自动控制原理复习资料——卢京潮版第二章

第二章：控制系统的数学模型

§ 引言

·系统数学模型－描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式。

·建模方法?

??实验法（辩识法）机理分析法

·本章所讲的模型形式??

?复域：传递函数

时域：微分方程

§控制系统时域数学模型

1、 线性元部件、系统微分方程的建立 （1）L-R-C 网络

11c

c c r R

u u u u L

LC LC

'''∴++= ── 2阶线性定常微分方程 （2）弹簧—阻尼器机械位移系统 分析A 、B 点受力情况 由 A 1A i 1x k )x x (k =- 解出01

2

i A x k k x x -

= 代入B 等式：02001

2

i x k )x x k k x f(=--

&&& 得：()i 1021021x fk x k k x k k f &&=++ ── 一阶线性定常微分方程

（3）电枢控制式直流电动机 电枢回路：b a E i R u +?=┈克希霍夫 电枢及电势：m e b C E ω?=┈楞次 电磁力矩：i C M m m ?=┈安培

力矩方程：m m m m m M f J =+?ωω& ┈牛顿

变量关系：m m

b a M E i u ω-

---

消去中间变量有：

（4）X-Y 记录仪（不加内电路）

消去中间变量得：

a m 321m 4321m u k k k k k k k k k T =++l l l &&&─二阶线性定常微分方程

即：a m

m 321m m 4321m u T k k k k l T k k k k k l T 1l =++&&&

2、 线性系统特性──满足齐次性、可加性 ● 线性系统便于分析研究。

● 在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。 ● 非线性元部件微分方程的线性化。

例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点0α处的线性化增量方程

解：在0αα=处线性化展开，只取线性项： 令 ()()0y -y y αα=? 得 αα??-=?00sin E y 3、 用拉氏变换解微分方程 a u l l l 222=++&&& （初条件为0）

复习拉普拉斯变换的有关内容

1 复数有关概念 （1）复数、复函数 复数 ωσj s += 复函数 ()y x jF F s F += 例：()ωσj 22s s F ++=+= （2）复数模、相角 （3）复数的共轭

（4）解析：若F(s)在s 点的各阶导数都存在，称F(s)在s 点解析。 2 拉氏变换定义

3 几种常见函数的拉氏变换 1. 单位阶跃：()?

?

?≥<=0 t 10

t 0t 1 2. 指数函数：???≥<=0

t e 0 t 0)t (f at

3. 正弦函数：?

?

?≥<=0t t sin 0 t

0)t (f ω

4 拉氏变换的几个重要定理

（1）线性性质： [])s (bF )s (aF )t (bf )t (af L 2121+=+ （2）微分定理： ()[]()()0f s F s t f L -?='

()()()()()()()()()n n-2n 1n n-1n-2 L f t s F s s f 0s f 0sf 0f 0-??'=-----??

L 进一步： 零初始条件下有：()()[]()s F s t f L n n ?= ● 例1：求()[]t L δ ● 例2：求[]t cos L ω 解：[]2

222s s

s s 1

t n si L 1

t cos ωωωω

ωω

ω+=

+?

?=

'=

Θ

（3）积分定理：()[]

()()()0f s

1s F s

1dt t f L 1-+?=? （证略） 零初始条件下有：()[

]

()s F s

1dt t f L ?=? 进一步有： ● 例3：求L[t]=? 解：()dt t 1t ?=Θ

● 例4：求??

?

???2t L 2

解：?=tdt 2

t 2

Θ

（4）位移定理

实位移定理：()[]()s F e -t f L s ?=-ττ

● 例5：()()s F

0 t 01 t 0 10 t 0t f 求??

?

??><<<= 解：)1t (1)t (1)t (f --=

虚位移定理：()[]()a -s F t f e L at =? （证略） ● 例6：求[]at e L ● 例7：[]()

2

2

3

s s 2

23t -5

3s 3

s 5s s cos5t e L +++=

+=

?+→

● 例8：?

??

?

???????

?-=??????---)15t (5cos e L )35t (cos e L 2t

2t ππ （5）终值定理（极限确实存在时） 证明：由微分定理()()()0f s sF dt e t f st 0-='-∞

?

取极限：()()()0f s sF lim dt e t f lim 0

s st 0

0s -='→-∞

→?

∴有：()() s sF lim f 0

s →=∞证毕

● 例9：()()()

b s a s s 1

s F ++=

求()f ∞

● 例10：()0s s lim t sin f 2

20

s t =+≠=∞→∞→ω

ω

ω 拉氏变换附加作业 一． 已知f(t),求F(s)=? 二．已知F(s),求f(t)=? 5.拉氏反变换 (1) 反变换公式：?∞+∞-=

j j st

ds e ).s (F j

21)t (f σσπ (2) 查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法) 微分方程一般形式：

)s (F 的一般表达式为：

[]r b r b r b r b C C a C a C m 1-m )1-m (1)m (01-n )1-n (1)n (+'+++=+'+++ΛΛ来自：（I ）

其中分母多项式可以分解因式为：

)p s ()p s )(p s ()s (A n 21---=Λ (II)

)s (A p i 为的根(特征根)，分两种情形讨论：

I ：0)s (A =无重根时：(依代数定理可以把)s (F 表示为：) 即：若i c 可以定出来，则可得解：而i c 计算公式： )s (F ).p s (lim c i p s i i

-=→

(Ⅲ)

i

p s 'i )

s (A )

s (B c ==

(Ⅲ′)

(说明(Ⅲ)的原理，推导(Ⅲ′) ) ● 例2：3

4s s 2

s )s (F 2+++=

求?)t (f =

解：3

s c

1s c 3)1)(s (s 2s )s (F 21+++=+++=

● 例3：3

4s s 5

5s s )s (F 22++++= ，求?)t (f =

解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法) ● 例4：j 1s c j -1s c j)1j)(s -1(s 3s 2

2s s 3s )s (F 212

++++=++++=+++=

解法一：

[]

jt

-jt t e )j 2(e )j 2(e 2j

1--+=- （t cos j 2e e ,t sin j 2e e jt jt jt jt =+=---Θ

） 解法二：

II ：0)s (A =有重根时：

设1p 为m 阶重根，n 1m s ,s Λ+为单根 .则)s (F 可表示为： 其中单根n 1m c ,c Λ+的计算仍由(1)中公式(Ⅲ) (Ⅲ′)来计算. 重根项系数的计算公式：(说明原理) ●例5 3)

(s 1)s(s 2

s )s (F 2+++=

求?)t (f =

解：3

s c s c 1s c 1)(s c )s (F 4

312

2++++++=

3.用拉氏变换方法解微分方程 ● 例 ：u l l r l 222.

..

=++ 解：s

2

L(s)22s s L 2=++］：［

举例说明拉氏变换的用途之一—解线性常微分方程，引出传函概念。 如右图ＲＣ电路：初条件：c0c u )0(u = 输入 []t 1.E )t (u 0r = 依克西霍夫定律：

L 变换：

依（＊）式可见，影响ＣＲ电路响应的因素有三个：

r c01:u (t)2:u ?

??

输入初条件分析系统时，为在统一条件下衡量其性能

输入都用阶跃，初条件影响不考虑 3:系统的结构参数 ――只有此项决定系统性能

c r U (s)1

CRs 1U (s)

=+零初条件下输入/出拉氏变换之比（不随输入形式而变） §2-3 线性定常系统的传递函数——上述ＣＲ电路的结论适用于一般情况 一般情况下：线性系统的微分方程：

r(t)

b (t)r b (t)r b (t)r b C(t)a (t)C a )t (C a )t (C m 1-m )1-m (1)m (0n 1-n )1-n (1)n (+'+++=+'+++ΛΛ简单讲一下： 传递函数的标准形式： I:D(s)为首1

多项式型：根轨迹增益:K S K T

1S T K G (s)**

α+=+

= II:D(s)为尾1多项式型： 开环增益:K 1

TS K

G(s)+= 开环增益的意义： 一般情况下：

首1型：[

][

]

*1n *1n *

m

1m *1m *-n 1m 1*n a

s a s s b s b s K )p s ()p s (s )z s ()z s (K G(s)l

l l l l l -++++++=----=----ΛΛΛΛ (1)

尾1型：[][]

1s a s a s 1s b s b )1s T ()1s T (s )1s ()1s (K G(s)1

n 1n 01m 1m 01m 1n ++++++=++++=-----ΛΛΛΛl l l l l

ττ (2)

由(1)式：?????-=-=∏∏==为极点为零点

i -n 1

i i *-n i

m 1

i i *m p )p (a z )z (b l

l (3) 比较(1)(2):

)p (

)z (K a b K K a b K -n 1

i i

m

1

i i

*

*

-n *

m *-n *

m *∏∏==--===?l

l

l (4)

首1型多用于根轨迹法中. 尾1型多用于时域法，频域法中. 一 .传递函数定义：

条件：?????==='===='=--0)0(c

)0(c )0(c 0)0(r

)0(r )0(r )

1m ()

1n (ΛΛ 定义：

有关概念：特征式，特征方程，特征根 零点i z ——使0G(s)=的s 值 极点j p ——使∞=G(s)的s 值

n m a b K =：传递函数，增益，放大倍数→[])s (G s

1

.s lim

)c(K a b 0s t 1r(t)n m →==∞== 结构图——系统的表示方法 G(s)分子分母与相应的微分方程之间的联

系：

?

??

前面的系数式分子：前面的系数式分母：)s (R (*))s (C (*)完全

取决于

系统本身的结构参数

注(1)为何要规定零初始条件？

分析系统性能时，需要在统一条件下考查系统：

输入：都用阶跃输入.

初条件：都规定为零——为确定一个系统的起跑线而定.

则系统的性能只取决于系统本身的特性(结构参数)

(2) 为何初条件可以为零？

1)我们研究系统的响应，都是从研究它的瞬时才把信号加上去的.

2)绝大多数系统，当输入为0时，都处于相对静止状态.

3)零初始条件是相对的，常可以以平衡点为基点(如小扰动为线性化

时)

(3) 零初条件的规定，并不妨碍非零初条件时系统全响应的求解.

可以由G(s)回到系统微分方程，加上初条件求解.

二 .传递函数的性质：

b,a均为实常1.G(s) : 复函数，是自变量为s的有理真分式(m≤n)

i

i 数.

m

1). 实际系统都存在惯性，从微分方程上反映出来，即C(s)的阶次比

R(s)阶次高.反映到G(s)上即有分母阶次n≥分子阶次m.

2).反证法：设m>n则：

说明：

2.G(s): 只与系统本身的结构参数有关与输入的具体形式无关.

输入变时，C(s)=G(s)R(s)变，但G(s)本身并不变化

但G(s)与输入、输出信号的选择有关.r(t),c(t)选择不同，G(s)

不同.(见前CR电路.)

3. G(s)与系统的微分方程有直接联系

4. [])t (k L G(s)(t)

r(t)δ==→G(s)是系统单位脉冲响应的拉氏变换 5. G(s)与系统相应的零极点分布图对应

G(s)的零极点均是复数，可在复平面上表示： 若不计传递函数，G(s)与其零极点分布图等价. 例：*

2

(2)

G(s)(3)(22)

s s s s K +=

+++

G(s)?系统零极点分布图 ?系统性能??

?.

动态特性稳定性；

若当系统参数发生变化时，分析其特性：

1) 用解微分方程法十分繁琐——一个元部件参数改变，影响

i i b ,a ，得反复解

2) 若掌握了零极点分布与系统性能之间的规律性，则当某个元部件的参数改变时，i i b ,a 变化，零极点位置变化，系统性能的变化规律就能掌握了，这样，我们可以有目的地改变某些参数，改善系统的性能，且免除了解微分方程的烦恼。——这是为什么采用G(s)这种数模的原因之一。

三. 采用传递函数的局限：

1. G(s)原则上不反映C(0)≠0时的系统的全部运动规律.(虽然由G(s)转到微分方程，可以考虑初条件的影响。)

2. G(s)只适用于单输入，单输出系统。

3. G(s)只适用于线性定常系统——由于拉氏变换是一种线性变换.

例：[][]

[][

]出

(s)U (s)使U (s)

sU (t)u

(t)u L (s)

U A(s)(t)u a(t)而L (t)u (t)u BL (t)a(t).u L s (s)RCU (s)U (t)

u (t)u B (t)a(t).u (t)u RC (t)u r c c c c

c c c c c c r c c c c r 不能得/2

≠??≠??++?=?++=&&&&

传递函数是古典控制理论中采用的数学模型形式，经常要用。 （典型元部件传递函数略讲，重点以伺服电机引出结构图的概念） 例1 已知某系统，当输入为)(1)(t t r =时，输出为e e t

t t C 43

1321)(----= 求：

1) 系统传递函数?G(s)= 2) 系统增益？

3) 系统的特征根及相应的模态？ 4) 画出系统对应的零极点图； 5) 系统的单位脉冲响应?=k(t) 6) 系统微分方程；

7) 当(t),r(t))(c ,)c(10010=='-=时，系统响应?=c(t) 解 1）

)

1s 4

1)(1s (1)

s 21

()4s )(1s (2)2(s )s (R )s (C )s (G +++=

+++==∴ ①

2）由①式，增益K=1 3）由①式：特征根 4121??

?-=-=λλ模态 4 e

e

t t

?????-- 4）零极点图见右

5）[] G(s)L k(t)1-= 6）4

54

241222+++=+++==s s s ))(s (s )(s R(s)C(s)G(s) －隐含零初始条件

r(t)(t)r c(t)(t)c (t)c 4245:L 1+=++-&&&& －不受零初始条件限制

7）对上式进行拉氏变换，注意代上初条件 例2 系统如右图所示

已知(s)G 0方框对应的微分方程为 求系统的传递函数(s)U (s)U r

c

解：对(s)G 0相应的微分方程进行拉氏变换

1

100000+=

=∴=+s T K (s)U (s)U (s)G (s)

U K (s))U s (T a c a c ① 又由运算放大器特性，有0000≈≈ ,i u

RsC .R R )sC

(R R sC R.

(s)U (s)U (s)U c r a 1

111

00

+-=+-=

+∴ ② ①×②有

4.典型元部件的传递函数 1. 电位器(无负载时) 2. 电桥式误差角(位置)检测器 3. 自整角机

注 自整角机与电桥式误差检测器功能相同，只是有以下几点区别 1) 前者工作于交流状态，后者直流 2) 自整角机无摩擦，精度高

3) 自整角机21,θθ可以大于?360 4. 测速发电机 1）直流测速发电机

t

t k Ω(s)

U(s)

G(s).ω

k u ==∴=——楞次定律 2）交流发电机

5. 电枢控制式直流电动机(结构同发电机) 楞次定律：.ωk E b b = 克希霍夫：b a E Ri u += 安培定律：.i c M m m =

牛顿定律：θ

ω.ω

f M dt

d ω

J m m m

&=-= 利用前四个方程中的三个消去中间变量m b ,i,M E 得出：

[]

.c k Rf

R

J T m b m

m m +=

时间常数

[]m b m m

m .c k Rf c K +=

传递系数

???

???????????

=

+==+=∴(s)U Θ(s))s s(T K (s) G (s)U Ω(s)s T K (s) G a m m a m m 1121同一系统输入输出量选择不同有不同形式的

传递函数

若分别对每一个方程分别求传递函数，则可构成以下结构图：

——分析问题的角度不同，同一系统可以有不同形式的结构图，但彼此等价。

此图清楚的表明了电动机内部各变量间的传递关系，经简化后可得上面形式结构图

6. 两相交流伺服电动机 堵转力矩：a m s .u c M = 机械特性：.ωc M M ωs m -=

牛顿定律：.ωf ω

J M m m m +=& 利用前两式消去s m M M ,可得： 分别各式进行拉氏变换得：方框图 7. 齿轮系：传动比12

1

12>==

ωωz z i 负载轴上的粘滞阻尼，惯量向电机轴上的折算：

对于电机轴: 11111ωf M M ωJ m --=& 1M 为负载轴转矩

⑴ 对于负载轴：22222ωf M ωJ -=&

⑵ 在啮合点：21F F = 又有：

1

2

1221 i z z r r ωω=== （4） 利用4式中的3个,消去中间变量之间关系得出1m 221~M ,,M ,M ωω: 一般地，有多级齿轮转动时：

可见：由于一般减速器总有11

<=+i z z i i

∴越靠近电机轴的惯量、粘滞摩擦，对电机轴的影响越大， 远离电机轴的负载影响则较小

若一级减速比1i 很大，则负载轴的影响可以忽略不计 8. 调制器，解调器用于

1) 交、直流元件协调工作时 2) 交流元件，但工作频率不同时

??

?否则干扰较大交流元件有时要屏蔽，

漂移，工作点不易隔离，易点，都要用直流工作时交直流的元件各有其优

调制：把直流或低频信号驮在交流元件的工作频率上的过程 解调：把驮在交流元件频率上的有用低频(或直流)信号取出来的过程 一般不考虑调制、解调器的动态过程，认为其传函为1 5.典型环节

依上讨论可见：输入输出信号选择不同，同一元部件可以有不同的传递函数。不同的元部件可以有相同形式的传递函数

1. 环节——把传函形式相同的元部件归并在一起的分类——具有抽象性，概括性。如，电位器，自整角机，测速发电机等等。同属比例环节。

2. 典型环节及其传递函数

5

微分环节

测速发电机

)(c r u →θ

6

一阶复合微分环节

7

二阶复合微分环节

注:

1) 环节与部件并非一一对应，有时一个环节可代表几个部件，有时一个部件可表成几个环节

2) 任一个系统的传递，可以视为典型环节的组合

如：)

τξs s )(τs(Ts )K(s G(s)12122

2++++= 6.负载效应问题：传递函数要在系统正常工作，考虑负载影响条件下推导出来

例如①右电网络，当两级相联时： 用算子法：

1

1

)()1(12221112212121221222121221211s C R s C R s C R s C C R R s C s C s C C R s C R R s)C s C s C C (R U U .U U U U r c r c ++++=

++++++=

= (1)

②当两级断开时：

第一级：1111111

1

1

1+=+=sC R sC R sC U U r

第二级：

1

1

11222

2

2

1+=

+=s C R sC R sC U U c 而

1

1111221122121221111+++=++=?=)s C R C (R s C C R R )s C )(R sC (R U U U U U U r c r c (2) 比较(1)(2)，可见两式不等。

∵当两级相联时，后级有分流，对前级有负载影响。 2 典型环节及其传递函数

7

二阶复

合微分环节

五、求G(s)时须注意的问题——负载效应

要在系统正常工作的条件下考虑其传递函数，把后一级对前一级的负载效应考虑进去。 例：如右电路，求?(s)

U (s)

U G(s)r c == 解1当成整体看：

回路I ：r c u u R i R i =++2211 ⑴ 回路II: c u R i u +=221 ⑵ 节点A: 321i i i += ⑶ 电容1C ： dt

du C i 1

1

3= ⑷ 电容2C ：dt

du C i c

22= ⑸

⑵→⑷：

?

?

?

???+=c u dt di .R C i &2213 ⑹ ⑸→⑹: c

c u C u C R C i &&&12213+= ⑺ ⑸（7）→（3）：c c c u C u R C C u C i &&&&122121++= (8) ⑸（8）→（1）：122121221])([u u R u C R u C C u R C C c c c c =++++&&&& 即：1221211221)(u u u R C R C R C u R C C c c c =++++&&&

L 变换：)()(]1)([12212112221s U s U s R C R C R C s R C C c =++++ 所以，1

)(1

)(2212112221++++=

s R C R C R C s R C C s G

解2：分解成两部分看： 对后一部分：c u R i u +=221 变换： )()()1(122s U s U s R C c =+ 所以 1

1

)()()(22

21

+==

s R C s U s U s G c 同理对前一部分：1

1

)()()(1112+==s R C s U s U s G r 而

1

1

1111)()()()()()()()()(11222212111222111+++=++====

s R C s R C s R R C C s R C s R C s G s G s U s U s U s U s U s U s G r c r c 比较：分母少一项21C R s 项——解2中未考虑前一级的负载效应 (3)积分定理：

s m a m s m m m n m

M C u M M C J f M ωωωω??

=???

=-????+=? 消去s m M M ， m m m m a T K u ωω?

?

?+=

§控制系统的结构图及其等效变换 1.结构图的组成及绘制

（1）组成：信号线；方框（环节）；比较点；引出点。 （2）结构的绘制： 从系统微分方程组：

例：电枢控制式直流伺服电动机： 电枢回路：b a E Ri u += ――克希霍夫 反电势：ω?=e b C E ――楞次定律 电磁力矩：i C M m m ?= ――安培

力矩平衡：m m m M f J =+?

ωω ――牛顿 ● 工作原理图→方框图→结构图 例：x-y 记录仪：

2.结构图的等效变换和化简： 1）.环节串联： 2）.环节并联： 3）.反馈等效： ● 例1：

4）.比较点、引出点的移动： ①比较点换位： ②引出点换位： ③比较点前移： ④比较点后移： ⑤引出点前移： ⑥引出点后移： ⑦比较点、引出点换位：

● 例2：x-y 记录仪结构图如下：求

?)

()

(=s U s L r ● 作业题（2－16）讲解：（以便解决作业问题） 调速系统工作原理图见课本P67图2-57 （1）依运算放大器原理

速度调节器：s

RC s C R R s

C R s G 11

111111

)(+-=+

-

=