指数函数的定义域及值域
指数型函数的定义域及值域
环节一、学习目标
1、会判断指数型复合函数的单调性；
2、利用指数函数的有关性质解决指数型函数有关定义域、值域等问题 环节二、自主学习
指数函数(0x y a a =>且1)a ≠的定义域是 ，值域是 。 环节三、合作交流
例1、 求下列函数的定义域：
（1）x y -=32 （2）x y 1
7.0= （3）y =
思考：求函数()f x =
例2、 求在[1,2)上，
()2x f x =和1()()2x
g x =的值域？
变式1: 在上，],[n m )1,0()(≠>=a a a x f x 且的值域？
例3、 讨论函数221()()3
x x f x -=的单调性。
例4、 求函数2231()()2
x x f x -+=的值域
变式：求函数2231()(),[0,3]2
x x f x x -+=∈的值域
例5、 已知函数2()3232,[1,2],x x f x x =-?+∈求该函数的值域
思考：解关于x 方程4220x x +-=
环节四、课堂检测：
1、函数311()2
x y -=的定义域 ，y =的定义域 。 2、函数1()2x f x +=在区间3[1,]2
的最小值是 ，最大值是 。 3、函数2221()()3
x x f x -+-=的值域为 。
求函数的定义域和值域的方法
解：求函数的定义域的常用方法 函数的定义域是高考的必考内容，高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的，具有隐蔽性，所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。 一，已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式（不注明定义域），其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域），这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是：（1）分式的分母不为零，（2）偶次根式的被开方数为非负数，（3）零次幂的底数不为零，（4）对数的真数大于零，（5）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1，（6）三角函数中的正切函数y=tanx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ ， k ∈z ｝和余切函数y=cotx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠k π，k ∈z ｝等。 例题一 求下列函数的定义域： （1） y=2）0+㏒（x —2）x 2 （2） 解：（1）欲使函数有意义，须满足 2≠0 x —1≥0 x —2＞0 解得：x ＞2 且 x ≠3 ，x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为（2，3）∪（3，5）∪（5，+∞） x ≠0 （2） 由已知须满足 tanx ﹥0 解得： k π ﹤x ﹤2 k π π+ （k ∈z ） x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为（-π，2 π - ）∪（0， 2 π ）∪（π，4） 二，复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域，依次求，直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例题二（1）已知函数f （x ）的定义域为〔-2，2〕，求函数y=f （x 2-1）的定义域。 （2）已知函数y=f （2x+4）的定义域为〔0，1〕，求函数f （x ）的定义域。 （3）已知函数f （x ）的定义域为〔-1，2〕，求函数y=f （x+1）—f （x 2-1）的定义域。 （4）已知函数y=f （tan2x ）的定义域为〔0， 8 π 〕，求函数f （x ）的定义域。 分析：（1）是已知f （x ）的定义域，求f 〔g （x ）〕的定义域。其解法是：已知f
定义域及值域类型总结(全,含答案)
◎求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1； （5）*三角函数中的正切x y tan =的定义域为? ?? ??? ∈+ ≠Z k k x x ，2 π π； （6）已知函数()x f 的定义域为D ，求函数()[]x g f 的定义域，只需()D x g ∈； （7）已知函数()[]x g f 的定义域D ，求()x f 的定义域，只需(){}x g y y x =∈，即求()x g 的值域。 （8）已知函数()[]x g f 的定义域D ，求()[]x t f 的定义域，只需()1D x g D x ∈?∈，()21D x D x t ∈?∈?。 （9）已知函数()x f 或()[]x g f 的定义域D ，求()[]x t f 与别的函数的复合函数的定义域，按（6）、（7）的方法求()[]x t f 的定义域，再与别的函数定义域的交集。 （10）已知()x f 的解析式，求()[]x f f 的定义域，先求出()x f 的定义域D ，让()D x f ∈，求出x 的范围。 如果()x f 的定义域是D x ≠，则让()D x f ≠求出1D x ≠，最终D x ≠且1D x ≠。 例：求下列函数的定义域 1、)2-lg(=2x x y 2>0 授课类型 T-指数函数 C-函数的值域与最值 T-指数函数 教学目的 1、掌握指数函数的概念和指数运算的性质 2、掌握指数函数的图像和性质，并能够根据指数函数的性质解决一些变形的指数函数的问题；利用指数函数建议数学模型解决实际问题。 3、掌握函数值域与最值的解法 教学内容 1．一张白纸对折一次得两层，对折两次得4层，对折3次得8层，问若对折x 次所得层数为y ，则y 与x 的函数表达式是：2x y =. 2．一根1米长的绳子从中间剪一次剩下 12米，再从中间剪一次剩下1 4 米，若这条绳子剪x 次剩下y 米，则y 与x 的函数表达式是：12x y ?? = ??? . 问题：这两个函数有何特点? 同步讲解 一、指数函数的概念 一般地，函数x y a =()01a a >≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 注意：为何规定0a >，且1a ≠? 你知道么？ 图象 性质 ①定义域：R ②值域：（0,+∞） ③过点（0,1）,即x =0时y =1 ④在R 上是增函数,当x ＜0时,0＜y ＜1; 当x ＞0时,y ＞1 ④在R 上是减函数,当x ＜0时,y ＞1; 当x ＞0时,0＜y ＜1 利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小. （1）3 2和 1.7 2； （2）23 0.6 - 和34 0.6 - . 【分析与解答】（1）因为指数2x y =函数在(),-∞+∞上是增函数，又3 1.7>，所以3 1.72 2>. （2）因为指数函数0.6x y =在(),-∞+∞上是减函数，又2334 ->-，所以23 3 40.60.6-->. 求下列函数的定义域与值域。 （1）1 4 2 x y -= （2）23x y -?? = ? ?? （3）1 42 1x x y +=++ 【分析与解答】根据指数函数的定义域为R ，逐个分析。 【解】（1）由404x x -≠?≠ 所以定义域为}{ ,4x x R x ∈≠且 1 41 0214 x x -≠∴≠-Q 所以值域为{} 0,1y y y >≠ （2）定义域为R 。 2331322x x x y --≥?????? ∴==≥= ? ? ??? ?? ?? Q 故值域为{} 1y y ≥ 函数值域定义域值域练 习题 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 一．选择题（共18小题） 1．（2007?河东区一模）若函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=的定义域为B，则使A∩B=的实数a的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．[﹣1，3]C．（﹣2，4）D．[﹣2，4] 2．若函数f（x）的定义域是[﹣1，1]，则函数f（x+1）的定义域是（）A．[﹣1，1]B．[0，2]C．[﹣2，0]D．[0，1] 3．（2010?重庆）函数的值域是（） A．[0，+∞）B．[0，4]C．[0，4）D．（0，4）4．（2009?河东区二模）函数的值域是（） A．（0，+∞）B．C．（0，2）D．（0，）5．已知函数y=x2+4x+5，x∈[﹣3，3）时的值域为（） A．（2，26）B．[1，26）C．（1，26）D．（1，26] 6．函数y=在区间[3，4]上的值域是（） A．[1，2]B．[3，4]C．[2，3]D．[1，6] 7．函数f（x）=2+3x2﹣x3在区间[﹣2，2]上的值域为（） A．[2，22]B．[6，22]C．[0，20]D．[6，24] 8．函数的值域是（） A．{y|y∈R且y≠1} B．{y|﹣4≤y＜1} C．{y|y≠﹣4且y≠1} D．R 9．函数y=x2﹣2x（﹣1＜x＜2）的值域是（） A．[0，3]B．[1，3]C．[﹣1，0]D．[﹣1，3）10．函数的值域为（） A．[2，+∞）B．C．D．（0，2] 11．函数的值域为（） A．[4，+∞）B．（﹣∞，4]C．（0，+∞）D．（0，4] 12．函数的定义域为（） A．[3，5）B．（﹣5，3]C．[3，5）∪（5，+∞）D．[3，+∞） 13．已知函数f（x）的定义域为（0，1），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D． 14．已知，则f（x）的定义域是（） A．[﹣2，2]B．[0，2]C．[0，1）∪（1，2]D． 15．函数f（x）=（x﹣）0+的定义域为（） D．（，+∞）A．（﹣2，）B．（﹣2，+∞）C．（﹣2，）∪（， +∞） 16．定义域为R的函数y=f（x）的值域为[a，b]，则函数y=f（x+a）的值域为（）A．[2a，a+b]B．[a，b]C．[0，b﹣a]D．[﹣a，a+b] 17．函数的值域是（） A．[1，2]B．[0，2]C．[﹣，﹣1]D．[﹣，1] 18．已知y=4x﹣3?2x+3的值域为[1，7]，则x的取值范围是（） A．[2，4]B．（﹣∞，0）C．（0，1）∪[2，4]D．（﹣∞，0]∪[1，2]二．填空题（共11小题） 19．（2013?安徽）函数y=ln（1+）+的定义域为_________．20．（2012?四川）函数的定义域是_________．（用区间表示）21．求定义域：． 22．若函数f（x）=x2﹣2ax+b（a＞1）的定义域与值域都是[1，a]，则实数b= _________． 23．函数y=的值域是_________． 24．函数的值域为_________． 25．函数的值域为_________． <一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是： （1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。 （2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 （1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。 （2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 （一）求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 （1）常见要是满足有意义的情况简总： ①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0； ②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。 ③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1） ⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1. （2 ()log (1)x f x x =-） 注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。 （2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形 2014年07月21日1051948749的高中数学组卷 2014年07月21日1051948749的高中数学组卷 一．选择题（共18小题） 1．（2007?河东区一模）若函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=的定义域为B，则 3．（2010?重庆）函数的值域是（） 4．（2009?河东区二模）函数的值域是（） C） 2 6．函数y=在区间[3，4]上的值域是（） 23 8．函数的值域是（） 2 10．函数的值域为（） C D 11．函数的值域为（） 12．函数的定义域为（） C．14．已知，则f（x）的定义域是（） 15．函数f（x）=（x﹣）0+的定义域为（） ，）∪， 17．函数的值域是（） ，﹣﹣x x 二．填空题（共11小题） 19．（2013?安徽）函数y=ln（1+）+的定义域为_________． 20．（2012?四川）函数的定义域是_________．（用区间表示） 21．求定义域：． 22．若函数f（x）=x2﹣2ax+b（a＞1）的定义域与值域都是[1，a]，则实数b=_________． 23．函数y=的值域是_________． 24．函数的值域为_________． 25．函数的值域为_________． 26．函数的最大值为_________． 27．函数y=x2+2x﹣1，x∈[﹣3，2]的值域是_________．28．函数y=10﹣的值域是_________． 29．函数的值域是_________． 三．解答题（共1小题） 30．（1977?河北）求函数的定义域． 2014年07月21日1051948749的高中数学组卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共18小题） 1．（2007?河东区一模）若函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=的定义域为B，则 ，则，即 3．（2010?重庆）函数的值域是（） 一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为. 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。 五．最值法 课时 4 指数函数 一. 指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果x n a, a R, x R, n 1，且 n N ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号n a 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号n a 表示，负的 n 次方根用符号n a 表示；0的 n 次方根是0；负数 a 没有 n 次方根． ②式子n a叫做根式，这里n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为任意实数；当n 为偶数时，a 0 ． ③根式的性质： ( n a )n a ；当 n 为奇数时，n a n a ；当n为偶数时，n a n | a | a (a 0) ． a (a 0) （ 2）分数指数幂的概念 m n a m ( a ①正数的正分数指数幂的意义是： a n 0, m, n N , 且 n 1) ．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分 m m n (1 )m( a 数指数幂的意义是： a n (1) n 0, m,n N , 且 n 1) ．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀： a a 底数取倒数，指数取相反数． （ 3）分数指数幂的运算性质 ① a r a s a r s (a 0, r , s R) ② (a r ) s a rs (a 0, r , s R) ③ (ab)r a r b r (a 0, b 0, r R) 二.指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称 定义 y 图象 y 1 指数函数 函数 y a x (a 0 且 a1) 叫做指数函数y a x y a x y y1(0,1) (0,1) 定义域 值域过定点奇偶性单调性函数值的变化情况 O x O x （ 0,+ ∞） 图象过定点（0,1 ），即当 x=0 时， y=1． 非奇非偶 在 R 上是增函数在 R 上是减函数 y＞1(x ＞ 0),y=1(x=0),0 ＜y＜1(x ＜ ＜0),y=1(x=0),0 ＜y＜1(x ＞0) 0) y＞1(x 第四课时 指数函数的定义域与值域以及单调性 主备人 张岳超 校对 年级主任 孙重社 备课组长 张建民 课题 指数函数的定义域与值域以及单调性 课时 考纲要求 掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性；培养学生数学应用意识. 学习重点 掌握指数函数的性质及应用. 学习难点 理解指数函数的简单应用模型． 填空 1.形如)(x f a y =的函数的定义域是使)(x f 有意义的x 的集合. 2.形如) (x f a y =的值域都是先求出)(x f 的值域，再有单调性得出) (x f a y =的值域，若 1,0≠>a a 且，要对a 进行分类讨论. 例1 求函数1 1 5 -=x y 的值域 解： 01 1 ≠-x .1511 ≠∴-x ， }{ 10≠>∴y y y 且值域为. 练习： 求下列函数的值域 （1）x x y 22)31(-= （2）1 21 2+-=x x y （3）x x y 422 --= （4）1329-?+=x x y （5）x y -=3) 3 1( 指数函数单调性的应用 一、 幂的大小比较 （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； 例1 14 .33 3与π 解：构造函数x y 3= ∴>=,13a x y 3=在），（∞+∞-上是增函数 14.33314.3>∴>ππ 练习： 比较4 3 41 -)3 2(32-与）（的大小 （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断. 例2 5 .05.035.0与）（的大小 x a y = 在y 轴右侧，底大图高，所以5.05.035.0< 练2：比较41 -41 -55 1与）（的大小 （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较 例3 比较的大小与5 .06.06.05.0 解：因为上是减函数，在R y x 5.0=所以5.06 .05.05.0<.又因为x a y = 在y 轴右侧，底大 图高，所以5.06 .06.05 .0< 练3：比较3 .01 .09 .04.1与的大小 （4）对于三个（或三个以上）的幂的大小比较，则应先根据值的大小进行分组，再比较各组数的大小即可. 例4 比较21 332314 332-234），（），（，）（的大小. 一．选择题（共18 小题） 1．（ 2007?河东区一模）若函数 f（x）= 的定义域为 A，函数 g（ x）= 的定义域为 B，则使 A∩B=?的实数 a 的取值范围是（） A ．（﹣1，3）B．[ ﹣1， 3] C．（﹣ 2， 4）D．[ ﹣2， 4] 2．若函数 f （x）的定义域是 [﹣1，1]，则函数 f（x+1）的定义域是（） A ．[ ﹣1， 1] B ．[ 0，2] C．[﹣2，0] D ．[ 0，1] 3．（ 2010?重庆）函数的值域是（） A ．[ 0，+∞） B ．[ 0，4] C．[0，4）D．（0，4） 4．（ 2009?河东区二模）函数的值域是（） A ．（ 0， +∞） B ．C．（0， 2）D．（0，）5．已知函数 y=x2+4x+5，x∈[﹣3，3）时的值域为（） A ．（ 2， 26） B ．[ 1，26）C．（1， 26） D ．（ 1， 26] 6．函数 y= 在区间 [3，4]上的值域是（） A ．[ 1，2] B ．[ 3，4] C．[2，3] ） D ．[ 1，6] ．函数2﹣x3在区间 [﹣2，2]上的值域为（ 7 f（ x）=2+3x A ．[ 2，22] B ．[ 6，22] C． [0， 20] D ．[ 6，24] 8．函数的值域是（） A ．{ y|y∈R 且 y≠1} B ．{ y|﹣ 4≤y＜ 1} C． { y|y≠﹣ 4 且 y≠1} D ．R 9．函数 y=x2﹣2x（﹣ 1＜x＜2）的值域是（） A ．[ 0，3] B ．[ 1，3] C．[﹣1，0] D．[ ﹣1， 3）10．函数的值域为（） A ．[ 2，+∞） B ．C．D．（0，2] 11．函数的值域为（） A ．[ 4，+∞）B．（﹣∞，4] C．（0， +∞）D．（0，4] 12．函数的定义域为（） A ．[ 3，5） B ．（﹣ 5， 3]C． [3， 5）∪（ 5，+∞） D ．[ 3，+∞）13．已知函数 f（x）的定义域为（ 0， 1），则函数 f（2x+1）的定义域为（） 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为 . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。 授课类型 T-指数函数 C-函数的值域与最值 T-指数函数 教学目的 1、掌握指数函数的概念和指数运算的性质 2、掌握指数函数的图像和性质，并能够根据指数函数的性质解决一些变形的指数函数的问题；利用指数函数建议数学模型解决实际问题。 3、掌握函数值域与最值的解法 教学内容 1．一张白纸对折一次得两层，对折两次得4层，对折3次得8层，问若对折x 次所得层数为y ，则y 与x 的函数表达式是：2x y =. 2．一根1米长的绳子从中间剪一次剩下 12米，再从中间剪一次剩下1 4 米，若这条绳子剪x 次剩下y 米，则y 与x 的函数表达式是：12x y ?? = ??? . 问题：这两个函数有何特点? 同步讲解 一、指数函数的概念 你知道么？ 一般地,指数函数y=a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示： a＞1 0＜a＜1 图象 性质 ①定义域：R ②值域：（0,+∞） ③过点（0,1）,即x=0时y=1 ④在R上是增函数,当x＜0时,0＜y＜1;当 x＞0时,y＞1 ④在R上是减函数,当x＜0时,y＞1;当 x＞0时,0＜y＜1 利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小. （1）3 2和 1.7 2；（2） 2 3 0.6-和 3 4 0.6-. 【分析与解答】（1）因为指数2x y=函数在() , -∞+∞上是增函数，又3 1.7 >，所以3 1.7 22 >. （2）因为指数函数0.6x y=在() , -∞+∞上是减函数，又 23 34 ->-，所以 23 34 0.60.6 -- >. 求下列函数的定义域与值域。 （1） 1 4 2x y- =（2） 2 3 x y - ?? = ? ?? （3）1 421 x x y+ =++ 【分析与解答】根据指数函数的定义域为R，逐个分析。 【解】（1）由404 x x -≠?≠ 所以定义域为} {,4 x x R x ∈≠ 且 1 4 1 021 4 x x - ≠∴≠ - 所以值域为{} 0,1 y y y >≠ （2）定义域为R。高中一年级数学_指数函数_函数的值域与最值(教(学)案)
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