浅谈基尔霍夫定律

浅谈基尔霍夫定律

摘要：基尔霍夫定律（Kirchhoff laws）阐明集总参数电路中流入和流出结点的各电流间以及沿回路的各段电压间的约束关系的定律，是 1845 年由德国物理学家 G·R·基尔霍夫提出。原始基尔霍夫定律给出了三个必备条件：两组方程的线形函数形式；确定方程组中每项正负号的法则；两组方程的独立方程个数。现在的基尔霍夫定律与原始的基尔霍夫定律并不完全相同，在某种程度上，它破坏了原始基尔霍夫定律所包含的三点的内容的统一，也破坏了原始基尔霍夫定律自己单独可以唯一确定支路电流分布的功能，并且可以通过积分形式的两组独立方程组独立完整和统一的证明原始基尔霍夫定律没有证明的第一点和第二点内容。基尔霍夫定律反映的是电路中各支路电流之间的约束关系或各部分电压之间的约束的关系，与电路中连接的是什么元件（元件小性质）无关分析复杂电路分析复杂电路可见在电路理论中基尔霍夫定律占有重要地位，可以说它是分析求解电路的万能钥匙，本文阐述如何正确利用基尔霍夫定律对电路进行分析计算。

关键词：基本信息、发现背景、几个基本概念、基尔霍夫定律、应用

一、基本信息

基尔霍夫定律Kirchhoff laws是电路中电压和电流所遵循的基本规律，是分析和计算较为复杂电路的基础，1845年由德国物理学家G.R.基尔霍夫（Gustav Robert Kirchhoff，1824～1887）提出。它既可以用于直流电路的分析，也可以用于交流电路的分析，还可以用于含有电子元件的非线性电路的分析。运用基尔霍夫定律进行电路分析时，仅与电路的连接方式有关，而与构成该电路的元器件具有什么样的性质无关。基尔霍夫定律包括电流定律（KCL)和电压定律(KVL)，前者应用于电路中的节点而后者应用于电路中的回路。

二、发现背景

基尔霍夫定律是求解复杂电路的电学基本定律。从19世纪40年代，由于电气技术发展的十分迅速，电路变得愈来愈复杂。某些电路呈现出网络形状，并且网络中还存在一些由3条或3条以上支路形成的交点(节点)。这种复杂电路不是串、并联电路的公式所能解决的，刚从德国哥尼斯堡大学毕业，年仅21岁的基尔霍夫在他的第1篇论文中提出了适用于这种网络状电路计算的两个定律，即著名的基尔霍夫定律。该定律能够迅速地求解任何复杂电路，从而成功地解决了这个阻碍电气技术发展的难题。基尔霍夫定律建立在电荷守恒定律、欧姆定律及电压环路定理的基础之上，在稳恒电流条件下严格成立。当基尔霍夫第一、第二方程组联合使用时，可正

确迅速地计算出电路中各支路的电流值。由于似稳电流(低频交流电)具有的电磁波长远大于电路的尺度，所以它在电路中每一瞬间的电流与电压均能在足够好的程度上满足基尔霍夫定律。因此，基尔霍夫定律的应用范围亦可扩展到交流电路之中。

三、在基尔霍夫定律中的几个概念：

1、支路：一个二端元件视为一条支路，其电流和电压分别称为支路电流和支路电压。下图所示电路共有6条支路

2、结点：电路元件的连接点称为结点。

图示电路中，a、b、c点是结点，d点和e点间由理想导线相连，应视为一个结点。该

电路共有4个结点。

3、回路：由支路组成的闭合路径称为回路

4、网孔：将电路画在平面上内部不含有支路的回路，称为网孔。

图示电路中的{1,2}、{2,3,4}和{4,5,6}回路都是网孔

四、基尔霍夫定律：

1、基尔霍夫第一定律（KCL）

第一定律又称基尔霍夫电流定律，简记为KCL，是电流的连续性在集总参数电路上的体现，其物理背景是电荷守恒公理。基尔霍夫电流定律是确定电路中任意节点处各支路电流之间关系的定律，因此又称为节点电流定律，它的内容为：在任一瞬时，流向某一结点的电流之和恒等于由该结点流出的电流之和，即：

在直流的情况下，则有：

通常把上两式称为节点电流方程，或称为KCL方程。它的另一种表示为：

在列写节点电流方程时，各电流变量前的正、负号取决于各电流的参考方向对该节点的关系（是“流入”还是“流出”）；而各电流值的正、负则反映了该电流的实际方

向与参考方向的关系（是相同还是相反）。

通常规定，对参考方向背离（流出）节点的电流取正号，而对参考方向指向（流入）节点的电流取负号。

KCL的应用

图KCL的应用所示为某电路中的节点，连接在节点的支路共有五条，在所选定的参考方向下有：

KCL定律不仅适用于电路中的节点，还可以推广应用于电路中的任一假设的封闭面。即在任一瞬间，通过电路中任一假设封闭面的电流代数和为零。

2、基尔霍夫第二定律（KVL）

第二定律又称基尔霍夫电压定律，简记为KVL，是电场为位场时电位的单值性在集总参数电路上的体现，其物理背景是能量守恒公理。基尔霍夫电压定律是确定电路中任意回路内各电压之间关系的定律，因此又称为回路电压定律，它的内容为：在任一瞬间，沿电路中的任一回路绕行一周，在该回路上电动势之和恒等于各电阻上的电压降之和，即：

在直流的情况下，则有：

通常把上两式称为回路电压方程，简称为KVL方程。

KVL定律是描述电路中组成任一回路上各支路（或各元件）电压之间的约束关系，沿选定的回路方向绕行所经过的电路电位的升高之和等于电路电位的下降之和。回路的“绕行方向”是任意选定的，一般以虚线表示。在列写回路电压方程时通常规定，

对于电压或电流的参考方向与回路“绕行方向”相同时，取正号，参考方向与回路“绕行方向”相反时取负号。

KVL的应用

图KVL的应用所示为某电路中的一个回路ABCDA，各支路的电压在所选择的参考方向下为u1、u2、u3、u4，因此，在选定的回路“绕行方向”下有：u1+u2=u3+u4。

KVL定律不仅适用于电路中的具体回路，还可以推广应用于电路中的任一假想的回路。即在任一瞬间，沿回路绕行方向，电路中假想的回路中各段电压的代数和为零。

KVL的推广

图KVL的推广所示为某电路中的一部分，路径a、f 、c 、b 并未构成回路，选定图中所示的回路“绕行方向”，对假象的回路afcba列写KVL方

程有：u

4+u

ab

=u

5

，则：u

ab

=u

5

-u

4

。

由此可见：电路中a、b两点的电压u

ab

，等于以a为原点、以b为终点，沿任一路径绕行方向上各段电压的代数和。其中，a、b可以是某一元件或一条支路的两端，也可以是电路中的任意两点。

3、基尔霍夫定律基本内容的论述

基尔霍夫电流定律是电荷守恒法则运用于集总电路的结果。电荷守恒的意思是：电荷既不能创生也不能消灭。对于集总电路中的任一节点，在某一时刻，流进该节点的电流代数和为Σi (t)，即：dq／dt=Zi k(t)(其中q为节点处的电荷)。而节点只是理想导体的汇合点，不可能积累电荷，电荷既不能创生，也不能消灭，因而节点处的dq／dt必须为零，即得：Σi (t)=0(式中i (t)为流出或流人节点的第K条支路的电流，K为节点处的支路数)。KCL定律指出：任一瞬间，流入

一个电路节点电路节点的 电流代数和为零，KCL 定律也可以推广应用到电路中任意假设的电流总和等于从该电路节点流出的电流总和，或表述为，所有流入和流出一个封闭界面的电流相等。即如下图中的流入和流出单元电路的各条支路的电流总和为零。

对节点①有：I 1+ I 2 = I 4

对节点②有：I 3 + I 5= I 1

对节点③有：I 3 + I 6 =–I 2

对节点④有：I 4+ I 5= I 6

KCL 的推广 KCL 不仅对一个节点适用，它可推广到任意一部分电路上。假想将一部分电路用一闭合面围起来，由于流人每一元件的电流等于流出该元件的电流，因此，每一元件存贮的净电荷也为零，所以整个闭合面内存贮的总净电荷为零。于是得KCL 的另一种表述：流人或流出封闭面电流的代数和为零。同时说明，不论电路中的元件如何，只要是集总电路，KCL 就总是成立的，即KCL 与电路元件的性质无关。

基尔霍夫第二定律: 沿任意回路环绕一周回到出发点，电动势的代数和等于回路各支路电阻（包括电源的内阻在内）和支路电流的乘积（即电压的代数和）。用公式表示为： ∑E=∑RI 又被称作基尔霍夫电压定律(KVL)。KVL 定律指出：任一时刻，电路中任一回路内，各段电压的代数和等于零，即：

由此我们可以得到下图所示的简单电路中，各元件端电压的关系如下：

+ I 1+ I 3=0

U s1+ I 3 －I 2 =0

各电量的参考方向如上图所示。

基尔霍夫第二定律的理论基础是稳恒电场条件下的电压环路定理，即：沿回路环绕一周回到出发点，电位降为零。电流及电动势的符号规则是：人已选定一绕行方向，电流方向与绕行方向相同时电动势符号为正，反之为负。由此列出的方程叫做回路电压方程。例如在一个简单的回路ABCD 上有一个电源E ，内阻为r ，分别有, 1

, 三个电阻。选择绕行方向为顺时针，在这个简单的电路中只

有一个回路，所以电流都是I 。 那么有：

rI+I+I+I=E 其实在更为一般的电路中一个回路的各个边上的电流并不一定相等，但是仍然可以将各个边上的电流设出来（如果未知的话，可以计算出来的就不要设了，表示一下就可以。），用同样的方法进行计算。基尔霍夫电路定律的应用当电路中各电动势及电阻给定时，可任意标定电流方向，根据基尔霍夫方程组即可唯一的解出支路的电流值。 基尔霍夫定律是电路计算的理论基础，根据基尔霍夫定律可以导出其他一些有用的定理：例如网孔电流定理，回路电流定理，节点电压定理等等，这些定理给电路计算带来了很大的方便，是电路分析和计算的有效工具。基尔霍夫定律在稳恒条件下是严格成立的，在准稳恒条件下，即整个电路的尺度远远小于电路工作频率下的电磁波长时，基尔霍夫定律也符合得很好。1、基尔霍夫电压定律是能量守恒法则运用于电路的结果能量守恒的意思是：若在某时间内的电路中某些元件得到的能量有所增加，则它的另一些元件的能量必须有所减少，一定保持能量的收支平衡。这一情况对电压间的关系有很大的影响。如知，沿这三个回路各支路的电压降的代数和为零。同理，对任一集总电路，若元件有K 个，得：对于任一集总电路中的任一回路，在任一时刻，沿着该回路的所有支路电压降的代数和为零，即：ΣUk=0，这就是KVL 。 对于 KCL 是守恒律的体现，守恒量是电荷，电流是电荷的运动形成的，KCL 正好体现了这一无法证明的守恒定律这也是集总元件的特性的体现 对于 KVL ： 1、 体现了电压与路径无关； 2、也是集总元件的特性，两点无论从哪一条路径看进去或者从不同路径的计算，都是相同的电压量，也就是说两点之间的电压式单值量。

五、基尔霍夫定律的应用：

KVL 可以从由支路组成的回路，推广到任一闭合的结点序列，即在任一时刻，沿任一闭合结点序列的各段电压(不一定是支路电压)的代数和等于零。对图l －11电路中闭合结点序列abca 和 abda 列出的 KVL 方程分别为:

cb ac bc ca ab ca bc ab 0u u u u u u u u +=--==++db

ad bd da ab da bd ab 0

u u u u u u u u +=--==++

从以上叙述可见：

1、KVL 定律的一个重要应用是：根据电路中已知的某些支路电压，求出另外一些支路电压，即

集总参数电路中任一支路电压等于与其处于同一回路(或闭合路径)的其余支路电压的代数和，即

或集总参数电路中任两结点间电压u ab 等于从a 点到b 点的任一路径上各段电压的代数和，即

由支路组成的回路可以视为闭合结点序列的特殊情况。沿电路任一闭合路径(回路或闭合结点序列)各段电压代数和等于零，意味着单位正电荷沿任一闭合路径移动时能量不能改变，这表明KVL 是能量守恒定律的体现。

综上所述，可以看到：

(l) KCL 对电路中任一结点(或封闭面)的各支路电流施加了线性约束。

(2) KVL 对电路中任一回路(或闭合结点序列)的各支路电压施加了线性约束。

(3) KCL 和KVL 适用于任何集总参数电路、与电路元件的性质无关。 KCL 不仅适用于结点，也适用于任何假想的封闭面，即流出任一封闭面的全部支路电流的代数和等于零。例如对图示电路中虚线表示的封闭面，写出的KCL 方程为

2、KCL 定律的一个重要应用是：根据电路中已知的某些支路电流，求出另外一些支路电流，即集总参数电路中任一支路电流等于与其连接到同一结点∑==m k k

u u 21jb

ij cd ac ab ....u u u u u ++++=0

643=++-i i i

(或封闭面)的其余支路电流的代数和，即

结点的 KCL 方程可以视为封闭面只包围一个结点的特殊情况。根据封闭面 KCL 对支路电流的约束关系可以得到：流出(或流入)封闭面的某支路电流，等于流入(或流出)该封闭面的其余支路电流的代数和。由此可以断言：当两个单独的电路只用一条导线相连接时(图l －10)，此导线中的电流必定为零。

在任一时刻，流入任一结点(或封闭面)全部支路电流的代数和等于零，意味着由全部支路电流带入结点(或封闭面)内的总电荷量为零，这说明KCL 是电荷守恒定律的体现。

3、基尔霍夫定律的应用实例

例1、如下图（图一）求各支路电流。

解：分析此电路有4个节点、3个网孔(如图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ) 、6条支路。分别设6条支路的电

流为I 1、I 2 、I 3 、I 4、 I 5、 I 6 如上图所示。

跟据KCL 定律有： I 1＋I 2＝I 4﹒﹒﹒﹒﹒

⑴

图l －10 ∑==m k k

i i 21

I3＋I4＝I5﹒﹒﹒﹒﹒⑵

I1＋I6＝I5﹒﹒﹒﹒﹒⑶

根据KVL定律有： E1＝I1×r1＋I4R1＋I5R2﹒﹒﹒﹒﹒⑷

E2－E3＝I2×r2＋I4R1－I3×r3﹒﹒﹒﹒﹒⑸

E3＝I3×r3＋I5R2＋I6R3﹒﹒﹒﹒﹒⑹

由以上六个式子可求得六条支路的电流。

例2、如下图要求推导出基尔霍夫电压定律的推论：沿任一回路，各元件（无源元件）上电压降的代数和等于该回路中各电压源电势的代数和。即：

解：分析有电路中的一个回路，由四条支路组成，各支路电压和电流的参考方向如图所示，选择顺时针方向作为该回路的绕行方向，则有：

（1）

根据各支路的组成元件，写出各支路电压的具体表达式如下：

（2）

将（1）式代入（2）式，并整理得到：

（3）

（3）式左边是沿绕行方向回路中全部电阻元件上电压降的代数和，当电阻电压的参考方向与回路绕行方向一致时取正号，反之取负号；右边是沿绕行方向回路中全部电压源电势的代数和，当电压源电势方向与回路绕行方向一致时取正号，反之取负号。于是，得到基尔霍夫电压定律的推论：沿任一回路，各元件（无源元件）上电压降的代数和等于该回路中各电压源电势的代数和。在只含有电阻元件的电路中，其表达式为：

上式中当各元件电压、各电压源电势的参考方向与回路绕行方向一致时取正号，相反时取负号。

例3、如下图所示电路，求电压u

。

解：分析有本问题包括有电流控制的电流源，可通过列写基本方程、辅助方程联立求解。设

节点a 、巡行回路A 及各电流的参考方向如图所标对节点a 、回A 分别列写基本的KCL,KVL 方程为

节点a: i 1 =8i

回路A ： 4i+u=20

控制量i 与待求量u 的关系为

u=2i 1=16i

即

i=1/16 u

将这一方程代入回路A 的KVL 方程中，有

1/4 u+u=20

故得 u=16v

例4、如下图所示电路，求电压U ab 。

解：分析 自a 点沿任何一条路径巡行至b 点，沿途各段电路电压的代数和即得电压U ab 。这

是计算电路中两点间得电压得基本的常用方法。一般，选择各段电路电压容易计算，甚至不用计算的路径巡行。

设电流I 1、I 2、I 3，并作封闭曲面S 如图中所标。由KCL 推广可知，I 2＝0，I 3＝5A ；由KVL 及欧姆定律，得电流

I 1=20÷（18+2）=1A

电压 U ab =8 I 1+2 I 2+2-3 I 3=-5V

总结

阐明集总参数电路中流入和流出节点的各电流间以及沿回路的各段电压间的约束关系的定律。1845年由德国物理学家G.R.基尔霍夫提出。集总参数电路指电路本身的最大线性尺寸远小于电路中电流或电压的波长的电路，反之则为分布参数电路。基尔霍夫定律包括电流定律和电压定律。基尔霍夫电流定律（KCL ） 任一集总参数电路中的任一节点，在任一瞬间流出该节点的所有电流的代数和恒为零，即就参考方向而言，流出节点的电流在式中正号，流入节点的电流取负号。基尔霍夫电流定律是电荷守恒定律在电路中的体现。基尔霍夫电压定律（KVL ）任一集总参数电路中的任一回路，在任一瞬间沿此回路的各段电压的代数和恒为12 Ω 8 Ω 2 Ω

20 V 2 V 3 Ω

5 A a b I 1

I 2 I 3 S .

零，即电压的参考方向与回路的绕行方向相同时，该电压在式中取正号，否则取负号。基尔霍夫电压定律是能量守恒定律在电路中的体现。