圣彼得堡悖论及其消解新解

圣彼得堡悖论新解与不确定性估值

内容提要：著名数学家Bernoulli为解决“圣彼得堡悖论”提出了货币的边际效用递减理论（下称“效用函数解决方案”），本文通过以下两个方面证明了Bernoulli的“效用函数解决方案”是不成立的：1、用Bernoulli和克莱默的“效用函数”构造了新的悖论；2、设计并实施了不存在边际效用递减效应的“新型圣彼得堡游戏”，该游戏同样产生了“圣彼得堡悖论”。本文进一步分析论证了人们面对不确定性前景的风险调整才是导致“圣彼得堡悖论”产生的真正原因，由此给出了不确定性决策的风险调整模型，用此模型解决了“圣彼得堡悖论”及其它相关悖论。本文对基于不确定性的经济学理论研究提出了一个全新的研究思路和方向。

关键词：不确定性估值，圣彼得堡悖论，效用，风险调整模型，经济实验

1.圣彼得堡悖论与Bernoulli的效用函数解决方案

“圣彼得堡悖论”来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏。设定掷币掷出正面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金2元，游戏结束；第一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金4元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。如果第n次投掷成功，得奖金2n元，游戏结束。

按照概率期望值的计算方法，此游戏的期望收益为所有可能结果的得奖期望值之和：

1111 ()2482 2482n n

E=?+?+?++?+

――――――――――――(1.1)

由于对于游戏中投币的次数没有理论上的限制，很显然，上式是无数个1的和，它等于无穷大，即该抽奖活动收益的数学期望值是无限的。那么对于这样一个收益的数学期望值是无穷大的“圣彼得堡游戏”当支付多大的费用呢？试验表明，大多数人只准备支付几元钱来参加这一游戏。于是，个人参与这种游戏所愿支付的有限价格与其收益的无穷数学期望之间的矛盾就构成了所谓的“圣彼得堡悖论”。

Bernoulli对于这个问题给出一种解决办法。他认为人们真正关心的是奖励的效用而非它的绝对数量；而且额外货币增加提供的额外效用，会随着奖励的价值量的增加而减少，即后来广为流传的“货币边际效用递减律”。伯努利将货币的效用测度函数用货币值的对数来表示，从而所有结果的效用期望值之和将为一个有限值，则理性决策应以4元为界。

他选择对数函数形式的效用函数：

()log()U x x =――――――――――――――――――――――――(1.2)

来反映货币的边际效用递减原理，然后用期望效用最大化方法来解圣彼德堡悖论。如果这样看问题，那么该游戏的期望效用就是：

1

1

1[()]()()log(2)2log 22

n n

n n n E U x P n U ∞

∞

=====∑∑

因此，理性个人为参加该抽奖活动所愿意支付的最大价格x 可由下列方程解出：

[()]E U x = ()U x =log()x

变形得：x = 10exp{[()]}E U x ＝10exp(2log 2)4≤

所以Bernoulli 认为“理性决策应以4元为界”。

克莱默持类似的观点，他选择了幂函数形式的效用函数：

()U x (1.3) 该抽奖活动的效用就是：

1

1

[()]()()12481612n n n E U x P n U ∞

∞

=====

++++==∑ 因此，理性个人为参加该抽奖活动所愿意支付的最大价格x 可由下列方程解出：

[()]E U x = ()U x

变形得：x = {[()]E U x }2 所以：x

2=2.914 从表面上看，以上的解决方案近似完美，我们把这类方案称为效用函数解决方案。然而，学术界对以上的效用函数解决方案一直存在着质疑。

2.对效用解决方案的质疑

一些学者如：Menger （1967)的研究对效用函数解决方案提出了挑战。

按照效用函数解决方案，货币具有边际效用递减的性质，以此计算货币的效用，原

来的“圣彼得堡悖论”似乎被完美地解决，但是如果增加奖金的数目，则很容易构造出新的“超级圣彼得堡游戏”，制造新的悖论。

以（1.2）的效用函数为例，货币效用函数呈对数形式，我们可以让第n 次成功得到的奖金为10的2n 次方，于是奖金的分布可见下表：

那么新游戏的效用就是：

(2)

11111[()]()()log[10]222

n n n n n n n n E U x P n U ∞∞

∞

======?∑∑∑

上式所计算的期望效用是无数个1的和，它等于无穷大，即该游戏收益的期望效用

是无限的。

对于（1.3）的效用函数，我们可以让第n 次成功得到的奖金为2n 的平方即22n ，于

那么新的游戏的效用就是：

1111[()]()()22

n n n n n n E U x P n U ∞∞

∞

======?∑∑ 上式所计算的期望效用仍然是无数个1的和，它等于无穷大，即如果按照幂函数的形式来计算，新游戏收益的期望效用同样是无限的。

对于以上两个具有无限的期望效用的游戏，同样没有人愿意支付无限大的金额，由此又构成了新的“超级彼得堡悖论”。

Menger 还发现，除非效用函数有限，人们可以继续构造新的超级圣彼得堡悖论（Menger, 1967)。

以上研究实际上已经说明了用效用函数解决“圣彼得堡悖论”是无效的，因为效用函数解决方案并不能消除类似的悖论。

3.效用函数悖论

本文同样运用Bernoulli 和克莱默的效用函数，构造出了“效用函数悖论”，以此证明了效用函数解决方案是不成立的。“效用函数悖论”来源于我们构造的效用函数游戏。

假设有一个效用公园，公园里面有五个院子，每个院子中有一个抽奖游戏。每个游戏都是有一个抽奖箱，里面有两个红球，一个白球，抽中红球有奖励，抽中白球没有奖励。

Bernoulli 提出人类的效用函数应该是对数形式，不失一般性，假设是以2为底的对数函数，我们构造如下效用函数悖论：

第1个院子的抽奖的奖励是2元，第2个院子的抽奖的奖励是4元，第3个院子的抽奖的奖励是8元，第4个院子的抽奖的奖励是16元，第5个院子的抽奖的奖励是32元。

问题：一个人应该花多少钱购买效用公园的门票？（假设购买门票花费x ）

运用Bernoulli 的对数效用函数可以得出效用公园内游戏的期望效用是：

[]5

1

[()]()()()()n n n E U x P red U red P white U white ==+∑

()5

212/3log (2)(1/3)010n n =??=+*=??∑ 其中：()P red 是抽中红色球的概率，()P white 是抽中白色球的概率；

()n U red 是在第n 个院子中抽中红色球的奖励的效用，()n U white 是在第n 个

院子中抽中白色球的奖励的效用

因此，理性个人为参加该抽奖活动所愿意支付的最大价格x 可由下列方程解出：

[()]E U x = ()U x =2log ()x ＝10

变形得：x = 2exp{[()]}E U x ＝2exp10＝1024

即使全部抽中红球所得的奖金总共只有62元，而运用Bernoulli 的对数效用函数得出效用公园门票价格竟然是1024元！这就产生了一个明显的悖论——效用函数悖论。

我们运用克莱默的效用函数同样可以构造出一个效用函数悖论。

克莱默选择了幂函数形式的效用函数，不失一般性，假设是1/2次方的幂函数，我们构造如下效用函数悖论：

第1次抽奖的奖励是1元，第2次抽奖的奖励是4元，第3次抽奖的奖励是9元，第4次抽奖的奖励是16元，第5次抽奖的奖励是25元。

问题同样是：应该花多少钱购买效用公园的门票？（假设购买门票花费x ）

运用克莱默的幂函数效用函数可以得出效用公园内游戏的期望效用是：

[]5

1

[()]()()()()n n n E U x P red U red P white U white ==+∑

()5

1

2/3(1/3)010n =??=

+*=?

?

∑

因此，理性个人为参加该抽奖活动所愿意支付的最大价格x 可由下列方程解出：

[()]E U x = ()U x 10

变形得：x =210＝100

即使全部抽中红球所得的奖金总共只有55元，而运用克莱默的幂函数效用函数得出效用公园门票价格竟然是100元！这就产生了一个明显的悖论——效用函数悖论。

4.对效用函数解决方案的进一步质疑——实验证据

除了在前一节从理论逻辑上构造“效用函数悖论”来证明效用函数解决方案不成立之外，本文还设计了相关实验来提供了进一步的证据。 4.1 实验设计

让我们设计一个新型的圣彼得堡游戏：这是有n 个人参加的竞争游戏，其奖品的价值为B 。游戏的规则是这样的：

庄家发给每个参加人一个非常大的相同的原始点数S ，然后每个参加者i 自行决定

给出S中的一部分点数X i点数进行竞标，给出的点数最大者竞标成功，得到一次与庄家玩圣彼得堡游戏的机会，然后在此游戏中赢取庄家手中的点数（庄家手中的点数没有上限）。所有参加者为了竞标而给出的点数不予退还，竞标成功者与庄家的圣彼得堡游戏结束后，全体参加者清点自己手中的点数，手中持有最多点数的参加者赢得奖品B。这样，所有参与人的第一轮竞标点数将代表其对以上新型圣彼得堡游戏的“估值”。

4.2 实验结果

我们在深圳市高等职业技术学院的学生和中信银行深圳宝安支行的中高层管理人员中组织了6次以上描述的游戏，相关实验报告如下：

4.3 结果分析

首先，从实验结果来看，悖论仍然存在。由于是用预先分配的点数竞标，参与者竞标给出的点数更能反映出其对在圣彼得堡游戏中可能赢取的点数的真实估值。从以上的实验结果可以看到，58个参与者中：出价为10000点的1人；出价在1000点左右的9人；出价在100点左右的13人；出价在10点左右的35人。后来对出价10000点的参与者的访谈可以得知，他的出价目的不在于赢取奖品而在于一定要取得玩一次的机会，因此不具有参考性。因此从绝大多数人的出价不到给定点数的10％来看，圣彼得堡悖论依然存在。

其次，不存在边际效用递减。第一，如果能够最后赢得奖品，那么总的效用是固定的，因此不存在边际效用递减的问题；第二，在竞标过程中，由于有其它的竞争者的存在，任何一个参与者都会尽力争取赢得更多的点数，因此能够赢得的每个点数对确保赢得最后的奖品都是至关重要的，不存在后面赢得的点数的重要性小于前面赢得的点数的情况，因此，同样不存在边际效用递减的问题。

因此，在一个不存在边际效用递减的圣彼得堡游戏中同样产生了悖论，这说明Bernoulli的所谓边际效用递减并不是导致悖论产生的根本原因，效用函数解决方案是不成立的。

5.不确定性估值的风险调整模型

对于圣彼得堡悖论，我们从理论和实验两方面研究证明了Bernoulli给出的效用函数解决方案是不成立的。那么，导致圣彼得堡悖论的原因是什么呢？

所谓的悖论，其相悖的是数学期望决策理论。在人类的早期认识中，面对不确定性事件，人们的估值应该是该事件的数学期望，然而，圣彼得堡悖论的产生说明人们对不确定事件的估值并不是依据该事件的数学期望。

5.1 不确定性分析

弗兰克·奈特（Knight．F）爵士在他1921 年的名著《风险、不确定性和利润》中，准确地识别了这个世界演进环境的三种形态，即：确定的、存在风险的和不确定的。确定性排除了任何随机事件发生的可能，它是哲学意义上前因后果必然关系的体现。存在风险则意味着，我们对于未来可能发生的所有事件，以及它们发生概率的大小，有准确的认识，但是对于究竟哪一种事件会发生事先却一无所知。而不确定性则意味着：我们对未来的可能状态（结果）并不清楚，或者即便是我们能够知道未来世

界的可能状态（结果），它们发生的概率大小仍然是不清楚的。

现代金融研究中，把上述后两种情况统称为“不确定性”。为了避免语词的混乱给我们的分析和研究造成歧义，我们把上面的“存在风险的”命名为“概率型不确定”，把上面的“不确定”的命名为“模糊型不确定”。即，“概率型不确定”意味着未来可能有多种结果，这些结果及其概率分布是确定和已知的；“模糊型不确定”意味着未来可能有多种结果，但或者这些结果本身或者这些结果的概率分布是未知的。

5.2 风险的量度分析

风险是由不确定性导致的，显然不确定性的大小是影响风险的主要因素，因此风险可以通过不确定性的大小进行度量。

5.2.1 概率型不确定性风险的量度

概率性不确定性事件X的风险是由其不确定性的大小量度的，而对于概率型不确定事件，其不确定性的大小是由其方差度量的。因此我们可以用X的方差作为其风险的量度。

5.2.2 模糊性不确定性风险的量度

模糊型不确定性事件X是会产生多种可能结果，但或者这些结果本身或者这些结果的概率分布是未知的。

对这类事件的风险仍然是通过其不确定性的大小进行量度的。而对于模糊型不确定性事件，我们用模糊方差来代表其不确定性。模糊方差具体可以有专家法、贝叶斯估计、模糊数学等多种数学方法进行计算，而一般的投资者则是基于经验和自身的知识水平进行直观的主观估计。具体的估计方法不在本文的讨论范围，我们只是认为无论通过什么方法，最终会得到关于模糊型不确定性事件的模糊方差，以此作为其风险的度量。

5.3 不确定性条件下估值分析

由于研究所限，本文只讨论概率型不确定的估值。

对于概率型不确定性事件X，人们可以知道其未来可能产生的多种结果及其概率分布，但最终的结果，人们预先永远也无法预知。那么，对于这个不确定性事件X，数学期望()

E X周围波动，因此可以看成是估值的初步结

E X刻画了X的取值总在()

果。但X

不确定性估值时，会根据其风险的大小对估值的初步结果进行风险调整，风险越大，经风险调整后的估值越小，反之亦然，而对于确定性事件，其估值就是事件的结果本身，其风险调整系数为0. 5.4 风险调整模型

设某一抽奖X ，可能有N 个结果1(,,)N C C ，而每一种结果发生的概率为1(,,)N P P 记为：

111*

1(,,;,,),01()N N i N

i i N i i i X P P C C P P E X P C C ==?

?=≥?

?

=??

?=?=?

?

∑∑ ――――――――――――――――（5.1） 根据早期的数学期望决策模型，当人们面对以上的一组抽奖时，对它的估值()ES X 等于*C ，由此产生了所谓的“圣彼得堡悖论”。但实事上，因为最终的结果是一个不确定的数（即有风险），而*C 仅仅是多次试验后的平均数（大数定理），因此从人们普遍的心理来看，人们对该抽奖X 的估值()ES X 要小于*C ，而且，风险越大估值调整的幅度越大，调整后的估值越小。根据这一特性，我们得出下面的风险调整模型。

对于抽奖（6.1），令该抽奖X 的风险系数为()X α，投资者对该抽奖的估价为

()ES X ，则

*

()1()C ES X X α=

+―――――――――――――――――――――――(5.2) 一般地，设概率型不确定性事件X ，则上式（6.2）中：

*()C E X =

，()X α=

()ES X =

5.3）

对于模糊型不确定性事件X ，由于其期望值()E X 是未知的，我们只能对其进行经验估计*()E X ，同时我们也要对X 所能导致的风险程度进行经验估计，得出模糊型不确定性事件X 的风险系数*()X α。在这两个估计值的基础上，我们可以得出模糊型不确定性事件的风险调整估值*()V X ：

**()

()1()E X ES X X α=

+――――――――――――――――――――――(5.4) 这就是模糊型不确定估值的风险调整模型。

6.应用——“悖论”的消解

6.1 “圣彼得堡悖论”的消解

对于“圣彼得堡游戏”，我们可以把它分成由无数个独立的二元掷币游戏组成的。 设“圣彼得堡游戏”＝ST ，根据（5.1）式，每一个二元掷币游戏为：

211

(,;0,2),1,2,...,22

n n n n n X n -==+∞

于是：1

n n ST X ∞

==∑， 对于每个n X ：

()22()1,

211()(01)2121

22n n n n

n n n E X Var X =-=?-+?-=- 根据（5.3）式：

()n ES X =

=

因为：1≥

()n ES X =

≤

于是，对“圣彼得堡游戏”ST 的估值：

1

1

1

()()n n n n ES ST ES X ∞∞

∞

=====≤∑

而：1

1 2.414n m m ∞

∞

∞

====+=≈

即：() 2.414ES ST ≤

6.2 “超级彼得堡悖论”的消解

出于对Bernoulli 效用函数解决方案的质疑，一些学者Menger （1967)、Paul Weirich

（1984）的构造了“超级彼得堡游戏”，从而产生了“超级彼得堡悖论”。而运用不确定估值的风险调整模型，“超级彼得堡悖论”同样可以消解。

下面只针对Bernoulli 型效用函数进行分析。

对于“超级圣彼得堡游戏”，我们同样可以把它分成由无数个独立的二元掷币游戏组成的。

设“超级圣彼得堡游戏”＝SUPER-ST ，根据（5.1）式，每一个二元掷币游戏为：

2211

(,;0,2),1,2,...,22

n n n n n X n -==+∞

于是：1

n n SUPER ST X ∞

=-=∑， 对于每个n X ：

()

()

2

2

22222

222(2)2232(2

)

()2,

211

()(02)2222

2111(21)222112

12222(21)2n

n n n n

n n n

n

n n n n

n n n n

n

n n

n n n n n n E X Var X ---?-?-=-=?-+?---???=

?+?-=+- ???

=-

根据（5.3）式：

2

()()n

n

n n ES X ES X -==

=

≤

≤

于是，对“超级圣彼得堡游戏”SUPPER-ST 的估值：

1

1

()()1n n n n ES SUPER ST ES X ∞

∞

∞

===-=≤=+∑

而：1

2.414n ∞

=≈，于是：() 3.414ES SUPER ST -≤

因此没有产生新的“超级彼得堡悖论”。 6.3 效用函数悖论的消解

从严格意义上讲，“效用函数悖论”并不是真正的悖论，它是有“效用函数解决方案”所引发的，下面我们将证明，风险调整模型不会引发类似的悖论。

为方便起见，同样只针对Bernoulli 型效用函数进行分析。 效用公园内有以下五个游戏：

21

(,;0,2),1,2,3,4,533

n n X n ==， 对于每个n X ：

2

222(),

3

22122

()(0)2233339

n

n n

n

n n

n E X Var X =??=?-+?-=? ???

于是，根据（5.3）式：

()n

n ES X =

=

= 于是，设效用公园的门票为T ，则

5

5

1() 2.6515n

n n n T ES X =====∑ 7.小结及对未来研究的展望

本文从理论和实验两个方面证明了Bernoulli 对“圣彼得堡悖论”给出的效用函数解决方案是不成立的，在此基础上，通过对不确定性的分析，得出了不确定性条件下估值的风险调整模型，并用此模型解决了“圣彼得堡悖论”“超级彼得堡悖论”和“效用函数悖论”。

自从1738年Bernoulli 提出货币的边际效用递减并据此给出了效用函数解决方案以来，金融学后来的理论发展或多或少都与Bernoulli 提出的概念和理论模型有关，本文则是从一个不同的角度提出了一个完全不同的分析框架——不确定性决策的风险调整模型，这一模型是简单的，也是符合人类的思维模式的。我们提出的理论模型代表了一个全新的研究方向，但就本文的研究内容来讲仍然是非常初级的和粗糙的，下一步的工作可以从以下几个方面继续深入下去：

（一）关于概率型不确定性估值的风险调整系数()X α

本文初步给出了一个()X α

的具体形式：()X α()X α的形式虽然解决了“圣彼得堡”等悖论，然而，据此得出的估值虽然在可以接受的范围之内，但是数值偏低。因此，()X α的表达式还有进一步改善的余地，也应该通过适当的经济实验加以检验。

（二）关于资产定价模型

马科维茨以方差最小为原则得出了资产定价模型，从而奠定了现代金融经济学的基础。马科维茨的最小方差原则与本文的根据标准差进行风险调整的思路从本质上是相通的，因此马科维茨方程与风险调整模型在表达式上应该有某种数学上的关联。但

在实际应用中，资产定价模型的效果并不好，甚至有学者认为这只是一个理论模型，是无从检验的。资产定价模型之所以无法达到良好的应用效果，是因为它是在概率型不确定条件下得出的模型，而事实上，真实的资本市场根本不可能存在概率型不确定，都是模糊型不确定，因此，我们从（6.4）式的模糊型不确定的风险调整模型出发，研究证券市场上的*()E X 和*()X ，也许可以得出更具有实践意义的新的理论模型。

（三）关于货币边际效用递减理论

著名数学家丹尼尔.贝努利（Bernoulli, D. 1738）为解决“圣彼得堡悖论”于1738年提出了货币的边际效用递减理论。他认为人们真正关心的是货币的效用而非它的价值量；而且额外货币增加提供的额外效用，会随着奖励的价值量的增加而减少，即后来广为流传的“货币边际效用递减律”。

Bernoulli 用货币边际效用递减理论研究了“圣彼得堡悖论”，后来逐步为理论界所接受，并与商品的边际效用递减规律一起成为研究人员的信条，在此基础上发展出了各种代表递减边际效用的效用函数——如负指数效用函数等，已成为研究人员手中常用的分析工具。另外，按照这一理论体系，人的效用函数与风险偏好之间存在对应关系，边际效用递减成为风险厌恶的判别指标和解释原因。

然而，本文的研究表明，Bernoulli 的效用函数解决方案是不成立的，那么，我们有必要深入研究：Bernoulli 的货币的边际效用递减理论的成立条件是什么？货币的边际效用是否真是单调递减的？这些问题都需要从理论和实验两方面加以研究。

参考文献：

[1] Bernoulli, D., 1738 .Specimen theoriae novae de meusura sortis. Cmm. Acad. Sci. Imp.

Petropolitanae 5.175-192. (English translation: Exposition of a new theory on the measurement of risk, Econometrica, 1954,22,23—36)

[2] Menger. Karl: 1967 [1934], ‘The Role of Uncertainty in Economics’, in Essays in

Mathematical Economics in Honor of Oskar Morgenstern (ed. Martin Shubik), Princeton University Press

[3]Knight, F., 1921, Risk, uncertainty and profit, Boston: Houghton Mifflin CO . 1921 [4]崔书英,马谦杰，2004，圣彼得堡悖论的消解与决策学意义反思，西南师范大学学

报（人文社会科学版），2004年9月