直线I与圆相交.

法二：由题意知，圆心(0,1)到直线I的距离d=―<1<寸5，故直线I与圆相交.

yj m2 + 1

法三：直线I: mx — y+ 1 — m= 0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2 + (y— 1)2= 5的内部，所以直线I 与圆相交.

［答案］A

［解题技法］判断直线与圆的位置关系的常见方法

(1)几何法：利用d与r的关系.

(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用△判断.

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

［提醒］上述方法中最常用的是几何法.

考法(二)直线与圆相切的问题

［典例］(1)过点P(2,4)作圆(x— 1)2+ (y— 1)2 = 1的切线，则切线方程为()

A . 3x+ 4y — 4= 0

B.4x— 3y + 4= 0

C.x = 2 或 4x— 3y+ 4 = 0

D.y= 4 或 3x+ 4y— 4 = 0

(2)(2019成都摸底)已知圆C： x2+ y2— 2x— 4y+ 1 = 0上存在两点关于直线I: x+ my+ 1

=0对称，经过点 M(m, m)作圆C的切线，切点为 P,则|MP|= ________________________ .

［解析］⑴当斜率不存在时，x= 2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y— 4= k(x

-2），即 kx — y+ 4-2k= 0,则

|k — 1 + 4 - 2k|

■ k 2 + 1

=1，解得

4

k= 3，则切线方程为

4x — 3y + 4= 0,

故切线方程为 x= 2或4x — 3y + 4= 0.

⑵圆C: x 2 + y 2— 2x — 4y+ 1= 0的圆心为C(1,2)，半径为2•因为圆上存在两点关于直线

I: x+ my + 1= 0 对称，所以直线 I: x+ my+ 1 = 0 过点(1,2)，所以 1 + 2m+ 1 = 0,解得 m = —1，所以 |MC|2= 13, |MP|= 13— 4= 3.

［答案］(1)C

(2)3

考法(三)弦长问题

［典例］ ⑴若a 2 + b 2= 2C 2(C M 0)，则直线ax+ by+ c= 0被圆x 2 + y 2= 1所截得的弦长为

( )

1

B . 1

C#

D. . 2

(2)(2019海口一中模拟)设直线y= x+ 2a 与圆C ：x 2 + y 2— 2ay — 2= 0相交于A,B 两点， 若|AB|= 2 .3,则圆C 的面积为(

)

A . 4 n

B . 2 n C. 9 n

D. 22 n

［解析］⑴因为圆心(0,0)到直线ax+ by+ C = 0的距离d = t |C|

=#弟=¥‘因此根

寸 a 2+ b 2 V 2|C| 2

据直角三角形的关系，弦长的一半就等于

1 — I

2 =于，所以弦长为

2.

(2)易知圆C: x 2 + y 2— 2ay — 2 = 0的圆心为(0, a)，半径为-a 2+ 2.圆心(0, a)到直线y = x+ 2a 的距离d = |a 2，由直线y= x+ 2a 与圆C: x 2 + y 2— 2ay — 2= 0相交于A, B 两点，|AB| =2诵，可得 齐3 = a 2 + 2,解得a 2= 2，故圆C 的半径为2,所以圆C 的面积为4 n 故选 A.

［答案］(1)D

(2)A

［题组训练］

1 •已知圆的方程是X2+ y2= 1,则经过圆上一点M 誓，当的切线方程是 _________________________ -

解析：因为M #, +是圆X2+y2= 1上的点，所以圆的切线的斜率为一1,则设切线方程为x + y+ a = 0，所以 #+#+ a= 0,得a=— 2,故切线方程为 x+ y— 2= 0.

答案：x+ y— 2 = 0

2.若直线kx— y+ 2 = 0与圆x2 + y2— 2x — 3 = 0没有公共点，则实数 k的取值范围是

解析：由题知，圆 x2 + y2— 2x— 3 = 0可写成(x— 1)2+ y2= 4,圆心(1,0)到直线 kx— y+ 2

=0的距离

|k + 2| 4 d>2,即------------ >2,解得 0v kv3.

p k2+1 3

答案：

4 03

3.设直线y= kx+ 1与圆x2 + y2 + 2x— my= 0相交于A, B两点，若点A, B关于直线l:

x+ y= 0 对称，则 |AB|= _____________ .

解析：因为点A, B关于直线I: x+ y= 0对称，所以直线y= kx+ 1的斜率k= 1,即y = 「、m

x+ 1•又圆心—1, 2在直线I: x+ y= 0上，所以m= 2,则圆心的坐标为(一1,1)，半径r = 2，所以圆心到直线 y= x+ 1的距离du^2，所以AB|= 2 r2— d2= ,6.

答案：6

考点二圆与圆的位置关系

［典例］(2016 •东高考)已知圆M : x2 + y2— 2ay= 0(a> 0)截直线x+ y= 0所得线段的长度是2 2，则圆M与圆N: (x— 1)2+ (y— 1)2= 1的位置关系是( )

A.内切 B .相交

C.外切 D .相离

x2+ y2— 2ay= 0,

［解析］法一：由

x+ y= 0,

得两交点为(0,0), (— a, a).

•••圆M截直线所得线段长度为 2 2,

r = 1,则点N到直线2x-2y- 1= 0的距离d = —1| 2,2

•••- a2 + - a 2 = 2 2.

又 a>O,「・a= 2.A圆 M 的方程为 x2 + y2-4y= 0, 即 x2 + (y- 2产=4,圆心 M(0,2)，半径 r i = 2.

又圆 N : (x- 1)2+ (y- 1)2= 1,圆心 N(1,1)，半径 r2= 1, •••|MN|=- 0 - 1 2+ 2- 1 2= 2.

•.•「1-「2= 1, r1+ r2 = 3,1<|MN|<3,

•两圆相交.

法二

a 一：由题知圆 M : x2 + (y- a)2— a2(a>0),圆心(0, a)到直线x+ y= 0的距离d —

所以2 :a2—2—2 2，解得a —2•圆M，圆N的圆心距|MN|— .2,两圆半径之差为 1,两

圆半径之和为3，故两圆相交.

［答案］B

［变透练清］

1. (2019 太原模拟)若圆 C1： x2 + y2= 1 与圆 C2： X2 + y2- 6x- 8y+ m= 0 外切，则 m=

( )

A. 21 B . 19

C. 9 D . - 11

解析：选C 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1= 1，因为圆C2的方程可化为(x- 3)2+ (y

-4)2= 25- m,所以圆 C2 的圆心为 C2(3,4)，半径 r2= 25 - m(m V 25).从而 |C1C2=：32+ 42

=5•由两圆外切得 C1C2= r1 + ",即卩1 +「25 - m= 5,解得m= 9，故选C.

2.变结论若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为 ___________________ .

x+ y — 4y= 0,

解析：联立两圆方程两式相减得，2x-2y- 1 = 0,因为N(1,1),

x-1 2 + y-1 2= 1,

答案：*4

匚2,故公共弦长为• 2 2. 14

4 = 2

B . ±5

C. 3

［解题技法］

几何法判断圆与圆的位置关系的

3步骤

(1) 确定两圆的圆心坐标和半径长； (2) 利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d,求r i + r 2, |r i — r 2|;

⑶比较d, r i + r 2, |r i — r 2|的大小，写出结论.

[课时跟踪检测]

1.

若直线2x+ y + a= 0与圆x 2 + y 2 + 2x — 4y= 0相切，则a 的值为(

)

A. ±,5 D . ±3

解析：选B 圆的方程可化为(x+ 1)2+ (y — 2)2= 5，因为直线与圆相切，所以有|a 5 = ,5, 即a= ±故选B. 2.

与圆 C i ： x 2 + y 2— 6x+ 4y+ 12 = 0, C 2： x 2+ y 2— 14x — 2y+ 14= 0 都相切的直线有

C. 3条 解析：选A

两圆分别化为标准形式为

C i ： (x — 3)2+ (y+ 2)2= 1, C 2 : (x — 7)2 + (y — 1)2

=36，则两圆圆心距|C i C 2|= 7 — 3 2+ [1 —— 2 ]2= 5,等于两圆半径差，故两圆内切.所 以它们只有一条公切线.故选

A.

3. (2019南宁、梧州联考)直线y= kx+ 3被圆(x — 2)2+ (y — 3)2= 4截得的弦长为2.3, 则直线的倾斜角为()

,n ［、. 5 n

A ・6

或石

n D ・6

解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2,所以圆心到直线的距离为d= 22— 3 2 =1.即d=J^= 1，所以k=±富由k=tan"得a= 6或于故选A.

B.

x+ ay+ 1

线的距离为1,故圆心（一1,3）到直线x+ ay+ 1 = 0的距离为1,即

|— 1+ 3a+ 1| :1'1 + a 2

=1,解得a =

4.

过点（3,1）作圆（x — 1）2+ y 2= r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为

（

）

A . 2x+ y — 5= 0

B . 2x+ y — 7= 0 C. x — 2y — 5 = 0

D . x — 2y — 7= 0

解析：选B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r 2 = 5,圆的方程为(x — 1)2+ y 2

=5，则过点(3,1)的切线方程为(x — 1)・—3) + y(1 — 0) = 5，即2x+ y — 7 = 0•故选

5. （2019重庆一中模拟）若圆x 2 + y 3+ 2x — 6y+ 6= 0上有且仅有三个点到直线 =0的距离为1，则实数a 的值为（

）

C. 土，2

解析：选B 由题知圆的圆心坐标为（一1,3），半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直

D . y=— 4

圆(x — 1)2+ y 2= 1 的圆心为 C(1,0)，半径为 1,以 |PC|= -''

=2为直径的圆的方程为（x — 1）2+ （y+ 1）2= 1,将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2y

C. y =

解析：选B

解析：易知圆心（2, — 1）,半径r = 2,故圆心到直线的距离

|2+ 2 X — 1 — 3| 3,5 弦长为

2 r 2— d2 =迸5

答案: 2 '55

5

.12 + 22±2

±4 -

6.（2018嘉定二模）过点P（1 , — 2）作圆C : （x— 1）4+ y2= 1的两条切线，切点分

别为A,

B,则AB所在直线的方程为（）

1

B . y=— 2

1

+ 1 = 0，即 y= —2•故选 B.

x— (3 + a)y— a= 0,

圆心(0,0)到直线的距离I— a| d= . 1 +

3 + a

&若P(2,1)为圆(x— 1)2+ y2= 25的弦AB的中点，则直线 AB的方程为 _____________________

一 1

解析：因为圆(x— 1)2+ y2= 25的圆心为(1,0),所以直线AB的斜率等于 =—1,由点

1 — 0

斜式得直线 AB的方程为y— 1 = — (x— 2)，即卩x+ y— 3= 0.

答案：x+ y— 3 = 0

9.____________________________________________________________________________ 过点P(— 3,1),Q(a,O)的光线经x轴反射后与圆x2+ y2= 1相切，则a的值为_____________________________

解析：因为P( — 3,1)关于x轴的对称点的坐标为P' (— 3, — 1),

一 1

所以直线P' Q的方程为y= (x— a),即

—3 — a

所以a=— |.

5

答案：—|

10.点 P 在圆 C1: x2+ y2— 8x— 4y + 11 = 0 上，点 Q 在圆 C2: x2+ y2+ 4x+ 2y + 1 = 0 上,

则|PQ|的最小值是 ____________

解析：把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x— 4)2+ (y— 2)2= 9, (x + 2)2 + (y+ 1)2 =4.

圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3;

圆C2的圆心坐标是(一 2,— 1)，半径是2.

圆心距d =■4+ 2 2 + 2+ 1 2= 3 ,5> 5•故圆C1与圆C2相离，

所以|PQ |的最小值是3 .5 — 5.

答案：3 5—5

11.已知圆 C1: x2+ y2— 2x— 6y— 1 = 0 和圆 C2: x2 + y2— 10x— 12y+ 45 = 0.

(1)求证：圆C1和圆C2相交；

⑵求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.

解：(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径「1=111, 圆C2的圆心 C2(5,6)，半径r2= 4,

y=— 2x 上.

C 截得的弦长为

两圆圆心距 d = |C i C 2|= 5, r i + r 2 = ：.； 11 + 4, |r i — r 2|= 4— 11,

-■•|r i — r 2|

4x + 3y — 23= 0.

|20+ 18— 23| 圆心C 2(5,6)到直线4x+ 3y —

23= 0的距离d=

, = 3, 寸 16+ 9

故公共弦长为 2 16— 9= 2 ,7.

12. 已知圆C 经过点A(2, — 1)，和直线x + y= 1相切，且圆心在直线 (1) 求圆C 的方程；

(2) 已知直线I 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为2，求直线I 的方程

解：(1)设圆心的坐标为 C(a,— 2a),

化简，得a 2— 2a + 1 = 0,解得a= 1. •Q(1 , — 2)，半径 r = |AC|=

1 —

2 2+ — 2 + 1 2= ,2.

•••圆 C 的方程为(x — 1)2 + (y+ 2)2= 2.

⑵①当直线I 的斜率不存在时，直线I 的方程为x = 0,此时直线I 被圆 2,

满足条件.

②当直线I 的斜率存在时，设直线

I 的方程为y= kx, K+ 2|

3

由题意得 -------- =1，解得k=— 4,

寸 1 + k 2

4

3

•直线I 的方程为y= — ]x,即3x+ 4y= 0. 综上所述，直线I 的方程为x= 0或3x+ 4y= 0.

—2a+ 1

1.过圆x2+ y2= 1上一点作圆的切线，与 x轴、y轴的正半轴相交于 A, B两点，则|AB|

B. ,.''3 D . 3

解析：选C 设圆上的点为(x o , y o ),其中x o > 0, y o >0，则有x g + 的最小值为(

) A. .''2

C. 2

y 0= 1，且切线方程为

x o x+ y o y = 1.分别令 y = 0, x= 0得

1 / 1

2 1 1

B0，

y ，则IAB =.. x 04 5 6+ y 02=硕》右=2当且仅当 等号成立.

2.

(2018 •苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线I: y= 2x 上在第一象限内的点,

B(5,0)，以AB 为直径的圆 C 与直线I 交于另一点 D.若AB CD = 0，则点A 的横坐标为

n

解析：因为AB CD = 0,所以AB 丄CD ，又点C 为AB 的中点，所以/ BAD = 4,设直

n

线I 的倾斜角为0,直线AB 的斜率为k ，则tan 0= 2, k=tan 0+ 4 =- 3.又B(5,0)，所以

直线AB 的方程为y=— 3(x — 5)，又A 为直线l: y= 2x 上在第一象限内的点，联立直线

y=— 3 x — 5 ,

x= 3,

AB 与直线l 的方程，得

解得

所以点A 的横坐标为3.

y= 2x,

y= 6, 答案：3

3. (2018 安顺摸底)已知圆 C: x 2 + (y — a)2= 4,点 A(1,0). 5 当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数 a 的取值范围；

6 设AM , AN 为圆C 的两条切线，M , N 为切点，当|MN|= 誓时，求MN 所在直线的 方程. 解：(1)过点A 的切线存在，即点 A 在圆外或圆上， •••1 + a 2>4,^a> '3或 a< — .'3. (2)设MN 与AC 交于点D, O 为坐标原点.

4/5

2 需

•••|MN|=〒，.・.|DM|=才.

20_ 4 又 |MC|= 2 ,「.|CD| =

25= .5,

4

A 的方程为(x — 1)2+ y 2 =

即 x — 2y= 0 或(x — 1)2+ y 2 V 5

2

|MC| 2 厂

2

丢

cos Z MCA 2_

7

•••|OC|= 2, |AM|= 1,

• MN 是以点A 为圆心，1为半径的圆A 与圆C 的公共弦，圆 1,

圆 C 的方程为 x 2+ (y — 2)2 = 4 或 x 2+ (y+ 2)2= 4,

•'■MN 所在直线的方程为 (x — 1)2+ y 2— 1 — x 2 — (y — 2)2+ 4 = 0, —1 — x 2— (y+ 2)2 + 4= 0，即 x+ 2y= 0,

因此MN 所在直线的方程为 x — 2y= 0或x+ 2y= 0.

1

7.

在平面直角坐标系 xOy 中，直线x+ 2y — 3 = 0

被圆（x — 2）2+ （y+ 1）2= 4截得的弦长

为 __________ .