河南省鹤壁高中2021届高三下学期模拟考试九数学(理)试题及含答案

2021届高三年级模拟考试九·理数试卷

居安思危，居危思进！平民人家的孩子，不能仅仅被“平民”概念左右，却忘记了奋斗，而是要做点什么去改命，让自己强起来，家门暖起来！大海上没有不带伤的船。所谓成长就是接受挑战，先接受再深思，然后找到突破口，走出去，动起来，做点什么，获得成长！我期待：你能看见更结实的苦难，而不夸大自己的困难；知晓更辽阔的真理，而不炫耀自己的浮夸。一个人的高贵与否，本质上与聪明无关，而取决于他内心的乾坤和疆土！

一、单项选择(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1、已知复数z 满足i z i 34)21(+=+，则z 的共轭复数是（ ）

A ．i -2

B ．i +2

C ．i 21+

D ．i 21-

2、“A B A = ””是“B A ?的（ ）

A ．必要不充分条件

B ．既不充分又不必要条件

C ．充分不必要条件

D ．充要条件

3、以下有关命题的说法错误．．

的是（ ） A. 命题“若

，则1x =-”的逆否命题为“若1x ≠-，则220x x --≠”

B. “220x x +-=”是“1x =”成立的必要不充分条件

C. 对于命题0p x R ?∈：，使得20010x x -+<，则:p x R ??∈，均有2

10x x -+≥

D. 若p q ∨为真命题，则p ?与q 至少有一个为真命题 4、函数)sin()(?+=wx A x f （其中0>A ，2

π

?<）的图象如图所示，

则)(x f 的解+析式（ ）

A.)322sin()(π+

=x x f B.)32sin()(π+=x x f C.)322sin()(π-=x x f D.)3

2sin()(π-=x x f

5、某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算的

918.32≈K ，经查临界值表知05.0)841.3(2≈≥K P .则下列表述中正确的是（ ）

A ．有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”

B ．若有人未使用该血清，那么他一年中有95%的可能性得感冒

C ．这种血清预防感冒的有效率为95%

D ．这种血清预防感冒的有效率为5%

6、已知等比数列{}n a 的前n 项和()n

n S 232?-+=λλ(为常数λ)，则=λ( )

A.2-

B.1- 1.C D ．2 7、已知锐角βα、满足6

π

βα=

+，则

β

αβαsin cos 4

cos sin 1+的最小值为（ ）

A ．20

B ．18

C ．16

D ．12

8、若()55443322105

32x a x a x a x a x a a x +++++=-，则5432105432a a a a a a +++++=（ ）

A ．－233

B ．10

C ．20

D ．233

9、某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连

上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（ ） A ．474种

B ．77种

C ．462种

D ．79种

10、已知点O 为ABC ?所在平面内一点，且032=++OC OB AO ，则下列选项错误的是（ ）

A ．AC A

B AO 4

3

21+=

B ．2:3:=??AO

C AOB S S

C ．直线AO 必过BC 边的中点

D 1==，且OC OB ⊥13= 11、已知点21F F 、分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，21e e 、分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且3

221π

=

∠PF F ，若22=e ，则1e 的值是（ ） A ．

5

5

B ．

4

5

C ．

5

5

2 D ．

7

5

2 12、锐角ABC ?中， ,,a b c 为角,,A B C 所对的边，点G 为ABC ?的重心，若AG BG ⊥，则cos C

的取值范围为（ ）

A ．????

???3754，

B

．12???? C ．

???????3721， D

．45????

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13、设实数y x ,满足约束条件??

?

??≤≥≤+-2

00

1y x y x ，则2+=x y z 的最小值为______.

14、过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦,,AB AC AD ，且,,AB AC AD 两两夹角都为060

，若

BD =，则该球的体积为__________．

15、函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定

(),A B k k A B AB

?-=

（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给

出以下命题：

①函数3

2

1y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(

),A B ?>

②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线2

1y x =+上不同的两点，则(),2A B ?≤；

④设曲线x

y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若

(),1t A B ??<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.

其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）

16、已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111

m OM OP OQ m m =

+++，定义点集 {|

}FP FM FQ FM A F FP

FQ

??==

. 若对于任意的3m ≥，当1F ， 2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等

式12||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的最小值为_______

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤，第17-21题为必考

题，每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，学生根据要求作答。） （一）必考题：共60分。

17、已知公比小于1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，3

21=

a ，且32313S a =，*N n ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设)1(log 13+-=n n S

b ，若

51

2511113221=+++n n b b b b b b ，求n 的值. 18、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方

形，且1==PD AD ，平面PCD ⊥平面ABCD ，

0120=∠PDC ，点E 为线段PC 的中点，点F 是

线段AB 上的一个动点.

（1）求证：平面DEF ⊥平面PBC ；

（2）设二面角F DE C --的平面角为θ，试判断在线段AB 上是否存在这样的点F ，使得

1339

2sin =

θ，若存在，求出FB

AF 的值；若不存在，请说明理由. 19、已知椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的离心率为23，过点)20)(0,(<

C 相交于Q P 、，两点，当x l n ⊥=,1轴时，3=PQ .

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若l 不垂直于坐标轴，且在x 轴上存在一点)0,(m B 使得QBA PBA ∠=∠成立，求m 的取值范围.

20、已知函数)(2

14ln )(2

R a x x a x f ∈-=

． （1）讨论)(x f 的单调性；

（2）设4=a ，且)6

,

0(π

∈x ，求证：4

12cos 2

1

tan -

-<

e

x x .

21、甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目，答题分两轮，第一轮为“选题答题环节”，第二轮为“轮流坐庄答题环节”。首先进行第一轮“选题答题环节”，答题规则是：每位同学各自从备选的5道不同题中随机

抽出3道题进行答题，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，已知甲能答对备选5道题中的每道题的概率都是

3

2

，乙恰能答对备选5道题中的其中3道题；第一轮答题完毕后进行第二轮“轮流坐庄答题环节”，答题规则是：先确定一人坐庄答题，若答对，继续答下一题，直到答错，则换人（换庄）答下一题以此类推。例如若甲首先坐庄，则他答第1题，若答对继续答第2题，如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题，直到乙答错再换成甲坐庄答题，依次类推两人共计答完20道题游戏结束，假设由第一轮答题得分期望高的同学在第二轮环节中最先开始作答，且记第n 道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为n P ()201≤≤n ，其中11=p ，已知供甲乙回答的20道题中，甲，乙两人答对其中每道题的概率都是3

1

，如果某位同学有机会答第n 道题且回答正确则该同学加10分，答错（不答视为答错）则减5分，甲乙答题相互独立；两轮答题完毕总得分高者胜出.回答下列问题

（1）请预测第二轮最先开始作答的是谁？并说明理由

（2）①求第二轮答题中32P P 、； ②求)201(≤≤n p n ）的表达式。

（二）选考题：（共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。） 22、[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为)(sin 2cos 2为参数ααα

?

?

?+=+=y x ，直线2C 的方程

为x y 3=以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程； （2）若直线2C 与曲线1C 交于B A 、两点，求OB

OA 11+.

23、[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数d x x x f ---=

62)(的定义域为R .

（1）求实数d 的取值范围；

（2）设实数m 为d 的最大值，若正数c b a ,,满足2

m c b a =++，求3

12111+++++c b a 的最小值.

2021届高三年级模拟考试九·理数答案

一、 BDDBA CBAAC CD 7、B 解：因为6

π

αβ+=

，所以()1

sin sin cos cos sin 2

αβαβαβ+=+=

，所以2sin cos 2cos sin 1αβαβ+=

因为αβ、为锐角，所以sin cos 0αβ>，cos sin 0αβ>所以

()1414

2sin cos 2cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ??+=++ ???

2cos sin 8sin cos 2cos sin 8sin cos 2810218

sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβ

αβαβαβαβ=+

++≥+?= 当且仅当

1

cos sin 2sin cos 2αβαβ==

时取等号

8、A 对等式两边进行求导，得：2×5（2x ﹣3）4＝a 1+2a 2x+3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4， 令x ＝1，得10＝a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5；

又a 0＝（﹣3）5＝﹣243，∴a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5＝﹣243+10＝﹣233. 10、C 如图所示，点O 为ABC 所在平面内一点，

且

230AO OB OC ++=，

可得223350AO OB OA OC OA OA +-+-+=，即

()(

)23AO OB OA OC OA

=-+-，

即423AO AB AC =+，所以

1324AO AB AC =

+，所以A 是正确的；

所以14DE OD EC AC ==，所以14DE EC =，可得25EC BC =，所以3

2BE EC =

所以

1

sin 3

21

2sin 2AOB

AOC

AD BE AEB

S BE S EC AD EC OEC ?∠===?∠△△，所以B 正确；

在ABC 中，设D 为BC 的中点，

由230AO OB OC ++=，可得()2()0AO OC OB OC +++=，

所以2()4OB OC AC OD +=-=-，所以直线AO 不过BC 边的中点，所以C 不正确； 由4AC OD =-，可得

4AC OD

=且//AC OD ，

由230AO OB OC ++=，可得23OA OB OC =+ 因为1

OB OC ==，且OB OC ⊥，

可得2

2

2

2

23412913

OA OB OC OB OB OC OC =+=+?+=，

所以

13

OA =D 是正确的.

11、C 设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，焦点坐标为()1,0F c -，()2,0F c ， 不妨设P 为第一象限内的点，则121

2+=PF PF a ，

122

2-=PF PF a ，

则

22

1212

PF PF a a =-，

由余弦定理得：

2

2

22

212121212242cos

3c PF PF PF PF PF PF PF PF π=+-=++，

()

2

2

222

21

1

2

1

2

443c a a a

a a ∴=--=+，2212314e e ∴

+=，又22e =，

2145e ∴=， 155e ∴=

.

12、D 如图，连接CG ，延长交AB 于D ，由于G 为重心，故D 为中点，

∵AG ⊥BG ，c=1，∴DG=

1122AB c =，由重心的性质得，CD=3DG ，即CD= 33

22

AB c =，由余弦定理得，AC 2=AD 2+CD 2-2AD ?CD ?

cos ∠ADC ，∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD ，

∴AC 2+BC 2=a 2+b 2=2AD 2+2CD 2 =

2

5c ,则2222cos 25a b c a b C ab b a +-??

=

=+ ???

又因为ABC ?为锐角三角形，则应该满足2

2

2

2

2

2

2

2

2

,,b c a a c b c b a >+>+>+ 将2

2

2

5a b c += 代入可得66,b a ??

∈ ? ???

则2cos 5a b C b a ??

=

+ ??? 由对勾函数性质可得cos C 的取值范围为46,5??????? 二 13、21 14、3π 15、②③ 16、34

14、由条件正四面体，△BCD 是正三角形，A ，B ，C ，D 为球上四点，球

心O 在正四面体中心如图所示，

2BD =，CD 的中点为E, 1O 为过点B,C,D 截面圆圆心,则截面圆半径

12236

33r O B BE ==

==， 正四面体的高221323

(

)33

AO a a =

-=

. ∴截面BCD 与球心的距离123

d OO R ==

-， 在1Rt BOO 中, 2

2623(

2R R ?=--????,解得3R =∴该球的体积为343V 3R π

π=

=. 15、①错： ()()1,1,2,5,17,7,A B A B AB k k =-= (),317

A B ?∴=

<；

②对：如1y =；③对； ()

,2A B ?=

=

≤；

④错； (

)

,A B ?=

=

(

)

1

1,,A B ?=

=

>因为()

1

,t A B ?<

恒成立，故1t ≤.

16、不妨设()10P -，， ()10Q ，101m M m -??

∴

?+??

，， 3m ≥，则

11112m m -??∈??+??

，3FP MP

FQ MQ ∴

=≥ 设()F x y ，， (

)()2

22

2

191x y x y ++∴≥-+即2

259416x y ?

?-+≤ ??

?

点F 在此圆内12

33242max

F F ∴=?

=33224k k ≤≥实数k 的最小值为34.

三、解答题

17、（1）1

2133n n a -??

=? ?

??

（2）100n =

解：（1）因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12

3

a =,且23133a S =， 所以有(

)2

1111133a q a a q a q

=++，代入123

a

=

并化简可得2

31030q q -+=， 解得13q =或3q =.因为公比小于1，所以1

3

q =，

由等比数列通项公式可得数列{}n a 的通项公式为1

2133n n a -??

=? ?

??

...................................5分

（2）根据等比数列前n 项和公式可得

21133111313

n

n n S ?????-??

?????????==- ?

??-，..................................6分

所以1

1113n n S ++??=- ???

，因为()31log 1n n b S +=-，

则代入可得13log 11113n n n b +??=- ? ???

??-=--?? ??????

???，.............................8分 所以

()()()()111111

121212

n n n n n b n n b n +==-----++++=，.............9分 则

12231111n n b b b b b b +++???+1111111123344512

n n =-+-+-???+-++ 1122n =

-+，由题意可得11252251

n -=+，解得100n =............................12分 18、（1）证明见解+析（2）存在；

1

2

AF FB = 解：（1）四边形ABCD 是正方形，∴BC DC ⊥. ∵平面PCD ⊥平面,ABCD 平面PCD

平面ABCD CD =，

∴BC ⊥平面PCD . ...............................2分 ∵DE ?平面PDC ，∴BC DE ⊥.

∵AD PD DC ==，点E 为线段PC 的中点，∴PC DE ⊥. 又∵?=PC CB C ，∴DE ⊥平面PBC .

又∵DE ?平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面PBC . ...............................4分 （2）由（1）知BC ⊥平面PCD ，∵//AD BC ，∴AD ⊥平面PCD . 在平面PCD 内过D 作DG DC ⊥交PC 于点G ，

∴AD DG ⊥，故DA ，DC ，DG 两两垂直，以D 为原点，

以DA ，DC ，DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -.

因为1AD PD ==，120PCD ∠=，∴3PC =

∵AD ⊥平面PCD ，则()0,0,0D ，()0,1,0C ，130,2P ?- ?

?

又E 为PC 的中点，130,4E ? ??

，假设在线段AB 上存在这样的点F ，使得239sin θ=，设

()1,,0(0)F m m >

，10,4DE ?= ??

，()1,,0DF m =，

设平面DEF 的法向量为()1,,n x y z =，则11

0,

0,n DE n DF ??=??

?=??

∴0

104

4x my y z +=???+=??

，令y =1,z =-

x ∴=

，则()

131

n =-- ...............................9分

AD ⊥平面PCD ，

∴平面PCD 的一个法向量()

21,0,0n =，

sin 13θ=，则cos 13

θ=

∴12

cos cos ,n n θ==

=

.

0m >，解得1

3m =，

∴

12

AF FB = ...............................12分

19、（12）(2,)m ∈+∞

（1）设椭圆的半焦距为c ，根据题意，得解得24a =，21b =.

所以椭圆C 的标准方程为 ...............................4分

（2）由l 不垂直于坐标轴知，直线l 的斜率存在，且不为0， 设直线l 的方程为()y k x n =-，0k ≠.

，消去y 可得()22222

148440k x k nx k n +-+-=.

设()11,P x y ，()22,Q x y ，易知12x x m ≠≠.

分

由PBA QBA ∠=∠，得0PB QB k k +=，所以分

所以()()()1221121202()20y x m y x m x x m n x x mn -+-=?-+++=，

，整理可得4mn =，即分

因为02n <<，所以(2,)m ∈+∞. ...............................12分

20、（1）当0a ≤时，f x （）在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x

在? ?

?

上单调递增，在?+∞????

上单调递减（2）证明见解+析 解;（1）易知()2

ln 142

a x f x x =

-的定义域为()0,∞+， ()2

444a a x f x x x x

-=

'=-， 当0a ≤时，0f x <（

）恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递减. ...............................2分 当0a >时，

由()00

f x x '?>?>?

，解得0x <<；

由()00

f x x '?

>?

，解得2

x >

. 所以f x （）

在? ??

上单调递增，在?+∞????上单调递减， 综上所述，当0a ≤时，f x （）在()0,∞+上单调递减；

当0a >时，()f x

在? ??

上单调递增，在?+∞????上单调递减. ...............................6分 （2）当4a =时，()2

12

f x lnx x =-， 由（1）可知()21ln 2

f x x x =-

在01（，）上单调递增. 设()12,0,1x x ∈，且12x x <，则()()12f x f x <，即22112211ln ln 22

x x x x -

<-， 所以()

2211221ln 2x x x x <-，所以()22

121122

x x x e x -<. ...............................9分

因为0,

6x π??

∈ ??

?

，所以0sin 1x cosx <<<. 所以()221

sin 2sin e

x cos x x cosx

-<，即1cos22e x tanx -<， 因为0,

6x π??

∈ ??

?

，所以20,

3x π??

∈ ??

?

，所以1111cos2,1,cos2,22

24x x ????∈-∈-- ? ???

??

.

所以1

1

224cos x e e --<. 综上可得，1

122

4

e e cos x tanx --

<<. ...............................12分

21、（1）第二轮最先开始答题的是甲；详见解+析（2）

（120n ≤≤）

解：(1)设甲选出的3道题答对的道数为ξ,

设甲第一轮答题的总得分为x ,则105(3)1515x ξξξ=--=-,

(或法二:设甲的第一轮答题的总得分为x ,则x 的所有可能取值为30,15,0,-15,

故得分为x 的分布列为:

设乙的第一轮得分为y ,则y 的所有可能取值为30,15,0,

故y 的分布列为:

∵Ex Ey >,所以第二轮最先开始答题的是甲. ..............................4分 (2)①

分

②

,(2

n≥), .............................9分

,

(120

n

≤≤). ...............................12分

22、（1）1C的极坐标方程为24470

cos sin

ρρθρθ+

--=，直线2C极坐标方程为()

3

θρ

π

=∈R；（2

解：（1）由曲线1

C的参数方程为

2cos

2sin

x

y

α

α

=+

?

?

=+

?

（α为参数），得曲线1C的普通方程为22

(2)(2)1

x y

-+-=，

则1

C的极坐标方程为24470

cos sin

ρρθρθ+

--=，

由于直线2

C过原点，且倾斜角为

3

π

，故其极坐标方程为()

3

θρ

π

=∈R. ...............................5分

（2）由

24470

3

cos sin

ρρθρθ

π

θ

?--+=

?

?

=

??

得22)70

ρρ

-+=，

设A,B对应的极径分别为12

ρρ

，

，则

12

2

ρρ

+=，127

ρρ=，

∴12

12

112

7

OA OB

OA OB OA OB

ρρ

ρρ

++

+===

?

. ...............................10分

23、【答案】（1）(]

,6

-∞-（2）

3

14

【详解】

（1）当x∈R时，26

d x x

≤--恒成立

设()26

g x x x

=--，则()

12,6

312,06

12,0

x x

g x x x

x x

->

?

?

=-+<≤

?

?-+≤

?

因此6

x=时()

g x取得最小值6

-

故实数d 的取值范围是(],6-∞- ...............................4分 （2）由（1）知6m =-，因此36a b c ++=

111123

a b c +++++ ()()()()()()()()()123123123142123a b c a b c a b c a b c +++++++++++++++??

=

++??+++??

1213132342121323b a c a c b a b a c b c ?++++++?

??????=

++++++ ? ? ???++++++?

???????

1342?≥

+?? 314

=

当且仅当13a =，12b =，11c =时上式取等号， 此时

111123a b c +++++取得最小值314

. ...............................10分