组合与组合数公式及性质
10.3组合与组合数公式及性质
达标要求
1．理解组合的概念．
2．掌握组合数公式．
3．理解排列与组合的区别和联系。
4．熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的 应用问题．
基础回顾
1．组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．
2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素的所有组合的个数，叫做
从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号m n C 表示．．
3．组合数的公式：
(1)(2)(1)!m m
n n
m m A n n n n m C A m ---+== 或()!!!
m n n C m n m =-（,n m N +∈且m n ≤） 4．组合数性质：
（1）m n m n n
C C -= （2）111m m m n n n C C C ++++=
典型例题
例题1 4名男生和6名女生选三人，组成三人实践活动小组。
(1) 共有多少种选法？
(2) 其中男生甲不能参加，有多少种选法？
(3) 若至少有1个男生，问组成方法共有多少种？
解：(1) 共有310120C =种。
(2) 共有3984C =种
(3) 解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女， 分别有34C ，2146C C ，12
46C C ，
所以一共有3211244646100C C C C C ++= 种方法．
解法二：（间接法）33106100C C -=
例题2 100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查．
(1) 都不是次品的取法有多少种？
(2) 至少有1件次品的取法有多少种？
(3) 不都是次品的取法有多少种？
解：（1）4
902555190
C=
（2）441322314 10090109010901090101366035
C C C C C C C C C
-=+++=
（3）441322314 10010109010901090903921015
C C C C C C C C C
-=+++=
组合数公式
组合数公式 目录[隐藏] 组合数公式和变换技巧 组合变换技巧举例 组合数公式和变换技巧 组合变换技巧举例 [编辑本段] 组合数公式和变换技巧 一、组合数定义。 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. 二、组合公式。 有时候也表示成： c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!) 三、组合性质。 c(n,m)=c(n,n-m); [编辑本段]
组合变换技巧举例 。有朋友给出了两道题： 1、设15000件产品中有1000件次品，从中拿出150件，求得到次品数的期望和方差？ 2、设某射手对同一目标射击，直到射中R次为止，记X为使用的射击次数，已知命中率为P，求E（X）、D（X）。 这两题都要用到一些技巧。我先列出几个重要公式，证明过程中提供变换技巧，然后把这两个题目作为例题。 先定义一个符号，用S（K=1，N）F（K）表示函数F（K）从K=1到K=N求和。（我不会用求和的符号） 公式1： C（M-1，N-1）+C（M-1，N）=C（M，N） 证明：方法1、可直接利用组合数的公式证明 方法2、（更重要的思路） C（M，N）是从M个物品中任选N个的方法。 从M个物品中任意指定一个。则选出N个的方法中，包含这一个的有C（M-1，N-1）种，不包含这一个的有C（M-1，N）种。 因此，C（M-1，N-1）+C（M-1，N）=C（M，N） 公式2： S（K=N，M）C（K-1，N-1）=C（M，N）（M》=N） 证明：C（M，N）是从M个物品中任选N个的方法。 从M个物品中任意指定M-N个，并按次序编号为第1到第M-N号，而其余的还有N个。 则选出N个的方法可分类为： 包含1号的有C（M-1，N-1）种； 不包含1号，但包含2号的有C（M-2，N-1）种； 。。。。。。 不包含1到M-K号，但包含M-K+1号的有C（K-1，N-1）种 。。。。。。 不包含1到M-N-1号，但包含M-N号的有C（N，N-1）种不包含1到M-N号的有C（N，N）种，而C（N，N）=C（N-1，N-1） 由于两种思路都是从M个物品中任选N个的方法，因此 S（K=N，M）C（K-1，N-1）=C（M，N） 公式3： S（K=0，N）C（P，K）*C（Q，N-K）=C（P+Q，N）（P，Q）=N） 证明：一批产品包含P件正品和Q件次品，则从这批产品中任选N件的选法为C（P+Q，N）。而公式里面的K表示选法中正品数量，
组合数的计算公式
组合导学案 课题：组合数的计算公式 课型：新授 执笔： 审核: 使用时间： 一、学习目标 1、 掌握组合数的计算公式 2、 组合数公式的应用 二、重点难点 1、 组合数的计算公式 2、 用组合数的计算公式解决相关问题 三、学习内容 组合数的计算与选排列数的计算有紧密联系．对于n 个元素中选k 个的选排列，可以 分两步完成．第一步，在n 个元素中选出k 个构成一个组，这是一个组合问题，共可以构成 个组；第二步，对每一组中的 个元素作全排列，每一组的排列数是 个．根据分步计数法和乘法原理，选排列数 k n A =k n C k k A ， 所以 k n C = ， 以选排列数计算公式代入，即得组合数计算公式 k n C = 四、探究分析 1、把下面的问题归结为排列或组合问题，如果是组合问题请根据公式计算结果： (1)在人数为50人的班级中，选举正、副班长、学习委员、生活委员和文体委员各一人组成班委，求可能的组成方案数． (2)在人数为50人的班级中，选举5人组成班委，求班委可能的组成方案数． (3)由12人组成的篮球队中，需选5人作为首发阵容，求可组成多少个不同的首发阵容．又在50名啦啦队员中要挑选20人前往助阵，有几种挑选方案？ (4)10份内容相同的信函，发给20个人中的10人，每人一份，有几种发信的方案？ 方法总结： 2、计算： （1）26C ； （2）37C ； （3）3 100C ． 方法总结：
课堂训练 1．把下面的问题能归结为排列或组合问题吗？如果能，请写出排列数或组合数的记号，如果不能，请说明理由，组合问题请计算结果： (1)在人数为60人的班级中，分成各30名学生的两个助残公益活动小组，可以有多少种分 法？ (2)有一个由6人组成的全能乐队，每人都能演奏6种乐器．要挑选5名队员参加某次演出， 可以组建多少种不同的演出阵容？ (3)6个朋友互相握手道别，共握手多少次？ (4)5道习题任意选做3题，有多少不同的选法？ (5)10支球队进行循环赛，共需安排多少场比赛？ (6)某种饮料是混合四种原料配制而成．现在每种原料都有9种不同品牌可供选择，共有几 种选择原料的方案？ (7)正16边形有几条对角线？课后作业 1、把下列问题归结为排列或组合问题并计算结果 （1）某次文艺汇演欲从20个节目中选出15个节目参加正式演出，则不同的节目单共有多少种？（2）10份相同的纪念品送给12个人中的10个人，每人一份，有几种分配方案？ 2、某小组有男生3人，女生5人，现从中选出3人，要求男、女生都有，则共的选法有多少种？教学后记
排列组合公式_排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式 排列P------和顺序有关 组合C -------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列" 把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!).
k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n为下标，m为上标)） Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n 分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n为下标，m为上标)） Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m 2008-07-08 13:30 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 ！-阶乘，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r 举例： Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？ A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。 上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积） Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？ A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。 上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？ 解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．
组合及组合数公式作业
组合与组合数公式 一、选择题 1．若C x 6＝C 26，则x 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．4或2 D ．3 2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为 ( ) A ．4 B ．8 C ．28 D ．64 3．已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．14 B ．12 C ．13 D ．15 4．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( ) A ．60种 B ．48种 C ．30种 D ．10种 5．平面直角坐标系中有五个点，分别为O (0,0)，A (1,2)，B (2,4)，C (－1,2)，D (－2,4)．则这五个点可以确定不同的三角形个数为( ) 6．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 二、填空题 7．若已知集合P ＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P 的子集中含有3个元素的子集数为________． 8．不等式C 2n －n <5的解集为________． 9．若对任意的x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“具有伙伴关系”的集合．集合M ＝???? ??－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________． 10．计算：(1)C 58＋C 98100·C 77； (2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； (3)C n n ＋1·C n －1n . 11．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)
组合与组合数公式及性质
10.3组合与组合数公式及性质 达标要求 1．理解组合的概念． 2．掌握组合数公式． 3．理解排列与组合的区别和联系。 4．熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的 应用问题． 基础回顾 1．组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素的所有组合的个数，叫做 从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号m n C 表示．． 3．组合数的公式： (1)(2)(1)!m m n n m m A n n n n m C A m ---+== 或()!!! m n n C m n m =-（,n m N +∈且m n ≤） 4．组合数性质： （1）m n m n n C C -= （2）111m m m n n n C C C ++++= 典型例题 例题1 4名男生和6名女生选三人，组成三人实践活动小组。 (1) 共有多少种选法？ (2) 其中男生甲不能参加，有多少种选法？ (3) 若至少有1个男生，问组成方法共有多少种？ 解：(1) 共有310120C =种。 (2) 共有3984C =种 (3) 解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女， 分别有34C ，2146C C ，12 46C C ， 所以一共有3211244646100C C C C C ++= 种方法． 解法二：（间接法）33106100C C -= 例题2 100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查． (1) 都不是次品的取法有多少种？ (2) 至少有1件次品的取法有多少种？
排列组合计算公式及经典例题汇总
排列组合公式/排列组合计算公式 排列A------和顺序有关 组合 C -------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列" 把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示. A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号
c(n,m) 表示. c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝A(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为 c(m+k-1,m). 排列（Anm(n为下标，m为上标)） Anm=n×（n-1）....（n-m+1）；Anm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Ann（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；An1（n为下标1为上标）=n
排列组合的基本理论和公式
排列组合的基本理论和公式 排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合． (一)两个基本原理是排列和组合的基础 (1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法． (2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1 种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理． 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来． (二)排列和排列数 (1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法． (2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列 当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－2)…3·2·1＝n！ (三)组合和组合数 (1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合． 从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个
排列数、组合数公式与二项式定理的应用
排列数、组合数及二项式定理整理 慈济中学全椒 1、排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n Λ=！！ )(m n n -.(n ，m ∈N*，且m n ≤)． 2、排列恒等式 (1) 1(1)m m n n A n m A -=-+;(2) 1m m n n n A A n m -= -;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-; (5) 1 1m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?++?=+-L . 3、组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ???+--ΛΛ21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N*，m N ∈，且m n ≤). 4、组合数的两个性质 (1) m n C =m n n C - ; (2) m n C +1 -m n C =m n C 1 +. 5、排列数与组合数的关系 m m n n A m C =?！ . 6、二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L 【注】： 1．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 2．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
几个常用组合数公式.资料
几个常用组合数公式.
⑸①几个常用组合数公式 ②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：（利用） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法（即用递推）如：. vi. 构造二项式. 如： 证明：这里构造二项式其中的系数，左边为 ，而右边 四、排列、组合综合. 1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法. ③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某个元素必相邻的排列有个.其中是一个“整体排列”，而则是“局部排列”. 又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为.
②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有. ③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有. 注：①③区别在于①是确定的座位，有种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取的2个，有不确定性. ④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”. 例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？（插空法），当n –m+1≥m, 即m≤时有意义. ⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则. ⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全 排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排 成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法. 例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？ 解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m！；解法二：（比例分配法）. ⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有. 例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有 （平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （） 注意：分组与插空综合. 例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序 不变，共有多少种排法？有，当n –m+1 ≥m, 即m≤时有意义.
排列组合公式 全
排列组合公式 排列定义??? 从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式
3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！ 集合B为数字不重复的六位数的集合。 把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！ 这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则 S（A）=S（B）*3！ S（B）=9！/3！ 这就是我们用以前的方法求出的P（9，6） 例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？ 设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的
高中数学排列组合相关公式
排列组合 排列定义：从n 个不同的元素中，取r 个不重复的元素，按次序排列，称为从n 个中取r 个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。 组合定义：从n 个不同元素中取r 个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n 个中取r 个的无重组合。组合的个数用C(n,r)表示。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要 较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在 第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同12n N m m m =+++L 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做
第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 具体情况分析 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 占了这两个位置 . 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中 间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 443
组合及组合数公式作业
组合及组合数公式作业-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
组合与组合数公式 一、选择题 1．若C x 6＝C 26，则x 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．4或2 D ．3 2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现 要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为 ( ) A ．4 B ．8 C ．28 D ．64 3．已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．14 B ．12 C ．13 D ．15 4．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( ) A ．60种 B ．48种 C ．30种 D ．10种 5．平面直角坐标系中有五个点，分别为O (0,0)，A (1,2)，B (2,4)，C (－1,2)，D (－2,4)．则这五个点可以确定不同的三角形个数为( ) 6．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 二、填空题 7．若已知集合P ＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P 的子集中含有3个元素的子集数为________． 8．不等式C 2n －n <5的解集为________． 9．若对任意的x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“具有伙伴关系”的集合．集合M ＝ ?????? ????－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________． 10．计算：(1)C 58＋C 98100·C 77 ； (2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； (3)C n n ＋1·C n －1n . 11．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图) (1)图中有多少个矩形？ (2)从A 点走向B 点最短的走法有多少种？ 12．假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少种？ (1)没有次品；(2)恰有两件是次品；(3)至少有2件次品．
组合与组合数公式及性质
组合与组合数公式及性质 达标要求 1．理解组合的概念． 2．掌握组合数公式． 3．理解排列与组合的区别和联系。 4．熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的 应用问题． 基础回顾 1．组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素的所有组合的个数，叫做 从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号m n C 表示．． 3．组合数的公式： (1)(2)(1)!m m n n m m A n n n n m C A m ---+== 或()!!! m n n C m n m =-（,n m N +∈且m n ≤） 4．组合数性质： （1）m n m n n C C -= （2）111m m m n n n C C C ++++= 典型例题 例题1 4名男生和6名女生选三人，组成三人实践活动小组。 (1) 共有多少种选法 (2) 其中男生甲不能参加，有多少种选法 (3) 若至少有1个男生，问组成方法共有多少种 解：(1) 共有310120C =种。 (2) 共有3984C =种 (3) 解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女， 分别有34C ，2146C C ，1246C C ， 所以一共有3211244646100C C C C C ++=种方法． 解法二：（间接法）33106100C C -= 例题2 100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查． (1) 都不是次品的取法有多少种 (2) 至少有1件次品的取法有多少种
奥数：排列组合的基本理论和公式
一、排列组合的基本理论和公式，排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关。如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合。 (一)两个基本原理是排列和组合的基础： (1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋m n种不同方法。 (2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×m n种不同的方法。 这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理。 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来。
3 C表示从5个元素中取出3个，总共有多少种不同的取5 法。这是组合的运算。例如：从5个人中任选三个人去参加比赛，共有几种选法？这就是从5个元素中取出3个的组合运算。可表示为3 C。其计算过程是35C=5!/[3!×(5-3)!] 5 叹号代表阶乘，5!=5×4×3×2×1=120，3!=3×2×1=6，（5-3）！=2！=2×1=2，所以3 C=5!/[3!×(5-3)!]=120/(6×2)=10 5 针对上面例子，就是从5个人中任选三个人去参加比赛，共有10几种选法。 排列组合公式： 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。n—元素的总个数；r—参与选择的元素个数。 ！—阶乘，如 9！＝9×8×7×6×5×4×3×2×1。 举例： Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多 少个三位数？ A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序 有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
组合与组合数公式
组合与组合数公式 1．组合的定义 一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 组合的概念中有两个要点：(1)取出元素，且要求n 个元素是不同的；(2)“只取不排”，即取出的m 个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质 2．组合数的概念、公式、性质 组合数 定义 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个 数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数 表示法 C m n 组合数 公式 乘积式 C m n ＝A m n A m m ＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！ 阶乘式 C m n ＝ n ！ m ！（n －m ）！ 性质 C m n ＝C n －m n ，C m n ＋1＝C m n ＋C m －1 n 备注 ①n ，m ∈N * 且m ≤n ；②规定：C 0 n ＝1 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)从a 1，a 2，a 3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C 2 3.( ) (2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C 2 4个积．( ) (3)C 3 5＝5×4×3＝60.( ) (4)C 2 016 2 017＝C 1 2 017＝2 017.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ 若A 3 n ＝8C 2 n ，则n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案：A 计算：(1)C 3 7＝________；(2)C 18 20＝________． 答案：(1)35 (2)190
高中数学排列组合及概率的基本公式概念及应用
高中数学排列组合及概率的基本公式、概念及应用 1 分类计数原理（加法原理）：12n N m m m =+++. 分步计数原理（乘法原理）：12n N m m m =?? ?. 2 排列数公式 ：m n A =)1()1(+--m n n n =！ ！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．规定1!0=. 3 组合数公式：m n C =m n m m A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N * ，m N ∈，且m n ≤). 组合数的两个性质:(1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1 -m n C =m n C 1+.规定10 =n C . 4 二项式定理 n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =. 2012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=++++的展开式的系数关系： 012(1)n a a a a f ++++=； 012(1)(1)n n a a a a f -++ +-=-；0(0)a f =。 5 互斥事件A ，B 分别发生的概率的和：P(A ＋B)=P(A)＋P(B)． n 个互斥事件分别发生的概率的和：P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )． 6 独立事件A ，B 同时发生的概率：P(A ·B)= P(A)·P(B). n 个独立事件同时发生的概率：P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )． 7 n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：()(1).k k n k n n P k C P P -=- 8 数学期望：1122n n E x P x P x P ξ=++++ 数学期望的性质 （1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=. (3) 若ξ服从几何分布,且1 ()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1E p ξ= . 9方差：()()()2 2 2 1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-?+-?+ +-?+ 标准差：σξ=ξD . 方差的性质： (1)()2D a b a D ξξ+=； (2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-. (3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ -===，则2 q D p ξ= . 方差与期望的关系：()2 2D E E ξξξ=-. 10正态分布密度函数：( )()()2 2 26,,x f x x μ-- = ∈-∞+∞， 式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 对于2 (,)N μσ，取值小于x 的概率：()x F x μσ-?? =Φ ??? . ()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<< 11 )(x f 在0x 处的导数（或变化率）：
组合数公式总结
组合数公式总结 ①几个常用组合数公式 n n n n n n C C C 2210=+++ 111111 211 5314201 1112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C ②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：)! 1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：4 13353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如：n n n n n n C C C C 222120)()()(=+++ 证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为 22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=?++?+?+?-- ，而右边n n C 2= 举例： 103020301020101011209101720310182021019201102020010C C C C C C C C C C C C C C ==++++++ 这里构造二项式()()()302010111x x x +=++其中20 x 的系数.
(完整版)组合与组合数教案
7.3.1组合与组合数公式 教学目的： 1理解组合的意义，掌握组合数的计算公式； 2.能正确认识组合与排列的联系与区别 3．指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.举一反 三、融会贯通. 教学重点：组合的概念和组合数公式 教学难点：组合的概念和组合数公式 情境设置 一、问题1 （1）、从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ （2）从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 二、问题2 有6本不同的书： （1）取出3本分给三个同学每人1本，有几种不同的分法？ （2）取出4本给甲，有几种不同的取法？ 三、温故而知新 什么叫做排列？排列的特征是什么？ 一般地说，从n 个不同元素中，取出m (m ≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. 新知探究 一、组合定义 1、一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素，不论次序地构成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 2、排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它的根本区别． 3、排列与组合，它们有什么共同点、不同点？ 共同点:都要“从n 个不同元素中任取m 个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”． 4、什么是两个相同的排列？ 5、什么是两个相同的组合？ 二、组合数 1、从 n 个不同元素中取出 m （ m ≤n ））个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数． 记为 三、即时体验 判断下列问题是组合问题还是排列问题? m n C
组合数公式
组合数公式 编辑锁定 组合数公式是指从m个不同元素中，任取n(n≤m)个元素并成一组，叫做从m个不同元素中取出n个元素的一个组合；从m个不同元素中取出n(n≤m)个元素的所有组合的个数，叫做从m个不同元素中取出n个元素的组合数。用符号c(m,n) 表示。 中文名 组合数公式 公式写法 c(m,n)=p(m,n)/n! 递推公式 c(m,n)=c(m-1,n-1)+c(m-1,n) 应用领域 数学等 目录 1. 1 公式 2. 2 性质 3. 3 递推公式 4. 4 算法举例 组合数公式公式 编辑 有时候也表示成： （在旧版本里，排列数的字母写作P） 组合公式的推导是由排列公式去掉重复的部分而来的，排列公式是建立一个模型，从n 个不相同元素中取出m个排成一列（有序），第一个位置可以有n个选择，第二个位置可以有n-1个选择（已经有1个放在前一个位置），则同理可知第三个位置可以有n-2个选择，以此类推第m个位置可以有n-m+1个选择，则排列数为 ，而组合公式对应另一个模型,取出m个成为一组（无序）,由于m个元素组成的一组可以有m!种不同的排列（全排列 ）,组合的总数就是
组合数公式性质 编辑 组合数公式递推公式 编辑 c(m,n)=c(m-1,n-1)+c(m-1,n) 等式左边表示从m个元素中选取n个元素，而等式右边表示这一个过程的另一种实现方法：任意选择m中的某个备选元素为特殊元素，从m中选n个元素可以由此特殊元素的被包含与否分成两类情况，即n个被选择元素包含了特殊元素和n个被选择元素不包含该特殊元素。前者相当于从m-1个元素中选出n-1个元素的组合，即c(m-1,n-1)；后者相当于从m-1个元素中选出n个元素的组合，即c(m-1,n)。 组合数公式算法举例 编辑 1、设15000件产品中有1000件次品，从中拿出150件，求得到次品数的期望和方差？ 2、设某射手对同一目标射击，直到射中R次为止，记X为使用的射击次数，已知命中率为P，求E（X）、D（X）。 这两题都要用到一些技巧。我先列出几个重要公式，证明过程中提供变换技巧，然后把这两个题目作为例题。 先定义一个符号，用S（K=1，N）F（K）表示函数F（K）从K=1到K=N求和。 公式1： C（M-1，N-1）+C（M-1，N）=C（M，N） 公式1 证明： 方法1、可直接利用组合数的公式证明。 方法2、（更重要的思路）。 从M个元素中任意指定一个元素。则选出N个的方法中，包含这一个元素的有C（M-1，N-1）种组合，不包含这一个元素的有C（M-1，N）种组合。 因此，C（M-1，N-1）+C（M-1，N）=C（M，N） 公式2： S（K=N，M）C（K-1，N-1）=C（M，N）（M》=N） 证明：C（M，N）是从M个物品中任选N个的方法。 从M个物品中任意指定M-N个，并按次序编号为第1到第M-N号，而其余的还有N 个。 则选出N个的方法可分类为：