上海交通大学2010-2011学年《矩阵理论》试卷本试卷共四道大题,总分

上海交通大学2010－2011学年《矩阵理论》试卷

本试卷共四道大题，总分100分，其中*A 表示矩阵A 的共轭转置.

一、单项选择题（每题3分，共15分）

1. 设????

? ??=001001001A ，则=-199200A A ( )

（A ）E ；（B ）0；（C ）A ；（D ）2A .

2. 下列集合对所给运算构成实数域上线性空间的是( )

（A ）次数等于)1(≥m m 的实系数多项式的集合，对于多项式的通常加法和数与

多项式的通常乘法；

（B ） Hermite 矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法；

（C ）平面上全体向量的集合，对于通常的加法和如下定义的数乘运算

0x x k =?，k 是实数，0x 是某一取定向量；

（D ）投影矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法.

3. 线性变换为正交变换的必要而非充分条件的是( )

（A ）保持向量的长度不变；（B ）将标准正交基变为标准正交基；

（C ）保持任意两个向量的夹角不变；（D ）在任意标准正交基下的矩阵为正交矩阵.

4. 设A 是幂等矩阵，则下列命题中不正确的是( )

（A ）A 与对角矩阵相似；（B ）A 的特征值只可能是1或者0；

（C ）A A )1sin()sin(=；（D ）幂级数10)(-∞

=-=∑A E A k k .

5. 设21,V V 是V 的两个线性子空间，则与命题“21V V +的任意元素的分解式唯一”不等价的命题是( )

（A ）{}021=?V V ；（B ）2121dim dim )dim (V V V V +=+；

（C ）21V V +的零元素的分解式唯一；（D ）V V V =?][21.

二、填空题（每空3分，共15分）

设二维线性空间V 的线性变换V V T :1与V V T :2在基21,αα下的矩阵分别为

???

? ??=???? ??=0201,1201B A . 1、21,T T 的乘积:21T T V V 在基21,αα下的矩阵为 . 2、=)(dim 1T R .

3、)()(21T N T R ?的一个基为 .

4、若常数k 使得)(B A k +为幂收敛矩阵，则k 应该满足的条件是 .

5、???

??B B A 0

的Jordan 标准型为 .

三、计算题（12分）

向量空间22?R 中的内积通常定义为

.))(,)((,),(2222212

??=====∑∑ij ij i j ij ij b B a A b a B A

选取????

??=????

??=1110,001121A A ，构造子空间],[21A A W =.

1、求⊥W 的一组基；

2、利用已知的W 和⊥W 求22?R 的一个标准正交基.

四、计算题（18分）

已知

???

-=110130002A .

1、求矩阵A 的Jordan 标准型J 和可逆矩阵P 使得A 相似于J ；

2、计算矩阵A e ；

3、求下列微分方程组的解

?????==,)0(,0x x Ax dt dx ???

? ??

=11

10x .

五、计算题（10分）

设n m C A ?∈的秩为r ，A 的奇异值分解为*UDV A =，n

m O O O D ????? ??Λ

=，

),,(21r s s s diag ，=Λ.求矩阵)(A A B =的奇异值分解和它的Moore-Penrose 广义逆.

六、计算题（18分）设多项式空间})({][3322104R a t a t a t a a t f t P i ∈+++==中的线性变换为

3032322110)()()()()(t a a t a a t a a a a t Tf -+-+-+-=.

1、取定一组基，求该线性变换在该基下的矩阵A ；

2、求与A 相关的四个子空间)(),(),(T A R A R A N 和)(T A N ；

3、求线性变换T 的值域的基与维数；

4、求线性变换T 的核的基与维数.

七、证明题（6分）

设n n C A ?∈. 证明A 是正定矩阵当且仅当存在一个正定矩阵B ，使得2B A =.

八、证明题（6分）

设A 为n 阶矩阵，证明：A 非奇异的充分必要条件是存在常数项不等于0的多项式)(λg 使得0)(=A g .

上海交通大学试卷( A 卷)

上海交通大学试卷（ A 卷）课程线性代数（B 类）学期 2011－2012第1学期班级号学号姓名一．单项选择题（每题3分，共18分） 1．设A ，B 为n 阶方阵，且A A =2 ，B B =2 。则（）（A ）)()(B r A r =时，A ，B 不相似；（B ）)()(B r A r ≠时，A ，B 相似；（C ）)()(B r A r =时，A ，B 相似；（D ）以上都有可能。 2．设A 为n 阶反对称矩阵，则（）（A ）0)(=+E A r ；（B ）n E A r =+)(；（C ）n E A r <+<)(0；（D ）以上都有可能。 3．设B A ,为n 阶方阵，??? ? ??=B A C 00。则伴随矩阵* C 为（）（A ）???? ??** B A A B ||0 0||；（B ）??? ? ??**B B A A ||00||；（C ）???? ? ?** A A B B ||0 0||；（D ）??? ? ? ?**A B B A ||00||。 4．设A 为n m ?的实矩阵，矩阵)(A A T 正定的充分必要条件为（）（A ）m A r =)(；（B ）m A r <)(；（C ）m A r <)(；（D ）n A r =)(。 5．设α是单位向量，矩阵ααT k E A +=，其中1-≠k 。则（）我承诺，我将严格遵守考试纪律。

（A ）A 为正交矩阵；（B ）A 为正定矩阵；（C ）A 为可逆矩阵；（D ）A 为反对称矩阵。 6．设向量组321,,ααα线性无关，向量321,,βββ线性相关但相互不成比例，且， 321332123211,,αααβαααβαααβk k k ++=++=++=。则（）（A ）2-=k 或 1=k ；（B ）1=k ；（C ）2-≠k 且 1≠k ；（D ）2-=k 。二．填空题（每题3分，共18分） 7．设行列式 4 111311 12=D ，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则 ∑∑==313 1 i j j i A ＝。 8．已知4阶行列式4||j i a 的展开式中某项为42143123)1(a a a a k -。则=k 。 9. 设33)(?=ij a A ,j i A 是||A 中j i a 的代数余子式，j i j i A a =，13 121132a a a ==。已知011