高考数学平面向量及其应用专题复习(专题训练)doc

一、多选题1．题目文件丢失！

2．下列说法中错误的为（ ）

A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是

5,3??-+∞ ???

B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ??

=-

???

不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a

D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60°

3．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且

02

C <<

π

，4b =，则以下说法正确的是（ ）

A ．3

C π

=

B ．若72

c =

，则1cos 7B =

C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形

D ．若ABC 的面积是4

4．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6

A a c π

===则角C 的大小

是( ) A ．

6

π B ．

3

π C ．

56

π D ．

23

π 5．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）

A ．10,45,70b A C ==?=?

B ．45,48,60b c B ===?

C ．14,16,45a b A ===?

D ．7,5,80a b A ===?

6．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b

C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立

D ．在ABC 中，

sin sin sin +=+a b c

A B C

7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（ ）

A ．若a b >，则sin sin A

B >

B ．若sin 2sin 2A B =，则AB

C 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形

D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形 8．在下列结论中，正确的有（ ）

A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合

B ．平行向量又称为共线向量

C ．两个相等向量的模相等

D ．两个相反向量的模相等

9．设a 、b 、c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ） A ．00a ?= B ．()

()

a b c a b c ??=?? C ．0a b a b ?=?⊥

D ．(

)(

)

22

b b a b a a +-=?-

10．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b +=

B ．a b ⊥

C ．()

4a b b +⊥

D ．1a b ?=-

11．下列命题中，正确的有（ ）

A ．向量A

B 与CD 是共线向量，则点A 、B 、

C 、

D 必在同一条直线上 B ．若sin tan 0αα?>且cos tan 0αα?<，则角2

α

为第二或第四象限角 C ．函数1

cos 2

y x =+

是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ?中，若tan tan 1A B ?<，则ABC ?为钝角三角形 12．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ= B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-

C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||b

D ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=-

13．某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处,他向右转150°,然后朝新方向走3km 到达C

处,,那么x 的值为( )

A B ．23

C ．

D ．3

14．化简以下各式,结果为0的有( ) A ．AB BC CA ++ B ．AB AC BD CD -+- C ．OA OD AD -+

D ．NQ QP MN MP ++-

15．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A ．12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量

B ．对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个

C ．若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得

()11122122e e e e λμλλμ+=+

D ．若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ==

二、平面向量及其应用选择题

16．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且1

2

MP MN =，则P 点的坐标为( ) A ．(－8,1) B ．31,2?

?-- ??

?

C ．31,2?? ???

D ．(8，－1)

17．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b ，则a 在b 上的投影为a B ．若(0)a c b c c ?=?≠，则a b =

C ．若,,,A B C

D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件 D ．若0a b ?>，则a 与b 的夹角为锐角；若0a b ?<，则a 与b 的夹角为钝角 18．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若

lg lg lg sin lg 2a c B -==-，且0,2B π??

∈ ???

，则ABC 的形状是（ ）

A ．等边三角形

B ．锐角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．钝角三角形

19．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心

B ．垂心

C ．外心

D ．内心

20．设θ为两个非零向量,a b →→

的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →

→

-的最小值为1，则（ ）

A ．若θ确定，则||a →

唯一确定 B ．若θ确定，则||b →

唯一确定 C ．若||a →

确定，则θ唯一确定

D ．若||b →

确定，则θ唯一确定

21．已知,a b 是两个单位向量，则下列等式一定成立的是( ) A ．0a b -=

B ．1a b ?=

C ．a b =

D ．0a b ?=

22．a ，b 为单位向量，且27a b +=，则向量a ，b 夹角为（ ）

A ．30

B ．45?

C ．60?

D ．90?

23．已知20a b =≠，且关于x 的方程2

0x a x a b ++?=有实根，则a 与b 的夹角的

取值范围是( ) A ．06

,π??????

B ．,3ππ??

?

???

C ．2,33ππ??

?

???

D ．,6ππ???

???

24．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230

OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ?的形状是（ ）

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等边三角形

D ．不能确定

25．已知ABC 的面积为30，且12

cos 13

A =，则A

B A

C ?等于（ ） A ．72 B ．144

C ．150

D ．30026．题目文件丢失！

27．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得

45BDC ∠=?，则塔AB 的高是（单位：m ）（ ）

A ．2

B ．106

C ．103

D ．10

28．在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若

AB AF 3→→=，则AE BF

→→的值为（ ） A ．0

B 83

C ．-4

D ．4

29．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=?，2AB BC ==，1AD =，则

BD AC ?=（ ）

A ．2-

B ．3-

C ．2

D ．5

30．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3

C π

∠=

，且

sin sin()2sin 2C B A A +-=，则有如下四个结论：

①2a b = ②ABC ?83

③ABC ?的周长为43+

④ABC ?外接圆半径43

R =

这四个结论中一定成立的个数是（ ） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

31．如图所示，设P 为ABC ?所在平面内的一点，并且11

42

AP AB AC =+，则BPC ?与ABC ?的面积之比等于（ ）

A ．

2

5

B ．

35

C ．

34

D ．

14

32．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点

C ，

D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）

A ．10,2?? ???

B ．10,3?? ???

C ．1,02??

-

??? D ．1

,03??- ???

33．ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，

30B ∠=?，ABC 的面积为3

2

，那么b 等于（ ）

A 13

+ B ．13C 23

+ D ．23

34．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2a

B c

=，则ABC ?一定是（ ） A ．等腰三角形

B ．等边三角形

C ．直角三角形

D ．等腰直角三角形

35．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．

1

()2

a b + B ．

1

()2

a b - C ．

1

2

a b + D ．12

a b +

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题

1．无 2．ACD 【分析】

由向量的数量积?向量的投影?基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】

对于A ，∵，，与的夹角为锐角， ∴ ，

且(时与的夹角为0)， 所以且，故A 错误； 对于B 解析：ACD 【分析】

由向量的数量积?向量的投影?基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】

对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ?+=?++

142350λλλ=+++=+>，

且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以5

3

λ>-

且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；

对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =?， 则2

2

3()||||2

a a

b a a b a ?+=+?=

， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+?+=，

故2

3||()32cos ,2

||||3||a a a b a a b a a b a a ?+<+>===

+?∣， 而向量的夹角范围为[]0,180??， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】

本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.

3．AC 【分析】

对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出； 对于，利用正弦定理可求得，进而可得；

对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得； 对于，根据三角形面积公式求得，利

解析：AC 【分析】

对于A

2sin sin A C A =，即可求出C ； 对于B ，利用正弦定理可求得sin B ，进而可得cos B ；

对于C ，利用正弦定理条件可转化为2cos a c B =，结合原题干条件可得B ，进而求得

A B C ==；

对于D ，根据三角形面积公式求得a ，利用余弦定理求得c ，进而由正弦定理求得R ． 【详解】

2sin c A =

2sin sin A C A =， 因为sin 0A ≠

，故sin C =， 因为(0,

)2

C π

∈，则3

C π

=

，故A 正确；

若72

c =，则由正弦定理可知sin sin c b C B =

，则4sin sin 72

b B C

c == 因为(0,)B π∈

，则1

cos 7

B =±，故B 错误； 若sin 2cos sin A B

C =，根据正弦定理可得2cos a c B =，

2sin c A =

，即sin a A =

sin 2cos A c B =

，所以sin A B =，

因为23A B C ππ+=-=，则23

A B π=

-

，故2sin()3B B π

-=，

1

sin 2B B B +=

，即1sin 2B B =，

解得tan B =3

B π

=，则3

A π

=

，

即3

A B C π

===

，所以ABC 是等边三角形，故C 正确；

若ABC

的面积是

1

sin 2

ab C =2a =， 由余弦定理可得2

2

2

1

2cos 416224122

c a b ab C =+-=+-???=

，即c = 设三角形的外接圆半径是R ，

由正弦定理可得24

sin c R C =

==，则该三角形外接圆半径为2，故D 错误， 故选：AC ． 【点睛】

本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．

4．BD 【分析】

由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得, ,而, , , 故或. 故选:BD. 【点睛】

本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握

解析：BD 【分析】 由正弦定理可得sin sin a c A C =,

所以sin sin c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得

sin sin a c

A C

=, ∴

sin sin c C A a ==而a c <,

∴ A C <, ∴

566

C π

π<<,

故3C π

=

或

23

π. 故选:BD. 【点睛】

本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.

5．BC 【分析】

根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】

对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 对于选项B 中：因为，且，所以角有两

解析：BC 【分析】

根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】

对于选项A 中：由45,70A C =?=?，所以18065B A C =--=?，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；

对于选项B 中：因为csin sin 115B C b =

=<，且c b >，所以角C 有两解；

对于选项C 中：因为sin sin 17

b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解； 对于选项D 中：因为sin sin 1b A

B a

=<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC . 【点睛】

本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

6．ACD

【分析】

对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确；

对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中

解析：ACD 【分析】

对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；

对于D ，由正弦定理可得右边＝2sin 2sin 2sin sin R B R C

R B C

+=+＝左边，故该选项正确.

【详解】

对于A ，由正弦定理

2sin sin sin a b c

R A B C

===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；

对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2

π

，∴a ＝b 或a 2+b 2

＝c 2，故该选项错误；

对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ?a ＞b ?A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；

对于D ，由正弦定理

2sin sin sin a b c

R A B C

===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C

R B C B C ++==++＝左边，故该选项正确.

故选：ACD. 【点睛】

本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

7．AC 【分析】

对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判

解析：AC 【分析】

对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误. 【详解】

对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >?>?>，故A 正确； 对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =?= 所以A B =或2

A B π

+=

，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；

对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，

所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，

sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，

因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2

A π

=

，ABC 是直角三角形，故③正确；

对D ，因为2

2

2

0a b c +->，所以222

cos 02a b c A ab

+-=>，A 为锐角.

但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误. 故选：AC 【点睛】

本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.

8．BCD 【分析】

根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】

A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；

B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确

解析：BCD 【分析】

根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】

A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；

B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；

C. 相等向量方向相同，模相等，正确；

D. 相反向量方向相反，模相等，故正确； 故选：BCD 【点睛】

本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.

9．AB 【分析】

利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】

对于A 选项，，A 选项错误；

对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B 选项错误； 对于C 选项，

解析：AB 【分析】

利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】

对于A 选项，00a ?=，A 选项错误；

对于B 选项，()

a b c ??表示与c 共线的向量，()

a b c ??表示与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线，B 选项错误；

对于C 选项，0a b a b ?=?⊥，C 选项正确；

对于D 选项，(

)()

2

2

22a b a b a b a b +?-=-=-，D 选项正确. 故选：AB. 【点睛】

本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.

10．CD 【分析】

分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】

分析知，，与的夹角是. 由，故B 错误，D 正确； 由，所以，故A 错误； 由，所以，故C 正确. 故选：CD 【点睛】

解析：CD 【分析】

分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120?，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】

分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120?.

由12cos12010a b ??=??=-≠，故B 错误，D 正确；

由()

2

2

2

21243a b

a a

b b +=+?+=-+=，所以3a b +=，故A 错误；

由()()2

144440a b b a b b

+?=?+=?-+=，所以()

4a b b +⊥，故C 正确.

故选：CD 【点睛】

本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

11．BCD 【分析】

根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法

求出函数的最小正周期，可判断C 选项的正误

解析：BCD 【分析】

根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角α的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角

2

α

的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数1

cos 2

y x =+

的最小正周期，可判断C 选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tan tan 1A B ?<得出cos cos cos 0A B C <，进而可判断出选项D 的正误.综合可得出结论. 【详解】

对于A 选项，向量AB 与CD 共线，则//AB CD 或点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，A 选项错误；

对于B 选项，2sin sin tan 0cos α

ααα?=>，cos tan sin 0ααα?=<，所以sin 0cos 0

αα

>?， 则角α为第四象限角，如下图所示：

则

2

α

为第二或第四象限角，B 选项正确； 对于C 选项，作出函数1

cos 2

y x =+

的图象如下图所示：

由图象可知，函数1

cos 2

y x =+是周期函数，且最小正周期为2π，C 选项正确； 对于D 选项，

tan tan 1A B <，

()()cos cos sin sin cos cos sin sin 1tan tan 1cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A B

π+--∴-=-

===

cos 0cos cos C

A B

=-

>，cos cos cos 0A B C ∴<，

对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC ?的三个内角余弦值必有一个为负数， 则ABC ?为钝角三角形，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】

本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题.

12．AB 【分析】

若，则反向，从而； 若，则，从而可得；

若，则同向，在方向上的投影为

若存在实数使得，则共线，但是不一定成立. 【详解】

对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得； 对于选

解析：AB 【分析】

若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=； 若a b ⊥，则0a b ?=，从而可得||||a b a b +=-；

若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a

若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 【详解】

对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得

a b λ=；

对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ?=，

222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+?+-=-?+,可得||||a b a b +=-；

对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ;

对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB. 【点睛】

本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.

13．AB

【分析】

由余弦定理得，化简即得解. 【详解】

由题意得,由余弦定理得, 解得或. 故选：AB. 【点睛】

本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

解析：AB 【分析】

由余弦定理得293

cos306x x

?

+-=，化简即得解.

【详解】

由题意得30ABC ?∠=,由余弦定理得293

cos306x x

?

+-=

,

解得x =x 故选：AB. 【点睛】

本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

14．ABCD 【分析】

根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】 ; ; ; .

故选：ABCD 【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.

解析：ABCD 【分析】

根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】

0AB BC CA AC CA ++=+=;

()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=;

()0OA OD AD OA AD OD OD OD -+=+-=-=;

0NQ QP MN MP NP PM MN NM NM ++-=++=-=.

故选：ABCD 【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.

15．AD 【分析】

根据平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为时，有无数个,故不正确. 【详解】

由平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的. 对于B,由平面向量基本

解析：AD 【分析】

根据平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为

0时，λ有无数个,故不正确. 【详解】

由平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的.

对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定, 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确； 对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时, 这样的λ有无数个，所以不正确. 故选:AD . 【点睛】

本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.

二、平面向量及其应用选择题

16．B 【分析】

由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可. 【详解】

解：设P(x ，y )，则MP ＝ (x －3，y ＋2)，而

12MN ＝1

2(－8,1)＝14,2??- ??

?，

所以34122x y -=-???+=??，解得1

32x y =-???=-??

，即31,2P ?

?-- ???，

故选B. 【点睛】

本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题. 17．C 【分析】

根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】

因为a b //，所以,a b 的夹角为0或者π，则a 在b 上的投影为||cos ||a a θ=±，故A 不正确；设(1,0),(0,0),(0,2)c b a ===，则有(0)a c b c c ?=?≠，但a b ≠，故B 不正确；

,||||AB DC AB DC =∴=且//AB DC ，又,,,A B C D 是不共线的四点，所以四边形

ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则//AB DC 且

||||AB DC =，所以AB DC =，故C 正确；0a b ?>时，,a b 的夹角可能为0，故D 不正

确. 故选：C 【点睛】

本题主要考查平面向量的定义、相关性质以及数量积. 18．C 【分析】

化简条件可得sin a B c ==

，由正弦定理化边为角，整理cos 0C =，即可求解. 【详解】

lg lg lg sin a c B -==-，

sin 2

a B c ∴

==

.0,2B π??∈ ???， 4

B π

∴=

.

由正弦定理，得

sin sin 2

a A c C ==

，

3

sin cos sin 422C A C C C π???

∴==-=+? ?????

， 化简得cos 0C =.

()0,C π∈， 2

C π

∴=

，

则4

A B C π

π=--=

，

∴ABC 是等腰直角三角形. 故选：C. 【点睛】

本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题. 19．B 【分析】

先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=，即得点P 为三角形ABC 的垂心. 【详解】

由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?， 则()()()

0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ?-=?-=?-= 即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=， 即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥， 则点P 为三角形ABC 的垂心. 故选：B. 【点睛】

本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20．B 【分析】

2

2

22

||2b ta b a bt a t -=-?+，令2

22

()2f t b a bt a t =-?+，易得2cos b a b t a a

θ

?==

时，222min 2

44()()14a b a b f t a

-?==，即222

||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】

2222||2b ta b a bt a t -=-?+，令222()2f t b a bt a t =-?+，因为t R ∈，

所以当2cos b a b t a a

θ

?==时，222min 244()()4a b a b f t a -?=，又||b t a →→-的最小值为1，

所以2

||b ta -的最小值也为1，即222

min

2

44()()14a b a b f t a

-?==，222||cos 1b b θ-=，

所以2

2

||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ

=，故若θ确定，则||b →

唯一确定. 故选：B 【点睛】

本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算

求解能力，是一道容易题. 21．C 【分析】 取,a b 夹角为3

π

，计算排除ABD ，得到答案. 【详解】 取,a b 夹角为3π

，则0a b -≠，12

a b ?=，排除ABD ，易知1a b ==. 故选：C . 【点睛】

本题考查了单位向量，意在考查学生的推断能力. 22．C 【分析】

首先根据题的条件27a b +=

，得到2()7a b +=，根据a ，b 为单位向量，求得

1

2a b ?=

，进而求得向量夹角. 【详解】 因为27a b +=

，所以2()7a b +=，

即2

2

447a a b b +?+=， 因为2

2

1a b ==，所以12

a b ?=， 所以1

cos ,2

a b <>=

，因为向量a ，b 夹角的范围为[0,180]??， 所以向量a ，b 夹角的范围为60?， 故选：C. 【点睛】

该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的平方与向量模的平方是相等的，已知向量数量积求向量夹角，属于简单题目. 23．B 【分析】

根据方程有实根得到2

4cos 0a a b θ?=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2

θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果. 【详解】

关于x 的方程2

0x a x a b ++?=有实根 2

40a a b ∴?=

-?≥

设a 与b 的夹角为θ，则2

4cos 0a a b θ-≥

又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2

θ∴≤ 又[]0,θπ∈ ,3πθπ??∴∈????

本题正确选项：B 【点睛】

本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果. 24．C 【分析】

根据三角形外心、重心的概念，以及外心、重心的向量表示，可得结果. 【详解】

由123||||||1OP OP OP ===，可知点O 是123PP P ?的外心， 又1230OP OP OP ++=，可知点O 是123PP P ?的重心， 所以点O 既是123PP P ?的外心，又是123PP P ?的重心， 故可判断该三角形为等边三角形， 故选：C 【点睛】

本题考查的是三角形外心、重心的向量表示，掌握三角形的四心：重心，外心，内心，垂心，以及熟悉它们的向量表示，对解题有事半功倍的作用，属基础题. 25．B 【分析】

首先利用三角函数的平方关系得到sin A ，然后根据平面向量的数量积公式得到所求． 【详解】

解：因为ABC 的面积为30，且12cos 13A =

，所以5

sin 13

A =，所以1

||||sin 302

AB AC A ?=，得到||||626AB AC ?=?， 所以12

|||||cos 62614413

AB AC AB AC A =?=??=； 故选：B ． 【点睛】

本题考查了平面向量的数量积以及三角形的面积；属于中档题．

26．无

27．B 【分析】

设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有