中考数学温习：二次函数和圆的综合题(含答案)_
中考数学温习：二次函数和圆的综合题(含答案)_
中考数学温习：二次函数和圆的综合题(含答案)
中考数学温习：二次函数和圆的综合题(含答案)
1二次函数和圆中考综合题
【例题1】已知圆P的圆心在反比例函数kyx
=(1)k>图象上，并与x轴相交于A、B两点．且始终与y轴相切于定点C(0，1)．
(1)求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;
(2)若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，四边形ADBP为菱形．【例题2】在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=4，AB=2，直线32yx=-+与坐标轴交于D、E。设M是AB的中点，P是线段DE上的动点.
〔1〕求M、D两点的坐标；
〔2〕当P在什么位置时，PA=PB？求出此时P点的坐标；
〔3〕过P作PH⊥BC，垂足为H，当以PM为直径的⊙F与BC相切于点N时，求梯形PMBH的面积.
2020年九年级数学中考二轮复习：《二次函数综合》压轴题专题训练(含答案)
《二次函数综合》压轴题专题训练 1．定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y＝﹣（x﹣1）2+2． （1）满足什么条件的抛物线与其“同轴对称抛物线”的顶点重合：． （2）求抛物线y＝﹣x2+x+1的“同轴对称抛物线”． （3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B′、C′，连接BC、CC′、B′C′、BB′，设四边形BB′C′C的面积为S（S＞0）． ①当四边形BB′C′C为正方形时，求a的值． ②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、 纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．
2．已知抛物线C ：y＝ax2+bx+c向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛 1 物线C ：y＝x2． 2 （1）直接写出抛物线C 的解析式； 1 与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点P（，t）（2）如图1，已知抛物线C 1 在抛物线C 上，QB⊥PB交抛物线于点Q．求点Q的坐标； 1 上，EM∥x轴，点E在点M的左侧，过点M的直线MD与抛（3）已知点E，M在抛物线C 2 物线C 只有一个公共点（MD与y轴不平行），直线DE与抛物线交于另一点N．若线段 2 NE＝DE，设点M，N的横坐标分别为m，n，直接写出m和n的数量关系（用含m的式子表示n）为．
3．如图1，抛物线y＝x2+bx+c过点A（4，﹣1），B（0，﹣），点C为直线AB下方抛物线上一动点，M为抛物线顶点，抛物线对称轴与直线AB交于点N． （1）求抛物线的表达式与顶点M的坐标； （2）在直线AB上是否存在点D，使得以C，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出D点坐标； （3）在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年浙江省台州市中考数学重点题型-二次函数综合训练含答案
2020年浙江省台州市中考数学重点题型-二次函数综合训练含答案 1.如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A(1,0)、B(5,0)、C(0,4)三点. （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）； （3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四 边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索） 2.已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上 方抛物线上的一个动点. （1）求抛物线解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否 存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由. 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴 于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG， 连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设 点E（a，0）.
（1）求抛物线的解析式. （2）若△AOC与△FEB相似，求a的值. （3）当PH＝2时，求点P的坐标. 4.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线 x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于y=﹣3 4 点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）若PE=5EF，求m的值； （3）若点E′是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(?1,0)，点B(3,0)，与y轴交于点C，且过点 D(2,?3)．点P、Q是抛物线y=ax2+bx+c上的动点．
2020中考数学 压轴训练：二次函数综合题(含答案)
2020中考数学压轴训练：二次函数综合题（含答案） 1. 已知抛物线C：y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B(A在B的左侧)两点，与y轴交于点D(0，3)，且顶点为E(1，4). (Ⅰ)求抛物线C的解析式； (Ⅰ)将抛物线C经过某种平移后得到抛物线C′，顶点变为E′(1，k)(k＜4)，设平移后D的对应点为D′，且OD′＝2. Ⅰ求抛物线C′的解析式； Ⅰ点Q在抛物线C′的对称轴上，若AD′＝AQ，求点Q的坐标. 解：(Ⅰ)设抛物线C的解析式为y＝a(x－1)2＋4， 代入D(0，3)，得a＋4＝3，解得a＝－1， Ⅰ抛物线C的解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3； (Ⅰ)ⅠⅠE(1，4)，E′(1，k)(k＜4)， Ⅰ抛物线向下平移了(4－k)个单位长度， ⅠD′(0，3－4＋k)，即D′(0, k－1)， ⅠOD′＝2， k－1＝2，解得k＝3或k=－1， Ⅰ|| Ⅰ抛物线C′的解析式为y＝－(x－1)2＋3或y＝－(x－1)2－1， 即y＝－x2＋2x＋2或y＝－x2＋2x－2； ⅠⅠOD′＝2，
ⅠD ′(0，2)或D ′(0，－2)． 令y ＝0，则有－x 2＋2x ＋3＝0， 解得x ＝－1或x ＝3， Ⅰ点A 的坐标为(－1，0)． 设点Q 坐标为(1，m )． ⅠAD ′2＝(0+1)2＋(±2－0)2＝5， AQ 2＝(－1－1)2＋(0－m )2＝m 2＋4， Ⅰm 2＋4＝5，解得m ＝±1. ⅠQ 点坐标为(1，1)或(1，－1)． 2. 已知二次函数y ＝ x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点． (Ⅰ)若A (－2，0)，B (3，0)，求二次函数的解析式； (Ⅰ)若b ＝－(3m －1)，c ＝2m 2－2m (其中m ＞－1)． Ⅰ二次函数与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)(x 1＜x 2)两点，且－1≤12x 1－13x 2≤1，试求m 的取值范 围； Ⅰ当1≤x ≤3时，二次函数的最小值是－1，求m 的值． 解：(Ⅰ)把A (－2，0)，B (3，0)代入y ＝ x 2＋bx ＋c ， 得?????4－2b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0，解得?????b ＝－1c ＝－6 ， Ⅰ二次函数的解析式为y ＝x 2－x －6； (Ⅰ)Ⅰ令y ＝0，则x 2－(3m －1)x ＋2m 2－2m ＝0，
2023年中考数学复习《二次函数综合压轴题》培优提升专题训练(含解析)
2023年春九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》培优提升专题训练（附答案）1．已知：抛物线y＝x2+x+m交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中点B在点A 的右侧，且AB＝7． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点D在第一象限内抛物线上，连接CD，AD，AD交y轴于点E．设点D 的横坐标为d，△CDE的面积为S，求S与d之间的函数关系式（不要求写出自变量d的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DH⊥CE于点H，点P在DH上，连接CP，若∠OCP＝2∠DAB，且HE：CP＝3：5，求点D的坐标及相应S的值． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B，C，D的坐标分别（1，0），（3，0），（3，4），以A为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D匀速运动，过点P作PE⊥x轴，交对角线AC于点N．设点P运动的时间为t（秒）． （1）求抛物线的解析式； （2）若PN分△ACD的面积为1：2的两部分，求t的值； （3）若动点P从A出发的同时，点Q从C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D匀速运动，点H为线段PE上一点．若以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形，求t的值． 3．如图1，过原点的抛物线与x轴交于另一点A，抛物线顶点C的坐标为，其对称轴交x轴于点B．
（1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，求使△ACD 面积最大时点D的坐标； （3）在对称轴上是否存在点P，使得点A关于直线OP的对称点A'满足以点O、A、C、A'为顶点的四边形为菱形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．综合与探究 如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，顶点为D． （1）求抛物线的解析式及点D坐标； （2）在直线l上是否存在一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在x轴上取一动点P（m，0），﹣3＜m＜﹣1，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线，AD，AC于点E，F，G． ①判断线段FP与FG的数量关系，并说明理由 ②连接EA，ED，CD，当m为何值时，四边形AEDC的面积最大？最大值为多少？ 5．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）与双曲线y＝相交于点A、B，已知点A坐标（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．
专题13二次函数综合问题(共40题)-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用【原卷版】
备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用） 专题13二次函数综合问题 一．解答题（共40小题） 1．（2022•孝感）抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．（1）直接写出点B和点D的坐标； （2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标； （3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值． 2．（2022•武汉）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P． （1）直接写出A，B两点的坐标； （2）如图（1），当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标； （3）如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求的值（用含m的式子表示）．
3．（2022•娄底）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．（1）请直接写出点A，B，C的坐标； （2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值． （3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2022•广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C． （1）求a，b满足的关系式及c的值； （2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△ABP周长的最小值； （3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．
2019年中考数学真题分类专项训练--二次函数综合题(含答案)
2019年中考数学真题分类专项训练--二次函数综合题 1．（2019广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y = 23333 848 x x +- 与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），点D 为抛物线的顶点，点C 在y 轴的正半轴上，CD 交x 轴于点F ，△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE ， 点A 恰好旋转到点F ，连接BE ． （1）求点A 、B 、D 的坐标； （2）求证：四边形BFCE 是平行四边形； （3）如图2，过顶点D 作DD 1⊥x 轴于点D 1，点P 是抛物线上一动点，过点P 作PM ⊥x 轴，点M 为垂足，使得△PAM 与△DD 1A 相似（不含全等）． ①求出一个满足以上条件的点P 的横坐标； ②直接回答这样的点P 共有几个？ 解：（1）令 2333 848 x x +- =0， 解得x 1=1，x 2=–7．∴A （1，0），B （–7，0）． 由y = 2333848x x +-=23 3)38 x +-得，D （–3，–3）； （2）∵DD 1⊥x 轴于点D 1，∴∠COF =∠DD 1F =90°， ∵∠D 1FD =∠CFO ，∴△DD 1F ∽△COF ，∴ 11D D CO FD OF =，
∵D （–3，– ∴D 1D OD =3， ∵AC =CF ，CO ⊥AF ，∴OF =OA =1， ∴D 1F =D 1O –OF =3–1=2231 OC = ， ∴OC CA =CF =FA =2， ∴△ACF 是等边三角形，∴∠AFC =∠ACF ， ∵△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE ， ∴∠ECF =∠AFC =60°，∴EC ∥BF ， ∵EC =DC ， ∵BF =6，∴EC =BF ， ∴四边形BFCE 是平行四边形； （3）∵点P 是抛物线上一动点， ∴设P 点（x ， 23333 848 x x +- ）， ①当点P 在B 点的左侧时， ∵△PAM 与△DD 1A 相似， ∴ 11DD D A PM MA =或11DD D A AM PM =，
2021年中考数学复习：与圆相关的二次函数综合型压轴题解题技巧(含练习题及答案)
2021年中考数学复习：与圆相关的二次函数综合型压轴题解题技巧方法提炼： 1、运用转化的思想。转化的数学思想是解决数学问题的核心思想，由于函数与几何结合的问题都具有较强的综合性，因此在解决这类问题时，要善于把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”化为“已知”，把“抽象”的问题转化为“具体”的问题，把“复杂”的问题转化为“简单”的问题。 2、综合使用分析法和综合法。就是从条件与结论出发进行联想、推理，“由已知得可知”，“从要求到需求”，通过对问题的“两边夹击”，使它们在中间的某个环节上产生联系，从而使问题得以解决。 典例引领： 19．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴正半轴交于点C，对称轴为直线x＝1，且OB＝OC， （1）求抛物线的表达式； （2）D是直线BC上方抛物线上一点，DE⊥BC于E，若CE＝3DE，求点D的坐标； （3）将抛物线向左平移，使顶点P落在y轴上，直线l与抛物线相交于M、N两点（点M，N都不与点P重合），若以MN为直径的圆恰好经过O，P两点，求直线l的表达式．分析：（1）x＝﹣，则b＝2，设点C（0，c），则点B（c，0），将点B的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）3DE＝3×DH，CE＝CH﹣EH＝m﹣DH，即可求解；
（3）在点O处，，在点P处，，即可求解．解：（1）x＝﹣，则b＝2， 设点C（0，c），则点B（c，0）， 将点B的坐标代入二次函数表达式并解得：c＝3， 故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3， 函数的顶点为（1，4）； （2）过点D作y轴的平行线交直线BC与点H， 过点C作x轴的平行线交DH于点R， 将点C、B的坐标代入一次函数表达式得： 直线BC的表达式为：y＝﹣x+3， 设点D（m，﹣m2+2m+3），则点H（m，3﹣m）， ∵OB＝OB＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∴CR＝CH＝m，DH＝﹣m2+2m+3﹣3+m＝﹣m2+3m， 3DE＝3×DH， CE＝CH﹣EH＝m﹣DH， ∵CE＝3DE，即RH＝2DH，
2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合(含答案)
2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合 1．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE⊥BC于点H，交⊙O于点E，点D为OE的延长线上一点，DC的延长线与BA的延长线交于点F﹐且∠BOD= ∠BCD，连结BD、AC、CE. （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）过E作EG⊥FD于点G，求证：△CHE≌△CGE； （3）如果AF=1，sin∠FCA=√3 3 ，求EG的长. 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=−1 2x+2 与x轴交于点A，与y轴交于点 B，抛物线y=−2 3x 2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C(5 2, 3 4) . （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上的一动点，当∠PAO=∠BAO时，求点P的坐标； （3）点N(n,0) (0 如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0)，D(3,4)两点，直线AD与y 轴交于点Q．点P(m,n)是直线AD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，并且交直线AD于点E． （1）请直接写出抛物线与直线AD的函数关系表达式； （2）当CP//AD时，求出点P的坐标； （3）是否存在点P，∠CPE=∠QFE？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 4．如图，在梯形ABCD中，AD⊙BC，⊙B=90°，BC=6，AD=3，⊙DCB=30°．点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边⊙EFG，设E点移动距离为x（x＞0）． （1）⊙EFG的边长是（用含有x的代数式表示），当x=2时，点G的位置在； （2）若⊙EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求y与x之间的函数关系式； （3）探究（2）中得到的函数y在x取何值时，存在最大值？并求出最大值． 5．如图，抛物线y=−3 4x 2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，点 M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N． 2022-2023学年九年级数学中考复习《圆、二次函数压轴题》解答题专题训练（附答案）1．（1）已知AC是半圆O的直径，∠AOB＝（）°（n是正整数，且n不是3的倍数）是半圆O的一个圆心角． 【操作】如图1，分别将半圆O的圆心角∠AOB＝（）°（n取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【交流】当n＝11时，可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB＝（）°所对的弧三等分吗？ 从上面的操作我发现，就是利用60°、（）°所对的弧去找（）°的三分之一 即（）°所对的弧 我发现了它们之间的数量关系是4×（）°﹣60°＝（）°．我再试试：当n＝28时，（）°、60°、（）°之间存在数量关系．因此可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB＝（）°所对的弧三等分． 【探究】你认为当满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB＝（）°所对的弧三等分？说说你的理由； （2）如图2，⊙O的圆周角∠PMQ＝（）°．为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 2．一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A、原点O和一次函数y＝x+1图象上的点B（m，）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图1，一次函数y＝x+n（n＞﹣，n≠1）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），过点C作直线l1⊥x轴于点E，过点D 作直线l2⊥x轴，过点B作BF⊥l2于点F． ①x1＝，x2＝（分别用含n的代数式表示）； ②证明：AE＝BF； （3）如图2，二次函数y＝a（x﹣t）2+2的图象是由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象平移后得到的，且与一次函数y＝x+1的图象交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3⊥x轴，过点Q作直线l4⊥x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，过点A′作A′M⊥l3于点M，过点B′作B′N⊥l4于点N． ①A′M与B′N相等吗？请说明你的理由； ②若A′M+3B′N＝2，求t的值． 二次函数与圆的综合题（中考数学压轴题必考） 例1.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在左边），抛物线经过点D以AB为直径画⊙P，试判定点D与⊙P的位置关系，并证明． 练习1.如图，二次函数y＝ax2﹣（a+1）x（a为常数，且0＜a＜1）的图象过原点O并与x轴交于点P；过点A（1，﹣1）的直线l垂直y轴于点B，并与二次函数的图象交于点Q，以OA为直径的⊙C交x轴于点D，连接DQ．（1）点B与⊙C的位置关系是； （2）点A是否在二次函数的图象上；（填“是”或“否”） （3）若DQ恰好为⊙C的切线， ①猜想：四边形OAQD的形状是，证明你的猜想； ②求二次函数的表达式． 例2.如图示已知点M的坐标为（4，0），以M为圆心，以2为半径的圆交x轴于A、B，抛物线过A、B两点且与y轴交于点C．过C点作⊙M 的切线CE，求直线OE的解析式． 练习2.平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴，设平行于x轴的直线交抛物线y＝﹣x2﹣x+2于E，F 两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由． 练习3.如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y 轴交于点C（0，2）．以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式． 练习4.如图，抛物线y＝﹣x2+x+2．经过A、B、C三点，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C，M为抛物线的顶点，试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论． 2023年九年级中考数学专题训练：二次函数综合 一、单选题 1．已知抛物线()2 330y x x c x =++-≤≤与直线2y x =-有且只有一个交点，若c 为整数， 则c 的值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．方程231x x +=的根可视为函数3y x 的图象与函数1 y x =的图象交点的横坐标， 那么用此方法可推断出方程321x x +=-的实数根x 所在的范围是（ ） A ．1 12 x -<<- B ．1123 x -<<- C ．11 34 x -<<- D ．1 04 x -<< 3．如图，已知二次函数()()5 144 y x x =- +-的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，Р为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP ，交BC 于点K ，则 AP PK 的最小值为（ ） A ．94 B ．2 C ．74 D ．54 4．如图．抛物线y ＝ax 2+c 与直线y ＝mx +n 交于A （﹣1，p ），B （3，q ）两点，则不等式ax 2+mx +c ＞n 的解集为（ ） A ．x ＞﹣1 B ．x ＜3 C ．x ＜﹣3或x ＞1 D ．﹣1＜x ＜3 5．如图，抛物线y ＝12-x 2+7x ﹣45 2与x 轴交于点A ，B ，把抛物线在x 轴及共上方的部 分记作C 1将C 1向左平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ，若直线y ＝1 2 -x +m 与C 1， C 2共3个不同的交点，则m 的取值范是（ ） A ． 52928 m << B ． 129 28 m << C ． 545 28m << D ．145 28 m << 6．在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：若图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角 度，例如，如图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°．现将二次函数()2 13y ax a =≤≤的图 象在直线1y =下方的部分沿直线1y =向上：翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是（ ） A ．3060α︒≤≤︒ B ．120150α︒≤≤︒ C ．90120α︒≤≤︒ D ．6090α︒≤≤︒ 7．二次函数y =2x 2﹣2x +m （0＜m ＜ 12 ），如果当x =a 时，y ＜0，那么当x =a ﹣1时， 函数值y 的取值范围为（ ） A ．y ＜0 B ．0＜y ＜m C ．m ＜y ＜m +4 D ．y ＞m 8．如图，抛物线213 22 y x x =-++的图象与坐标轴交于点A ，B ，D ，顶点为E ，以AB 为直径画半圆交y 负半轴交于点C ，圆心为M ，P 是半圆上的一动点，连接EP ． ①点E 在①M 的内部； ①CD 的长为3 2 ①若P 与C 重合，则①DPE ＝15°； ①在P 的运动过程中，若AP =PE = ①N 是PE 的中点，当P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点N 运动的路径长是π． 2023年中考数学专题复习：二次函数综合题（角度问题） 1．如图，抛物线y=ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COD:S△COB＝1：3时，求点F的坐标； (3)如图2，点E的坐标为（0，﹣3 ），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？ 2 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(−2,0)、B(8,0)两点，与y轴交于点C(0,4)，连接AC、BC． (1)求抛物线的表达式； (2)将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积； (3)点P是抛物线上的一动点，当∠PCB=∠ABC时，求点P的坐标． 3．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A 试卷第2页，共10页 和点C ，抛物线y ＝ax 2﹣3x +c 经过A ，C 两点，并且与x 轴交于另一点B ．点D 为第四象限抛物线上一动点(不与点A ，C 重合)，过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，交直线AC 于点E ，连接BE ．设点D 的横坐标为m ． (1)求抛物线的解析式； (2)当∠ECD ＝∠EDC 时，求出此时m 的值； (3)点D 在运动的过程中，△EBF 的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由． 4．抛物线y ＝ax 2+4（a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左侧），AB ＝4，点P （2，1）位于第一象限． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M 在抛物线上，且使∠MAP ＝45°，求点M 的坐标； (3)将（1）中的抛物线平移，使它的顶点在直线y ＝x +4上移动，当平移后的抛物线与线段AP 只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围． 5．如图，抛物线23y ax bx =++经过点A （2，3），与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于 启东教育学科教师辅导讲义 二次函数试题 选择题：1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ） A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2-6x+24的顶点坐标是（ ） A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D （6，—6） 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 ①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２c 〈３b A １ B ２ C ３ D ４ 7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ） A B C D 二填空题： 13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c ＝－２的根为— ———————————。 17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y=x 2 +bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）． （1）求此二次函数的解析式． （2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积． 1 —1 x y y x -1 x y y x y x y 2022年春北师大版九年级数学中考复习《二次函数与圆综合压轴题》 专题突破训练（附答案） 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣6x+6与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B． （1）抛物线解析式为； （2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段MN的长度最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度； （3）如图2，以B为圆心、2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若点P是⊙B上一动点，连接P A，以P A为腰作等腰Rt△P AD，使∠P AD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD． ①将线段AB绕点A顺时针旋转90°，请直接写出B点的对应点B′的坐标； ②求FD长度的取值范围． 2．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）经过点A（﹣3，5），B（5，3），交y轴于点C，以AB为直径的圆，经过点O，C，交x轴于点D，连结AO，AC．（1）求抛物线的函数表达式； （2）求点D的坐标； （3）点E在x轴上，连结BD，BE．当△BDE与△OAC相似时，求满足条件的OE长． 3．如图1，在平面直角坐标系中，⊙P是△AOC的内切圆，点D，E，F为切点，连接CD 交⊙P于点G，⊙P的半径为2，EG∥x轴，AB＝AC，抛物线经过A，B，C三点．（1）求证：△ADP≌△COD； （2）求抛物线的解析式； （3）如图2，点M在抛物线上，且在直线AC的上方，MN∥y轴交AC于点N，过点N 作NK⊥BC，垂足为K．设t＝MN+NK，求t的最大值及此时点M的坐标． 4．在直角坐标系中，⊙A的半径是2，圆心A的坐标为（1，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，直线BC与⊙A交于点C，与x轴交于点B（﹣3，0）．（1）求证：BC是⊙A的切线； （2）若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线BC上，与x轴的交点恰好为点E、F，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ECM的周长最小时，请直接写出点M的坐标． 2021年九年级数学中考复习《二次函数综合性压轴题》专题突破训练（附答案）1．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B两点，点C（6，4）在抛物线上． （1）直接写出B点坐标：，抛物线解析式为（一般式）； （2）如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且∠DCA＝2∠CAB，求点D的坐标； （3）如图2，直线y＝mx+n与抛物线交于点E、F，连接CE、CF分别交y轴于点M、N，若OM•ON＝3，求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标． 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，2）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第一象限内的抛物线上一点，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点Q，求PQ+CQ的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）如图2，将抛物线沿射线BC的方向平移个单位长度，得到新抛物线y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），新抛物线与原抛物线交于点G．点M是x轴上一点，点N是新抛物线上一点，若以点C、G、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标． 3．如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A，B． （1）求抛物线的解析式； （2）E（m，0）为x轴上一动点，过点E作ED⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接BP． ①点E在线段OA上运动，若△BPD直角三角形，求点E的坐标； ②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°．请直接写出m的值． 4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3，与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴的交于点C．点P是线段BC上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D． （1）求抛物线的表达式； （2）连接CD、DB．当△BDC的面积最大时，求△BDC面积的最大值以及此时点P的坐标？ （3）是否存在点P，使得△PCD是等腰三角形，若存在，求出P点的坐标．若不存在， 2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》专题突破训练（附答案）1．二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）、B（，0）． （1）求a、b的值； （2）P是二次函数图象在第一象限部分上一点，且∠P AB＝∠OCA，求P点坐标； （3）在（2）的条件下，有一条长度为1的线段EF落在OA上（E与点O重合，F与点A重合），将线段EF沿x轴正方向以每秒个单位向右平移，设移动时间为t秒，当四边形CEFP周长最小时，求t的值． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）在第二象限内是否存在一点M，使得四边形ABCM为矩形？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（2，2），B（3，﹣1）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若一次函数y＝﹣2x+m的图象与二次函数的图象有交点，求m的取值范围； （3）过点P（0，p）作x轴的平行线MN，以MN为对称轴将二次函数的图象位于MN 上方的部分翻折，若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴的正半轴，直接写出p的取值范围． 4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C （0，4），顶点为点D，直线x＝1是抛物线的对称轴，且与直线BC交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）点F是直线BC上方抛物线上的一点，连接DF，EF，若△FDE的面积等于，求点F的坐标； （3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标． 2023年春九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》解答题专题训练（附答案）1．如图，直角三角形的斜边AB在x轴上，直角顶点在y轴正半轴上，已知A（﹣1，0），C（0，2），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A，B，C． （1）求抛物线的解析式． （2）如图①，点P是y轴右侧抛物线上一动点，若∠PCB＝∠ACO，求点P的坐标．（3）如图②，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接P A交BC于点E，交y轴于点F，连接PB．设△PBE，△CEF的面积分别为S1，S2，求S1﹣S2的最大值． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C（0，﹣3），直线y＝﹣x+m经过A、B两点． （1）求抛物线的解析式． （2）观察图象，直接写出不等式ax2+bx+c＜﹣x+m的解集． （3）在y轴上是否存在点D，使∠BDO＝∠OBA？如果存在，直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象交x轴分别于A，D两点，交y轴于B点，顶点为C． （1）求抛物线的对称轴； （2）求tan∠BAC； （3）在y轴上是否存在一点P，使得以P，B，D三点为顶 点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标； 如果不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0），C（﹣1，0）． （1）求抛物线和直线AB的解析式； （2）点P是直线AB上方抛物线上一动点． ①当△P AC的面积最大时，直接写出点P的坐标； ②过点P作PN∥y轴交AB于点N，是否存在一点P，使△P AB的面积最大？若存在， 求出最大面积及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在AB下方的抛物线上是否存在点Q，使得S△QAB＝S△OAB？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC． （1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式； （2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由； （3）点P是抛物线图象上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，直接写出点P的坐标．2023 年九年级数学中考复习 圆、二次函数压轴题 解答题专题训练(含解析)
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