平面向量的基本概念及线性运算知识点

平面向量

一、向量的相关概念

1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0）

2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示

（1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |.

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是||

AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。

（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线；

（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。

二、向量的线性运算

1.向量的加法：

（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC

叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

特殊情况：a

b a

b a+b b

a a+

b (1)平行四边形法则三角形法则

C B D

C

B

A

对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a

（2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______

（3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______

当a 、b 不共线时，

2.向量的减法：

（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.

已知向量a、b，求作向量

∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a

减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，

作OA= a, OB= b, 则BA= a?b （指向被减

数）

即a?b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量

注意：用“相反向量”定义法作差向量，a?b = a+(-b)

(?b)

显然，此法作图较繁，但最后作图可统一

a∥b∥c a ? b = a + (?b) a ?

b

3.实数与向量的积：

（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，

规定：|λa|=|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0，λa与a平行.

（2）运算律：λ（μa）=（λμ）a，（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb.

特别提醒：

1)向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。

2)向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=

λa，即b∥a?b=λa（a≠0）.