浅析洛必达法则求函数极限
本科学年论文论文题目：用洛必达法则求极限的方法
学生姓名：卫瑞娟
学号： 1004970232
专业：数学与应用数学
班级：数学1002班
指导教师：严惠云
完成日期： 2013 年 3月 8 日
用洛必达法则求未定式极限的方法
内容摘要
极限运算是微积分学的基础，在众多求极限方法中，洛必达法则是一种简单而又方便的求极限方法。但在具体使用过程中，一旦疏忽，解题就很可能出错。本文就针对利用此法则求极限的过程及解题过程中常见问题，对洛必达法则求函数极限的条件及范围、应用、何时失效做了整体分析与探讨，并举例说明。除此之外，还介绍了除洛必达法则之外其他求函数极限的方法以及同洛必达法则的比较，最后对洛必达法则进行小结。
关键词：洛必达法则函数极限无穷小量
目录
一、洛必达法则求极限的条件及适用范围 (1)
（一）洛必达法则定理 (1)
（二）洛必达法则使用条件 (2)
二、洛必达法则的应用 (2)
（一）洛必达法则应用于基本不定型 (2)
（二）洛必达法则应用于其他不定型 (3)
三、洛必达法则对于实值函数失效问题 (5)
（一）使用洛必达法则后极限不存在 (5)
（二）使用洛必达法则后函数出现循环 (6)
（三）使用洛必达法则后函数越来越复杂 (6)
（四）使用洛必达法则中求导出现零点 (6)
四、洛必达法则与其他求极限方法比较 (6)
（一）洛必达法则与无穷小量替换求极限法 (7)
（二）洛必达法则与利用极限运算和已知极限求极限 (8)
（三）洛必达法则与夹逼定理求极限 (9)
五、洛必达法则求极限小结 (10)
（一）洛必达法则条件不可逆 (10)
（二）使用洛必达法则时及时化简 (11)
（三）使用洛必达法则前不定型转化 (11)
参考文献 (13)
序言
数学分析中几乎所有的概念都离不开极限。因此，极限概念是数学分析的重要概念，极限理论是数学分析的基础理论。极限法的引入与完善是出于社会实践的需要，是许多人奋斗的结果，不是哪一个数学家苦思冥想出来的。
极限的求法很多，主要包括有：①利用极限的定义；②利用极限的运算法则求极限；③利用极限存在的条件和准则求极限；④利用两个重要极限求极限；⑤利用等价无穷小量和泰勒展开求极限；⑥利用函数的连续性求极限；⑦利用洛必达法则求极限；⑧利用中值定理求极限；⑨利用导数或定积分的定义求极限；⑩利用级数收敛的必要条件求极限。在此我只对利用“洛必达法则”求极限的这一方法进行了分析与概括。
一、 洛必达法则求函数极限的条件及适用范围
（一）洛必达法则定理
定理1[1]
若函数)(x f 与函数)(x g 满足下列条件： （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）0)(lim
0=+→x f a x 0)(lim 0
=+→x g a x
（3）A x g x f a x =+→)
(')('lim
则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)
(')('lim
)
()(lim
（包括A 为无穷大的情形）
定理2 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件 （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）∞=+→)(lim
x f a x ∞=+→)(lim 0
x g a x
（3）A x g x f a x =+→)
(')('lim
则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)
(')('lim
)
()(lim
（包括A 为无穷大的情形）
此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：
-∞→+∞→∞→→→→-
+
x x x x x x x x x ,,,,,000。
定理证明：作辅助函数
???=+∈=a x a a x x f x F 当当,0),
,(),()(δ
?
??=+∈=a x a a x x g x G 当当,0),
,(),()(δ
于是函数F(x)及G(x)在[δ+a a ,）连续，在()δ+a a ,可导，并且.0)('≠x G 今对()
δ
+a a ,内任意一点x ，利用柯西中值定理得
).,(,)
(')(')
()()()()
()(000x a x x G x F a G x G a F x F x G x F ∈=
--=
由)()(x G x F 及的定义，上式即
)
(')(')
()(00x g x f x g x f =
所以当0+→a x 时（这时显然有00+→a x ），对上式两端取极限，即
A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)
(')('lim
)
()(lim 000
证毕。
关于定理二的证明方法也同定理1类似，这里就不点出。当然，还有其他不同的证明方法。
（二）洛必达法则使用条件
只有在分子、分母同时趋于零或者同时趋于无穷大时，才能使用洛必达法则。
连续多次使用法则时，每次都要检查是否满足定理条件，只有未定式方可使用，若是检查结果满足法则使用条件，才可连续使用洛必达法则，直到求出函数极限或者为无穷大，否则就会得出错误的结果，下面举个例子来说明。 例1：求x
x x x x sin sin lim
+-∞
→
分析：根据洛必达法则使用条件，此式为
∞
∞型，所以可以使用洛必达法则，但是
x
x x
x x x x x cos 1cos 1lim
sin sin lim
+-=+-∞
→∞→，结果所得非不定式，所以只能使用一次洛必达法则，
而不能再进行第二次。 解：1)sin sin (lim cos 1cos 1lim
sin sin lim
-=-
=+-=+-∞
→∞
→∞
→x
x x
x x
x x x x x x
事实上，1sin 1sin 1lim
sin sin lim
=+
-=+-∞
→∞
→x
x x
x
x
x x x x x ，这里为了说明问题，才使用上面的解法，这里也可以看出，寻找最为简便的解题方法才是正确解题的关键。
二、洛必达法则的应用
（一） 基本类型：不定式直接应用法则求极限
例2：求.cos 1lim 2
x x
x
-→
解： 这是
0待定型。运用洛必达法则，我们有
x
x x x x
x
x x x 2sin lim
)'
()'cos 1(lim
cos 1lim
2
2
→→→=-=-
因为 1sin lim 0
=→x x x 从而 .21sin lim
2
1cos 1lim 0
2
0==-→→x
x x
x
x x
例4：求).0(ln lim
αα
x
x x +∞
→
解：上述极限是
∞
∞待定型，于是
01lim 1
lim
ln lim
1===+∞→-∞→+∞
→α
ααα
ααx x x
x
x x x
（二） 未定式的其它类型：∞?0、∞-∞、00、0∞、∞1型极限的求解
此外，除了型型或
∞
∞0
0这两种待定型外，还可以通过转化，来解其他待定型。譬如
.1000
∞∞-∞∞?∞
，，，，等待定型，由于他们都可以转化为
型型或
∞∞00，
因此，也可以用洛必达法则来求出他们的值[2]
。
关于如何转换，例如,)(lim ,0)(lim ∞==x g x f 则)()(lim x g x f 是∞?0形式，这时，
可以写为)
(1)()
(1)()()(x f x g x g x f x g x f 或=，这就转化为型型或∞
∞0
0了。此外对于0
001∞∞，，等
不定式，可以取对数化为∞?0的形式，再运用如上方法便可转化为型型或
∞
∞0
0了，下面
对这些待定型一一举例解答以作说明[3]
。 例5：).tan
1(
lim 2
2
x c x
x -→
解：这是∞-∞型，设法化为
0形式：
x
x x
x x x c x
x x 2
2
2
22
2
2
sin
cos sin lim
)tan
1(
lim -=-→→
=x
x x
x x x x x x x sin cos sin sin cos sin lim
20-?+→ =x
x x
x x x sin cos sin lim )11(2-+∞→ =x
x x x x
x x cos sin 2sin lim 220+→
=.3
2cos sin 21
lim
20
=
+
→x
x
x x
例6：求.)
2(lim 2
tan
1
x
x x π-→
解：这是型∞1
??
?
???-=-→→)2ln(2tan lim exp )
2(lim 12
tan
1
x x x x x
x ππ
=exp ?
??
??
?????-→x x x 2cot )2ln(lim 1π
=exp ?
????
????
?---→)2csc (212lim 21ππx x =π2
e
例7：求x x x x ln 1
2
)1(lim +++∞
→
解:这是0∞待定型，经变形得x
x
x x x x e
x x ln 1ln ln 1
2
2
lim )1(lim ??
? ?
?++∞
→+∞
→=++，
而11lim
111
lim
ln )
1ln(lim
2
2
2
=+=+=+++∞
→+∞
→+∞
→x
x x
x x
x x x x x
故 e x x x
x =+++∞
→ln 1
2
)
1(lim
例8：求x x x ln lim 0+
→
解：这是∞?0待定型，可变形为x
x
x x 1ln ln =
，成了∞
∞待定型，于是 0)(lim 11
lim 1ln lim
ln lim 02
000=-=-
==+→+→+
→+
→x x
x x
x
x x x x x x
例9：求x
x x +
→0lim
解：这是00待定型，由对数恒等式知，x
x x e x ln =，运用例8可得
1lim lim 0
ln lim ln 000
====→+→+
→e e
e
x x
x x
x x x
x x
三、洛必达法则对于实值函数的失效问题
洛必达法则可谓是在求不定式极限中作用最为显赫的一种方法，当然，它也有失效的时
候。“失效”的原因则是因为题目本身不满足可以使用洛必达法则的几个条件。所以，在要使用洛必达法则时，则要检验该题目是否符合洛必达法则条件，洛必达法则失效的基本原因有以下几种。
（一）使用洛必达法则后，极限不存在（非∞），也就是不符合以上定理1、2的
条件（3）[4]
例10：计算x
x x x x sin sin lim
+-∞
→
解：原式=1sin 1sin 1lim
=+
-
∞
→x
x x
x x （二）使用洛必达法则后，函数出现循环，而无法求出极限，也就是不符合定理1、定理2的条件（3） 例11：计算)(
lim
型∞
∞-+--∞
→x
x
x x x e
e e e
解：原式=x
x x e
e 2211lim
--∞
→++=1
（三）使用洛必达法则后，函数越来越复杂，无法简单判断出函数是否存在极限，也就是不符合定理1、定理2的条件（3）
例12：计算)0
(lim
10型x e
x
x -
+
→ 解：令x
t 1
=，则原式=1lim 1lim
00==+→-+→t x t
x e t
t
e （四）求导后有零点，也就是不满足条件
例如
x
e x
e
x x e
x
x
x
x sin sin
)sin 2(cos lim
2
22-∞
→++，
的极限是不存在的，事实上，取)(4
-∞→∞→=n n x ππ，此时分母的导数是有零点的。
四、洛必达法则与其它求极限方法比较
使用洛必达法则时不要忽视别的求极限方法，并不是所有不定型用洛必达法则最为方便，在关注使用洛必达法则的同时，我们还要注意到其他求极限的方法，依题目而选定最合适的方法。
对于解函数极限的题，若是不定式符合洛必达法则条件，确实可使用洛必达法则，但也不是说单一只能使用洛必达法则，也可以试着洛必达法则同其他方法一起，可能可以使解题更为简便。
（一）洛必达法则与无穷小代替法
应用等价无穷小量代替法化简，牢记下列等价无穷小量：当0→x 时，
,~)1ln(,~1~arcsin ,~tan ~sin x x x xe x x x x x x
+-，
x
x x x
x ~112
~
cos 12
--+-，
用此方法应要注意，加减的无穷小量不能用等价无穷小量代替，需是无穷小量比的形
式，或是极限中的乘积因子为无穷小量，且替换后极限存在，才能用等价无穷小量替换[5]
，下面举个例子作为比较。 例13 求2
2
2
sin cos 1lim
x
x x x -→
解1：（运用无穷小量代替法）
2
121
lim sin cos 1lim
4
4
02
2
20
=
=-→→x
x
x
x x x x
解2：（利用洛必达法则）
2
2
20
sin cos 1lim
x
x x x -→=2
2
3
2
sin cos 2sin 2lim
x
x x x
x x +→
=2
2
2
2
sin cos sin lim
x
x x x
x +→
=2
2
3
2
20
cos 2sin 2cos 2cos 2lim
x
x x x x x x
x x +-→
=2
2
2
20
sin cos 2cos lim
x
x x x
x -→
=2
1
分析：此题若直接用洛必达法则，则会较麻烦，相反，若之前先用无穷小量替代，就
可简化解题过程。
解：)
1(sin lim
2
--→x
x e x x x =.6
1
321lim 3cos 1lim
sin lim
22
02
3
==-=-→→→x x
x
x x
x x x x x （二）洛必达法则与运用极限的运算和已知的极限求极限比较[6]
利用极限的定义和适当放大法也是可以求出一些较为“简单”形式变量的极限。一旦我
们知道了一些极限后，用加减乘除的方法就可以计算出一些较为复杂的极限，这也是极限运算中比较常见、便捷的方法。如下几个例子，就可以运用加减乘除简便的求出函数的极限。 例14：求.1
64759lim
2
384
8++-+-∞
→n n n n n n
解1: .1
64759lim
2
384
8++-+-∞
→n n n n n n
=7
1)
1647()591(lim
8
6
5
8
8
4
8
=+
+-
+-
∞
→n
n
n
n n
n
n n
这里运用到了01lim
1lim
1lim
1
lim
8
6
5
4
====+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→n
n
n
n
n n n n
解2：此题若是使用洛必达法则，则需要使用洛必达法则四次，显的尤为繁琐，这里可以给出洛必达法则求此极限的解题过程，以做说明。 .1
64759lim
2
3
8
4
8
++-+-∞
→n n n n n n
=n n n n
n n 121256368lim
2
7
3
7
+--∞
→ （第一次运用洛必达法则）
=121256368lim
62
6
+--∞
→n n n
n n
=123367248lim 55
--∞
→n n n n （第二次运用洛必达法则）
=256128lim 55
--∞
→n n n n
=4
45561240lim n
n n ?-∞
→ （第三次运用洛必达法则）
=7
14556558lim
3
3=
????∞
→n
n
n （第四次运用洛必达法则）
所以原式=7
1。
单已例14为例，纵观用极限运算和已知极限来求函数极限同使用洛必达法则求极限，显而易见前者要显的简单的多，在实际极限运算中，要灵活应用，找出最适合该题的解法。
（三）洛必达法则与利用夹逼定理求函数极限比较
夹逼定理也是求函数极限的一种有效方法。定理内容：如果对于点0x 的某一零域内的一切x ，但0x 本身可以除以（或对于绝对值大于某一正数的一切x ）有不等式
)()()(x h x f x g ≤≤成立，且I x h x g ==)(lim )(lim ，则I x f =)(lim 。使用两边夹法则
求函数极限，关于在于把)(0x f x 或适当放大或者缩小。下面举个例子分别用洛必达法则和夹逼定理来求函数极限，以作比较。 例15：求x
x x
)11(lim +
∞
→
解1：（运用两边夹定理）
对于任意1≥x ，当1+≤n x n 时，有
[][]
[][]1
1
111111111111++?
?? ?
?
+=?
?
? ??+??? ??
+??
? ??++=??? ??
++n x x
x n
n x x x n
且e n n n x n
x =??? ?
?
+=??? ??+++∞→∞→1
11lim 111lim
根据两边夹定理，则e x
x
x =+
∞
→)11(lim
解2：（利用洛必达法则）
分析：首先可以看出原式是属于∞1形式，所以要利用转换，把原式化为洛必达法则标准形式，但是这里，需要运用到两次转换，过程显得有些繁琐。
?
?? ?
?
+∞
→∞
→=+
x x x x
x e
x
11ln lim )11(lim （第一次转换）
??? ?
?
+∞→=x x x e
11ln lim
先求x
x x x x x 111ln lim 11ln lim ?
?? ?
?
+=??? ?
?+∞→∞→ （第二次转换）
=2
2
1)
11(1lim
x
x
x x +
∞
→
=1)
11(1lim
=+
∞
→x x
综上：原式=e e =1
纵观这两种解法比较，若说篇幅，单是解题过程，两边夹定理要比洛必达法则简便，但是若说难易程度，则洛必达法则要比两边夹定理的应用来的简单易懂些。
五、洛必达法则求极限注意事项小结
诚然，洛必达法则的内容简单，使用方便，但在使用过程中，一但疏忽以下几点，很可能造成运算出错。
（一）洛必达法则条件不可逆
洛必达法则的条件是充分的，但不是必要的。因此，在
0型或
∞
∞型中，)
()(lim
x g x f ''存
在，并不能断言)
()(lim
x g x f 不存在，只是这是不能使用法则，而必须寻找其他合适的解题方
法，以下例子可以明显看出。
例16：求x
x
x x sin lim
-∞
→
分析：根据洛必达法则使用条件，此题属于∞
∞型，此时若使用洛必达法则
则1
cos 1lim
sin lim
x
x
x
x x x -=-∞
→∞→，显而易见极限不存在，但是是否原式的极限也不存
在？答案是否定的，下面我们用其他方法来解此题。 解：
11
sin 1lim
sin lim
=-=-∞
→∞
→x x x
x
x x x
结果为1，所以原式的极限是存在的。所以，法则失效时要寻求别的方法来求极限。
（二）使用洛必达法则时，应及时化简
使用洛必达法则时，应及时化简，主要是指代数、三角函数的变形，经常使用的就有
无穷小量代替法、分离极限不为零的因子、变量代换等……下面通过例子说明[7]
。
例17：3
3
201211lim x
x
e x x x x --
??
? ??
+-→
分析：此题若是直接使用洛必达法则，察其复杂程度，求导定会带来复杂运算，直接使用无
穷小量代换又不知分子如何代换，故可以考虑拆开来看，具体解题过程如下。
解：3
3
3
20
3
3
20
11lim
1
211lim
1211lim
x
x x
e x x x
x
e x x x x x x x ----??
? ??
+-=--
??
? ??
+-→→→
=33
03
20
21
lim 211lim
x
x
x
e x x e x x x x →-→-?
?
?
??-+-
=2
12
1
1lim
32
-
-+
--→x
e
x x x
x
=2
131lim
2
-
++--→x e
x x
x
=3
12
16
12
161lim
-
=-
=
-
--→x
e x
x
上题运用了无穷小量代替法、分离极限不为零的因子、洛必达法则等几种方法，由这题可知，洛必达法则不可贸然使用，必要时应同其他方法结合使用，以化简解题过程。
（三）不定型转换
从上面洛必达法则介绍中可知，使用洛必达法则的只有∞
∞和00，对于其他不定型只有
对其进行转换，变为∞
∞或
00
不定型，才能使用洛必达法则求解。然，转换过程也有一定讲
究。
对∞?0型进行转化时，谁放分子，谁放分母是有讲究的，如下例子说明。 例18：求x
x xe
-+∞
→lim
分析：明显此题是属于∞?0不定型，若如下转换：
=-
-===+∞
→-+∞
→-∞
→2
1lim
1lim
lim x
e x
e
xe
x
x x
x x
x …
极限反倒变复杂了，所以替换应看清如何简便计算，以进行合适的替换。 解：
1lim
lim
lim ===+∞
→+∞
→-+∞
→x
x x
x x
x e
e
x xe
.
以上几点注意只能说明洛必达法则中常出现的几点，但是也不可能涵盖到出现的所有情况完全，在解题过程中，只有根据题目，灵活运用各种所学的知识，才能方便解题，提高解题效率。
参考文献
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使用洛必达法则求极限的几点注意_图文(精)
硬闲洛密达法则求极限的儿点涅枣 口杨黎霞 (江南大学江苏?无锡214122 摘要如果当圹+口或r+*时,两个函数删与,M都趋于零或都趋于无穷大。那么极限l/m葡可能存在,也可能不存在。洛 ‘::, 必达法则是计算此类未定式极限行之有效的方法.然而。对于本科一年级的初学者来讲,若盲目使用此法则.会导致错误。本文就使用该法则解题过程中的几点注意作了分析与探讨。 关键词洛必达法则 极限未定式等价无穷小代换 变量代换 中图分类号:0172 文献标识码:A 在高等数学里.极限是大一新生一开始就要接触而且非常重要的内容。其中有一类未定式的极限不能用“商的极限等于极限的商”这一法则.而要用洛必达法则。洛必达法则内容很简单.使用起来也方便有效。但在具体使用过程中。一旦疏忽了以下几点.解题就可能出错。 首先,只有分子、分母都趋于零或都趋于无穷大时,才能直接使用洛必达法则。 其次,每次使用洛必达法则前都要检验是否满足次法则条件。只要满足此法则条件.就可连续使用此法则.直到求出结果或为无穷大。
例如:t/mx"。:坛,n.垡!;!j:以,n墨王翌::!.≥芝三:…:lira墨}==D(n仨z+ ,-.-e’r_? e’ Jr--JO e‘r_?e。 此题用了n次法则。 再者,使用洛必达法则求极限是应及时化简,主要指代数、三角恒等变形,约去公因子。具有极限不为零的因子分离出来,等价无穷小代换,变量代换等。下面通过例子说明。 土- 例:鲤【(J慨。7I叫】‘=塑【(J+÷eL÷】=纫型±笋=姆 号等力 此题先用了变量代换。当变量x趋于。时.t趋于0.这一点要注意。 例:矗。卑=f溉!堡:型Jim r.zim掣=f讹丝车堑 =lim S,ec气-I=li,n.]+co.sx-一2 本题用了多种方法:提出极限存在但不为零的因子。等价无穷小代换。洛必达法则,三角恒等变形约分等。 (J呵+{,一、/瓦芦 fJ目:lim———生—r_—一若直接使用洛必达法则,其分子
洛必达法则完全证明
洛必达法则完全证明 定理1 00lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==，0'()lim '() x x f x g x →存在或为∞，则00()'()lim =lim ()'()x x x x f x f x g x g x →→ 证明见经典教材。 定理2 lim ()lim ()0x x f x g x →∞→∞==，0'()lim '() x x f x g x →存在或为∞，则00()'()lim =lim ()'()x x x x f x f x g x g x →→ 证明：101lim ()lim ()0t x x t f x f t = →∞→==，1 01lim ()lim ()0t x x t g x g t =→∞→==，由定理1 11 200021111()'()()'()()'()lim =lim lim lim lim 1111()'()()'()()'()t x x t x t t t x f f f f x f x t t t t g x g x g g g t t t t ==→∞→→→→∞-===-。 定理300lim ()lim ()x x x x f x g x →→==∞，0'()lim '() x x f x g x →存在或为∞，则00()'()lim =lim ()'()x x x x f x f x g x g x →→ 证明：001 ()()lim =lim 1 ()() x x x x f x g x g x f x →→，由定理1 0000221'()()()'()()()lim =lim =lim lim(())1'()()()'()()() x x x x x x x x g x f x f x g x g x g x f x g x g x f x f x f x →→→→-=- 1） 设0()lim () x x f x g x →存在且不为0，则 0002()()'()lim lim()lim () ()'()x x x x x x f x f x g x g x g x f x →→→=，00()'()lim lim ()'()x x x x f x f x g x g x →→= 2） 设0 ()lim ()x x f x g x →存在且为0，设0k ≠，则 0()lim()0() x x f x k g x →+≠ 有00()()+()lim()=lim ()() x x x x f x f x kg x k g x g x →→+
论洛必达法则
小论 洛必达法则 姓名： 班级： 学号：
一、引言 洛必达法则是数学分析中用于求未定式或极限的一种较普遍的有效方法，灵活地运用洛必达法则也是我们自身数学解题能力的体现，具有重要的应用价值。而洛必达法则在计算未定式极限中洛必达法则扮演着十分重要的角色。这是因为对于未定式极限来讲其极限是否存在,等于多少是不能用极限的四则运算法则。而通过对分子分母分别求导再求极限的洛必达法则能够很有效的计算出未定式的极限。洛必达法则,是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。求函数极限是高等数学中的一项重要内容，是研究微积分学的工具。在众多求极限方法中，洛必达法则因其使用简单方便又可解决绝大部分极限问题而备受青眯，但如果使用不当也容易产生误区，得出错误结果。 二、概念 1.0 型 洛必达法则1：若函数f (x)与g(x)满足下列条件： （1）在a 的某去心邻域()a U O 可导，且g '(x)≠0； （2）lim x a → f (x)=0与lim x a →g (x)=0； （3）()() ''lim x a f x l g x →=, 则()() lim x a f x g x →=()()''lim x a f x l g x →= 洛必达法则2：若函数f (x)与g(x)满足下列条件： （1）?A>0，在(),A -∞-与(),A +∞可导，且g '(x)≠0； （2）lim x a → f (x)=0与lim x a →g (x)=0； （3）()() ''lim x a f x l g x →= 则()() lim x a f x g x →=()()''lim x a f x l g x →=
浅析洛必达法则求函数极限
本科学年论文论文题目：用洛必达法则求极限的方法 学生姓名：卫瑞娟 学号： 1004970232 专业：数学与应用数学 班级：数学1002班 指导教师：严惠云 完成日期： 2013 年 3月 8 日
用洛必达法则求未定式极限的方法 内容摘要 极限运算是微积分学的基础，在众多求极限方法中，洛必达法则是一种简单而又方便的求极限方法。但在具体使用过程中，一旦疏忽，解题就很可能出错。本文就针对利用此法则求极限的过程及解题过程中常见问题，对洛必达法则求函数极限的条件及范围、应用、何时失效做了整体分析与探讨，并举例说明。除此之外，还介绍了除洛必达法则之外其他求函数极限的方法以及同洛必达法则的比较，最后对洛必达法则进行小结。 关键词：洛必达法则函数极限无穷小量
目录 一、洛必达法则求极限的条件及适用范围 (1) （一）洛必达法则定理 (1) （二）洛必达法则使用条件 (2) 二、洛必达法则的应用 (2) （一）洛必达法则应用于基本不定型 (2) （二）洛必达法则应用于其他不定型 (3) 三、洛必达法则对于实值函数失效问题 (5) （一）使用洛必达法则后极限不存在 (5) （二）使用洛必达法则后函数出现循环 (6) （三）使用洛必达法则后函数越来越复杂 (6) （四）使用洛必达法则中求导出现零点 (6) 四、洛必达法则与其他求极限方法比较 (6) （一）洛必达法则与无穷小量替换求极限法 (7) （二）洛必达法则与利用极限运算和已知极限求极限 (8) （三）洛必达法则与夹逼定理求极限 (9) 五、洛必达法则求极限小结 (10) （一）洛必达法则条件不可逆 (10) （二）使用洛必达法则时及时化简 (11) （三）使用洛必达法则前不定型转化 (11) 参考文献 (13)
第一讲：数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题答案
第一讲：数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题答案 一、单项选择题（每小题4分，共24分） 3． 若()0lim x x f x →=∞，()0 lim x x g x →=∞，则下列正确的是 （ ） A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞??? ? B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞??? ? C ． ()() 01lim 0x x f x g x →=+ D ． ()()0 lim 0x x kf x k →=∞≠ 解： ()()000lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==?∞∞ ∴选D 6．当n →∞时， 1k n 与1k n 为等价无穷小，则k=（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．-2 解：2 211sin lim lim 1,21 1n n k k n n k n n →∞→∞=== 选C 二 、填空题（每小题4分，共24分） 8．2112lim 11x x x →??-= ?--? ? 解：原式()()()112lim 11x x x x →∞-∞+--+ 111lim 12 x x →==+ 10 ．n =
解：原式n ≡有理化 32n ==无穷大分裂法 11．1201arcsin lim sin x x x e x x -→??+= ?? ? 解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0x x x x e e x x -→→≤=∴=又00arcsin lim lim 1x x x x x x →→== 故 原式=1 12．若()220ln 1lim 0sin n x x x x →+= 且0sin lim 01cos n x x x →=-,则正整数n = 解： ()222200ln 1lim lim sin n n x x x x x x x x →→+?= 20420,lim 02 n x n x n x →<>2,4,n n ∴>< 故3n = 三、计算题（每小题8分，共64分） 14．求0 x → 解：原式有理化 0x →0tan (1cos )1lim (1cos )2 x x x x x →-=?- 0tan 111lim lim 222 x x x x x x →∞→=?==
洛必达法则求极限教学
洛必达法则求极限教学 摘要：本文结合教学实际对洛必达法则及其在求未定式极限方面的应用进行了分析，同时还分析了学生易错的洛必达法则求函数极限失效的情况。 关键词：洛必达法则；未定式；极限 求极限是微积分中的一项非常基础和重要的工作。教学中发现对于普通的求极限问题，学生解决起来问题不大，但是对于形如：■，■，∞-∞，0·∞，∞0，1∞，00的7种未定式，学生虽然能联系到洛必达法则，但是经常出错。 一、洛必达法则及应用 （一）洛必达法则 若函数f（x）与函数g（x）满足下列条件： 1. （或∞），（或∞）； 2.f（x）与g（x）在x=a点的某个去心邻域内可导； 3. （或∞）。则 洛必达法则所述极限结果对下述六类极限过程均适用： 。 （二）洛必达法则的应用 1. 基本类型：未定式直接应用法则求极限 解：这是■型未定式。直接运用洛必达法则有 解：这个极限是■型未定式，于是 2. 未定式的其他類型：0·∞、∞-∞、00、∞0、1∞型极限的
求解 除了■型或■这两种未定式外，还可以通过转化，来解其他未定式。 解：这是∞-∞型，设法化为■型： 解：这是1∞未定式 解：这是∞0未定式，经变形得， 故 例6 求 解：这是0·∞型未定式，可变形为，成了■ 型未定式，于是 解：这是00型未定式，由对数恒等式知，xx=exInx，运用例8可得 二、洛必达法则对于实值函数的失效问题 洛必达法则可谓是在求不定式极限中作用最为显赫的一种方法，当然，它也有失效的时候。“失效”的原因则是因为题目本身不满足可以使用洛必达法则的几个条件。所以，在要使用洛必达法则时，要检验该题目是否符合洛必达法则条件，洛必达法则失效的基本原因有以下几种。 （一）使用洛必达法则后，极限不存在（非∞），也就是不符合洛必达法则的条件（3） 例8 计算 解：，而不存在，
洛必达法则
利用导数求解函数问题是近年高考的一个热点，也是学生学习的一个难点，在高三数学复习备考中应引起关注。实施变式教学是探讨该类问题的一种有效方法。教学过程以数学问题为导引创设问题情境激发学生进行学习、探讨，领会不同背境下问题的本质；通过对函数典型问题的探讨求解，使学生形成基本的数学技能，在此基础上实施变式教学，有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律；对新背景的综合问题更应引导学生敢于面对，能够运用已经掌握的数学思想和方法进行分析问题、解决问题，获得“未曾有过”的新认识、新境界，进一步增强求解数学综合题的信心，体会学习数学的乐趣。 在新课程标准的指引下，数学教学方法也在不断改进、创新，而“变式教学”是被广泛运用且公认有效的教学手段。以往人们通常把变式教学划分为概念性变式和过程性变式两类；现在，人们已经把变式教学划分为概念和原理的变式教学、数学技能的变式教学、数学思想方法的变式教学三种类型。对中学教学来说，变式教学最重要的是可以让教师有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变” 的本质中探究“变”的规律，帮助学生使所学的知识点融会贯通，从而让学生在无穷的变化中领略数学的魅力，体会学习数学的乐趣。从高考试题的研究中发现，利用导数求解函数问题是一个热点，值得我们在教学中关注到这一动向，并积极研究、探讨，尤其是函数解决不等式问题的求解学生比较陌生。本文以问题为导引，从回归教材学习中领会概念本质，在求解函数问题的探讨过程中实施教学，促使学生适时地归纳、总结，提炼方法规律，真正感悟解题实质，不断完善数学认知结构。 洛必达法则就是在型和型时，有。
(完整版)洛必达法则巧解高考压轴题
洛必达法则巧解高考压轴题 洛必达法则： 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x a g x →=； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()() lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。 00 型 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a g x →=∞； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()() lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。 ∞∞ 型 注意： ○1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则 也成立。 ○ 2若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 典例剖析 例题1。 求极限 （1）x x x 1ln lim 0 +→ (∞∞型) （2）lim x ?p 2 sin x -1cos x (00型) （3） 20 cos ln lim x x x → (00 型) （4）x x x ln lim +∞→ (∞∞型) 变式练习: 求极限（1）x x x )1ln(lim 0+→ (2)a x a x a x --→sin sin lim (3)x e e x x x sin lim 0-→- (4)22 )2(sin ln lim x x x -→ππ 例题2。 已知函数R m x e x m x f x ∈+-=,)1()(2
用洛必达法则求下列极限
习题 3 2
1 用洛必达法则求下列极限 (1) lim ln(1 x)
x0 x (2) lim e x ex
x0 sin x (3) lim sin x sin a
xa x a (4) lim sin 3x
x tan5x
(5) lim ln sin x x ( 2x)2
2
(6) lim xm am xa x n a n
(7) lim ln tan 7x x0 ln tan 2x
(8) lim tan x x tan 3x
2
1
ln(1 )
(9) lim
x
x arc cot x
(10) lim ln(1 x2 ) x0 sec x cos x
(11) lim x cot 2x
x0
1
(12) lim x 2e x2 x0
(13) lim x 1
2 x2 1
1 x 1
(14) lim (1 a ) x x x
(15) lim xsin x x0
(16) lim ( 1 )tan x
x0 x
1
解 (1) lim ln(1 x) lim 1 x lim 1 1
x0 x
x0 1
x0 1 x
(2) lim e x ex lim e x ex 2 x0 sin x x0 cos x
(3) lim sin x sin a lim cos x cos a
xa x a
xa 1
(4) lim sin 3x lim 3cos 3x 3 x tan 5x x 5sec2 5x 5
(5) lim ln sin x lim
cot x
1 lim csc2 x 1
x ( 2x)2 x 2( 2x) (2) 4 x 2
8
2
2
2
(6) lim x m a m lim mxm1 mxm1 m a mn xa x n a n xa nx n1 na n1 n
(7) lim
ln tan 7x
lim
1 tan 7x
sec2
7x 7
7
lim
tan 2x 7
lim
sec2 2x 2 1
x0 ln tan 2x x0 1 sec2 2x 2 2 x0 tan 7x 2 x0 sec2 7x 7
tan 2x
(8) lim tan x lim sec2 x 1 lim cos2 3x 1 lim 2 cos 3x( sin 3x) 3
x tan 3x x sec2 3x 3 3 x cos2 x 3 x 2 cos x( sin x)
2
2
2
2
lim cos 3x lim 3sin 3x 3
x cos x
x sin x
2
2
1 ( 1 )
ln(1 1 )
1 1
(9) lim
x lim x
x2 lim 1 x2 lim 2x lim 2 1
x arc cot x x
1
x x x 2 x 1 2x x 2
1 x2
(10) lim ln(1 x2 ) lim cos x ln(1 x2 ) lim x2 (注
x0 sec x cos x x0 1 cos2 x
x0 1 cos2 x
lim
2x
lim x 1
x0 2 cos x( sin x) x0 sin x
cosx ln(1 x2)~x2)
(11) lim x cot 2x lim x lim 1 1
x 0
x0 tan 2x x0 sec2 2x 2 2
(12)
1
1
lim x 2e x2
e x2 lim
lim
et
lim
et
x0
x0 1 t t t 1
x2
(注
当 x0 时
用洛必达法则求下列极限
1 用洛必达法则求下列极限 (1) lim ln(1 x)
x0 x (2) lim e x ex
x0 sin x (3) lim sin x sin a
xa x a (4) lim sin 3x
x tan5x
(5) lim ln sin x x ( 2x)2
2
(6) lim xm am xa x n a n
(7) lim ln tan 7x x0 ln tan 2x
(8) lim tan x
x
tan 3x
2
ln(1 1 )
(9) lim
x
x arc cot x
(10) lim ln(1 x2 ) x0 sec x cos x
(11) lim x cot 2x
x0
1
(12) lim x 2e x2 x0
(13) lim x 1
2 x2 1
1 x 1
(14) lim (1 a ) x x x
(15) lim xsin x x0
(16) lim ( 1 )tan x
x0 x
1
解 (1) lim ln(1 x) lim 1 x lim 1 1
x0 x
x0 1
x0 1 x
(2) lim e x ex lim e x ex 2 x0 sin x x0 cos x
(3) lim sin x sin a lim cos x cos a
xa x a
xa 1
(4) lim sin 3x lim 3cos 3x 3 x tan 5x x 5sec2 5x 5
(5) lim ln sin x lim
cot x
1 lim csc2 x 1
x ( 2x)2 x 2( 2x) (2) 4 x 2
8
2
2
2
(6) lim x m a m lim mxm1 mxm1 m a mn xa x n a n xa nx n1 na n1 n
(7) lim
ln tan 7x
lim
1 tan 7x
sec2
7x 7
7
lim
tan 2x 7
lim
sec2 2x 2 1
x0 ln tan 2x x0 1 sec2 2x 2 2 x0 tan 7x 2 x0 sec2 7x 7
tan 2x
(8) lim tan x lim sec2 x 1 lim cos2 3x 1 lim 2 cos 3x( sin 3x) 3
x tan 3x x sec2 3x 3 3 x cos2 x 3 x 2 cos x( sin x)
2
2
2
2
lim cos 3x lim 3sin 3x 3
x cos x
x sin x
2
2
1 ( 1 )
ln(1 1 )
1 1
(9) lim
x lim x
x2 lim 1 x2 lim 2x lim 2 1
x arc cot x x
1
x x x 2 x 1 2x x 2
1 x2
(10) lim ln(1 x2 ) lim cos x ln(1 x2 ) lim x2 (注
x0 sec x cos x x0 1 cos2 x
x0 1 cos2 x
lim
2x
lim x 1
x0 2 cos x( sin x) x0 sin x
cosx ln(1 x2)~x2)
(11) lim x cot 2x lim x lim 1 1
x 0
x0 tan 2x x0 sec2 2x 2 2
(12)
1
1
lim x 2e x2
e x2 lim
lim
et
lim
et
x0
x0 1 t t t 1
x2
(注
当 x0 时
洛必达法则泰勒公式
洛必达法则泰勒公式 一、洛必达法则在第一章第七节中我们曾经讨论过无穷小的比较问题，并且已经知道两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，既使它存在也不能用商的极限运算法则去求解．而由无穷大与无穷小的关系知，无穷大之比的极限问题也是如此．在数学上，通常把无穷小之比的极限和无穷大之比的极限称为未定式，并分别简记为和．由于在讨论上述未定式的极限时，不能应用商的极限运算法则，这或多或少地都会给未定式极限的讨论带来一定的困难．今天在这里我们应用导数的理论推出一种既简便又重要的未定式极限的计算方法，并着重讨论当时，型未定式极限的计算，关于这种情形有以下定理．定理1设(1) 当时，函数及都趋于零；(2)在点的某去心邻域内，及都存在，且；(3)存在(或为无穷大)，则．也就是说，当存在时，也存在，且等于；当为无穷大时，也是无穷大．这种在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式极限的方法称为洛必达(L’Hospital)法则．下面我们给出定理1的严格证明：分析由于上述定理的结论是把函数的问题转化为其导数的问题，显然应考虑微分中值定理．再由分子和分母是两个不同的函数，因此应考虑应用柯西中值定理．证因为求极限与及的取值无关，所以可以假定．于是由条件(1)和(2)知，及在点的某一邻域内是连续的．设是这邻域内一点，则在以及为端点的区间上，函数和满
足柯西中值定理的条件，因此在和之间至少存在一点，使得等式(在与之间)成立．对上式两端求时的极限，注意到时，则．又因为极限存在(或为无穷大)，所以．故定理1成立．注若仍为型未定式，且此时和能满足定理1中和所要满足的条件，则可以继续使用洛必达法则先确定，从而确定和，即．且这种情况可以继续依此类推．例1求．分析当时，分子分母的极限皆为零，故属于型不定式，可考虑应用洛必达法则．解、注最后一个求极限的函数在处是连续的．例2求．解、注例２中我们连续应用了两次洛必达法则．例3求．解、例4求、解、注(1) 在例4中，如果我们不提出分母中的非零因子，则在应用洛必达法则时需要计算导数，从而使运算复杂化．因此，在应用洛必达法则求极限时，特别要注意通过提取因子，作等价无穷小代换，利用两个重要极限的结果等方法，使运算尽可能地得到简化．课后请同学们自己学习教材136页上的例10 ．(2) 例４中的极限已不是未定式，不能对它应用洛必达法则，否则要导致错误的结果．以后在应用洛必达法则时应特别注意，不是未定式，不能应用洛必达法则．对于时的未定式有以下定理．定理2设(1)当时，函数及都趋于零；(2) 当时，与都存在，且；(3)存在(或为无穷大)，则．同样地,对于(或)时的未定式，也有相应的洛必达法则．定理3设(1)当(或)时，函数及都趋于无穷大；(2)在点的某去心邻域内(或当时)，及都存在，且；(3)存在(或为无穷大)，则．例5求、解、
洛必达法则
1 洛必达法则 一．洛必达法则 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x a g x →=； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()() lim x a f x l g x →'='， 那么 () ()lim x a f x g x →=()() lim x a f x l g x →'='。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞= 及()lim 0x g x →∞=； (2)0A ?，f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且g '(x)≠0； (3)()() lim x f x l g x →∞'='， 那么 () ()lim x f x g x →∞=()() lim x f x l g x →∞'='。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a g x →=∞； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()() lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()() lim x a f x l g x →'='。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○ 1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也 成立。 ○ 2洛必达法则可处理00，∞∞ ，0?∞，1∞，0∞，00，∞-∞型。 ○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0?∞，1∞，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 ○ 4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 二．高考题处理 1．设函数2()1x f x e x ax =---。
考研数学：极限计算法则——洛必达法则
考研数学：极限计算法则——洛必达法则 洛必达法则是计算极限最常用的方法之一，也是历年考研数学的一个高频考点，不仅能算出具体函数的极限，对于抽象函数求极限也同样适用。在大学阶段，同学们最喜欢一洛到底，但是洛必达法则也是有底线的，并不是所有的极限都能用洛必达求出来，接下来就介绍一下洛必达法则，正确认识洛必达，才可以理解其定理及科学有效地使用，吃透定理后进而找到它们的解题思路，才不至于在做这一题型时感到无从下手。 一、关于洛必达法则 洛必达法则有两类，分别是x a →和x →∞，现归为一种情况x → 进行介绍，定理如下:设(),)f x g x （满足ⅰ）()0lim ()0x f x g x →= 或∞∞ⅱ）(),)f x g x （在 的某去心邻域内可导且()0 g x '≠ⅲ）()lim () x f x g x →'' 存在或为∞则有()()lim lim .()()x x f x f x g x g x →→'=' 关于该法则需要注意的有两点： ①在使用洛必达法则时一定要注意检验条件，三个条件缺一不可，否则很容易得到错误的结果；②使用洛必达法则之前一定先对极限式化简（等替或者四则运算的函数分解）. 二、下面分别对每个条件进行分析：对于条件一，只需保证极限是00或∞∞ 的分式形式；对于条件二，需保证可导性，当已知极限式中的函数存在n 阶导数时，只能使用洛必达法则至出现1n -阶导数（如至n 阶，不能保证连续性），最后一步一般凑导数的定义；当已知极限式中的函数存在n 阶连续导数时，可以使用洛必达法则至出现n 阶导数。
例：已知 ()f x 二阶可导，求20))2)lim .h f x h f x h f x h →++--（（（解：2 00000))2) lim ))lim 2)()())lim 21)()1)()lim lim 22(). h h h h h f x h f x h f x h f x h f x h h f x h f x f x f x h h f x h f x f x h f x h h f x →→→→→++--''+--=''+-+--=''+---=+-''=（（（（（（（（（分析：二阶可导，可洛至一阶，之后凑二阶导数定义； 若该题中，已知 ()f x 二阶连续可导，解题过程如下;解：2 000))2) lim ))lim 2))lim 2 (). h h h f x h f x h f x h f x h f x h h f x h f x h f x →→→++--''+--=''''++-=''=（（（（（（（对于条件三，需保证求导之后的极限必须存在或为∞（后者情况较少），即当()lim ()x f x A g x →'=' 或∞时，方可使用洛必达。易错点如下：()lim ()x f x g x →'' 不存在，不能()lim () x f x g x →? 不存在；()lim x f x → 存在，不能()lim x f x →'?' 存在；正确说法为：()lim ()x f x g x → 存在()lim .()x f x g x →'?≠∞'
洛必达法则解决高考导数问题
洛必达法则简介： 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x a g x →=； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)() () lim x a f x l g x →'='， 那么 ()() lim x a f x g x →=() () lim x a f x l g x →'='。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞ = 及()lim 0x g x →∞ =； (2)0A ?，f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且g '(x)≠0； (3)() () lim x f x l g x →∞ '='， 那么 () ()lim x f x g x →∞=() () lim x f x l g x →∞'='。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a g x →=∞； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)() () lim x a f x l g x →'='， 那么 ()() lim x a f x g x →=() () lim x a f x l g x →'='。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a + →，x a - → 洛必达法则也 成立。 ○ 2洛必达法则可处理00，∞∞ ，0?∞，1∞ ，0∞，00，∞-∞型。 ○ 3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞ ，0?∞，1∞ ，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 ○ 4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 二．高考题处理 1.(2010年全国新课标理)设函数2 ()1x f x e x ax =---。 (1) 若0a =，求()f x 的单调区间； (2) 若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围
洛必达法则解决问题
洛必达法则解决问题 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-
洛必达法则简介： 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x a g x →=； (2)在点a 的去心内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()() lim x a f x l g x →'='， 那么 () ()lim x a f x g x →=()() lim x a f x l g x →'='。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞= 及()lim 0x g x →∞=； (2)0A ?，f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且g '(x)≠0； (3)()()lim x f x l g x →∞'='， 那么 ()()lim x f x g x →∞=()() lim x f x l g x →∞'='。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a g x →=∞； (2)在点a 的去心内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()()lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()() lim x a f x l g x →'='。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○ 1将上面公式中的x→a ，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a - →洛必达法则也成立。 ○2洛必达法则可处理00，∞∞ ，0?∞，1∞，0∞，00，∞-∞型。 ○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0?∞，1∞，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 ○ 4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
用洛必达法则求下列极限(学习资料)
习题3-2 1. 用洛必达法则求下列极限: (1)x x x ) 1ln(lim 0+→; (2)x e e x x x sin lim 0-→-; (3)a x a x a x --→sin sin lim ; (4)x x x 5tan 3sin lim π →; (5)2 2 )2(sin ln lim x x x -→ ππ ; (6)n n m m a x a x a x --→lim ; (7)x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→; (8)x x x 3tan tan lim 2 π → ; (9)x arc x x cot ) 11ln(lim ++∞→; (10)x x x x cos sec ) 1ln(lim 20-+→; (11)x x x 2cot lim 0 →; (12)2 1 2 lim x x e x →; (13)?? ? ??---→1112lim 21x x x ; (14)x x x a )1(lim +∞→; (15)x x x sin 0 lim +→;
(16)x x x tan 0)1 (lim +→. 解 (1)111 lim 111 lim )1ln(lim 000=+=+=+→→→x x x x x x x . (2)2cos lim sin lim 00=+=--→-→x e e x e e x x x x x x . (3)a x a x a x a x a x cos 1cos lim sin sin lim ==--→→. (4)5 3 5sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim 2- ==→→x x x x x x ππ. (5)81 2csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22 2 22 -=---=-?-=-→ →→x x x x x x x x πππππ. (6)n m n m n m a x n n m m a x a n m na mx nx mx a x a x -----→→= = =--1 11 1lim lim . (7)177sec 22sec lim 277tan 2tan lim 272 2sec 2tan 17 7sec 7tan 1 lim 2tan ln 7tan ln lim 22002200=??==????=+→+→+→+→x x x x x x x x x x x x x x . (8))sin (cos 23 )3sin (3cos 2lim 31cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim 2 222 222 2 x x x x x x x x x x x x x x -?-==?=→ →→→ππππ 3sin 3sin 3lim cos 3cos lim 2 2 =---=-=→ → x x x x x x ππ . (9)122lim 212lim 1lim 11 )1 (111 lim cot arc )11ln(lim 222 2==+=++=+- ?+ =++∞→+∞→+∞→+∞→+∞→x x x x x x x x x x x x x x x . (10)x x x x x x x x x x x 22 022020cos 1lim cos 1)1ln(cos lim cos sec )1ln(lim -=-+=-+→→→(注: cos x ?ln(1+x 2)~x 2) 1sin lim )sin (cos 22lim 00==--=→→x x x x x x x . (11)2 1 22sec 1lim 2tan lim 2cot lim 2000 = ?==→→→x x x x x x x x .
(完整版)洛必达法则详述与其在高考中的实际运用
一．L ’Hospital 法则（洛必达法则） 法则1 设函数 f x ()和 g x ()在点a 的某个去心邻域o U a ,d ()内有定义，且满足： (1) lim x ?a f x ()=0 及lim x ?a g x () =0； (2) f x ()和 g x ()在 o U a ,d ()内可导，且￠g x ()10； (3) lim x ?a ￠f x ()￠g x () =A （A 为常数，或为∞） 则有 () ()lim x a f x g x →=lim x ?a ￠f x ()￠g x () =A 。 法则2 设函数 f x ()和 g x ()在点a 的某个去心邻域o U a ,d ()内有定义，且满足： (1)()lim x a g x →=∞； (2) f x ()和 g x ()在o U a ,d ()内可导,且￠g x ()10； (3) lim x ?a ￠f x ()￠g x () =A （A 为常数，或为∞） 则有 () ()lim x a f x g x →=lim x ?a ￠f x ()￠g x () =A 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x ?+ a ，x ?-a 洛必达法则也成立。 2.洛必达法则可处理 00，∞∞ ，0?∞，1∞，0 ∞，00，∞-∞型。 3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞ ，0?∞，1∞，0 ∞，00，∞-∞型 定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
浅析洛必达法则求函数极限
用洛必达法则求未定式极限的方法 一、 洛必达法则求函数极限的条件及适用范围 （一）洛必达法则定理 定理1[1] 若函数)(x f 与函数)(x g 满足下列条件： （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）0)(lim 0=+→x f a x 0)(lim 0 =+→x g a x （3）A x g x f a x =+→) (')('lim 0 则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形） 定理2 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件 （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）∞=+→)(lim 0x f a x ∞=+→)(lim 0 x g a x （3）A x g x f a x =+→) (')('lim 0 则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形） 此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用： -∞→+∞→∞→→→→-+x x x x x x x x x ,,,,,000。 定理证明：作辅助函数 ???=+∈=a x a a x x f x F 当当, 0),,(),()(δ ? ??=+∈=a x a a x x g x G 当当,0),,(),()(δ
于是函数F(x)及G(x)在[δ+a a ,）连续，在()δ+a a ,可导，并且.0)(' ≠x G 今对()δ+a a ,内任意一点x ，利用柯西中值定理得 ).,(,) (')(')()()()()()(000x a x x G x F a G x G a F x F x G x F ∈=--= 由)()(x G x F 及的定义，上式即 )(')(')()(00x g x f x g x f = 所以当0+→a x 时（这时显然有00+→a x ），对上式两端取极限，即 A x g x f x g x f a x a x ==+→+→) (')('lim )()(lim 0000 证毕。 关于定理二的证明方法也同定理1类似，这里就不点出。当然，还有其他不同的证明方法。 （二）洛必达法则使用条件 只有在分子、分母同时趋于零或者同时趋于无穷大时，才能使用洛必达法则。 连续多次使用法则时，每次都要检查是否满足定理条件，只有未定式方可使用，若是检查结果满足法则使用条件，才可连续使用洛必达法则，直到求出函数极限或者为无穷大，否则就会得出错误的结果，下面举个例子来说明。 例1：求x x x x x sin sin lim +-∞→ 分析：根据洛必达法则使用条件，此式为∞ ∞型，所以可以使用洛必达法则，但是x x x x x x x x cos 1cos 1lim sin sin lim +-=+-∞→∞→，结果所得非不定式，所以只能使用一次洛必达法则，而不能再进行第二次。 解：1)sin sin (lim cos 1cos 1lim sin sin lim -=-=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x