2016届上海普陀区初三数学一模试卷+答案(word版)

普陀区2015学年度第一学期初三质量调研

数 学 试 卷 2016.1

（时间：100分钟，满分：150分）

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．

2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]

1． 如图1，BD 、CE 相交于点A ，下列条件中，

能推得DE ∥BC 的条件是（ ▲ ） （A ）AE ∶EC =AD ∶DB ； （B ）AD ∶AB =DE ∶BC ； （C ）AD ∶DE =AB ∶BC ； （D ）BD ∶AB =AC ∶EC ．

2．在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，DE ∥BC ，如果△ADE 的面积等于3，那么△ABC 的面积等于（ ▲ ）

（A ）6； （B ）9； （C ）12； （D ）15．

3．如图2，在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD 是斜边AB 上的高，下列线段的比值不等于．．．cos A 的值的是（ ▲ ） （A ）

AD AC

； （B ）

AC AB

； （C ）

BD BC

； （D ）

CD BC

．

4．如果a 、b 同号，那么二次函数2

1y ax bx =++的大致图像是（ ▲ ）

D

C

B

A

图2

E D

C

B

A

图1

5．下列命题中，正确的是（ ▲ ）

（A ）圆心角相等，所对的弦的弦心距相等； （B ）三点确定一个圆；

（C ）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧； （D ）弦的垂直平分线必经过圆心．

6．已知在平行四边形ABCD 中，点M 、N 分别是边BC 、CD 的中点，如果a AB =，b AD =，那么向量关于、的分解式是（ ▲ ）

（A ）1122a b - ； （B ）1122a b -+ ； （C ）1122a b + ； （D ）1122

a b -- ．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果:2:5x y =，那么

y

x x

y +-= ▲ ． 8．计算：2()()a b a b ++-

= ▲ ．

9．计算： 2

sin 45cot 30tan 60+

= ▲ ． 10．已知点P 把线段AB 分割成AP 和PB (AP ＞PB ) 两段，如果AP 是AB 和PB 的比例中项，那么:AP AB 的值等于 ▲ ．

11．在函数①c bx ax y ++=2，②2

2)1(x x y --=，③22

55x

x y -

=，④22

+-=x y 中，y 关于x 的二次函数是 ▲ ．（填写序号）

12．二次函数2

23y x x =+-的图像有最 ▲ 点．

13．如果抛物线n mx x y ++=2

2的顶点坐标为（1，3），

那么n m +的值等于 ▲ ．

14．如图3，点G 为△ABC 的重心，DE 经过点G ，DE ∥AC ， EF ∥AB ，如果DE 的长是4，那么CF 的长是 ▲ ．

15．如图4，半圆形纸片的半径长是1cm ，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆的中点M 与圆心O 重合，那么折痕CD 的长是 ▲ cm ．

图3

16．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，点P 、Q 分别在边AB 、AC 上，4AC =，3BC AQ ==，如果△APQ 与△ABC 相似，那么AP 的长等于 ▲ ．

17．某货站用传送带传送货物．为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45°的传送带AB ，调整为坡度31:=i 的新传送带AC （如图5所示）．已知原传送带AB 的长是

24米．那么新传送带AC 的长是 ▲ 米．

18．已知A （3，2）是平面直角坐标系中的一点，点B 是x 轴负半轴上一动点，联结AB ，并以AB 为边在x 轴上方作矩形ABCD ，且满足:1:2BC AB =，设点C 的横坐标是a ，如果用含a 的代数式表示点D 的坐标，那么点D 的坐标是 ▲ ．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．（本题满分10分）

已知：如图6，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，13

AD BC =

，点M 是边BC 的中点，

AD a =

，AB b =

.

（1）填空：BM = ▲ ，MA = ▲ .（结果用a 、b

表示）.

（2）直接在图中画出向量2a b +

.（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）

O

图4

图

5

图

6

M B

20．（本题满分10分）

将抛物线2

12

y x =

先向上平移2个单位，再向左平移m (m ＞0)个单位，所得新抛物线经过点（-1，4），求新抛物线的表达式及新抛物线与y 轴交点的坐标．

21．（本题满分10分）

如图7，已知AD 是⊙O 的直径，AB 、BC 是⊙O 的弦，AD ⊥BC ，垂足是点E ，8BC =，

2DE =．求⊙O 的半径长和sin ∠BAD 的值．

22．（本题满分10分）

如图8，已知有一块面积等于12002

cm 的三角形铁片ABC ，已知底边BC 与底边上的高的和为100cm （底边BC 大于底边上的高），要把它加工成一个正方形铁片，使正方形的一边EF 在边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、 AC 上，求加工成的正方形铁片DEFG 的边长．

图7

D

A

图8

F G

E D C

B A

23．（本题满分12分）

已知：如图9，在四边形ABCD 中，ADB ACB ∠=∠，延长AD 、BC 相交于点E ，求证：

（1）△ACE ∽△BDE ； （2）BE DC AB DE = ．

24．（本题满分12分）

如图10，已知在平面直角坐标系xOy 中， 二次函数2

7

3

y ax x c =-+的图像经过 点A （0, 8）、B （6, 2），C （9, m ），延长AC 交x 轴于点D . （1）求这个二次函数的解析式及m 的值； （2）求ADO ∠的余切值；

（3）过点B 的直线分别与y 轴的正半轴、x 轴、线段AD 交于点P （点A 的上方）、M 、Q ，使以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△MDQ 相似，求此时点P 的坐标.

图10

图9

E

D

C B A

25．（本题满分14分）

如图11，已知锐角∠MBN 的正切值等于3，△PBD 中，∠BDP ＝90°，点D 在∠MBN 的边BN 上，点P 在∠MBN 内，PD ＝3，BD ＝9．直线l 经过点P ，并绕点P 旋转，交射线BM 于点A ，交射线DN 于点C ．设

CA

CP

＝x ， （1）求x ＝2时，点A 到BN 的距离；

（2）设△ABC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△ABC 因l 的旋转成为等腰三角形时，求x 的值．

l P

N

M

D

C

B

A

图11 P

N

M

D

B 备用图

普陀区2015学年度第一学期九年级数学期终考试试卷

参考答案及评分说明

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1．(A)； 2．(C)； 3．(C)； 4．(D)； 5．(D)； 6． (B).

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.

73； 8. b a +3； 9. 2

1

3 ； 10.

2

1

5-； 11．④； 12. 低； 13．1； 14．2； 15．3；

16 17．8； 18．

三、解答题

（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）

19．解：（1；32

MA a b =--

. ··········································· （3分+3分）

（2）答案略. ·············································································· （4分）

20．解：由题意可设新抛物线的表达式是2)(2

1

2++=

m x y . ··························· （2分） 该图像经过点（-1，4）， ∴把1-=x ，4=y 代入2)(212++=

m x y ，得 2)1(2

1

42++-=m . 解得31=m ， 21m =-（不合题意，舍去）. ································· （4分） ∴此时新抛物线的表达式是2)3(2

1

2++=x y . ·································· （1分） 令0=x ，得2

13=

y . ···································································· （2分）

∴新抛物线2)3(212++=

x y 与y 轴的交点坐标为（0，2

13

）. ··········· （1分）

21、解：联结OB ． ··················································································· （1分） AD 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，AD ⊥BC ，垂足为点E ，

∴∠0

90=OEB ，BC EC BE 2

1

=

=． ·········································· （2分） 又 8BC =，∴4BE =． ························································· （1分） 设⊙O 的半径长是x ，则2OE x =-．

在Rt △OEB 中，∠0

90=OEB ，

∴2

2

2

BO OE BE =+，即2224(2)x x +-=，解得5x =． ··············· （2分） ∴⊙O 的半径长是5． ·································································· （1分） ∴1028AE AD DE =-=-=． ················································· （1分）

由勾股定理得：AB = ························································ （1分） 在Rt △AEB 中，∠0

90=AEB ， ∴sin

∠5

BE BAD AB =

==

················································ （1分）

22．解法一：过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，交DG 于P ． ······························· （1分）

由题意得：1

1200,

2100.

BC AH BC AH ?=???+=? ·············································· （1分）

解得：60,

40.

BC AH =??

=? ································································ （1分）

设正方形DEFG 的边长为x cm ．

∵四边形DEFG 是正方形，EF 在边BC 上，∴DG ∥BC ．

得△ADG ∽△ABC ． ····························································· （1分） 由AH ⊥BC ．得AP ⊥DG ，即AP 是△ADG 的高． ······················ （1分） ∴

AP DG

AH BC

=． ································································· （1分） ∵PH ⊥BC ，GF ⊥BC ， ∴PH =GF ，AP=AH-PH=AH-GF ． ··········· （1分）

∴

AH GF DG

AH BC -=． ························································· （1分）

得404060

x x

-=， 解得24x =． ············································ （1分） 答：加工成的正方形铁片DEFG 的边长等于24cm ． ··················· （1分）

解法二：过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，交DG 于P ． ···························· （1分）

设正方形DEFG 的边长是x cm ，AH =h cm ，BC =a cm ．

由题意得：2400a h = ，100a h +=． ·································· （1分）

∵四边形DEFG 是正方形，EF 在边BC 上，∴DG ∥BC ．

得△ADG ∽△ABC ． ····························································· （1分） 由AH ⊥BC ．得AP ⊥DG ，即AP 是△ADG 的高． ······················ （1分） ∴

AP DG

AH BC

=． ································································· （1分） ∵PH ⊥BC ，GF ⊥BC ， ∴PH =GF ，AP=AH-PH=AH-GF ． ··········· （1分）

∴

h x x

h a

-=． ··································································· （1分） 得ah

x a h =+=2400100

=24． ····················································· （2分）

答：加工成的正方形铁片DEFG 的边长等于24cm ． ··················· （1分）

23． 证明：（1）∵+180ADB BDE ∠∠=

，+180ACB ACE ∠∠=

， ··············· （2分）

又∵ADB ACB ∠=∠， ························································· （1分） ∴BDE ACE ∠=∠． ·························································· （1分） ∵AEC BED ∠=∠， ·························································· （1分） ∴△AEC ∽△BED ． ························································ （1分） （2）∵△AEC ∽△BED ，

∴

DE BE

CE AE =． ·································································· （1分） ∴DE CE

BE AE

=． ································································· （1分） ∵DEC BEA ∠=∠， ·························································· （1分） ∴△DEC ∽△BEA ． ························································· （1分） ∴

DC DE

AB BE

=． ·································································· （1分） ∴BE DC AB DE = ． ························································ （1分）

24．解：（1）由题意得8,7

2366.3c a c =???=-?+??解得2,

98.

a c ?

=???=? ································· （2分） ∴这个二次函数的解析式是227

893

y x x =

-+. ···························· （1分） ∵点C （9, m ）在这个二次函数的图像上，

∴把9x =，y m =代入解析式，得5m =. ································· （1分） 所以m 的值为5.

（2）解一：由（1）得C （9, 5）.

设直线AC 的表达式是()0y k x b k =+≠， 由题意得8,

59.

b k b =??

=+?解得

1,

38.

k b ?

=-???=? ∴直线AC 表达式是1

83

y x =-

+. ················································· （2分） ∴点D 的坐标是（24, 0）. ···························································· （1分） 在Rt △ADO 中，cot 3OD

ADO AO

∠==. ······································· （1分） 解二：由（1）得C （9, 5）.

过点C 作CE ⊥x 轴，由CE ∥y 轴，可得CE DE

AO DO

=. ······················· （1分） 得

59

8DO DO

-=. ·········································································· （1分） 解得24DO =. ·········································································· （1分） 在Rt △ADO 中，cot 3OD

ADO AO

∠=

=. ······································· （1分） （3）∵AQP MQD ∠=∠， QMD ∠>APQ ∠，

∴△APQ 与△MDQ 相似只能APQ MDQ ∠=∠. ···························· （1分） 可得cot cot APQ MDQ ∠=∠.

过点B 作BF ⊥y 轴，在Rt △FBP 中，cot 3PF

APQ BF

∠=

=，

解得18PF =. ··········································································· （2分） ∴点P 的坐标是（0, 20）. ··························································· （1分）

25、解：（1）过点A 作AH ⊥BN ，垂足为点H . ············································· （1分）

由∠BDP ＝90°，可得PD ∥AH ． ·········································· （1分）

∴

AH CA

PD CP =． ····································································· （1分） ∵CA CP

＝x ， x ＝2，PD ＝3， 得：=6AH ． ······································································· （1分） （2） 同理得：=3AH x ． ································································ （1分）

在Rt △ABH 中，由tan 3MBN ∠=，可得BH x =， ·················· （1分） 从而9DH x =-． ∵ PD ∥AH ，∴CH CA

CD CP

=． 得：9=1x

CD x --． ·································································· （1分） ∵1

2

ABC

S BC AH = ， ∴1

9392

1x y x x -??

=+

?-??

．

化简得：2

121

x y x =-．（1＜x ≤9）······································· （1分+1分）

（3）过点P 作PQ ∥AB ，交BN 于点Q .则△PQC ∽△ABC .

H

l P

N

M

D C B

A

由△ABC 是等腰三角形，可得△PQC 是等腰三角形. 由PQ ∥AB ，可得tan 3PQD ∠=. ∴=1DQ

，PQ .

① 如果AB AC =，得PQ PC =. ∴1CD DQ ==.

∴10

52

CB x CQ =

==. ·

····························································· （1分） ②如果AB BC =，得PQ QC =.

∴QC =

1DC =. ················································ （1分）

∴CB x CQ =

==

. ..................................................... （1分） ③如果AC BC =，得PC QC =.

在Rt △PDC 中，由勾股定理得：4CD =. ································· （1分） ∴9413

145

CB x CQ +=

==+. ························································· （1分） 综上所述，当△ABC 因l 的旋转成为等腰三角形时，x 的值等于5

、

55

和13

5．

Q l P

N

M

D C B

A