级数敛散性判别方法的归纳
级数敛散性判别方法的归纳
级数是数列之和的概念在数学中的推广。级数的敛散性是数学中的一个重要问题，判别级数的敛散性常用的有几个方法，包括比较判别法、比值判别法和积分判别法。下面我们将对这几种方法进行详细的归纳阐述。
一、比较判别法（包括比较判别法和比较判别法的极限形式）
比较判别法的基本思想是用一个已知的级数和未知的级数进行比较，从而判断未知级数的敛散性。
1.比较判别法
对于正项级数∑a_n和∑b_n，如果存在正数c和N，使得当n>N时，有a_n≤cb_n成立，那么：
（1）若∑b_n收敛，则∑a_n也收敛。
（2）若∑b_n发散，则∑a_n也发散。
2.比较判别法的极限形式
对于正项级数∑a_n和∑b_n，如果存在正数c和N，使得当n>N时，有lim(a_n/b_n)=c成立，那么：
（1）若0 （2）若c=0，则∑b_n收敛，则∑a_n也收敛。 （3）若c=∞，则∑b_n发散，则∑a_n也发散。 比较判别法适用于一些特殊情况，如∑(1/n^p)的敛散性可以通过与调和级数∑(1/n)做比较来判断。 二、比值判别法 比值判别法的基本思想是通过比较级数的相邻项之比的极限值，从而判断级数的敛散性。 对于正项级数∑a_n，计算lim(a_(n+1)/a_n)，若这个极限存在： （1）若0≤lim(a_(n+1)/a_n)<1，级数收敛； （2）若lim(a_(n+1)/a_n)>1或lim(a_(n+1)/a_n)=∞，级数发散； （3）若lim(a_(n+1)/a_n)=1，比值判别法无效，需使用其他方法。 比值判别法适用于一些具有指数函数的级数，如幂级数∑(x^n)的敛散性可以通过计算lim(x^(n+1)/x^n)，进而判断。 三、积分判别法 积分判别法是通过将级数转化为函数积分的形式，从而判定级数的敛散性。对于正项级数∑a_n，若存在函数f(x)，使得f(x)满足以下条件：（1）f(x)在区间[1,+∞)上连续非负递减； （2）级数∑a_n与函数积分∫f(x)dx存在以下关系：a_n=f(n)，则（a）若∫f(x)dx在区间[1,+∞)上收敛，则级数∑a_n也收敛； （b）若∫f(x)dx在区间[1,+∞)上发散，则级数∑a_n也发散。 积分判别法适用于一些存在复杂函数的级数，如指数函数与三角函数的组合级数。 需要注意的是，以上的判别方法适用于正项级数，对于一般级数，需要先进行正项分解，并在判别过程中考虑正负项的情况。 综上所述，比较判别法、比值判别法和积分判别法是判别级数敛散性常用的方法。在应用这些方法时，我们需要根据级数的形式选择合适的判别方法，并进行适当的计算和推导，才能得出对级数敛散性的准确判断。 级数敛散性判别方法的归纳 级数是数列之和的概念在数学中的推广。级数的敛散性是数学中的一个重要问题，判别级数的敛散性常用的有几个方法，包括比较判别法、比值判别法和积分判别法。下面我们将对这几种方法进行详细的归纳阐述。 一、比较判别法（包括比较判别法和比较判别法的极限形式） 比较判别法的基本思想是用一个已知的级数和未知的级数进行比较，从而判断未知级数的敛散性。 1.比较判别法 对于正项级数∑a_n和∑b_n，如果存在正数c和N，使得当n>N时，有a_n≤cb_n成立，那么： （1）若∑b_n收敛，则∑a_n也收敛。 （2）若∑b_n发散，则∑a_n也发散。 2.比较判别法的极限形式 对于正项级数∑a_n和∑b_n，如果存在正数c和N，使得当n>N时，有lim(a_n/b_n)=c成立，那么： （1）若0 二、比值判别法 比值判别法的基本思想是通过比较级数的相邻项之比的极限值，从而判断级数的敛散性。 对于正项级数∑a_n，计算lim(a_(n+1)/a_n)，若这个极限存在： （1）若0≤lim(a_(n+1)/a_n)<1，级数收敛； （2）若lim(a_(n+1)/a_n)>1或lim(a_(n+1)/a_n)=∞，级数发散； （3）若lim(a_(n+1)/a_n)=1，比值判别法无效，需使用其他方法。 比值判别法适用于一些具有指数函数的级数，如幂级数∑(x^n)的敛散性可以通过计算lim(x^(n+1)/x^n)，进而判断。 三、积分判别法 积分判别法是通过将级数转化为函数积分的形式，从而判定级数的敛散性。对于正项级数∑a_n，若存在函数f(x)，使得f(x)满足以下条件：（1）f(x)在区间[1,+∞)上连续非负递减； （2）级数∑a_n与函数积分∫f(x)dx存在以下关系：a_n=f(n)，则（a）若∫f(x)dx在区间[1,+∞)上收敛，则级数∑a_n也收敛； （b）若∫f(x)dx在区间[1,+∞)上发散，则级数∑a_n也发散。 积分判别法适用于一些存在复杂函数的级数，如指数函数与三角函数的组合级数。 需要注意的是，以上的判别方法适用于正项级数，对于一般级数，需要先进行正项分解，并在判别过程中考虑正负项的情况。 关于正项级数敛散性判定方法的总结比较 正项级数指的是所有项都是正数的级数。求解正项级数的敛散性是数学分析、高等数学、物理等学科中经常使用的基本问题。以下是关于正项级数敛散性判定方法的总结。 1. 通项公式法 如果正项级数的通项公式可以明确地表示出来，那么可以通过解析判断级数的敛散性。例如：$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$，该级数的通项公式为 $\frac{1}{n^2}$，由于是调和级数的平方，因此它是收敛的。但如果通项公式不容易明 确表示出来，就需要采用其他方法。 2. 比较判别法 当正项级数与一个已知收敛或发散的级数的通项公式形式非常类似时，就可以使用比 较判别法。若存在一个收敛级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$，则当正项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$满足 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=c>0$时，$\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$与$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$同时敛散。其中，$a_n$和$b_n$都是正数。 3. 极限比值法 极限比值法也叫作柯西-黎曼判别法。该方法需要计算正项级数的项数无穷大时的比 值$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$，如果该比值$<1$，则级数收敛； 如果$>1$，则级数发散；如果$=1$，则判别不出敛散性。此外，当无法计算极限时，也可 以将比值的极限转化为自然对数的形式再进行计算。 将正项级数转化为积分形式，再判断积分的敛散性。若存在一个$a>0$，使得函数 $f(x)$在$[a,+\infty)$上单调递减且非负，则当正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$的通项公式为$a_n=f(n)$时，级数敛散与积分$\int_a^{+\infty} f(x)dx$的敛散性 相同。 5. 积分判别法的变形 以上就是正项级数敛散性判定方法的总结比较。不同的方法适用于不同类型的正项级数，选择合适的方法能够有效地解决敛散性问题。 第六讲 数项级数的敛散性判别法 §1 柯西判别法及其推广 比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理I ：设 1 n n u ∞=∑，1 n n v ∞ =∑都是正项级数，存在0c >，使 (1,2,3,...)n n u cv n ≤= （i ） 若 1 n n v ∞ =∑收敛，则 1 n n u ∞ =∑也收敛；（ii ） 若 1 n n u ∞ =∑发散，则 1 n n v ∞ =∑也发散． 比较原理II （极限形式）设 1 n n u ∞ =∑，1 n n v ∞ =∑均为正项级数，若 lim (0,)n n n u l v →∞=∈+∞ 则 1 n n u ∞=∑、1 n n v ∞ =∑同敛散． 根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它 级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而 得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法． 定理1（柯西判别法1）设 1 n n u ∞ =∑为正项级数， （i ）若从某一项起（即存在N ，当n N > 1q ≤<（q 为常数）， 则 1 n n u ∞ =∑收敛； （ii 1≥，则1 n n u ∞ =∑发散． 证（i ）若当n N > 1q ≤<，即n n u q ≤，而级数 1 n n q ∞ =∑收敛， 根据比较原理I 知级数 1 n n u ∞ =∑也收敛． （ii ） 1≥，则1n u ≥，故l i m 0n n u →∞ ≠，由级数收敛的必要条件知 1 n n u ∞ =∑ 发散．定理证毕． 定理2（柯西判别法2） 设 1 n n u ∞ =∑ 为正项级数，n r =， 则：（i ）当1r <时，1 n n u ∞ =∑收敛；（ii ） 当1r >（或r =+∞）时，1 n n u ∞ =∑发散；（iii ）当1r =时，法则失效． 例1 判别下列正项级数的敛散性 23123(1)()()()357 21 n n n +++ +++；n n n e ∞ -∑n=1 (2) n n x α∞ ∑n=1 (3) （α为任何实数，0x >）． 解 (1) 因为11 2 n r ==<，所以原级数收敛． (2) 因为lim n n n r e →∞===∞，所以原级数发散． (3) 对任意α，n r x ==．当01x <<时收敛；当1x >时发散；当1x =时， 此时级数是p -级数，要对p α=-进行讨论，当1α->，即1α<-时收敛；当1 α- ≤时，即1α ≥-时发散． 例2 判别级数11[(1)]3 n n n n ∞ =+-∑的敛散性． 解 由于 (1)lim 3 n n n n →∞-== 不存在，故应用定理2 无法判别级数的敛散性．又因为 (1)1133 n q -==≤=< 由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛． 例3（98考研）设正项数列{}n a 单调减少，且1(1)n n n a ∞ =-∑发散，试问级数111n n n a ∞ =?? ?+?? ∑是否收敛？并说明理由． 级数判别法 基本定理：正项级数收敛的充要条件是： ∑∞ =1 n n a 的部分和数列 }{n S 有界。 1、 比较判别法：设 ∑∞=1 n n a 和∑∞ =1 n n b 是两个正项级数，且存在 0>N ，使当N n >时，有不等式n n b a ≤，则： ○ 1：∑∞ =1n n b 收敛 ∑∞ =?1 n n a 收敛。 ○ 2：∑∑∞ =∞ =?10 1 n n n n b a 发散发散。 2、 比较判别法极限形式：设 ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 是两个正项级数，且 λ=+∞→n n n b a lim ，则： ○ 1：当+∞<<λ0时，∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 具有相同的敛散性。 ○ 2：当0=λ时，∑∞=1 n n b 收敛∑∞ =?1n n a 收敛。 ○ 3：当+∞=λ时，∑∞=1 n n b 发散∑∞ =?1 n n a 发散。 3、 比较判别法II ：设有两正项级数 ∑∑∞ =∞ =10 1 n n n n b a 和，)0,0(≠≠n n b a 满足： n n n n b b a a 1 1++≤，则： ○ 1：∑∞ =1 n n b 收敛 ∑∞ =?1 n n a 收敛。 ○ 2：∑∞ =1 n n a 发散∑∞ =? 1 n n b 发散。 4、 比值判别法（达朗贝尔）：设 ∑∞ =1 n n a 为正项级数，则： 1°若当n 充分大时有： 11 <≤+q a a n n ，则级数∑∞ =1n n a 必收敛。 2°若当n 充分大时有： 11 ≥+n n a a ，则级数∑∞=1 n n a 必发散。 5、 达朗贝尔判别法的极限形式：设 ∑∞ =1 n n a 为正项级数，且 2111lim lim λλ==+∞→+∞→n n n n n n a a ，a a ，+∞≤2,1λ，则： 1°：当11 <λ时，级数∑∞ =1n n a 收敛。 2°：当 12>λ时，级数∑∞ =1 n n a 发散。 6、 根值判别法（Cauchy ）：设 ∑∞ =1 n n a 为正项级数，则： 级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发 散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性 定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。 二 正项级数的收敛判别 各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法 1 比较判别法 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数,如果存在某正数N ，对一切n ＞N 都有 n n v u ≤，则 （i ）级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛； （ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。 例 1 . 设∑∞ =1 2 n n a 收敛，证明：∑ ∞ =2 ln n n n n a 收敛（n a >0）. 证明：因为 0<∑∞ =1 2 n n a <)ln 1(212 2n n a n + 易知：∑∞ =22ln 1n n n 收敛（积分判别法），又∑∞=22n n a 收敛，所以)ln 1 212 2 2 n n a n n +∑∞ =（收敛。 由比较判别法知∑ ∞ =2ln n n n n a 收敛（n a >0）. 例 2 . 证明：级数)0(sin )1(1 ≠?-∑∞ =x n x n 都是条件收敛的。 证： 不妨设x>0,则?x N >0，当n>x N 时，0< n x <2π,此时0sin >n x ,且{n x sin } 关于正项级数敛散性判定方法的总结比较 摘要：本文将对正项级数的敛散性问题进行研究，引入常用的比较判别法和比值判 别法，而后再给出相应的级数作为比较尺度后，得到了相应的达朗贝尔判别法和柯西根式 判别法，并给出了相应的极限形式和上下极限形式的版本。在采用更加精细的级数作为比 较尺度后，引出了拉贝尔判别法，并对上述的几种方法进行了总结和分析。 关键词：正项级数敛散性达朗贝尔判别法柯西根式判别法拉贝尔判别法 引言 随着正负无穷的引入，人们对于数字的理解不再拘泥于传统意义上的有限数字。此时，关于一列已知序列求和的敛散性问题便应运而生。如何判断一列序列求和是有限的还是发 散的，成为数学分析中的一个重要问题，受到了很多的关注和研究，产生了诸如比较判别法、达朗贝尔判别法和柯西根式判别法等等。本文将对目前常用的一些判定方法进行归纳，并对它们的适用性和局限性进行分析。 一、比较判别法、比值判别法及达朗贝尔判别法 我们在本节中将介绍三种常用的判别方法——比较判别法、比值判别法和达朗贝尔判 别法，在引入序列的上下极限以后，给出极限形式和上下极限形式下的达朗贝尔判别法， 从而使得达朗贝尔判别法得到很好的总结和完善。而后改变比较级数的尺度，对达朗贝尔 判别法进行推广，引入拉贝尔判别法，使得比较变得更加的精细和准确[1]。 1.比较判别法和比值判别法 当我们遇到一个未知的序列以后，我们可以将它与已知的收敛或者发散的序列进行比较，进而来判断它的敛散性，从而诞生了比较判别法和比值判别法。为了下文的行文的简 单性，我们用符号来表示[2]。 定理1（比较判别法）假设级数和均为正项级数，那么我们有： （1）如果收敛且存在和，使得，，那么也收敛; （2）如果发散且存在和，使得，，那么也发散。 为了方便使用，我们这里引入极限形式的比值判别法. 推论1设级数和均为正项级数 令则有： （1）如果收斂，且，那么也收敛; （2）如果发散，且，那么也发散。 摘要 级数理论是数学分析的重要组成部分，研究级数对于深入探讨数学分析问题有着深远的意义。级数理论中最重要的问题和学者研究最多的问题则是关于级数收敛与发散的问题。级数的收敛与发散性质更是级数存在当中的最基本的立足点。 基于级数发散和收敛的问题，本文对级数进行了比较详细和系统的介绍，并在级数收敛性方面进行了较为详细的概括，包括级数的分类和收敛性的总结和应用。本文第一个部分首先对常见的级数：常数项级数、正项级数、交错级数、函数项级数、幂级数、傅立叶级数，进行了大概的介绍，并从常见级数的定义、常见级数的分类、级数收敛发散的充要条件和对应级数常用的收敛判别方法进行详细的分析概括。 本文的第二个部分针对具体的级数收敛方法，从方法的定义和方法的具体例子应用两个方面对其进行较为全面的介绍和分析，其中包括：判别级数发散与收敛的简单方法、比较判别法、比值判别法、高斯判别法、达朗贝尔判别法、对数判别法、积分判别法、拉贝判别法、柯西判别法。 最后，本文第三部分通过整理级数散敛性判断的方法，对本文进行一个综合的概括，主要从基于级数类型的方法和基于通项特征的方法两个方面总结了解答收敛性问题的分析思路和如何更快的寻找有效的方法。 关键词：级数敛散性方法 Abstract Progression theory is an important part of the mathematical analysis. The study of series is of profound significance for further discussing mathematical analysis problems. Series convergence and divergence problem is the most important question in progression theory that many researchers research on. For the analysis, series convergence and series divergence is of the basic foothold existing in mathematical analysis. Firstly, based on the series convergence and series divergence, this thesis gives a detailed and systematical introduction to series, and a more detailed summary of series convergence, including the classification of series, application of convergence. Firstly, this paper has a general introduction to common series, including constant series, series of positive term, staggered series, series with function terms, power series, fourier series. Besides, the paper has detailed analysis and summary of the definition of common series, the classification of common series, and the sufficient and necessary conditions for the convergence series, together with the commonly used identification methods of corresponding series. And then the second part of this article has a comprehensive introduction and analysis of the method’s definition and specific examples application of the method, including: simple method distinguishing the divergence of a series , comparative method, ratio method, Gauss method, D'Alembert discriminant method, Logarithmic method, integral method, Rabe method, and Cauchy method. Finally, the third part of this paper made a comprehensive summary through sorting out identifying methods of series convergence and divergence. Based on the types of series and the methods of general term characteristics, this paper summarized the analysis mentality and effective ways of solutions to convergence problem. Key words: Series Convergence Mathod 八个常见级数的敛散性2篇 第一篇：八个常见级数的敛散性（一） 级数是数学中一个非常重要的概念，它是由一列数相加而得到的 结果。在实际应用和数学理论中，人们经常需要研究级数的敛散性。 散指的是级数的和无穷大，而敛则是指的是级数的和有一个有限的极 限值。本文将讨论八个常见级数的敛散性。 1. 等比级数 等比级数是指项之间的比例是一个常数的级数，比如 1+1/2+1/4+1/8+…。对于等比级数来说，当公比绝对值小于1时，级 数是收敛的，当公比绝对值大于等于1时，级数是发散的。 2. 调和级数 调和级数是指级数的项是调和数的级数，比如 1+1/2+1/3+1/4+…。对于调和级数来说，它是发散的，因为随着项数 的增加，每一项都趋近于无穷大，所以级数的和也趋近于无穷大。 3. 幂级数 幂级数是指级数的项是幂函数的级数，比如1+x+x^2+x^3+…。 对于幂级数来说，它的敛散性取决于幂函数的底数 x 的取值范围。当 x 的绝对值小于1时，幂级数是收敛的，当 x 的绝对值大于等于1时，幂级数是发散的。 4. 几何级数 几何级数是指级数的项是等比数列的级数，比如 1+x+x^2+x^3+…。对于几何级数来说，当公比绝对值小于1时，级数 是收敛的，当公比绝对值大于等于1时，级数是发散的。 5. 斯特林级数 斯特林级数是一种逼近阶乘函数的级数，它的公式为：n! ≈ √(2πn) (n/e)^n，其中 n 是一个正整数。斯特林级数收敛非常快， 可以用来估计阶乘函数的值。 6. 莱布尼茨级数 莱布尼茨级数是指级数的项是交替数列的级数，比如 1- 1/2+1/3-1/4+…。莱布尼茨级数是发散的，但是它是交替发散的，也 就是说，它的和会在一定范围内波动，但不会趋于无穷大或负无穷大。 7. 邹次定理 邹次定理是一个判断级数敛散性的定理，它的原理是通过比较级 数的项与调和级数的项的大小来判断。如果级数的项大于等于调和级 数的项，那么级数一定是散的；如果级数的项小于调和级数的项，那 么级数的敛散性就不确定，需要进一步研究。 8. 绝对收敛与条件收敛 绝对收敛是指级数的所有项都是正数，并且级数收敛；条件收敛 是指级数的项无论正负，级数都收敛。绝对收敛的级数一定是收敛的，而条件收敛的级数有可能是发散的。 这些是八个常见级数的敛散性，通过对这些级数的研究，我们可 以更好地理解级数的特点和性质，并且可以在实际应用中灵活运用。 对于数学的研究者和爱好者来说，级数的敛散性是一个非常有趣和重 要的课题，希望本文能对读者有所帮助。 第二篇：八个常见级数的敛散性（二） 在上一篇文章中，我们介绍了八个常见级数的敛散性，本文将继 续讨论一些与级数敛散性相关的概念和定理。 9. 洛朗级数 洛朗级数是一种用来展开复变函数的级数。它的形式为 ∑(a_n(z-z_0)^n)，其中 a_n 是常数，z 和 z_0 是复数。洛朗级数 的敛散性与展开点 z_0 的选取相关，对于某些 z_0，洛朗级数可以收 敛于一个复变函数。 10. 绝对收敛收敛域 对于幂级数来说，存在一个区间，使得当指数在这个区间内变化时，幂级数绝对收敛。这个区间称为幂级数的收敛域。对于一个幂级数，如果指数在其收敛域外变化，幂级数一定是发散的。 11. 交错级数收敛定理 交错级数收敛定理是一个用来判断交错级数敛散性的定理。根据 交错级数的项的绝对值递减且趋于零，以及满足项之间绝对值递减的 淮北师范大学信息学院 2012 届学士学位论文 级数敛散性的判别方法 系别:数学系 专业:数学与应用数学 学号: 20081884083 姓名: 赵高 指导教师: 陈冬君 指导教师职称: 讲师 2012年 5 月10 日 级数敛散性的判别方法 赵高 (淮北师范大学信息学院，淮北，235000) 摘要 级数有很多重要的性质，其中敛散性是级数的一个非常重要的性质，敛散性的判别方法也一直是人们研究的热点.通过判别级数的敛散性进一步了解级数的性质.本文探论了正项级数、交错级数以及任意项级数敛散性的判别方法，正项级数、交错级数、任意项级数通项的多变性,决定了判别正项级数、交错级数、任意项级数敛散性的方法会有多种，主要有达朗贝尔判别法、柯西判别法、莱布尼茨判别法、狄利克雷判别法.当然由于通项的特殊性也会有特殊的方法判别.本文通过归纳一些判别正项级数与交错级数敛散性的方法,让人们在学习过程中对级数敛散性的判别能够很好的把握，并掌握这些判别法成立的条件. 关键词：正项级数、交错级数、敛散性、判别法. The Convergence of the Series of Discriminant Method Zhao Gao College of Information Technology Huaibei Normal University, Huaibei,235000 Abstract The series has a lot of important properties, which is the series convergence and divergence of a very important properties, criteria for convergence and divergence has been the focus of study. Through judging the convergence of series to further understand the series nature. This article of the series of positive terms, staggered series as well as any series convergence and divergence sexual discriminant method, a series of positive terms, staggered series, series of any general variability, determines the identification of series of positive terms, staggered series, any of the convergence of the series will have a variety of methods, mainly the d'Alembert discriminant method, Cauchy method, Leibniz method, di Like dilichlet discriminance. Of course due to the particularity of the general will also have the special methods of discriminant. This paper summarized some criteria for positive term series and the convergence of alternate series method, let people in the learning process of convergence of series of discriminant can be a very good grasp of, and grasp the discriminant conditions. Key words: Series of positive terms，Alternating series，Convergence and divergence，Discriminant analysis method 级数敛散性判断方法 级数敛散性判断方法是一种遵循规律性原则，并由此得出结论的数学方法。它通过观察数字的发展趋势，推理出结论，并应用于实际运算中，以提高准确性和精确性。 17世纪德国数学家施高维根据他发现的几何形式有规律可追据，发展出级数敛散性判断方法。根据此方法，若果某系数的项与系数的其他项之和收敛于某一值或点，则该系列为收敛级数。否则，如果该系数的项与系数的其他项相差越来越远，这种情况下，该系列属于散级数。 级数敛散性判断方法的应用简直遍布了几乎所有的数学领域，从数列和级数的基本性质到积分、微积分和许多复杂概念，都与级数敛散性判断方法有关。例如，函数本质上是一系列数字的变化趋势。那么，当自变量具有特定区间的数值时，若此变化趋势收敛于某一值，则可以说这个函数具有分析性；如果趋势不收敛，则该函数不具有分析性。 另一方面，级数敛散性判断方法也用于证明或否定一个数学命题的真实性。例如，当自变量x满足某个无限级数的规律时，若这个级数收敛于某一值，则可以断定某个命题为真；如果级数散离到无穷远，则该命题为假。因此，级数敛散性判断方法是验证一个数学命题真实性的有效手段。 此外，级数敛散性判断方法也被广泛应用于数据分析中。当处理大量数据时，经常可以用级数敛散性判断方法来进行趋势分析，这在市场营销中有着十分重要的应用价值。若某项数据的趋势收敛于某一 值，便可以预测未来的趋势，做出正确的决策。 简言之，级数敛散性判断方法是一种能够提高数据分析准确性和精确性的数学方法，它与几乎所有数学领域以及实际应用都有着深远的联系。从此，级数敛散性判断方法得以深入人们的日常生活，并发挥其高效性和可靠性。今天，这种方法在数学和实际应用中都得到了广泛应用，极大地提高了数据分析和决策的准确性和精确性。 级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发 散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性 定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。 二 正项级数的收敛判别 各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法 1 比较判别法 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数,如果存在某正数N ，对一切n ＞N 都有 n n v u ≤，则 （i ）级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛； （ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。 例 1 . 设∑∞ =1 2 n n a 收敛，证明：∑ ∞ =2 ln n n n n a 收敛（n a >0）. 证明：因为 0<∑∞ =1 2 n n a <)ln 1(212 2n n a n + 易知：∑∞ =22ln 1n n n 收敛（积分判别法），又∑∞=22n n a 收敛，所以)ln 1 212 2 2 n n a n n +∑∞ =（收敛。 由比较判别法知∑ ∞ =2ln n n n n a 收敛（n a >0）. 判断收敛发散的方法 收敛发散是数列或级数的一个重要性质，判断一个数列或级数是否收敛可以用一些数学方法来进行分析。下面我将介绍一些常用的判断收敛发散的方法。 首先，我们先来讨论数列的收敛性。数列是一个按照特定规律排列的一组实数。当数列的项随着自变量的增大逐渐趋于某个常数时，我们称该数列是收敛的；当数列的项无论如何变动都不趋向于某个常数时，我们称该数列是发散的。 1. 利用定义法。根据数列收敛的定义，我们可以通过寻找这个数列的极限值来判断数列的收敛性。如果数列的极限存在且唯一，则该数列为收敛数列；如果数列的极限不存在或不唯一，则该数列为发散数列。 2. 利用敛散性准则。常用的敛散性准则有以下几种。 (1) 单调有界准则。如果数列单调递增且有上界（或单调递减且有下界），则数列是收敛的。 (2) 夹逼准则。如果数列的前后两个数列夹住了另一个数列（即对于该数列的每一项，都存在两个数列的项，其中一个大于该项，另一个小于该项），且这两个数列都是收敛的，那么该数列也是收敛的。 (3) 柯西准则。如果对于任意给定的正数ε，都存在自然数N，使得数列的第n项和第m项差的绝对值小于ε（当n和m都大于N时），则该数列是收敛的。 (4) 收敛数列的任意子数列也收敛。 3. 利用极限的性质。若数列a(n)和数列b(n)有以下性质，那么可以通过运用这些性质来判断数列的收敛性。 (1) 如果数列a(n)收敛于A，数列b(n)收敛于B，则a(n)+b(n)收敛于A+B，a(n)-b(n)收敛于A-B。 (2) 如果数列a(n)收敛于A，数列b(n)收敛于B，则a(n)b(n)收敛于AB。 (3) 如果数列a(n)收敛于A，数列b(n)收敛于B且B≠0，则a(n)/b(n)收敛于A/B。 (4) 收敛数列的所有子数列的极限都相等。 接下来我们来讨论级数的收敛性。级数是把无穷多个数相加的结果，即部分和的极限。当级数的部分和数列收敛时，我们称该级数是收敛的；当级数的部分和数列发散时，我们称该级数是发散的。 1. 利用定义法。根据级数收敛的定义，我们可以通过寻找该级数的部分和数列的极限值来判断级数的收敛性。如果该部分和数列的极限存在且唯一，则该级数为收敛级数；如果该部分和数列的极限不存在或不唯一，则该级数为发散级数。 2. 利用敛散性准则。常用的敛散性准则有以下几种。 (1) 比较准则。如果级数的每一项都大于等于另一个收敛级数的对应项，那么该级数也收敛；如果级数的每一项都小于等于另一个发散级数的对应项，那么该级数也发散。 (2) 比值准则。如果级数的绝对值项的比值的极限为L，且L小于1，则该级 高数发散和收敛的判断方法 高数中的发散与收敛是一个非常重要的概念，它们与数列、函数及级数的性质密切相关。在本文中，我们将介绍一些判断数列、函数及级数发散与收敛的方法。 一、数列的发散与收敛判断 对于数列{an}来说，发散与收敛是判断其性质的基本问题。数列的收敛性可以通过极限的存在与唯一性来判断。如果数列{an}存在唯一的有限极限，则{an}是收敛的；如果数列{an}不存在有限极限，或者存在无穷极限，则{an}是发散的。 判断数列发散与收敛的方法有很多种，其中常用的有以下几种： 1. 利用定义判断：根据数列极限的定义，当对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|an - a| < ε，其中a为数列的极限。如果找不到这样的正整数N，就可以认为数列发散。 2. 利用数列的单调性：如果数列单调递增且有上界（或单调递减且有下界），则根据实数完备性原理可知该数列存在极限。 3. 利用夹逼定理：如果存在两个数列{bn}和{cn}，使得对于所有的n，有bn ≤ an ≤ cn，并且这两个数列都是收敛的，即lim(n→∞)bn = lim(n→∞)cn = a，则根据夹逼定理可知数列{an}收敛于a。 4. 利用数列的递推关系：对于递推定义的数列，可以通过找到其递推关系式，从而判断其收敛性。例如斐波那契数列就是通过递推关系来判断其发散与收敛的。 二、函数的发散与收敛判断 对于函数来说，收敛性的判断与数列类似，也是通过极限的存在与唯一性来判断。如果函数在某一点存在有限极限，则该函数在该点收敛；如果函数在某一点的极限不存在或为无穷大，则该函数在该点发散。 判断函数发散与收敛的方法也有多种，其中常用的有以下几种： 1. 利用定义判断：根据函数极限的定义，当对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得对于所有的x，只要0 < |x - a| < δ，就有|f(x) - L| < ε，其中L为函数的极限。如果找不到这样的δ，就可以认为函数发散。 2. 利用函数的单调性：如果函数在某一区间上单调递增且有上界（或单调递减且有下界），则根据实数完备性原理可知该函数存在极限。 3. 利用函数的介值性：如果函数在某一区间上连续且取到了区间的最大值和最小值，则根据介值定理可知该函数在该区间上存在极限。 级数敛散性判别方法的归纳LT 而当n>x N 时，n x n sin )1(- =n x sin >0，n x n x n sin lim ∞→=1 又∑∞ =1n n x 发散，由比较判别法知∑∞ =1 sin n n x 也发散。 所以0≠∀x ，级数)0(sin )1(1≠∀-∑∞ =x n x n 都是条件收敛的。 例 3. 证明级数)]!1 !21!111([1 n e n ++++-∑∞ = 收敛 证： 0< n a = )!1!21!111(n e +++- < ! 1 n n ⋅= n b . n n n b b 1lim +∞→= ! 1)! 1()1(1 lim n n n n n ⋅+⋅+∞→= 2)1(lim +∞→n n n =0 由比值判别法知∑n b 收敛，再由比较判别法知∑n a 收敛，即有： 级数)]!1 !21!111([1 n e n ++++-∑∞ = 收敛。 根据比较原则，我们得到了两个更为实用的判别法，即柯西判别法和达朗贝尔判别法。 2 柯西判别法（根式判别法） 设∑n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数l ，（i ）若对一切n ＞0N ，成立不等式n n u ≤l ＜1，则级数∑n u 收敛。（ii ）若对一切n ＞0N ，成立不等式1≥n n u 则级数∑n u 发散。 例 1 . 判别级数∑n n 2 2 的敛散性。 解：因为 =∞→n n n u lim 2lim 2n n n ∞→=12 1 < 所以由根式判别法知级数∑n n 2 2 收敛。 3 达朗贝尔判别法（比值判别法） 设∑n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及常数q （0＜q ＜1）. （i ）若对一切n ＞0N ，成立不等式 ≤+n n u u 1 q ，则级数∑n u 收敛。（ii ）若对一切n ＞0N ，成立不等式 11 ≥+n n u u 则级数∑n u 发散。 例 1 .判别级数∑⋅n n n n ! 3的敛散性。 解：因为 =+∞→n n n u u 1lim !3)1()!1(3lim 11n n n n n n n n n ⋅++++∞→= n n n )11(3 lim +∞→= e 3>1 所以由比式判别法知级数∑⋅n n n n ! 3发散。 4积分判别法 积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。 设f 为[1，+ ∞)上非负减函数，那么正项级数∑)(n f 与反常积分dx x f ⎰∞ 1)(同时收敛或同时发散。 例 1 .判别级数∑∞ =3 )ln (ln )(ln 1 n q p n n n 的敛散性。 解：设f(x)= q p n n n ) ln (ln )(ln 1 ,则f(x)在[3，+ )∞上非负递减。 若1=p ，这时有⎰ +∞ 3 )ln (ln )(ln q p x x x dx = ⎰+∞ 3ln ln q u du = ⎪⎩ ⎪⎨⎧≤∞+>--)1()1() 3ln (ln 111 1 q q q q 当小q ＞1时级数收敛；当小q ≤1时级数发散； 若1≠p ,这时有⎰+∞3 )ln (ln )(ln q p x x x dx =⎰+∞-3ln ln )1(q u p u e du 对任意的q ，当01>-p 时，取t>1,有 创作：欧阳地创编 级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成 部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种 工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领 域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重 要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难 把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归 纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数；收敛；判别；发散 一.级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列,形如 00 y 称为无穷级数（常简称级数），用心 表示。无穷级数①的 前n 项之和，记为 S n =另""U. 4 --------------- + W q M =I = 1 2 n （2） 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无 穷级数②的部分和数列｛ % ｝收敛于s.则称无穷级数 X W 收敛，若级数的部分和发散则称级数发散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛 级数的一些基本定理： 定理1若级数和'叫都收敛，则对任意的常数c 和d,级数另（叫叽） 亦收敛，且迟（也卄〃知）二c^X+d另叫 定理2去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性定理3在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4级数①收敛的充要条件是：任给£>0,总存在自然数N,使得当m>N和任意的自然数P,都有W m+I + U m+2 U m+p < £以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。 二正项级数的收敛判别 各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列｛片｝有界，即存在某正整数M,对一切正整数n有兀VM。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法1比较判别法 设和另叫是两个正项级数，如果存在某正数N,对 一切n>N都有M"-V n,则 (i) 级数收敛，则级数兀"”也收敛； (ii) 若级数迟"”发散,则级数另叫也发散。 y a2歹一 例1・设幺"收敛，证明：幺乔I"?收敛(©>0). □0级数敛散性判别方法的归纳
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
数项级数的敛散性判别法
级数判别法
级数敛散性判别方法的归纳
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
级数敛散性总结
八个常见级数的敛散性2篇
数学毕业论文级数敛散性的判别方法
级数敛散性判断方法
级数敛散性判别方法的归纳-级数的敛散性
判断收敛发散的方法
高数发散和收敛的判断方法
级数敛散性判别方法的归纳
级数敛散性判别方法的归纳-级数的敛散性之欧阳地创编