概率极限理论
随机微分方程基本理论
1、引言
随机微分方程（SDE ）的诞生有其一定的应用背景。随机微积分和随机微积分方程起源于马氏过程的构造和柯尔莫哥洛夫的分析方法与费尔的半群方法。常微分方程在物理、工程技术、生物和经济等领域中的应用是众所周知的，然而随着科学技术的发展，要求对实际问题的描述越来越精确。因此，随机因素的影响就不能轻易地被忽略，于是对于某些实际过程的分析也就有必要从通常的确定性观点转到随机的观点，从而对这些实际系统的描述，也就自然地从确定性的常微分方程转到随机常微分方程，简称随机微分方程。
随机微分方程是一种针对生物、化学、医药、机电、经济等领域中的随机现象而建立的数学模型，其广泛应用于自然科学、工程技术和经济学等领域。伊藤型随机微积分方程就是指带有白噪声的微分方程。自从爱因斯坦建立了布朗运动和随机分子扩散的数学理论以来，各种不同的领域内，如分子物理学、院子物理学、化学动力学、固态理论、结构稳定性、群体遗传学、通信以及自然科学、社会科学和工程的许多其他分支中开展了一系列理论的科学研究。在随机微分方程理论研究的早期阶段，爱因斯坦、斯莫路苏斯基、郎之万、奥伦斯坦、乌伦贝克和克拉美等人做了许多卓有成效的工作，这些工作综合在查德瑞赛卡1943男的主要论文中。随着随机微分方程的数学理论的发展数学研究人员在这一领域中发展了一些及其重要的结果，随着伊藤积分概念的引入，随机微分方程的理论向更深纵发展。
2、基础理论和线性方程
0)0( , )()),(()),(()(x x x dw t t x b dt t t x a t dx =+= (2.1)
是由伊藤积分方程
)()
),(()),(()(0
0s dw s s x b s s x a x t x t
t
??+
+
= (2.2) 定义。
这样，（2.1）式的解释非可料函数)(t x ，使得2
1)),((t t x a ，和)),((t t x b 属于[]T H ,02，且满足（2.2）式。对于方程组
)()),(()),(()(t dw t t x b dt t t x a t dx += (2.3)
可以同样定义，其中
[]T
n x x x x ,,,21 = ， []T
n a a a a ,,,21 =
且[]
T
n t w t w t w w )(,),(),(21 =是独立布朗运动组成的向量，随机微分方程的最简单例子是方程
0)0( , )()()()(x x x dw t b dt t a t dx =+= (2.4)
其解为
)()
()()(0
0s dw s b ds s a x t x t
t ??++
= 为了阐明解的本质，我们计算)(t x 的转移概率密度，即函数),,,(t y s x p 使得
?=
=∈A dy t y s x p x s x A t x P ),,,())(|)(( (t>s)
其中A 是R 中任意集合。假定)(t a 和)(t b 是确定函数。随机积分
?=
t
s dw s b t 0
)()()(ζ
是独立正态随机变量线性组合
[]∑-+)()()(1
i i
i t w t w t b
的极限，因而积分也是正态变量，这样，
?-
-=t
ds s a x t x t 0
0)()()(ζ
是正态变量，因而
v
y e
v
t y s x p 2)(221),,,(μπ--=
其中
))(|)((x s x t x E ==μ
由此得到
?+
==t
du u a x x s x t x E 0
)())(|)((
作为随机积分的期望等于零。同样有
??=
??
????==t
s
t
s du u b u dw u b E t Varx v )()()()(2
2
因而
????
??????---???
????=???-t s t s t
s du u b u d u a x y du u b t y s x p )(2))()((exp )(2),,,(2
22
12π 下一步考虑经过变量变换能化为（2.4）式的随机微分方程。考虑变量变换
)),(()(t t x f t =ζ
其中)(t x 是（2.1）式的解，那么有伊藤公式，
)
()),(()),(( )]),(()),((21 )),(()),(()),(([
)(222t dw t t x x
f
t t x b dt t t x x
f
t t x b t t x t f
t t x a t t x t f t d ??+??+??+??=ζ (2.5)
假设),(t x f 有（关于x 的）反函数),(t x g ，于是
x t t x g f =)),,(( ，x t t x f g =)),,((
那么)),(()(t t g t x ζ=，因而（2.5）式可写为
)()),(()),(()(t dw t t b dt t t a t d ζζζ+= (2.6)
其中
)
),,(()),,((21 )),,(()),,(()),,((),(22
2t t x g x
f
t t x g b t t x g t
f
t t x g a t t x g t f t x a ??+??+??=
)),,(()
),,((),(t t x g t
f
t t x g b t x b ??= 如果能找到函数),(t x f 使得
)(),(),(21),(),(),(222t a t x x
f t x b t x x f t x a t x x f =??+??+?? (2.7)
（与x 无关）且
),()
,()(t x x
f
t x b t b ??= (2.8) 那么，运用x t x g =),(，有（2.6-2.8）式，方程（2.1）式可化为（2.4）式。为了得到可化条件，运用（2.8）式可得到
)
,()(),(t x b t b t x x f =?? 下一步对（2.7）式求关于x 的导数得到
0),(21),(),(2222=??
?
?????+????+???x f t x b t x x f t x a x x t f 因为
[]
[]),(),()(),()(),()(2
2t x b t t x b t b t x b t t b t x b t b x
x t f ??-??=???????
???=??? 且
),(),()(),()(2
22t x b x
t x b t b t x b t b x x f ??-=???
???????=?? 我们有
0),(21),(),(),(),(),()()(2
22=??
?
?????+????????-??-'x t x b t x b t x a x t x b t t x b t x b t b t b 因而
0),(21),(),(),(),(),()()(2
22=??
?
?????+????????-??='x t x b t x b t x a x t x b t t x b t x b t b t b (2.9)
对（2.9）式等号左、右双杠求关于x 的偏导得出
0))
,(21),(),()
,(),(),((222=??+??????????????-????x t x b t x b t x a x t x b t t x b t x b x
(2.10)
条件（2.10）式对于可化也是充分的。因为如果（2.10）式满足，（2.9）式右边与x 无关，所以)(t b 可由积分得到。现在，可以从关系是
)
,()
(),(t x b t b t x x f =?? 确定),(t x f 。方程（2.9）式等价于
0),(21),(),(222=??
??
????+??+????x f t x b x f t x a x t x f x 因此，括弧中的式子与x 无关，所以它可取)(t a ，例如，考虑常系数线性方程
bxdw axdt dx +=
置x z ln =且运用伊藤公式，得到
bdw dt b a dz +-
=)2
1(2
因此
bw dt b a z z +-+=)2
1(2
或
??
???
?
+-
=)()21(exp )(2
0t bw t b a x t x (2.11) 3、解得存在性和唯一性
在下列简化条件下：
(i) a 和b 是x 的函数且)(,1R C b a ∈。 (ii)∞<=+K dx db dx da )max(。
我们将证明解的存在性和唯一性。用逐次逼近法构造解。把伊藤方程写成积分形式
??++
=t
t s dw s x b ds s x a x t x 0
0)())(())(()( (3.1)
置
0)(x t x =
和
??--+
+
=t
n
t
n s dw s x b ds s x a x t x 0
1
100)())(())(()(
显然，)(t x n 是非可料连续过程，利用不等式
)(2)(222B A B A +≤+
得到
[][][]}
))(())((＋ ))(())(({2 })()))(())(((＋ )))(())((({2)()(2
ｔ０
12
ｔ０
12
ｔ０12
012
1ds s x b s x b ds
s x a s x a tE s dw s x b s x b ds s x a s x a E t x t x E n n n n n n t
n n n n ????----+--≤??????-??
????-≤-
利用中值定理得到
[][]ds s x s x E t K t x t x E t
n n n n 2
12
2
1)()(4)()(?-+-≤-
因而，对于T t ≤，
[])!
1()4()()(1
22
1+≤-++n Tt K M t x t x E n n n
其中[]
)()(0202x b x a TE M +=现在，因为
[])())(()(()(0
1
s dw s x b s x b t y t n
n n ?--=
是鞅，函数)(2
t y n
是下鞅，由柯尔莫哥洛夫不等式给出
[][]!
!)4( )()(ＥｖＫ ))(())((ｂ
Ｅ ＝)()(2
2122
22２
Ｔ０
1
２
2
Ｔ
０
２
12
max n v v n K T K M dt
t x t x v
dt t x b t x v T y E v t y P n n n
n n n n n T t οο≡≤-?
??
? ??≤-??
????≤???
???≥??--≤
类似地有
!)))(())(((22
101max n v v ds s x a s x a P n
t n n T t οο≤??
????≥-?-≤
如果T 充分小，12≤C ，取)!2(1-=n v ，得到
0..)!2(1
)()(max 1=????
???
?
-≥--≤o i n t x t x P n n T t
由此得出)(t x n 是几乎处处一致收敛于（3.1）式的一个解。
为了证明解得唯一性，令)(1t x 和)(2t x 是（3.1）式的两个解且置
)等于)(或)(|min(21n t x t x t =τ
那么对于所有τ≤t 有
[]
[
]
[])
()))()(()()
(( ＋)))()(()()((＝)()()(0
12
121
2
]
,0[]
,0[],0[],0[]
,0[s dw s s x b s s x b ds
s s x a s s x a t t x t x t
t
??---τττττχχχχχ
因为
[]
∞<≤-22
124)()()()(]
,0[]
,0[n t t x t t x E ττχχ
我们有
[][]ds s t x s x E K t t x t x E t
)()()()()()(]
,0[]
,0[120
12ττχχ-≤-?
由格隆沃尔不等式得出，对所有τ≤t 有
[]0)()()
(12]
,0[=-t x t x t τχ a.s. 令∞→n ，得到)(..)
(21t x s a t x 。
4、随机微分方程和扩散过程
（a ）马尔科夫过程
对[0,T]上随机过程)(t ζ，如果对于任意序列
T t t t n ≤≤≤≤ 100和n x x x ,,10其中 3,2,1=n 满足等式
)
)(|)(( ＝）
)(,,)(,)(|)((11002211------=<=== 就称)(t ζ为马尔可夫过程。假定1-n t 看作为当前时刻，等式（4.1）意味着过程“忘记”过去。 假设马尔可夫过程)(t ζ的转移概率分布 ))(|)((),,,(x t y s P y s x t F =<=ζζ （s 具有关于y 的密度),,,(y s x t p ，即 ? ∞ -= y dz y s x t p z x t p y s x t F ),,,(),,,(),,,(τ )(s t <<τ (4.2) 即在时间区间[t,s]中， )(?ζ从x 到达y 的概率是)(?ζ在任意时刻τ到达任意点z ，然后与到达z 的方式独立地再跑到y 的概率。方程（4.2）式称为马尔可夫过程的切普曼—柯尔莫哥洛夫方程。必须注意到也有满足（4.2）式的马尔可夫过程。 如果)(t ζ值得变化仅在时间 ,,21t t （即在时间1,2，），那么}{n ζ是马尔科夫 链，所取得值n ζ称为状态。令 ,,) (2)(1 n n E E 是在第n 时刻（或代）的可能状态，那么由元素，那么由元素 )|() 1(1)()()(--===n i n n j n n ij E E P P ζζ 构成的矩阵称为转移概率矩阵。 （b ）扩散过程 一个马尔科夫过程)(t ζ，如果它的转移概率满足下列两条件： （i ）对于每一0>δ，t 和x ?>-→=+-δ y x h dy y h t x t p x y h 0),,,()(1 lim (ii)存在函数),(t x a 和),(t x b 使得所有0>δ，t 和x 有 ?>-→=+-δ y x h t x a dy y h t x t p x y h ),(),,,()(1 lim 和 ?>-→=+-δ y x h t x b dy y h t x t p x y h ),(),,,()(1 lim 20 称)(t ζ为扩散过程。函数),(t x a 称为)(t ζ的（无限小）偏移系数，),(t x b 称为（无限小）扩散系数。条件（i ）和（ii ）以及),(t x a 和),(t x b 的直观意义如下，在很短的时间区间（其长为h ）内，在时刻t ，函数)(?ζ在点x 所做的位移h 为 )(),(h x h t x a οδ++，其中),(t x a 是质点在介质中便宜的速度，x δ是质点的随 机波动，这种随机波动是由于随机碰撞和热的起伏及其他因素所引起的。 0=x E δ，h t x b x Var ),(=δ，即),(t x b 正比于质点领域中液体分子的平均能量， 下列条件蕴含着（i ）和（ii ） （i ） [] 0)()(1 2,→-++δ ζζt h t E h t x （ii ）（a ） []),()()(1 ,t x a t h t E h t x →-+ζζ （b ） []),()()(1 2 ,t x b t h t E h t x →-+ζζ 其中δ是某个正数。 （c ）扩散过程和随机微分方程 令)(t η是随机微分方程dw adt d ση+=的解，假设a 和σ满足存在定理的条件，那么)(t η是扩散过程，且 ))(|)((),,,(x t y s P y s x t F =≤=ηη 事实上，条件（i ）和（ii ）是： [][])1()()()(4214 ,4 ,x h K x h t E t h t E t x t x +≤-+=-+ηηη 因而得到（i ）。当0→h 时， []) ,() ),(() ),(( ＝)),((1 )(1 1 ,10 ,,,t s a ds t t a E ds sh t sh t a E du u u a E h x h t E h t x t x h t t t x t x =→++= -+???+ηηηη 因而（ii ）（a ）满足。 下一步，取2)(y y f =，运用伊藤公式，得到 [][][]x h t xE x x h t E x h t E t x t x t x -+---+=-+)(2)()(,22 ,2 ,ηηη ) (),(2)}()),(()(2 )]),(()),(()(2[{2,h h t x xa u dw u u u du u u u u a u E h t t h t t t x οησηησηη+-+ +??++ 因而 ) ,(),(2)),(( ＋ ) ),(()(21 lim ])([1 lim 221 0,0 2 ,0 t x t x xa ds sh t sh t sh t sh t a sh t E h x h t E h t x h t x h σησηηη=-+++++=-+?→→ 所以（ii ）（b ）成立。 其逆亦真，即如果)(t ζ具有光滑的偏移系数a 和扩张系数b ，0>≥δb 的几乎处处连续的扩散过程，且它的转移概率由函数满足某些连续条件，则)(t ζ是随机微分方程 dw b adt t d +=)(ζ 的解，此处)(t w 为布朗运动。 5、随机微分方程组和边界条件 （a ）方程组的伊藤公式 令 ??? ? ??????=)()()(21t w t w t w 是独立布朗运动的向量，令),(t x σ是一个n n ?矩阵，并令),(t x b 是向量： ??????????=),(),(),(21t x b t x b t x b ，??? ? ??????=n x x x 1 随机微分方程组 dw bdt dx σ+= (5.1) 引入如下的伊藤公式： dw f Lfdt t t x df T x σ?+=)),(( (5.2) 式中 ∑=+??≡???+??+??=1,221j i j i ij x Mf t f x x f a f b t f Lf (5.3) 和 ij T ij a )(σσ= (5.4) 柯尔莫哥洛夫后向方程由下式给出： 0=+??Mp t p 且福克尔—普朗克（前向）方程为 0) (21)(1,2 =???-??+??∑=n j i j i ij y y y p a bp s p （b ）吸收边界 令)(t x 是方程组（4.1）在n R 中一个确定区域Ω中的解，它的边界Ω?是光滑的。假设在Ω的边界Ω?上有一个完整的吸收壁使得对一切τ≥t 有 []1)0(|)()(0=Ω∈==x x x t x p τ，其中})(|0inf{Ω?∈≥=s x s τ 即τ是)(t x 从Ω的首次离出时间。 因为从Ω?上的一点x 到Ω中的任一点y 的转移概率为0[)(t x 是吸收的]，所以对一切0),,,(,,=Ω∈Ω?∈y s x t p y x 。这样),,,(y s x t p 是后向柯尔莫哥洛夫的格林函数并满足边界条件 )(),,,(y x y s x t p -=δ s t ≤ ，Ω?∈x 当s t ↑时 )(),,(y x y t x p -→δ Ω∈y x , 作为一个例子，考虑具有一个吸收壁的布朗运动。对于在0>x 处具有吸收边界的布朗运动的前向柯尔莫哥洛夫方程或者福克尔—普朗克方程由下式给定： 2 221y p t p ??=??，对0>y 0)0, ,,0(=y t p 0,0>>y t 当s t ↓ )(),,(y x y t x p -→δ 这个初始边值问题的解为 []t y x t y x e e t y t x p 2) (2)(2 221 ),,(+----= π 根据对成型我们可以看出0)0, ,(=t x p 。为了验证当0↓t 时， )(),,(y x y t x p -→δ 我们令)(x ?是任意检验函数使得对一切0 ? ? ? ∞ +∞ -+-∞ +∞ -∞ +∞ ---- = dx x e t dx x e t dx x y t x p t y x t y x )(21)(21)(),,(2)(2)(22?π?π? 我们已经证明，当0↓t ，有 0)()(212)(2 =-→? ∞ +∞ -+-y dx x e t t y x ??π 所以对一切0,0>>y x ，当0↓t )(),,(y x y t x p -→δ （c ）反射边界 令)(t x 是方程组（5.1）在Ω中的解。在Ω?以后，我们修改)(t x 如下。根据在Ω?上反射，我们把),(t x b 与),(t x σ扩展到Ω-n R 上。然后令)(~t x 是推广的方程组（5.1）的解)(t x 反射到Ω中的反射过程。应当注意到Ω?上的反射是瞬时的，而且在)(~t x 返回到Ω中以后，原来的方程组（5.1）仍决定运动。这样 反射过程被限制在边界上，所以我们仅在Ω?附近扩展a 与σ（这个扩展决定反射的速度与方向）。后向柯尔莫哥洛夫方程的边界条件如下确定。令Ω?∈0x 且令N 是0x 的邻域中我们令)(x f =ζ作变换，使Ω??N 映射到平面0=n ζ内， 0x 映射到原点，以及Ω?N 映射到0>n ζ内，这样根据反射，由b 与σ的扩展推得：若0 ),(),( n b n b ζζ--=与),(),( n n ζσζσ--= 由此得出在0=n ζ附近后向柯尔莫哥洛夫方程（就变量而论）的解必须满足 ),(),( n p n p ζζ=-- 从而在0=n ζ处 0=??n p ζ (5.5) 映射回变量x ,我们看到（5. 5）式取如下形式： 0) ,,,(=??x v y s x t p Ω?∈x (5.6) 这里x v 是Ω?在点x 的外法相。 6、随机微分方程解得稳定性：李雅普诺夫判别法 随机微分方程解得稳定性的概念本质上不同于（确定型）微分方程的情形。对于一个由微分方程描述的确定型系统，我们说系统 )(x b x = (6.1) 的解)(t ξ是稳定的，如果对于任意整数δ，存在两个数0>δ与T ，使得（6.1）式的任意解)(t x ，对某个T t ≤0只要当 δξ<-)()(00t t x (6.2) 时有 δξ<-)()(t t x T t ≥ 解)(t ξ称为渐近稳定的，如果她是稳定的，并且对满足方程（6.1）的任意解)(t x 有 0)()(lim =-∞ →t t x t ξ (6.3) 如果对（5.1）式的一切解（5.3）式成立，则)(t ξ称为全局稳定的。 令)()()(t y t t x +=ξ，并假设)(x b 是光滑的，则我们可把)(t ξ稳定性问题化为系统 ),()(y t C y t B y += (6.4) 的解0)(≡t y 的稳定性问题，其中 []) () ()(t x j i ij x x b t B ξ=??= 而且式中)(),(y y t C ο=，当0→y ，若矩阵B(t)是常数矩阵，即与t 无关，以及B 的特征值的实部是负的，则解0)(=t y 是渐近稳定的，所以作为（6.1）式的解)(t ξ是渐近稳定的。 若点0x 使0)(0=x b ，则称它为（6.4）式的一个临界点。在这种情形下， 0)(x t =ζ是（6.1）式的一个解。若0x 是（6.1）式的一个临界点，则（6.4）式中的B(t)是常数矩阵。检验临界点，例如00=x 的稳定性的另一种方法，是由李雅普诺夫给出的。函数)(x V 称为（6.1）式在00=x 处的一个李雅普诺夫函数， 如果（i ）)(x V 在0的一个邻域中是有定义的，连续的，且是可微的；（ii ）若0≠x ，0)(>x V 且0)(=x V ；及（iii ）在0的一个邻域中0)(≤??x x b ，如果系统（6.1）有一个李雅普诺夫函数，那么0≡x 是给定0)0(=b 时的一个稳定解。若 0)( 则0≡x 是渐近稳定的。 7、小结 本文主要对随机微分方程的基本理论进行了简要介绍，给出了随机微分方程的解的唯一性及解得稳定性的判别法—李雅普诺夫判别法，以及马尔科夫过程与扩散过程、随机微分方程之间的关系，推导出了福克尔—普朗克、柯尔莫哥洛夫的基本方程并对其边界状态进行讨论。 参考文献 [1]Anderson, R.F. an d Orey, S “Small random perturbations of dynamical systems with reflecting boundary” Nagoya Math.J.1976,60, 89~216. [2]Friedman, A. and Schuss, Z. “Degenerate evolution equations in Hilbert space”, Trans. AMS. 1971,161, 401~427. [3]Gihman, I.I. and Skorokhod, A.v.Stochastic Differential Equations. Springer -Verlag,Berliu,1972. [4]Mandl, P. Analytical Treatment of One Dimensional Markov Processes. Springer- verlag. New York, 1968. [5]Mckean, H.P., Jr Stochastic Integrals. Academic Press, New York, 1969. 计数原理、概率、随机变量及其分布、统计、统计案例 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝，则P (ξ≤－2)＝( ) A ． B ． C ． D ． 2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分) 已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,6 B ．2,7 C ．3,6 D ．3,7 3．将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的两个盒 子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( ) A ．10种 B ．20种 C ．36种 D ．52种 4．已知f (x )、g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，fx gx ＝a x ，f 1g 1＋ f －1 g －1＝52，则关于x 的方程abx 2＋2x ＋5 2＝0(b ∈(0,1))有两个不同实根的概率为( ) 5．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261 D ．279 6．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ①y 与x 负相关且y ^ ＝－； ② y 与x 负相关且y ^ ＝－＋； ③y 与x 正相关且y ^ ＝＋； ④y 与x 正相关且y ^ ＝－－. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ 中心极限定理 中心极限定理（Central Limit Theorems） 什么是中心极限定理 大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。 中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。 中心极限定理的表现形式 中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理： （一）辛钦中心极限定理 设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则 随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时， 将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。 （二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理 设μ n是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n 无限大时，频率设μ n / n趋于服从参数为的正态分布。即： 该定理是辛钦中心极限定理的特例。在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。 （三）李亚普洛夫中心极限定理 设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方 差：。 记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时， ，则对任意的x有： 该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。 （四）林德贝尔格定理 设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有 。 中心极限定理案例分析 案例一：中心极限定理在商业管理中的应用 水房拥挤问题：假设西安邮电学院新校区有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。假 数学高考《计数原理与概率统计》复习资料 一、选择题 1．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）． A ．0.378 B ．0.3 C ．0.58 D ．0.958 【答案】D 【解析】 分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可. 详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P =， 恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =?=， 恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =??=， ∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=．故选D ． 点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要. 2．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种 【答案】C 【解析】 【分析】 给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】 甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区， 则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1 3 43C C ?； 第2社区2个、第3社区安排2个，共22 42C C ?； 第2社区3个，第3社区安排1个，共11 41C C ?； 故所有安排总数为132211 4342413()42C C C C C C ??+?+?=. 故选：C. 概率与统计、计数原理专题分析 高中数学课程中的“统计与概率”部分被安排在必修3和选修2-3，历来被老师认为易教、被学生认为易学，一线教师大多走马观花一带而过，以便腾出时间深挖其他章节内容．2017年全国高考概率与我们如约而至，常规内容紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，体现数学在解决实际问题中的巨大作用和应用价值，体现高考改革中加强应用性、实贱性的特点．研宄近几年高考试卷中“统计与概率试题，被认为“送分题”分数送不出去的尴尬，引发深思，促使我们重新审视“统计与概率”内容，深感“简单”的内容不简单！ 一、专题考点分析 1.考点分析 2017年高考数学试题，概率与统计、计数原理部分考查的知识点覆盖面广，各卷考查知识点如下. （1）全国Ⅰ卷. 文科：样本的数字特征、几何概型、相关系数、方差均值计算； 理科：几何概型、二项式定理、正态分布、随机变量的期望和方差 （2）全国Ⅱ卷 文科：古典概型、频率分布直方图的应用； 理科：排列与组合、随机变量的期望、独立事件概率公式、独立性检验、频率分布直方图估计中位数. （3）全国Ⅲ卷. 文科：折线图、古典概型； 理科：折线图、离散型随机变量的分布列、数学期望 （4）北京卷. 文科：频率分布直方图的应用；理科：散点图的应用、古典概型、超几何分布、方差 （5）天津卷 文科：古典概型；理科：排列与组合、离散型随机变量的概率分布列及数学期望 （6）江苏卷 几何概型、分层抽样古典概型排列组合、随机变量及其分布、数学期望 （7）浙江卷 随机变量的期望和方差、二项式定理 （8）山东卷 文科：茎叶图、样本的数字特征、古典概型； 理科：回归直线方程、古典概型、随机变量的分布列与数学期望、超几何分布 2. 题量与分值分析 每年全国各地区的高考中都会有各种类型的概率题出现，分值占整套试卷总分的 8%～14%. 2017年各卷考查的题型及分值情况如下 （1）全国Ⅰ卷文、理科分别考查两道选择题和一道解答题，总分值均为22分 （2）全国Ⅱ卷文科考查一道选择题和一道解答题，总分值为17分；理科考查两道选择题和一道解答题，总分值为22分. （3）全国Ⅲ卷文、理科分别考查一道选择题和一道解答题，总分值均为17分. （4）北京卷文科考查一道解答题，分值为13分；理科考查一道填空题和一道解答题，总分值为18分. （5）天津卷文、理科分别考查一道选择题和一道解答题，总分值均为18分. （6）江苏卷考查两道填空题和一道解答题，总分值为20分. — 高三数学(理十五)第1页 共6页— 2017-2018学年度南昌市高三第一轮复习训练题 数学（理十五）计数原理、概率与统计 命题人：新建二中 陈选明 审题人：新建二中 朱优奇 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能 手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛 的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的 学生中获得“诗词能手”称号的人数为( ) A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 2．已知两组数12345671234567:,,,,,,,:,,,,,,A x x x x x x x B y y y y y y y ，其中 ()23,1,2,3,4,5,6,7i i y x i =+=，A 组数的平均数与方差分别记为2,,A x S B 组数的平均数与方差分别记为2,B y S ，则下面关系式正确的是( ) A. 2223,23B A y x s s =+=+ B. 2223,4B A y x s s =+= C. 222,4B A y x s s == D. 222,43B A y x s s ==+ 3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位： 小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其 中自习时间的范围是[]17.5,30，样本数据分组为 [)17.5,20，[)20,22.5，[)22.5,25，[)25,27.5， []27.5,30. 根据直方图，若这200名学生中每周的 自习时间不超过m 小时的人数为164，则m 的值约为( ) A. 26.25 B. 26.5 C. 26.75 D. 27 4．“杨辉三角形”是古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多 年，如图是三角形数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，则511a a +的值为( ) A.528 B.1020 C.1038 D. 1040 5．如图，一只蚂蚁从点A 出发沿着水平面的线条爬行到点C ，再由点C 沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B ，则它可以爬行的不同的最短路径有( )条 A. 40 B. 60 C. 80 D. 120 第38卷第5期 2009年9月内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版)Journal of Inner Mongolia Normal University (Natural Science Edition )Vol.38No.5Sept.2009 收稿日期:2009207210 基金项目:国家自然科学基金资助项目(10771169);山东省十一五教育规划课题(115GG73) 作者简介:徐传胜(1962-),男,山东聊城人,临沂师范学院教授,主要从事概率论思想史研究,E 2mail :lysyxcs @https://www.360docs.net/doc/101345173.html,. 中国对概率论思想发展史研究初露端倪 ———读王幼军《拉普拉斯概率理论的历史研究》 徐传胜 (临沂师范学院数学系,山东临沂276005) 摘 要:目前我国学者对概率论史的研究鲜有涉及,以致有关资料相当匮乏.王幼军的《拉普拉斯概率理论 的历史研究》是中国第一部概率论史研究专著.该书特色为:(1)揭示了拉普拉斯概率理论形成的主要因素; (2)论述了拉普拉斯概率理论的本质和特点;(3)考证了《决疑数学》的底本.但此书也有一些不足和可议之处, 如有些语言西化,令人费解. 关键词:拉普拉斯;概率论;王幼军 中图分类号:N 092 文献标识码:A 文章编号:1001228735(2009)052205782204 概率论现已成为中国高等教育的重要课程之一.现代概率论的内容往往使学生认为它需要与现实模型结合起来,这使学生难以进入数学抽象的境地.在方法上,概率论更注重概念的理解,而这正是习惯于算法学习的学生所欠缺的;另一方面,学生都是在因果观的环境中成长起来的,因此在首次学习处理不确定性的概率论时,感到难以理解也就不足为怪了. 概率论既是一门核心数学学科,更是观测世界的一种基本方法.作为科学探索的特色方法,其显著功效已引起概率理论在科学研究中的爆炸性增长.概率思想是统计学的理论基础,是物理学、遗传学和信息论的重要工具,是金融学、地球科学、神经学、人工智能和通讯网络等学科的常用方法.然而概率论的思想又很微妙,即使今天仍未被很好地理解.因此,对概率思想的研究已成为数学家和数学史家关注的热点之一. 2007年1月,王幼军在其博士论文的基础上,做了进一步的充实和改进,出版了《拉普拉斯概率理论的历史研究》,该书是中国第一部概率论史研究专著,由此拉开了我国对概率论思想发展史研究的帷幕. 《拉普拉斯概率理论的历史研究》全书分成6章,内容为2个独立专题:前5章是对拉普拉斯概率论理论的历史研究,以拉普拉斯的《分析概率论》为中心,探讨了拉普拉斯概率理论的来龙去脉和科学影响;最后一章通过详细考证,确认中文的第一部概率论译著———《决疑数学》的底本应是Thomas Galloway 在《大英百科全书》第8版(1859)中所作“概率论”一文,并从拉普拉斯概率论发展的历史背景出发,全面地论述了《决疑数学》的背景、风格、观点、内容安排,以及《决疑数学》对中国概率论发展的影响[1]. 李文林称王幼军的《拉普拉斯概率理论的历史研究》“对原始文献的掌握与使用”和“运用现代数学理论 与方法,分析考察拉普拉斯的概率论底本”(原书序一)值得称道,该书“无论对于科学史探讨或现实的概率论 研究和教学来说都体现出数学史研究的价值”.江晓原称其曾“受到国内数学界权威人士的很高评价”,是“令 人欣喜的新成果” (原书序二),诚哉斯言.1 近现代数学史研究的困窘 正如科学史研究领域所面对的问题一样,在数学史的研究领域中,诸如为什么要研究数学史、谁需要数学史、数学史究竟是干什么的、数学史该往何处去,这些问题也是每个数学史研究者难以回避的问题. 20世纪中国数学史的研究经历了两次高潮,分别是在李俨和钱宝琮、吴文俊等学者的倡导下,先后发起的以“发现”和“复原”为主题的两次运动.第一次运动中,“发现”意味着破解历史上都做出了什么样的数学,数学史家们必须从原始文献中找寻;在吴文俊发起的以“复原”为主题的第二次运动中,数学史家所关注的问 习题10（切比雪夫不等式） 一．填空题 1. 设随机变量X 的数学期望μ=)(X E ，方差2 )(σ=X D ，则由切比雪夫不等式，得 ≤≥-)3(σμX P . 2. 随机掷6枚骰子，用X 表示6枚骰子点数之和，则由切比雪夫不等式，得≥<<)2715(X P . 3. 若二维随机变量),(Y X 满足，2)(-=X E ，2)(=Y E ，1)(=X D ，4)(=Y D ， 5.0),(-=Y X R ，则由切比雪夫不等式，得≤≥+)6(Y X P . 4. 设ΛΛ,,,,21n X X X 是相互独立、同分布的随机变量序列，且0)(=i X E ，)(i X D 一致有界),,,2,1(ΛΛn i =，则=<∑=∞ →)( lim 1 n X P n i i n . 二．选择题 1. 若随机变量X 的数学期望与方差都存在，对b a <，在以下概率中，（ ）可以由切比雪夫不等式进行取值大小的估计。 ①)(b X a P <<； ②))((b X E X a P <-<； ③)(a X a P <<-； ④))((a b X E X P -≥-. 2. 随机变量X 服从指数分布)(λe ，用切比雪夫不等式估计≤≥ -)1 (λ λX P （ ）. ①λ； ②2 λ③4 λ； ④ λ 1 . 三．解答题 1. 已知正常男性成年人的血液里，每毫升中白细胞含量X 是一个随机变量，若7300)(=X E ， 2700)(=X D ，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞含量在5200至9400之间的概率。 2. 如果n X X X ,,,21Λ是相互独立、同分布的随机变量序列，μ=)(i X E ， 【高中数学】数学《计数原理与概率统计》高考知识点 一、选择题 1．已知()9 29012913x a a x a x a x -=++++L ，则019a a a +++…等于（ ） A ．92 B ．94 C ．93 D ．1 【答案】B 【解析】 【分析】 求出二项式()9 13x -展开式的通项为()193r r r T C x +=?-，可知当r 为奇数时，0r a <，当 r 为偶数时，0r a >，然后代入1x =-即可得出019a a a ++?+的值. 【详解】 二项式()9 13x -展开式的通项()193r r r T C x +=?-，当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数 时，0r a >， 因此，()9 90191314a a a ??++?+=-?-=??. 故选：B. 【点睛】 本题考查利用赋值法求各项系数绝对值之和，要结合二项式定理判断各项系数的符号，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 2．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种 【答案】C 【解析】 【分析】 给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】 甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区， 则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1 3 43C C ?； 第2社区2个、第3社区安排2个，共22 42C C ?； 第2社区3个，第3社区安排1个，共11 41C C ?； 故所有安排总数为132211 4342413()42C C C C C C ??+?+?=. 故选：C. 【点睛】 概率论中的大数定律及中心极限定理 唐南南 摘要 概率论是从数量上研究随机现象的规律的学科，概率论的特点是先提出数学模型，然后去研究它的性质，特点和规律。它在自然科学，技术科学和社会科学等科学中有广泛的应用。而大数定律和中心极限定理的内容是概率论中极限理论极为重要的一部分内容。在这篇文章中，我们从贝努力试验中的频率出发，讨论了独立随机变量和分布的极限问题。在一定条件下，这些分布弱收敛于退化分布，这就是大数定律。在另一些条件下，这些分布弱收敛于N(0,1)分布,这一类收敛于N(0,1)分布的定理统称为中心极限定理.大数定律说明了随机现象都具有稳定性而中心极限定理是研究相互独立随机变量序列{}i x 的部分和∑== n i i n x S 1 的分布，在适当条件下向正态分布收放的问题。在这篇文章 里，我们只介绍了一些定理的提出，内容以证明以及在其他学科上的应用，而大数定律和中心极限定理还有许多更深入，更广泛的内容，限于篇幅这里就不再介绍了。掌握定理的结论是重要的，这些结论一方面使频率稳定于概率，n 次观察的算术平均值稳定于数学期望都有了明确的含义和理论依据；另一方面，又将给数理统计中大样本的统计推断等提供理论依据。 关键词 大数定律 中心极限定理 随机现象 随机变量 引言 大数定律和中心极限定理是概率论中重要的一部分内容，但对读者来说，多数人对于这部分内容感到很难掌握，这篇文章就是对这部分内容进行浅入的分析，但对其内容进行详细的说明，而且进行了归纳性的总结，指出了各定律之间的联系及其差别，希望通过本篇文章内容的介绍，能使读者对于这部分知识有一个清晰的印象，能整体地把握这部分内容。 一 、大数定律 （一）、问题的提法（大数定律的提法） 重复实验中事件的频率的稳定性，是大量随机现象的统计规律性的典型表现。人们在实践中认识到频率具有稳定性，进而由频率的稳定性预见概率的存在；由频率的性质推断概率的性质，并在实际应用中（当n 中心极限定理 无论随机变量12,,,, n X X X 服从什么分布，当n 充分大时，其和的极限分布是正 态分布，这就是我们今天要讲的中心极限定理。 定理 5.5（独立同分布中心极限定理）设随机变量12,,,,n X X X 相互独立,服从同一 分布,且具有数学期望和方差2 (),()0,i i E X D X μσ==>1,2,i =,则随机变量之和1 n i i X =∑的标 准化变量 n i n X n Y μ -= ∑ 的分布函数()n F x 对于任意X 满足 2/2lim ()lim d ()n i x t n n n X n F x P x t x μΦ-→∞→∞ ?? -??? =≤==????? ∑? 定理 5.5表明,对于均值为,μ方差为2 0σ>的独立同分布的随机变量的和1 n i i X =∑的标准 化随机变量,不论12,,,, n X X X 服从什么分布,当n 充分大时,都有 ~(0,1)n i n X n Y N μ-= ∑近似 , 从而,当n 充分大时 21 ~(,)n i i X N n n μσ=∑近似. 定理5.5′ 设随机变量列12,,,,n X X X 相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差2(),()0,i i E X D X μσ==>1,2, i =,令1 1n n i i X X n == ∑,则当n 充分大时 ~(0,1)N 近似 ,即2~(,/)n X N n μσ近似. 例5.3 一盒同型号螺丝钉共有100个,已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是100 g,标准差是10 g,求一盒螺丝钉的重量超过10.2 kg 的概率. 解 设i X 为第i 个螺丝钉的重量,,100,,2,1 =i Y 为一盒螺丝钉的重量,则 【高中数学】数学高考《计数原理与概率统计》复习资料 一、选择题 1．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ） A ． 13 B ． 14 C ． 15 D ． 12 【答案】A 【解析】 【分析】 根据条件概率的公式与排列组合的方法求解即可. 【详解】 由题意得学生甲和乙都不是第一个出场,甲不是最后一个出场的概率11333315 5C C A 9A 20P ==,其中学生丙第一个出场的概率13 3325 5C A 3A 20P ==,所以所求概率为21 13P P P ==. 故选：A 【点睛】 本题主要考查了根据排列组合的方法求解条件概率的问题,属于中等题型. 2．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p u v ＝(m ，n)，q v ＝(3,6)．则向量p u v 与q v 共线的概率为( ) A ． 1 3 B ． 14 C ． 16 D ． 112 【答案】D 【解析】 【分析】 由将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，再列举出向量p u r 与q r 共线的基本事件的个数，利用 古典概型及其概率的计算公式，即可求解。 【详解】 由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有6636?=种结果， 又由向量(,),(3,6)p m n q ==u r r 共线，即630m n -=，即2n m =， 满足这种条件的基本事件有：(1,2),(2,4),(3,6)，共有3种结果， 所以向量p u r 与q r 共线的概率为31 3612 P = =，故选D 。 【点睛】 本题主要考查了向量共线的条件，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中根据向量的共线条件，得出基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础 第十篇：计数原理、统计、概率 一、选择题 1.【2018全国一卷3】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻 番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 2.【2018全国一卷10】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个 半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC 的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则 A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p3 3.【2018全国二卷8】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥 德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723 =+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A． 1 12 B． 1 14 C． 1 15 D． 1 18 4.【2018全国三卷5】 5 2 2 x x ?? + ? ?? 的展开式中4x的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 5.【2018全国三卷8】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =， ()()46P X P X =<=，则p = A ． B ． C ． D ． 6.【2018浙江卷7】设0 哈尔滨工业大学 课程论文概率论与数理统计的发展与应用 课程名称概率论与数理统计姓名 学院英才学院 专业电气工程及其自动化班级 学号 指导教师王勇 日期2014年12月11日 [摘要]：通过本学期概率论与数理统计这门课的学习，我基本掌握了基本的概率知识，这对于自己以后的发展和创新有着很大的帮助。本文将根据自己的学习心得，概率论的历史、发展和主要内容，应用方向，课程感悟等四个方面来阐述我对本门课的总结。 [关键词]：概率论数理统计生产发展主要内容应用方向 概率论与数理统计是研究随机现象规律性的一门科学。前者是从数学观点研究随机现象的基本性质，后者从搜集到的随机数据，估计或推断随机现象的基本特性。 一：概率论与数理统计的起源与发展 1、概率论 概率论起源于对赌博问题的研究。早在16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学角度研究过赌博问题。他们的研究除了赌博外还与当时的人口、保险业等有关，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确，于是很快被人淡忘了。 概率论的早期研究大约在十六世纪到十一七世纪之间。(若考虑到概率与统计在早期难于区分的辜实，它的历史可远溯到许多世纪之前。根据科学史记载，在1390年就有人讨论过掷般子的问题，若把文明古国的抽签活动也加以考虑，还可有更早的史料。)这段期间，欧洲进入文艺复兴时期，工业革命已开始蔓延。伴随工业发展提出的误差问题，伴随航海事业发展产生的天气预报问题，伴随商业发展而产生的贸易、股票、彩票和银行、保险公司等，加之人们越来越需要了解的患病率、死亡率、灾害规律等问题，急需创立一门分析研究随机现学学科。概享论应社会实践的需要出现了。 在这个时期，意大利著名物理学家伽俐略就曾对物理实验中出现的误差进行了科学的研究，把误差作为一种随机现象，并估计了他们产生的概率。十八世纪，概率论发展很快，几乎初等概率的全部内容都在这个期间形成。在这个期间，概率论工作者已经不是孤立地、静止地研究事件发生的概率，而是把随机现象视为一种特殊的变量——随机变量。随机变量的引入，数学家如鱼得水，他们利用各种数学工具，研究随机变量的分布，从而使概率论的研究得到了一次飞跃。在整个十八世纪和十九世纪初叶，概率论风行一时。但是，由于一些学者过分夸大了它的作用，许多人企图把它应用到诸如诉讼之类的“精神”或“道德”的科学上去，遭到了失败。这以后，欧洲的一些数学家认为概率论只是一种数学游戏，不可能有重大的具有科学根据的应用。甚至概率论在气体动力论、误差论、射击论等方面的卓有成效的应用也因此而受到忽视。这些错误后来被形容为“数学诞语”，导致概率论的发展在西欧较长的一段时间(十九世纪下半叶)出现停滞。虽然概率论在这段时期走了一段弯路，但它的发展仍是主流。在这个时期，概率论工作者较好地应用数学工具，使概率论的理论更加严密，基本上完成了概率论作为数学的一个分支应具备的条件。二十世纪以来，由于公理化体系的建立，使得概率论的理论更加完备。另外，极限理论的研究取得了一系列的结果。随机过程，数理统计从概率论中独立出来，成为两门生命力极强的新学科。概率的应用性越来越显示出来，产生了应用概率的研究分支，并由此滋生出许多分支。概率论与其它学科相结合，又出现了不少边缘学科。 【最新】数学高考《计数原理与概率统计》专题解析(1) 一、选择题 1．在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生家庭问卷调查，若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为（）A．36 B．72 C．24 D．48 【答案】A 【解析】 【分析】 分为两步进行求解，即先把四名学生分为1,1,2三组，然后再分别对应3名任课老师，根据分步乘法计数原理求解即可． 【详解】 根据题意，分2步进行分析： ①先把4名学生分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有 212 421 2 2 6 C C C A =种分组方 法； ②将分好的3组对应3名任课教师，有336 A=种情况； 根据分步乘法计数原理可得共有6636 ?=种不同的问卷调查方案． 故选A． 【点睛】 解答本题的关键是读懂题意，分清是根据分类求解还是根据分布求解，然后再根据排列、组合数求解，容易出现的错误时在分组时忽视平均分组的问题．考查理解和运用知识解决问题的能力，属于基础题． 2．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，则这两卦的六根线中恰好有4根阴线的概率为（） A． 3 14 B． 2 7 C． 9 28 D． 19 28 【答案】A 【解析】 【分析】 列出所有28种情况，满足条件的有6种情况，计算得到概率. 【详解】 根据题意一共有： 乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑； 巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震兑；坎离、坎艮、坎兑； 离艮、离兑；艮兑，28种情况. 满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑，震坎，震艮，坎艮，共6种. 故632814p = =. 故选：A . 【点睛】 本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 3．某小学要求下午放学后的17：00-18：00接学生回家，该学生家长从下班后到达学校（随机）的时间为17：30-18：30，则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为（ ） A ． 78 B ． 34 C ． 12 D ． 14 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ，转化成线性规划问题，利用面积型几何概型求概率，即可求得概率. 【详解】 解：根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ， 学生出来的时间为17：00-18：00，看作56x ≤≤， 家长到学校的时间为17：30-18：30，5.5 6.5y ≤≤， 要使得家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子，则需要y x ≥， 则相当于56 5.5 6.5x y ≤≤?? ≤≤? ，即求y x ≥的概率， 如图所示： 约束条件对应的可行域面积为：1， 则可行域中y x ≥的面积为阴影部分面积：1117 12228 - ??=， 所以对应的概率为：7 7818 =， 即学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为：78 . 故选：A. 浅谈中心极限定理 摘要：中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是林德伯格-莱维中心极限定理和棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。它们表明了当n 充分大时，方差存在的n 个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。本文讨论了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。 关键词：中心极限定理；正态分布；生活中的应用。 引言：在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响，如测量误差、炮弹 射击的落点与目标的偏差等。同时许多观察表明，若一个随机变量是由大量相关独立的随机因素的综合影响所构成的，而其中每一个随机因素的单独作用是微小的，则这样的随机变量通常是服从或近似服从正态分布。这种现象就是中心极限定理产生的客观背景。 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。王勇老师讲到中心极限定理时，曾非常激动地说这个定理一被提出便震惊了全世界，而且重复了数遍。由此足以见得中心极限定理的重要性。 目前我们研究的是独立同分布条件下的中心极限定理： 林德伯格-莱维中心极限定理：设 {}n X 是独立同分布的随机变量序列，且 )(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ -= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}? ∞ --∞ →=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 2 2 这个中心极限定理是由林德伯格和莱维分别独立的在1920年获得的，定理告诉我们， 对于独立同分布的随机变量序列，其共同分布可以是离散分布，也可以是连续分布，可以是正态分布，也可以是非正态分布，只要其共同分布的方差存在，且不为零，就可以使用该定理的结论。只有当n 充分大时, n Y 才近似服从标准正态分布)1,0(N ，而当n 较小时，此种 近似不能保证。也就是说，在n 充分大时，可用)1,0(N 近似计算与n Y 有关事件的概率，而 n 较小时，此种计算的近似程度是得不到保障的。当 ) 1,0(~N Y n 时，则有 ) , (~),,(~2 2 1 n N X n n N X n i i σμσμ∑=。 现如今旅游、汽车等行业越来越受欢迎。在这些行业中就会用得到中心极限定理。 例如，某汽车销售点每天出售的汽车服从参数为λ=2的泊松分布，若一年365天都经 概率论地起源和发展简史 1引言 现实世界中形形色色地自然现象、社会现象大致可分为两类：一类是事先能确定其结果地现象，即确定性现象，如今天太阳必然会落下去，同性电荷互相排斥等。另一类是事先不能确定其结果地现象为随机现象,这类现象地可能结果不会是一种,如同品种种子播种到肥力均匀地田地里,每粒种子是否发芽、掷一枚骰子,可能结果有6种等，这种随机现象是否有规律,便成为数学研究中地一个问题。概率论就是运用数学方法研究随机现象统计规律性地一门数学学科。概率, 简单地说,就是随机现象出现地可能性大小地一种度量。 2 概率论地起源和发展简史 概率论同其他数学分支一样，是在一定地社会条件下，通过人类地社会实践和生产活动发展起来地一种智力积累．它发源于17世纪中叶,并且是与惠根斯、巴斯加尔、及雅谷、贝努里诸人地名字分不开地。对概率论地兴趣,本来是由于保险事业地发展而产生地,但刺激数学家思考概率论地一些特殊问题却是来自赌博者地请求。《论赌博中地计算》一书,这是概率论最早地论著。概率论虽然起于17世纪,但为此准备基础却是较早地事。例如卡当在其《论赌博》一书中已计算了掷两颗或三颗骰子时在一切可能方法中有多少方法得到某一总点数。17、18世纪之交,有不少数学家从事概率地研究,伯努里地巨著《猜度术》是一项重大地成就,其中包含概率论中地“伯努里定理”,这是“大数定律”地最早形式。 德莫瓦佛地《机会地学说》包含“德莫佛—拉普拉斯定理”。在概率论地系统理论产生之前,许多数学家已认识到了很多实际问题中地随机变量都是由大量相互独立因素综合影响形成地。而其中每一个个别地因素在总地影响中地作用都是很 微小地,这样形成地随机变量往往近似服从正态分布,从理论上来证明这个事实是一个中心问题,概率论就是围绕这个中心发展起来地。 2.1概率论地起源 概率论起源于对赌博问题地研究。早在16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学角度研究过赌博问题。他们地研究除了赌博外还与当时地人口、保险业等有关，但由于卡丹等人地思想未引起重视，概率概念地要旨也不明确，于是很快被人淡忘了。 点数问题地圆满解决标志着概率论地创立.所谓点数问题是:A,B赌博,其技巧相当,约定谁先胜s局则获全部赌金.若当A胜s1局而B胜s2局时(s1 新数学《计数原理与概率统计》高考知识点 一、选择题 1．河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．“河图”将一到十分成五行属性分别为金，木，水，火，土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木．现从这十个数中随机抽取3个数，则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为（ ） A ． 110 B ． 15 C ． 25 D ． 12 【答案】C 【解析】 【分析】 从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数 11221 52222()20n C C C C C =+=，这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：11221 22222()8,m C C C C C =+=，由此能求出这3个数字的属性互不 相克的条件下，取到属性为土的数字的概率． 【详解】 由题意得数字4，9属性为金，3，8属性为木，1，6属性为水， 2，7属性为火，5，10属性为土， 从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克， 包含的基本事件个数11221 52222()20n C C C C C =+=， 这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为： 11221 22222()8,m C C C C C =+=， ∴这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率82 205 m p n ===． 故选：C ． 【点睛】 此题考查古典概型，关键在于根据计数原理准确求解基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.计数原理、概率、随机变量及其分布、统计、统计案例
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