主范式的求法及应用
分类号O158 单位代码 11395 密级学号 1204210135
学生毕业论文
题目主范式的求法及应用
作者王定超
院 (系) 数学与统计学院
专业数学与应用数学
指导教师祁兰
答辩日期 2016年5月21日
榆林学院
毕业论文诚信责任书
本人郑重声明：所呈交的毕业论文，是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。毕业论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等,均已明确注明出处。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.
本人毕业论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。
论文作者签名:
年月日
摘要
主范式即主合取范式与主析取范式，它是数理逻辑中重要的基石也是推动计算机科学发展的动力，其方法与应用颇有价值.本文通过介绍主范式的相关定理、定义并作出相应解释，以及由范式的不唯一性引出主范式的唯一性，得到求主范式的三种方法：真值表法、真值指派法、等值演算法，并给出主范式的四种应用：判断几个命题公式是否等价、命题公式的类型、求公式的成真成假赋、解决实际问题.
关键词：主范式；真值表；真值指派法；等值演算法
ABSTRACT
The method and application of p rincipal normal form
ABSTRACT
Principal normal form are the host conjunctive normal form and the host disjunctive normal form. It is an important cornerstone in the mathematical logic and the power of impelling the computer science development. The method and the application is of great value. In this paper, we make corresponding explanation and the non-uniqueness of the paradigm leads to the uniqueness of principal normal form by the introduction of related theorem of principal normal form and definition. We get the methods of principal normal form: truth table method, true value assignment method, and equivalent calculating method, and then give the applications of principal normal form: judging several propositional formulas whether equivalent or not, the type of propositional formula, seeking the formula of becoming true or false, and solve practical problems.
Keywords:principal normal form; truth table; true value assignment method; equivalent calculating method
目录
摘要 .................................................................................................................................................... I ABSTRACT ............................................................................................................................................. II 目录 ................................................................................................................................................ I II
1 引言 (1)
2 预备知识 (2)
3 主范式的求法 (4)
3.1真值表法 (4)
3.2真值指派法 (6)
3.3 等值演算法 (8)
4 主范式的应用 (12)
4.1求公式的成真成假赋 (12)
4.2 判断公式是否等值 (12)
4.3 判断公式的类型 (13)
4.4 解决实际问题 (15)
4 小结 (17)
参考文献 (18)
致谢 (19)
1 引言
主范式即主析取范式与主合取范式，它是离散数学数理逻辑的一个重要分支并是计算机科学基础的必备知识,它与计算机有着不可分割的关系.在计算机科学的操作系统、数据结构、算法分析、编译系统、系统结构、逻辑结构等都含有主范式的知识.随着计算机科学对人们的生活越来越重要，数理逻辑支撑学科的迅速发展，而主范式理论及应用是数理逻辑重要的概念之一，其方法和应用也颇具价值.
范式分为合取范式与析取范式，而合取范式与析取范式在命题公式中不唯一，为使命题公式的范式唯一即析取范式与合取范式进行规范化，化成命题公式的主合取范式与主析取范式.本文主要介绍主范式的三种方法——等值演算法、真值指派法、真值表法.利用真值表法可以快速，有效的得到主范式；真值指派法适合一些特殊的范式得到主范式，这两种方法都可以避免传统算法中较复杂的等值演算法.利用主范式可以求公式的成真成假赋值、判断公式的类型、几个公式的等值、在实际问题上也有一些具体应用，并给出相应例子加深理解主范式的方法和应用.
2 预备知识
定义2.1[1] 在一公式中，仅由命题变元及否定构成的析取式(合取式），称该
公式为简单析取式(简单合取式），其中每个命题变元或其否定，称为析取项(合
取项).
定义2.2[1] 一个命题公式A 称为合取范式(析取范式)，当且仅当A 可表示为
简单析取式的合取(简单合取式的析取)，即11()n n
i i i i A A A A ==?? ；其中i A 为简单
析取式(简单合取式)1i n ≤≤.
定义 2.3[2] 在含有n 个命题变项的简单析取式(简单合取式)中,若每个命题
变项和它的否定式不同时出现,而二者之一必出现且反出现一次,且第i 个命题变
项或它的否定式出现从左算起的第i 位上(若命题变项无角标，就按字典顺序排
列).称这样的简单析取式(简单合取式)为极大项(极小项).
用i m 表示极小项,i M 表示表示极大项，以P ,Q ,R 三个命题变元为列，见
下表2-1,2-2.
表2-1 使相应公式为真的极小项
表2-2 使相应公式为假的极大项
性质 2.1[3] n 个命题变元可构成2n 个极大(小)项.
性质 2.2[3] 全体极大(小)项的合(析)取范式永为0(1).
性质 2.3[3] 任意两个极大(小)项的析(合)取式永为1(0),即i j ≠时，
()10i j i j M M m m ∨=∧=.
性质2.4[3] 每个极大(小)项当其真值指派与编码相同时，其真值为0(1)，其
余21n -种指派情况下均为1(0).
定义2.4[2]
由不同极大(小)项组出的合取(析取)范式称为主合(析)取范式.
3 主范式的求法
由于主范式是由极大项或极小项构成，从极大项和极小项的定义，可知：
i i M m ?? i i m M ??
因此，主合取范式和主析取范式有着“互补”关系[4].设命题公式A 中含有n 个命
题变元，且A 的主析取范式中含有k 个小项12,,,k
i i i m m m ，则A ?的主析取范式中必含有其余的2n k -个小项，不妨含为122,,,n k j j j m m m - ，即122n
k j j j A m m m -??∨∨ 于是
A A ???
122()
n k j j j m m m -??∨∨∨
122n k j j j m m m -??∧?∧? 122n k j j j M M M -?∧∧∧ .
故由给定公式的主析取范式可以求出主合取范式.本文主要给出求主析取范
式的三种方法：等值演算法、真值指派法、真值表法.
3.1真值表法
公式A 在全部可能的真值指派所取的真值表，称为真值表[3].真值表由表的
左部分列出公式的每一种解释，右部分给出相应每种解释公式得到的真值.
若真值用0和1表示真和假，则对公式中n 个不同命题变元的2n 个解释，可
按n 为二进数从小到大或从大到小次序表示出来，假如公式A 有2个命题变元，它
便有22个解释，写成相应的二进制数为00、01、10、11. 命题公式真值表的构造
步骤如下：
(1) 命题变元按字典序列排列；
(2) 对公式的每个解释，以二进制数从小到大或从从大到小顺序列出；
(3) 若公式复杂，可先列出各子公式的真值(若有括号，则应从里层向外层展
开)，最后列出所得公式的真值.
真值表法求主范式的步骤如下：
(1)写出相应的真值表；
(2)列出真值为1的极小项进行析取得到主析取范式；
(3)列出真值为0的极小项，通过“互补”得到相应的极大项进行合取为主合
取范式.
例3.1 求命题公式:()()()A P Q P R Q R ∧∨?∧∨∧的主范式.
解 由题意,使用真值表可得,
表3-1 使相应公式为真的极小项
其真值为1的极小项为1367,,,m m m m
故A 主析取范式： ()()()P Q P R Q R ∧∨?∧∨∧
)()())((P Q R P Q R P Q R P Q R ?∧?∧∨?∧∧∨∧∧?∨∧∧?
1367m m m m ?∨∨∨
由真值为0的极小项通过主范式的“互补”得到相应的极大项为0245,,,M M M M
故A 主合取范式： ()()()P Q P R Q R ∧∨?∧∨∧
0245M M M M ?∧∧∧
例3.2 求命题公式:()A P Q R →?的主范式.
解 由题意,使用真值表可得,
表3-2 使相应公式为真的极小项
其真值为1的极小项为1347,,,m m m m
则A 主析取范式: ()P Q R →?
1347m m m m ?∨∨∨
()()()()P Q R P Q R P Q R P Q R ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧?∨∧∧
其真值为0的极小项通过主范式的“互补”所得极大项为0256,,,M M M M
则A 主合取范式: ()P Q R →?
0256M M M M ?∧∧∧
3.2真值指派法
设A 为含有命题变元12,,...,n P P P 的命题公式，给12,,...,n P P P 一组确定的取值，
称做公式A 关于12,,...,n
P P P 的一组真值指派[3].其真值用1和0表示真和假. 真值指派法求主析取范式构造步骤如下：
(1)把命题公式化为析取范式；
(2)析取范式中每一项若是极小项，则分别取二进制数；若含有不是极小项，
进行补项，再分别取二进制数.如,,P Q R 三个元，析取范式()P Q ∧补项取真值指派
为(1,1,1),(1,1,0)；
(3)若有相同的指派进行合并，写出每个指派的极小项进行析取，则得到主析
取范式.
例3.3[2] 求命题公式:()()()A P Q P R Q R ∧∨?∧∨∧的主范式.
解 由题意知命题公式A 为析取范式，利用真值指派法可得:
其真值为1的指派为(1,1,0),(1,1,1),(0,0,1),(0,1,1),(0,1,1),(1,1,1)
删去重复的，知(1,1,0),(1,1,1),(0,0,1),(0,1,1)
故A 的主析取范式：()()()P Q P R Q R ∧∨?∧∨∧
1367m m m m ?∨∨∨
)()())((P Q R P Q R P Q R P Q R ?∧?∧∨?∧∧∨∧∧?∨∧∧?
由主范式的“互补”得到相应的极大项为0245
,,,M M M M
故A 主合取范式：()()()P Q P R Q R ∧∨?∧∨∧
0245M M M M ?∧∧∧
例3.4 求命题公式:()A P Q R →?的主范式.
解 将命题公式A 化成析取范式得：
()P Q R →?
()()()P Q R P R Q R ?∧?∧?∨?∧∨∧ 其真值为1的指派为(1,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(0,1,1),(1,1,1)
删去重复的知：(1,0,0)，(0,0,1),(0,1,1),(1,1,1)
则A 主析取范式: ()P Q R →?
()()()()P Q R P Q R P Q R P Q R ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧?∨∧∧
1347m m m m ?∨∨∨
由主范式的“互补”所得极大项为0256,,,M M M M
则A 主合取范式: ()P Q R →?
0256M M M M ?∧∧∧
3.3 等值演算法
在等值演算法求主范式中，需要利用以下等值公式[4].
下面任意的命题公式由,,A B C 三个元代表．
1.双重否定律
A A ???
2.结合律
()()A B C A B C ∨∨?∨∨
()()A B C A B C ∧∧?∧∧
3.分配律
()()()A B C A B A C ∨∧?∨∧∨ (∨对∧的分配律)
()()()A B C A B A C ∧∨?∧∨∧ (∧对∨的分配律)
4.交换律
A B B A ∨?∨, A B B A ∧?∧
5.德摩根律
()A B A B ?∨??∧?, ()A B A B ?∧??∨?
6.等价等值法
()()A B A B B A ??→∧→
7.蕴涵等值法
A B A B →??∨
8.归谬论
()()A B A B A →∧→???
9.同一律
01A ∨?, 11A ∧?
10.零律
11A ∨? 00A ∧?
11.吸收律
()A A B A ∨∧?, ()A A B A ∧∨?
12.矛盾律
0A A ∧??
13.排中律
1A A ∨??
在求主范式之前，要先求出公式的范式，下面给出求给定公式范式的步骤[4]：
(1)消去连结词,→?(若存在)；
(2)否定号的内移(利用德摩根斯)或者消去(利用双重否定律)；
(3)利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式，利用∨对∧的分配律求合
取范式．
公式的析取范式和合取范式是不唯一的.而任何命题公式的主范式都是存在
的，并且是唯一的[5].
利用等值演算法求主范式的步骤如下：
(1)将命题公式化为析取范式；
(2)析取范式中所有永假的析取范式要除去；
(3)将析取范式中重复出现的合取项和相同的变元合并；
(4)对合取项添加补入没有出现的命题变元本身和否定形式的合取，然后应用
分配展开式.
例3.5 求命题公式:()()()A P Q P R Q R ∧∨?∧∨∧的主范式.
解 故A 的主析取范式为：
()()()P Q P R Q R ∧∨?∧∨∧
[()][()][()]P Q R R P R Q Q Q R P P ?∧∧∨?∨?∧∧∨?∨∧∧∨?
)()())((P Q R P Q R P Q R P Q R ?∧?∧∨?∧∧∨∧∧?∨∧∧?
1367m m m m ?∨∨∨
由主范式的“互补”得到相应的极大项为0245
,,,M M M M
故A 主合取范式： ()()()P Q P R Q R ∧∨?∧∨∧
0245M M M M ?∧∧∧
例3.6[5] 求命题公式:()A P Q R →?的主范式.
解 故A 的主析取范式为：
()P Q R →?
()P Q R ??∨?
[()][()]P Q R R P Q ??∨→∧→?∨
[()][()]P Q R R P Q ???∨∨∧?∨?∨
[()]()P Q R R P Q ?∧?∨∧?∨?∨
()()()()()()P Q R P Q P P Q Q R R R P R Q ?∧?∧?∨∧?∧?∨∧?∧∨∧?∨∧?∨∧
()()()P Q R P R Q R ?∧?∧?∨?∧∨∧
简单合取式P R ?∧，Q R ∧在此析取范式中都不是极小项，及求出它们派生的
极小项.
()P R ?∧
()P Q Q R ??∧?∨∧
()()P Q R P Q R ??∧?∧∨?∧∧
12m m ?∨
()Q R ∧
()P P Q R ??∨∧∧
()()P Q R P Q R ??∧∧∨?∧∧
37m m ?∨
而简单合取式P Q R ∧?∧?已是极小项4m ，于是
()P Q R →?
1347m m m m ?∨∨∨
()()()()P Q R P Q R P Q R P Q R ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧?∨∧∧
由主范式的“互补”所得极大项为0256,,,M M M M
则A 主合取范式: ()P Q R →?
0256M M M M ?∧∧∧
4 主范式的应用
4.1求公式的成真成假赋值
若公式A 中含(1)n n ≥个命题变项，A 的主析取范式中含(02)n S S ≤≤个极小项，则A 有S 个成真赋值，它们是所含极小项角标的二进制表示，其余2n S -个赋
列值都是成假赋值如：1347()P Q R m m m m →??∨∨∨，各极小项均含三个变元，
因而各极小项的角标均为二进制数，它们分别为001,011,100,111.这四个赋值为
该主范式的赋值.当然，主析取范式中出现的极小项为0256,,,m m m m ，它们的角标
的二进制表示000,010,101,110为该公式的成假赋值[6].
4.2 判断公式是否等值
若公式,A B 中共含有n 个命题变项，按n 个命题变项求出,A B 的主析取范式
','A B ，若''A B =，则A B ?，否则A B ≠.
例4.1[5] 判断下列两组公式是否等值:
(1) :a ()P Q R →→
:b ()P Q R ∧→
(2) :a ()P Q R →→
:b ()P Q R ∧→
解 (1)用等值值派法分别求出主合取范式：
:a ()P Q R →→
()P Q R ???∨∨
()P Q R ?∧?∨
()()P R Q R ?∨∧?∨
成假指派为(1,1,0),(0,0,0),(0,1,0）
()P Q R →→126M M M ?∧∧
()P Q R ∧→
()P Q R ??∧∨
()P Q R ??∨?∨
成假指派为(1,1,0)
()P Q R ∧→
6M ?
由于a 和b 的主合取范式不同，所以a b ≠.
(2)先求出a 和b 的主合取范式:
:a ()P Q R →→
()P Q R ?→?∨
()P Q R ??∨?∨
6M ?
由(1)知得主合取范式()P Q R ∧→6()P Q R M ?∨?∨?,所以a b ?.
4.3 判断公式的类型
公式中含n 个命题变项,若(1)A 为重言式当且仅当A 的主析取范式全部2n
个
极小项.(2)A 为矛盾式当且仅当A 的主合取范式含2n 个极大项，此时记A 的主析
取范式为0.(3)A 为可满足式当且仅当A 的主析取范式中至少含一个极小项[7]. 例4.2[5] 用公式的主析取范式判断公式的类型：
(1)()P Q Q ?→∧ (3) ()P Q R ∨→
(2)()P P Q →∨
解 (1)利用等值演算法求下式的极小项
()P Q Q ?→∧
()P Q Q ???∨∧
()P Q Q ?∧?∧
0?
公式(1)是矛盾式.
(2)应用等值指派法求下式的极小项
()P P Q →∨
P P Q ??∨∨
0123
m m m m ?∨∨∨
1? 公式(2)为重言式.
(3)应用等值指派法求下式的极小项
()P Q R ∨→
()P Q R ??∨∨
()P Q R ??∧?∨
()()P R Q R ??∨∧?∨
成假指派为(1,1,0)(0,1,0)(1,0,0)(1,1,0)
246M M M ?∧∧
01357m m m m m ?∨∨∨∨
易知，该公式是可满足的，因为它的主析取范式没含全部8个极小项，所以
不是重言式.
利用真值表法求取主析取范式以及主合取范式的实现-副本
#include "" #include "" #include "" #include "" #define N 50 void pd(int b[N],int f); int H1 (char T1[N], char T2[N], int T3[N], int y); int H2 (char T1[N], char T2[N], int T3[N], int y); int main() { int i1,i2,d=1,T3[N],kh=0,jg,j=0,y; int w=0,hequ[N],h=0,x=0,xiqu[N]; char T1[N],T2[N],T10[N],s; hequ[0]=-1; xiqu[0]=-1; printf("#########################################\n"); printf("## 用!表示否定 ##\n"); printf("## 用&表示合取 ##\n"); printf("## 用|表示析取 ##\n"); printf("## 用^表示条件 ##\n"); printf("## 用~表示双条件 ##\n"); printf("#########################################\n\n"); printf("请输入一个合法的命题公式:\n"); gets(T1); strcpy(T10,T1); for(i1=0;i1 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝{3} ; ρ(A) - ρ(B)＝{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = 2 2n. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是α1= {(a,1), (b,1)}, α2= {(a,2), (b,2)},α3= {(a,1), (b,2)}, α4= {(a,2), (b,1)}, 其中双射的是α3, α4 . 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是(P∧?Q∧R) 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为12，分枝点数为3. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝{4} ; A?B＝{1,2,3,4}; A－B＝{1,2} . 7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是自反性, 对称性传递性. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有(1, 0, 0), (1, 0, 1),(1, 1, 0) 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 ={(1,3),(2,2),(3,1)} , R2?R1 = {(2,4),(3,3),(4,2)} _ R12 ={(2,2),(3,3). 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = . 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = -1<=x<0 , B-A = {x | 1 < x < 2, x∈R} , A∩B ={x | 0≤x≤1, x∈R} , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除关系，则R以集合形式(列举法)记为 {(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)} . 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是?x(?P(x)∨Q(x)) . 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加21 条边才能把G变成完全图。(完全图的边 数 2)1 (- n n ，树的边数为n-1) 16.设谓词的定义域为{a, b},将表达式?xR(x)→?xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公式是_ (R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)) _. 17. 设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的二元关系R＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。则 分类号O158 单位代码 11395 密级学号 1204210135 学生毕业论文 题目主范式的求法及应用 作者王定超 院 (系) 数学与统计学院 专业数学与应用数学 指导教师祁兰 答辩日期 2016年5月21日 榆林学院 毕业论文诚信责任书 本人郑重声明：所呈交的毕业论文，是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。毕业论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等,均已明确注明出处。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明. 本人毕业论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 论文作者签名: 年月日 摘要 主范式即主合取范式与主析取范式，它是数理逻辑中重要的基石也是推动计算机科学发展的动力，其方法与应用颇有价值.本文通过介绍主范式的相关定理、定义并作出相应解释，以及由范式的不唯一性引出主范式的唯一性，得到求主范式的三种方法：真值表法、真值指派法、等值演算法，并给出主范式的四种应用：判断几个命题公式是否等价、命题公式的类型、求公式的成真成假赋、解决实际问题. 关键词：主范式；真值表；真值指派法；等值演算法 ABSTRACT The method and application of p rincipal normal form ABSTRACT Principal normal form are the host conjunctive normal form and the host disjunctive normal form. It is an important cornerstone in the mathematical logic and the power of impelling the computer science development. The method and the application is of great value. In this paper, we make corresponding explanation and the non-uniqueness of the paradigm leads to the uniqueness of principal normal form by the introduction of related theorem of principal normal form and definition. We get the methods of principal normal form: truth table method, true value assignment method, and equivalent calculating method, and then give the applications of principal normal form: judging several propositional formulas whether equivalent or not, the type of propositional formula, seeking the formula of becoming true or false, and solve practical problems. Keywords:principal normal form; truth table; true value assignment method; equivalent calculating method 范式分解 主属性：包含在任一候选关键字中的属性称主属性。 非主属性：不包含在主码中的属性称为非主属性。 函数依赖： 是指关系中一个或一组属性的值可以决定其它属性的值。函数依赖正象一个函数 y = f(x) 一样，x的值给定后，y的值也就唯一地确定了。 如果属性集合Y中每个属性的值构成的集合唯一地决定了属性集合X中每个属性的值构成的集合，则属性集合X函数依赖于属性集合Y，计为：Y→X。属性集合Y中的属性有时也称作函数依赖Y→X的决定因素（determinant）。例：身份证号→姓名。部分函数依赖： 设X,Y是关系R的两个属性集合，存在X→Y，若X’是X的真子集，存在X’→Y，则称Y部分函数依赖于X。 完全函数依赖： 在R(U)中，如果Y函数依赖于X,并且对于X的任何一个真子集X'，都有Y不函数依赖于X'，则称Y对X完全函数依赖。否则称Y对X部分函数依赖。 【例】； 举个例子就明白了。假设一个学生有几个属性 SNO 学号 SNAME 姓名 SDEPT系 SAGE 年龄 CNO 班级号 G 成绩 对于(SNO,SNAME,SDEPT,SAGE,CNO,G)来说，G完全依赖于(SNO, CNO), 因为(SNO,CNO)可以决定G，而SNO和CNO都不能单独决定G。 而SAGE部分函数依赖于(SNO,CNO),因为(SNO,CNO)可以决定SAGE，而单独的SNO也可以决定SAGE。 传递函数依赖： 设R（U）是属性集U上的关系，x、y、z是U的子集，在R（U）中，若x→y，但y→x，若y→z，则x→z，称z传递函数依赖于x，记作X→TZ。 如果X->Y, Y->Z, 则称Z对X传递函数依赖。 计算X+ （属性的闭包）算法： a.初始化，令X+ = X; b.在F中依次查找每个没有被标记的函数依赖，若“左边属性集”包含于X+ ，则令X+ = X+∪“右边属性集”, 并为访问过的函数依赖设置标记。 谈理想类型与经典社会学的分析范式 内容提要：经典社会学产生于欧洲社会从传统向现代过渡的19世纪和20世纪之交，这一背景决定了主要的经典社会学家都以类似韦伯的理想类型的方法，对社会形态作两分式的分类。作者认为，这一特点形成了经典社会学家研究社会的基本分析范式。这种分析范式既反映了那个时代社会文化的基本主题，又孕育了它的先天不足。 关键词：理想类型经典社会学分析范式 在有关社会学的研究主题方面，近年来最为流行的说法是吉登斯提出的。他在一系列著作中，鼓吹社会学是现代工业社会的产儿，或者说社会学是与“现代性”(modernity）共生的现象，其目的就在研究现代性及其后果①。尽管这种说法的流行是最近20—30年间的事，但我们如果审视经典社会学的历史，就能够发现在19世纪，那些被称之为“社会学先驱”的思想家们共同的特点，就是他们比其他人更为敏锐地意识到了一个与传统社会迥然不同的全新社会形态的到来。比如，圣西门就首先创用了今天已经十分流行的“工业社会”的概念②；而其他经典社会学家，也大多将“断裂”前后的社会形态分为名称各异的两种类型。传统社会与现代社会，在曼恩那里被称之为“身份社会—契约社会”，在斯宾塞那里为“尚武社会—工业社会”，在马克思那里为“封建主义社会—资本主义社会”，在滕尼斯那里为“社区一社会”，在托克维尔那里为“贵族制—民主制”，在迪尔凯姆那里为“机械团结—有机团结”，在韦伯那里为“宗法传统经济—理性资本主义经济”，在库利那里为“首属群体一次属群体”，在索罗金那里为“亲密关系—契约关系”……一直到20世纪上半叶，还是有许多社会学家仍在坚持用自己的方式将社会作类似的类型学划分：如雷德菲尔德的“乡民社会一市民社会”，贝克尔的“神圣社会—世俗社会”，以及费孝通的“礼俗社会—法理社会”。从某种意义上说，如果社会学是现代性出现的结果之一，那么上述经典社会学家对社会形态的两分概念的提出，就是对“现代性”的一种最初探讨，因为它最早触及了社会形态的这种“断裂’，对人类社会的影响。 如上所述，尽管不同的社会学家对社会形态的探讨使用的概念不同，但我们都能够发见其中蕴含有类似韦伯的“理想类型’，的分析范式。为此，我们首先从韦伯的“理想类型”入手，再讨论经典社会学家有关社会的分析范式，及其对社会学发展的影响。 一 理想类型（ideal types ）是韦伯为了克服德国人文主义和历史学派过度个体化和特殊化倾向而提出的一种概念工具。“理想类型”的概念最初出现于韦伯1904 年发表的“社会科学和社会政策中的‘客观性”，一文中，以后他又在包括《经济与社会》在内的诸多著述中进一步讨论过这一概念及其对社会科学研究的意义。 一般说来，在韦伯那里，“理想类型”的概念具有这样一些基本特征：(l）理想类型是研究者思维的一种主观建构，因此，它既源于现实社会，又不等同于现实社会。“ideal types ”既可以被译成“理想类型”，也可以被译成“理念类型”。这两种译法实际上正好揭示了这一概念的两个面向：其一，这种类型存在于人的观念中而不是现实中，因此它是一种理念；其二，这种类型所以能够称之为“理想的”，是因为它代表的某种或某类现象是接近于典型的，是一种理想化的典型，现实中的社会现象只能与之近似，不会同其完全一致。所以，韦伯强调，“就其概念的纯洁性来说，这种精神建构不可能通过经验在现实世界的任 1 离散数学习题答案 习题一及答案：（P14-15） 14、将下列命题符号化： （5）李辛与李末是兄弟 解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语 解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q ∧ （9）只有天下大雨，他才乘班车上班 解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p → （11）下雪路滑，他迟到了 解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→ 15、设p ：2+3=5. q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值： （4）()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解：p=1，q=1，r=0， ()(110)1p q r ∧∧??∧∧??， (())((11)0)(00)1p q r ?∨?→??∨?→?→? ()(())111p q r p q r ∴∧∧???∨?→??? 19、用真值表判断下列公式的类型： （2）()p p q →?→? 解：列出公式的真值表，如下所示： q 20、求下列公式的成真赋值： （4）()p q q ?∨→ 解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是： ()10p q q ?∨??? ???0 p q ????? 所以公式的成真赋值有：01，10，11。 习题二及答案：（P38） 5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ?→∧∧ 解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。 *6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨?∨ 解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。 主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ， 2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式： #include 3 计算机自动求解命题公式的主范式 一．需求分析 （1）用户输入一任意命题公式，计算机程序自动输出其主析取范式和主合取范式。（2）求任意一个命题公式的真值表，并根据真值表求主范式。 (3)关于命题公式的形式和运算符（即联结词）的运算 首先根据离散数学的相关知识，命题公式由命题变元和运算符（即联结词）组成，命题变元用大写字母英文表示（本次试验没有定义命题常元T和F，即T、F都表示命题变元），每个命题变元都有两种真值指派0和1，对应于一种真值指派，命题公式有一个真值，由所有可能的指派和命题公式相应的真值按照一定的规范构成的表格称为真值表。 目前离散数学里用到的包括扩充联结词总共有九种，即析取（或）、合取（与）、非、蕴含、等值、与非、或非、异或、蕴含否定，常用的为前五种，其中除了非运算为一元运算以外，其它四种为二元运算。所以本次实验设计时只定义了前五种运算符，同时用“/”表示非，用“*”表示合取，用“+”表示析取，用“>”表示蕴含，用“:”表示等值，且这五种运算符的优先级依次降低，如果需用括号改变运算优先级，则用小括号()改变。 以下为上述五种运算符运算时的一般真值表，用P和Q表示命题变元： 1．非，用“/”表示 P /P 0 1 1 0 2． 合取（与），用“*”表示 P Q P*Q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 3．析取（或），用“+”表示 P Q P+Q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 4.蕴含，用“>”表示 P Q P>Q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 5.等值，用“:”表示 P Q P:Q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 下面是求取后缀表达式的规则： 1．从中缀表达式左边起逐个字符判断，如果是命题变元，则直接输出；如果是运算符，则将其与当前有效栈顶字符（即非空，可能为运算符或左半括号；如果栈为空，则直接入栈）的优先级比较，如果大于栈顶字符优先级，则直接入栈，如果小于或等于栈顶字符优先级，则弹出栈中字符并输出，直到大于栈顶字符优先级； 2．如果遇到左半括号，则直接入栈，也就是栈外左半括号的优先级最高，入栈以后，其优先级变为最低，也就是不管下一个字符是什么，该左半括号都不出栈，当且仅当遇到与其对应的右半括号时（遇到右半括号前，所有的字符按1中的规则或左半括号的入栈规则入栈或出栈），将栈中该左半括号以上的字符按 #include "stdio.h" #include "stdlib.h" #include "string.h" #include "math.h" #define N 50 void pd(int b[N],int f); int H1 (char T1[N], char T2[N], int T3[N], int y); int H2 (char T1[N], char T2[N], int T3[N], int y); int main() { int i1,i2,d=1,T3[N],kh=0,jg,j=0,y; int w=0,hequ[N],h=0,x=0,xiqu[N]; char T1[N],T2[N],T10[N],s; hequ[0]=-1; xiqu[0]=-1; printf("#########################################\n"); printf("## 用!表示否定 ##\n"); printf("## 用&表示合取 ##\n"); printf("## 用|表示析取 ##\n"); printf("## 用^表示条件 ##\n"); printf("## 用~表示双条件 ##\n"); printf("#########################################\n\n"); printf("请输入一个合法的命题公式:\n"); gets(T1); strcpy(T10,T1); for(i1=0;i1 离散数学考试题详细 答案 离散数学考试题(后附详细答案) 一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分） 1.用命题逻辑把下列命题符号化 a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。 设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：（?P?Q）∧(P?R∨S) b)我今天进城，除非下雨。 设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：?Q→P或?P →Q c)仅当你走，我将留下。 设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为： Q→P 2.用谓词逻辑把下列命题符号化 a)有些实数不是有理数 设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，命题符号化为：?x(R(x) ∧?Q(x)) 或??x(R(x) →Q(x)) b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。 设R(x)表示“x是实数”，E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为：?x(R(x) ∧?E(x,0) →?y(R(y) ∧E(f(x,y),1)))) c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b. 设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为：F(f)??a(A(a)→?b(B(b) ∧ E(f(a),b) ∧?c(S(c) ∧ E(f(a),c) →E(a,b)))) 二、简答题（共6道题，共32分） 1.求命题公式(P→(Q→R))?(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出 所有成真赋值。（5分） (P→(Q→R))?(R→(Q→P))?（?P∨?Q∨R）?(P∨?Q∨?R) ?(（?P∨?Q∨R）→(P∨?Q∨?R)) ∧ ((P∨?Q∨?R) →（?P∨?Q∨R）). ?(（P∧Q∧?R）∨ (P∨?Q∨?R)) ∧ ((?P∧Q∧R) ∨（?P∨?Q∨R）) ?(P∨?Q∨?R) ∧(?P∨?Q∨R) 这是主合取范式 公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为 （?P∧?Q∧?R)∨（?P∧?Q∧R)∨（?P∧Q∧?R)∨（P∧?Q∧?R)∨（P∧?Q∧R)∨ （P∧Q∧R) 2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分） a)?x?y(x+y=4) b)?y?x (x+y=4) a) T b) F 3.求?x(F(x)→G(x))→(?xF(x)→?xG(x))的前束范式。（4分） ?x(F(x)→G(x))→(?xF(x)→?xG(x)) ??x(F(x)→G(x))→(?yF(y)→?zG(z))??x(F(x)→G(x))→?y?z(F(y)→G(z)) ??x?y?z((F(x)→G(x))→ (F(y)→G(z))) 4.判断下面命题的真假，并说明原因。（每小题2分，共4分） 1 析取范式与合取范式 这是命题公式的两种特殊的简明形式。一个重要的结论是，任何命题公式都可以等价地转化为这两种形式。我们将学习这种转化方法及其应用。 1. 析取范式 定义1.1 命题变元及其否定统称为文字（literal ）。由有限个文字组成的合取式称为简单合取式。由有限个简单合取式组成的析取式称为析取范式（disjunction normal form ），简称DNF 。 例1.2 求下列公式的析取范式。 (1) ()(2) () ()p q p p q p q →∧?∨∧?∧ 方法小结： （1） 将蕴含联结词→与等价联结词?都转化为析取与合取联结词。 （2） 用德摩根律将所有否定词转移到括号内，并用双重否定律消除双重 否定词。 （3） 用分配律将析取联结词移到括号之外。 （4） 最后化简，即消除简单合取式中重复出现的变元（用幂等律、矛盾 律、零律） 练习1.3 定理1.4 任何命题公式都有等值的析取范式。 2. 合取范式 定义2.1由有限个文字组成的析取式称为简单析取式，也称为子句（clause ）。 由有限个简单析取式组成的合取式称为合取范式（conjunction normal form ），简称CNF 。 例2.2 求下列公式的合取范式。 (1) ()(2) () ()p q p p q p q ?→∨∧∨?∨ 方法小结： （1）将蕴含联结词→与等价联结词?都转化为析取与合取联结词。 （2）用德摩根律将所有否定词转移到括号内，并用双重否定律消除双重否定词。 （3）用分配律将合取联结词移到括号之外。 （4）最后化简，即消除简单析取式中重复出现的变元（用幂等律、排中律、同一律） 练习2.3 定理2.4 任何命题公式都有等值的合取范式。 3.极小项 为了进一步规范析取范式与合取范式，我们引入极小项与极大项这一对概念。 符号的次序：在符号表中，符号是有先后次序的。在一个命题逻辑语言中，所有的命题变元来自于一个符号表，称为命题变元符号表。我们约定：命题公式中所使用的英文字母在命题变元符号表中的次序与其在英文字母表中的次序相同。也可以用标识符作命题变元，标识符在符号表中的次序为字典序。 定义1.1满足下述两个条件的简单合取式称为极小项：（1）每个变元仅出现一次，（2）变元出现的先后次序与它们在符号表中的先后次序相同。含n 个变元的极小项称为n元极小项。 例如，等等都是极小项。等等都不是极小项。 提问：由n个不同变元组成的n元极小项共有多少个？ 回答：共有2n个。一个极小项有n个变元，每个变元前面可以有否定词也可以没有，所以共有2n个组合。 例如，p, q两个变元可以组成的极小项如下： ?∧??∧∧?∧ p q p q p q p q ,,, 极小项的名称：极小项的成真赋值是唯一的，并对应着一个唯一的二进制数。若该二进制数所对应的十进制是i，则该极小项记为m i。 例如，上述4个极小项分别记为m0, m1, m2, m3。三元极小项的例子见课本第25页表2.4左列。 2 数据库的设计范式是数据库设计所需要满足的规范，满足这些规范的数据库是简洁的、结构明晰的，同时，不会发生插入（insert）、删除（delete）和更新（update）操作异常。反之则是乱七八糟，不仅给数据库的编程人员制造麻烦，而且面目可憎，可能存储了大量不需要的冗余信息。 范式说明 1.1 第一范式（1NF）无重复的列 所谓第一范式（1NF）是指数据库表的每一列都是不可分割的基本数据项，同一列中不能有多个值，即实体中的某个属性不能有多个值或者不能有重复的属性。如果出现重复的属性，就可能需要定义一个新的实体，新的实体由重复的属性构成，新实体与原实体之间为一对多关系。在第一范式（1NF）中表的每一行只包含一个实例的信息。简而言之，第一范式就是无重复的列。 说明：在任何一个关系数据库中，第一范式（1NF）是对关系模式的基本要求，不满足第一范式（1NF）的数据库就不是关系数据库。 例如，如下的数据库表是符合第一范式的： 字段1 字段2 字段3 字段4 而这样的数据库表是不符合第一范式的： 字段1 字段2 字段3 字段4 字段3.1 字段3.2 数据库表中的字段都是单一属性的，不可再分。这个单一属性由基本类型构成，包括整型、实数、字符型、逻辑型、日期型等。很显然，在当前的任何关系数据库管理系统（DBMS）中，傻瓜也不可能做出不符合第一范式的数据库，因为这些DBMS不允许你把数据库表的一列再分成二列或多列。因此，你想在现有的DBMS中设计出不符合第一范式的数据库都是不可能的。 1.2 第二范式（2NF）属性完全依赖于主键[ 消除部分子函数依赖] 如果关系模式R为第一范式，并且R中每一个非主属性完全函数依赖于R的某个候选键，则称为第二范式模式。 第二范式（2NF）是在第一范式（1NF）的基础上建立起来的，即满足第二范式（2NF）必须先满足第一范式（1NF）。第二范式（2NF）要求数据库表中的每个实例或行必须可以被惟一地区分。为实现区分通常需要为表加上一个列，以存储各个实例的惟一标识。这个惟一属性列被称为主关键字或主键、主码。 例如员工信息表中加上了员工编号（emp_id）列，因为每个员工的员工编号是惟一的，因此每个员工可以被惟一区分。 简而言之，第二范式（2NF）就是非主属性完全依赖于主关键字。 所谓完全依赖是指不能存在仅依赖主关键字一部分的属性（设有函数依赖W→A，若存在XW，有X→A成立，那么称W→A是局部依赖，否则就称W→A是完全函数依赖）。如果存在，那么这个属性和主关键字的这一部分应该分离出来形成一个新的实体，新实体与原实体之间是一对多的关系。 假定选课关系表为SelectCourse(学号, 姓名, 年龄, 课程名称, 成绩, 学分)，关键字为组合关键字(学号, 课程名称)，因为存在如下决定关系： (学号, 课程名称) →(姓名, 年龄, 成绩, 学分) 这个数据库表不满足第二范式，因为存在如下决定关系： (课程名称) →(学分) (学号) →(姓名, 年龄) 即存在组合关键字中的字段决定非关键字的情况。 由于不符合2NF，这个选课关系表会存在如下问题： (1) 数据冗余： 同一门课程由n个学生选修，"学分"就重复n-1次；同一个学生选修了m门课程，姓名和年龄就重复了m-1次。 (2) 更新异常： 若调整了某门课程的学分，数据表中所有行的"学分"值都要更新，否则会出现同一门课程学分不同的情况。 分类号O158 单位代码11395 密级学号1204210135 学生毕业论文 题目主式的求法及应用 作者王定超 院(系) 数学与统计学院 专业数学与应用数学 指导教师祁兰 答辩日期2016年5月21日 榆林学院 毕业论文诚信责任书 本人重声明：所呈交的毕业论文，是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。毕业论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等,均已明确注明出处。尽我所知，除文中已经注明引用的容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明. 本人毕业论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 论文作者签名: 年月日 摘要 主式即主合取式与主析取式，它是数理逻辑中重要的基石也是推动计算机科学发展的动力，其方法与应用颇有价值.本文通过介绍主式的相关定理、定义并作出相应解释，以及由式的不唯一性引出主式的唯一性，得到求主式的三种方法：真值表法、真值指派法、等值演算法，并给出主式的四种应用：判断几个命题公式是否等价、命题公式的类型、求公式的成真成假赋、解决实际问题. 关键词：主式；真值表；真值指派法；等值演算法 The method and application of p rincipal normal form ABSTRACT Principal normal form are the host conjunctive normal form and the host disjunctive normal form. It is an important cornerstone in the mathematical logic and the power of impelling the computer science development. The method and the application is of great value. In this paper, we make corresponding explanation and the non-uniqueness of the paradigm leads to the uniqueness of principal normal form by the introduction of related theorem of principal normal form and definition. We get the methods of principal normal form: truth table method, true value assignment method, and equivalent calculating method, and then give the applications of principal normal form: judging several propositional formulas whether equivalent or not, the type of propositional formula, seeking the formula of becoming true or false, and solve practical problems. Keywords:principal normal form; truth table; true value assignment method; equivalent calculating method 数据库三大范式详解 设计关系数据库时，遵从不同的规范要求，设计出合理的关系型数据库，这些不同的规范要求被称为不同的范式，各种范式呈递次规范，越高的范式数据库冗余越小。 目前关系数据库有六种范式：第一范式（1NF）、第二范式（2NF）、第三范式（3NF）、巴德斯科范式（BCNF）、第四范式(4NF）和第五范式（5NF，又称完美范式）。满足最低要求的范式是第一范式（1NF）。在第一范式的基础上进一步满足更多规范要求的称为第二范式（2NF），其余范式以次类推。一般说来，数据库只需满足第三范式(3NF）就行了。 第一范式（1NF）无重复的列 所谓第一范式（1NF）是指在关系模型中，对域添加的一个规范要求，所有的域都应该是原子性的，即数据库表的每一列都是不可分割的原子数据项，而不能是集合，数组，记录等非原子数据项。即实体中的某个属性有多个值时，必须拆分为不同的属性。在符合第一范式（1NF）表中的每个域值只能是实体的一个属性或一个属性的一部分。简而言之，第一范式就是无重复的域。 说明：在任何一个关系数据库中，第一范式（1NF）是对关系模式的设计基本要求，一般设计中都必须满足第一范式（1NF）。不过有些关系模型中突破了1NF的限制，这种称为非1NF的关系模型。换句话说，是否必须满足1NF的最低要求，主要依赖于所使用的关系模型。 第二范式（2NF）属性 在1NF的基础上，非码属性必须完全依赖于主键[在1NF基础上消除非主属性对主码的部分函数依赖] 第二范式（2NF）是在第一范式（1NF）的基础上建立起来的，即满足第二范式（2NF）必须先满足第一范式（1NF）。第二范式（2NF）要求数据库表中的每个实例或记录必须可以被唯一地区分。选取一个能区分每个实体的属性或属性组，作为实体的唯一标识。例如在员工表中的身份证号码即可实现每个一员工的区分，该身份证号码即为候选键，任何一个候选键都可以被选作主键。在找不到候选键时，可额外增加属性以实现区分，如果在员工关系中，没有对其身份证号进行存储，而姓名可能会在数据库运行的某个时间重复，无法区分出实体时，设计辟如ID等不重复的编号以实现区分，被添加的编号或ID选作主键。（该主键的添加时在ER设计时添加，不是建库是随意添加） 第二范式（2NF）要求实体的属性完全依赖于主关键字。所谓完全依赖是指不能存在仅依赖主关键字一部分的属性，如果存在，那么这个属性和主关键字的这一部分应该分离出来形成一个新的实体，新实体与原实体之 离散数学习题答案 习题一及答案:(P14-15) 14、将下列命题符号化: (5)李辛与李末就是兄弟 解:设p:李辛与李末就是兄弟,则命题符号化的结果就是p (6)王强与刘威都学过法语 解:设p:王强学过法语;q:刘威学过法语;则命题符号化的结果就是 p q ∧ (9)只有天下大雨,她才乘班车上班 解:设p:天下大雨;q:她乘班车上班;则命题符号化的结果就是q p → (11)下雪路滑,她迟到了 解:设p:下雪;q:路滑;r:她迟到了;则命题符号化的结果就是()p q r ∧→ 15、设p:2+3=5、 q:大熊猫产在中国、 r:太阳从西方升起、 求下列复合命题的真值: (4)()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解:p=1,q=1,r=0, ()(110)1p q r ∧∧??∧∧??, (())((11)0)(00)1p q r ?∨?→??∨?→?→? ()(())111p q r p q r ∴∧∧???∨?→??? 19、用真值表判断下列公式的类型: (2)()p p q →?→? 解:列出公式的真值表,如下所示: 20、求下列公式的成真赋值: (4)()p q q ?∨→ 解:因为该公式就是一个蕴含式,所以首先分析它的成假赋值,成假赋值的条件就是: ()10p q q ?∨??????00 p q ????? 所以公式的成真赋值有:01,10,11。 习题二及答案:(P38) 5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值: (2)()()p q q r ?→∧∧ 解:原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨,此即公式的主析取范式, 所以成真赋值为011,111。 *6、求下列公式的主合取范式,并求成假赋值: (2)()()p q p r ∧∨?∨ 解:原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?,此即公式的主合取范式, 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式,再用主析取范式求主合取范式: (1)()p q r ∧∨ 解:原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567m m m m m ?∨∨∨∨,此即主析取范式。 主析取范式中没出现的极小项为0m ,2m ,4m ,所以主合取范式中含有三个极大项0M ,2M ,4M ,故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式: (1)()()p q p r ∨∨?∧ 命题公式主合取范式的基础 [摘要]：主合取范式是一种仅由有限个文字构成的析取式，在命题逻辑中发挥着重要的作用。一个简单合取范式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定式。主合取范式具有特有的性质与作用。为了进一步了解主合取范式，本文针对它的定义、作用、性质以及与真值表的关系展开讨论。 [关键词]：主合取范式极大值真值表推理法（求法） 在离散数学中，吸取范式和合取范式统称为范式，是命题逻辑表达式的重要组成部分。他们的作用相同与真值表，也就是说规范的主、合取范式可以表达真值表所能给出的一切信息。以下将从定义、求法、用途实例、与真值表的关系等四个方面进行阐述。 一、定义说明 在含有n个命题变项的简单析取式中，若每个命题的变项和它的否定式不同时出现，而二者之一必出现一次，且第i个命题变项或它的否定式出现在左算起的第i位上（若命题变项无角标，就按字典顺序排序），称这样的简单析取式极大项。 由于每个命题变项在极小项中以原形或否定式形式出现且仅出现一次，因而n个命题变项共可产生2n个不同的极小项。其中每个极小项都有且仅有一个成真赋值。若成真赋值所对应的二进制数转化为十进制数为i，就将所对应极小项记作m i。类似地，n个命题变项共可产生2n个不同的极大项，每个极大项只有一个成假赋值，将其对应的十进制数i做极大项的角标，记作M i。 定义：设由n个命题变项构成的合取范式中的所有的简单析取式都是极大项，则称该合取范式为主合取范式。 二、求法简述 （一）一般步骤。 主析取范式在给定的命题公式中，如果有一个等价公式，它仅由小项的析取所组成，则该等价式称作原式的主析取范式。 主析取范式的惟一性任意含n个命题变元的非永假命题公式A，其主析取范式是惟一《离散数学》试题和答案及解析
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