解法2 以a 为主参数,由0122
>+=
k
kx a 知k 与x 同号,代入0>-ak x 知2
2
12k
x k x +>
①当x>0时,则k>0,故
101122
2<
②当x<0时,则k<0,故
11122
2
-+k k
k
综上可知)1,0()1,( --∞∈k .
分离参数一般步骤为:①将含参数t 的关于x 的方程或不等式变形为g(t)与 )(x ?的等式或不等式,②根据方程或不等式的解(x)的范围确定函数)(x ?的取值范围D,③由D 以及g(t)与)(x ?的相等与不等关系确定为g(t)的取值范围,从而求出参数t 的范围.
说明:这里①是前提,②是关键
从以上数例可以看出,只要我们从多角度、多方位、多层次上去挖掘隐含条件,从而获得问题的最佳解决方法,不断提高自己的解题能力.
二级等差数列求和公式及推导
二级等差数列求和公式就是后一项减前一项是等差数列,怎样求原数列的和? 二级等差数列求和公式 就是后一项减前一项是等差数列,怎样求原数列的和? a2-a1=k a3-a2=k+d a4-a3=k+2d …… an-a(n-1)=k+(n-2)d 相加
an-a1=(n-1)k+[1+2+……+(n-2)]d=(n-1)k+(n-2)(n-1)d/2 所以an=a1+(n-1)k+(n-2)(n-1) d/2 二阶等差数列怎样求和 a1=1 an-a(n-1)=2n-1 Sn=? a1 = 1 a2 - a1 = 2*2 -1
a3 - a2 = 2*3 -1 a4 - a3 = 2*4 -1 …… an - a(n-1) = 2*n - 1 以上等式相加后,得到通项公式 an = 1 + 2(2+3+4+……+n) - 1-1-1- …… -1 =2(1+2+3+……+n) - n =n(n+1) - n =n^2
检验: a2 - a1 = 4 - 1 = 2*2 - 1 a3 - a2 = 9 - 4 = 2*3 - 1 a4 - a3 = 16 -9 = 2*4 - 1 成立 下面求 Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2 (n+1)^3 - n^3 = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - n^3 = 3*n^2 + 3n + 1 利用上面这个式子有：
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1 3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1 4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1 5^3 - 4^3 = 3*4^2 + 3*4 + 1 …… (n+1)^3 - n^3 = 3*n^2 + 3n + 1
数列求和公式证明
1）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6从左边推到右边 数学归纳法可以证 也可以如下做比较有技巧性 n^2=n(n+1)-n 1^2+2^2+3^2+......+n^2 =1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n =1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n) 由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 所以1*2+2*3+...+n(n+1) =[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 [前后消项] =[n(n+1)(n+2)]/3 所以1^2+2^2+3^2+......+n^2 =[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2 =n(n+1)[(n+2)/3-1/2] =n(n+1)[(2n+1)/6] =n(n+1)(2n+1)/6 2）1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）=？ 设n为奇数, 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)= =(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1) =2(2^2+4^2+6^2+...(n-1)^2)+n(n+1) =8(1^2+2^2+3^2+...+[(n-1)/2]^2)+n(n+1) =8*[(n-1)/2][(n+1)/2]n/6+n(n+1) =n(n+1)(n+2)/3 设n为偶数, 请你自己证明一下！ 所以， 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 设an=n×（n+1）=n^2+n Sn=1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1） =(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n) =n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2 =n(n+1)(n+2)/3
等差数列求和公式的
等差数列求和公式的 问题1：著名数学家高斯10岁时，曾解过一道题：1+2+3+…+100=?你们知道怎么解吗？ 问题2：1+2+3+…+n=? 在探求中有学生问：n是偶数还是奇数？教师反问：能否避免奇偶讨论呢？并引导学生从问题1感悟问题的实质：大小搭配，以求平衡 设=1+2+3+…+n ,又有= + + +…+1 = + + +…+ ，得= 问题3：等差数列= ？ 学生容易从问题2中获得方法（倒序相加法）。但遇到= = =…=呢？利用等差数列的定义容易理解这层等量关系，进一步的推广可得重要结论：m+n=p+q 问题4：还有新的方法吗？ （引导学生利用问题2的结论），经过讨论有学生有解法：设等差数列的公差为d，则= +（）+（）+…+[ ] = = （这里应用了问题2的结论） 1 ————来源网络整理，仅供供参考
问题5：= = ？ 学生容易从问题4中得到联想：= = 。显然，这又是一个等差数列的求和公式。 等差数列的求和对初学数列求和的离学生的现有发展水平较远，教师通过“弱化”的问题1和问题2将问题转化到学生的最近发展区内，由于学生的最近发展区是不断变化的，学生解决了问题2，就说明学生的潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在新的现有发展水平基础上教师提出了问题3，学生解决了问题3，他们潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在此基础上教师提出了问题4，这个案例的设计体现教师搭“脚手架”的作用不可低估,教师自始至终都应坚持“道而弗牵,强而弗抑,开而弗达”(《礼记·学记》),诱导学生自己探究数学结论, 处理好“放”与“扶”的关系。 ————来源网络整理，仅供供参考 2
学习等差数列求和公式的四个层次
学习等差数列求和公式的四个层次 黑龙江大庆实验中学(163311)毕明黎 等差数列前n 项和公式d n n na n a a S n n 2 )1(2 )(11-+ =+= ,是数列部分最重要公式之一,学习 公式并灵活运用公式可分如下四个层次: 1.直接套用公式 从公式d n n na n a a n a a S m n m n n 2 )1(2 )(2 )(111-+ =+= += +-中,我们可以看到公式中出现了五 个量,包括,,,,,1n n S n a d a 这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求. 例1 设等差数列{}n a 的公差为d,如果它的前n 项和2 n S n -=,那么( ).(1992年三南高考试 题) (A)2,12-=-=d n a n (B)2,12=-=d n a n (C)2,12-=+=-d n a n (D)2,12=+-=d n a n 解法1 由于2n S n -=且1--=n n n S S a 知,,12)1(2 2+-=-+-=n n n a n ],1)1(2[121+---+-=-=-n n a a d n n ,2-=d 选(C). 解法2 ,2 ) 1(2 1n d n n na S n -=-+ = 对照系数易知,2-=d 此时由2 1)1(n n n na -=--知,11-=a 故,12+-=n a n 选(C). 例2 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知33 1S 与 44 1S 的等比中项为 55 1S , 33 1S 与 44 1S 的等 差中项为1,求等差数列{}n a 的通项n a .(1997年全国高考文科) 解 设{}n a 的通项为,)1(1d n a a n -+=前n 项和为.2 )1(1d n n na S n -+= 由题意知?????=+=? 241 3 1)51(4131432 54 3S S S S S ,
高中数学必修5《等差数列求和公式》教学设计
《等差数列求和公式》教学设计 知识与技能目标：掌握等差数列前n 项和公式，能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。 过程与方法目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。 情感、态度与价值观目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。教学重点与难点：等差数列前n 项和公式是重点。获得等差数列前n 项和公式推导的思路是难点。 教学策略：用游戏的方法调动学生的积极性教学用具：flash ，ppt课堂系统部分：整节课分为三个阶段： 问题呈现阶段探究发现阶段公式应用阶段 问题呈现1：有10袋金币，在这10袋中有一袋金币是假的，已知，真金币的重量是2两/个, 而假币的重量是1两/个。 问：只给一个电子秤，而且只能秤一次，找出哪一袋金币是假的？ S = 10 + 9 + + 2 + 1 2S =11+11+ +11+11问题1：1+2+ +8+9+10=? S =1+2+ +9+102S =11?10=110110S ==552动画演示： 由刚刚的计算我们已经知道，从10袋里面拿出 的金币数共55个，如果这10袋都是真币，那么 电子秤显示的数据应该是： (两) 55?2= 110 而实际显示的的数字是：102（两） 可见比全是真币时少了8两 又因为，每个假币比真币轻1两 所以，可知在电子秤上有8个假币 那么，第8袋全是假币。 设计说明：
这道题的设计新颖之处在于摆脱了以往以高斯算法引出的模式，用一道智力题，激发学生的学习兴趣。 动画的演示更能较直观地表现出本题的思维方式 承上启下，探讨高斯算法. 问题呈现2： 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国 皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大 理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七 大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝 石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度， 可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 也就是联想到“首尾配对”摆出几何图形, , 如何将图与高斯的逆序相加结合起来, 让 , 将两个三角形拼成平行四边形. (1+21) ?21s = 212 设计说明： ?源于历史，富有人文气息. ?图中算数，激发学习兴趣. 这一个问题旨在让学生初步形成数形结合的思想, 这是在高中数学学习中非常重要的思想方法. 借助图形理解逆序相加, 也为后面公式的推导打下基础. 探究发现： 问题3：如何求等差数列{a n }的前n 项和S n ?
初二数学等差数列求和公式
初二数学等差数列求和公式 各科成绩的提高是同学们提高总体学习成绩的重要途径，大家一定要在平时的练习中不断积累，小编为大家整理了八年级数学等差数列求和公式，希望同学们牢牢掌握，不断取得进步! 公式 Sn=(a1+an)n/2 (首项+末项)X项数2 Sn=na1+n(n-1)d/2; (d为公差) Sn=An2+Bn; A=d/2,B=a1-(d/2) Sn=[2a1+(n-1)d] n/2 和为 Sn 首项 a1 末项 an 公差d 项数n 等差数列公式an=a1+(n-1)d 前n项和公式为：Sn=(a1+an)n/2=na1+n(n-1)d/2 假设m+n=p+q那么：存在am+an=ap+aq 假设m+n=2p那么：am+an=2ap 以上n均为正整数 文字翻译 第n项的值an=首项+(项数-1)公差
前n项的和Sn=首项+末项项数(项数-1)公差/2 公差d=(an-a1)(n-1) 项数=(末项-首项)公差+1 数列为奇数项时，前n项的和=中间项项数 数列为偶数项，求首尾项相加，用它的和除以2 等差中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列 通项 首项=2和项数-末项 末项=2和项数-首项 末项=首项+(项数-1)公差:a1+(n-1)d 项数=(末项-首项)/ 公差+1 :n=(an-a1)/d+1 公差= d=(an-a1)/(n-1) 如：1+3+5+7+99 公差就是3-1 将a1推广到am，那么为: d=(an-am)/(n-m) 性质： 假设 m、n、p、qN ①假设m+n=p+q，那么am+an=ap+aq ②假设m+n=2q，那么am+an=2aq(等差中项) 注意：上述公式中an表示等差数列的第n项。 本文就是查字典数学网为大家整理的八年级数学等差数列
等差数列求和公式教学设计
等差数列求和公式教学 设计 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
等差数列前n项的和教学设计 一、教材分析 本节教学内容选自高中必修5，教材安排1课时。 数列是中职数学教学的重要内容之一，与实际生活有着紧密的联系，而“等差数列前n项的和”一节，更是体现了数列在生产实际中的广泛应用, 如堆放物品总数的计算，分期付款、储蓄等有关计算都用到本节课的一些知识，因此，本节课对于学生能否树立“有用的数学”的思想，有着重要作用。本节课的教学不仅关系到学生对数列知识的学习,也关系到学生对数学这一学科的兴趣, 因此设计好这节课的教学是至关重要的，通过这节课要让学生体会到：（1）数学来源于生活，生活需要数学；（2）数学学习是为专业课学习服务的；并以此激发学生学习数学的兴趣和热情。因此，本节课可谓本章教学的关键点之一，有着举足轻重的地位。 二、教学目标 知识目标： 掌握等差数列前n项的和的公式。 能力目标： 1、能够运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题，增强学生应用知识的能力； 2、通过分组探究的方式提高学生合作学习的能力； 3、练习题采取由学生讲解的方式完成，锻炼学生的语言表达能力。 情感态度价值观： 1、通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法； 2、通过与生活实际相联系的例题及习题，使学生了解数学在生活中的实用性，渗透学以致用的思想。 3、通过对解题步骤的严格要求，培养学生严谨的工作作风。 三、重点、难点 教学重点：等差数列的前n项和的公式及其应用。 教学难点：等差数列的前n项和的公式的推导。
等差数列求和公式推导方法
等差数列求和公式推导方法 有很多喜欢学习数学的同学，是非常的想知道，等差数列求和公式推导 方法是什幺，小编整理了相关信息，西瓦会对大家有所帮助！ 1 等差数列求和公式是怎幺推导的一。从通项公式可以看出，a(n)是n 的一 次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n 项和公式知，S(n)是n 的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。 二。从等差数列的定义、通项公式，前n 项和公式还可推出：a(1)+a(n) =a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=… =a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n- k+1))，k∈{1,2,…,n} 三。若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1) =(2n-1)*a(n)，S(2n+1)= (2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列，等等。 若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p) (对3 的证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n) p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q);因为m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p (q)) 其他推论 ①和=(首项+末项)×项数÷2 (证明：s(n)=[n,n ]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)]=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n
《等差数列求和公式》教案
等差数列求和公式 一、教材分析： 数列在生产实际中的应用范围很广，而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材，同时也是学生进一步学习数学的必备的基础知识。 二、学生分析： 数列在对于我们的学生来说是难点，因为学生对于这部分仅有初中学的简单函数作为基础，所以新课的引入非常重要 三、教学目标： 1．与技能目标：掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 2．过程与方法目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。 3．情感、态度与价值观目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。 四、教学重点与难点： 等差数列前n项和公式是重点。 获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。 课堂系统部分： 五、教学过程 1．问题呈现 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图）， 问题1：你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 问题2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 在知道了高斯算法之后，同学们很容易把本题与高斯 算法联系起来，也就是联想到“首尾配对”摆出几何图形,引引导学生去思考,如何将图与高斯的逆序相加结合起来,让 他们借助几何图形,将两个三角形拼成平行四边形.
获得算法： 设计说明： ? 源于历史，富有人文气息. ? 图中算数，激发学习兴趣. 这一个问题旨在让学生初步形成数形结合的思想,这是在高中数学学习中非常重要的思想方法.借助图形理解逆序相加,也为后面公式的推导打下基础. 2．探究发现： 问题3： 由前面的例子，不难用逆序相加法推出 3．公式应用 例题1： 2008年北京奥运会的体育馆已初步建成，其中有一块地的方砖成扇形铺开，有人数了第一排的方砖个数为10个，最后一排的方砖个数为2008个，而且一共有36排，问这一块地的方砖有多少块？ 本例提供了许多数据，学生可以从题目条件发现，只告知了首项、尾项和项数，于是从这一方向出发，可知使用公式1，达到学生熟悉公式的要素与结构的教学目的。 通过两种公式的比较，引导学生应该根据信息选择适当的公式，以便于计算。例题2： 2003年医护人员积极致力于研究人体内的非典病毒，已知一个患病初期的人人体内的病毒数排列成等差数列，且已知第一排的病毒数是2个，后面每一排比前一排多3个，一共有78排，问这个人体内的病毒数有多少个？ 本例已知首项，公差和项数，引导学生使用公式2。 事实上，根据提供的条件再与公式对比， 便不难知道应选公式。 例题3： 甲从A地出发骑车去B地，前1分钟他骑了了400米，后来每一分钟都比前一分钟多骑5米，当他到达B地时的那一分钟内骑了500米，问A地和B地之间的距离？
等差数列求和公式
等差数列求和公式 等差数列前n 项和公式d n n na n a a S n n 2 )1(2)(11-+=+=,是数列部分最重要公式之一,学习公式并灵活运用公式可分如下四个层次: 1.直接套用公式 从公式d n n na n a a n a a S m n m n n 2 )1(2)(2)(111-+=+=+=+-中,我们可以看到公式中出现了五个量,包括,,,,,1n n S n a d a 这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求. 例1 设等差数列{}n a 的公差为d,如果它的前n 项和2n S n -=,那么( ). (A)2,12-=-=d n a n (B)2,12=-=d n a n (C)2,12-=+=-d n a n (D)2,12=+-=d n a n 解法1 由于2n S n -=且1--=n n n S S a 知,,12)1(22+-=-+-=n n n a n ],1)1(2[121+---+-=-=-n n a a d n n ,2-=d 选(C). 解法2 ,2 )1(21n d n n na S n -=-+=Θ对照系数易知,2-=d 此时由21)1(n n n na -=--知,11-=a 故,12+-=n a n 选(C). 例 2 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知331S 与441S 的等比中项为551S ,331S 与44 1S 的等差中项为1,求等差数列{}n a 的通项n a . 解 设{}n a 的通项为,)1(1d n a a n -+=前n 项和为.2 )1(1d n n na S n -+= 由题意知?????=+=? 2413 1)51(4131432543S S S S S , 即?????=?++?+?+=?+??+ 2)2344(41)2233(3 1)2455(251)2344(41)2233(31112111d a d a d a d a d a
《等差数列求和公式》教案#(精选.)
等差数列求和公式 教学目标 1．知识目标 (1)掌握等差数列前n 项和公式，理解公式的推导方法； (2)能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。 2．能力目标 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。 3．情感目标 通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。 学生已学等差数列的通项公式，对等差数列已有一定的认知。 教学重点、难点 1．等差数列前n 项和公式是重点。 2．获得等差数列前n 项和公式推导的思路是难点。 教学过程 复习回顾： 1．等差数列的定义； 2．等差数列的通项公式。 新课引入： 问题一： 介绍德国著名数学家高斯，相传高斯在10岁那年他的算术老师给他出了一道算术题：1+2+3+…+100=？。结果高斯很快就算出了答案，你知道高斯是怎么很快的算出结果的吗？ 请同学起来回答，如何进行首尾配对求和： 123...100n S =++++=(1100)(299)...(5051)+++++=10011002 +?（）=5050. 师：非常好！这位同学和数学家高斯一样聪明！这里高斯的配对法就是采用的“首尾配对法”。师：这里1,2,3，…，100这是一个什么数列？生：等差数列。师：这里123...100++++就是在求一个等差数列的和的问题。引出课题：7.2.2等差数列求和。 一、数列的前n 项和意义
一般地，设有数列123,,,,,n a a a a …,我们把123n a a a a ++++叫做数列{}n a 的 前n 项和，记作n S ．即123n n S a a a a =++++． 问题二： （课件出示印度泰姬陵的图片），介绍传说中的泰姬陵陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共21层。你知道镶饰这个图案一共花了多少宝石吗？ 学生回答：即求2112321S =++++。师：怎么求？ 生：仿照上面的方法，首尾配对（1+21）+（2+20）+…+(10+12)。师：这里一共配成了几对呢？生：10对，再加上中间一个数11，得到结果231。师：很好。我们用高斯的首尾配对法也能求出结果来。那么，有没有更简单一点的配对方法呢？ 课件演示，在三角形红宝石图案旁添一个相同倒置三角形蓝宝石图案，将两个三角形拼成平行四边形。则 原三角形红宝石图案：2112321S =++++， 后添的三角形蓝宝石图案：212120191S =++++， 平行四边形图案所有宝石数：212(121)21S =+?， 所以，21(121)212312 S +?==。 这种求和方法叫倒序相加法，与高斯的首尾相配法原理如出一辙。 师：上面我们求了10021,S S ，在这两个问题中，最后，这个和都可以写成首项与末项的和乘以项数的一半。那么，是不是所有的等差数列都有1()2n n a a n S += 这个求和公式呢？下面我们来证明这个公式。 二．等差数列的前n 项和公式 设有等差数列{}n a ：123,,, ,,n a a a a 公差为d ，前n 项和为n S ，则 1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++ ++-； ()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--. 将两式分别相加，得：12()n n S n a a =+， 由此得到等差数列{}n a 的前n 项和的公式
[[等差数列求和公式]详细教案]等差数列求和公式教案
[[等差数列求和公式]详细教案]等差数列求和公式教案 等差数列求和公式深圳市电子技术学校：黄静课前系统部分：大纲分析：高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列前n 项和公式的推导及其 简单应用。教材分析：数列在生产实际中的应用范围很广，而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材，同时也是学生进一步学习高等数学的必备的基础知识。学生分析：数列在整个高中阶段对于学生来说是难点，因为学生对于这部分仅有初中学的简单函数作为基础，所以新课的引入非常重要教学目标：知识与技能目标：掌握等差数列前n 项和公式， 能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。过程与方法目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。情感、态度与价值观目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。教学重点与难点：等差数列前n 项和公式是重点。获得等差 数列前n 项和公式推导的思路是难点。教学策略：用游戏的 方法调动学生的积极性教学用具：flash ，ppt课堂系统部分：整节课分为三个阶段：问题呈现阶段探究发现阶段公式应用阶段问题呈现1：有10袋金币，在这10袋中有一袋金币是假的，已知，真金币的重量是2两/个, 而假币的重量是1两/个。问：只给一个电子秤，而且只能秤一次，找出哪一袋金币是假的？ S = 10 + 9 + + 2 + 12S =11+11+ +11+11问题1：1+2+ +8+9+10=? S =1+2+ +9+102S =11?10=110110S ==552动画演示：由刚刚的计算我们已经知道，从10袋里面拿出的金币数
《等差数列求和公式》详细教案
等差数列求和公式 深圳市电子技术学校：黄静 课前系统部分： 大纲分析： 高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。 教材分析： 数列在生产实际中的应用范围很广，而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材，同时也是学生进一步学习高等数学的必备的基础知识。 学生分析： 数列在整个高中阶段对于学生来说是难点，因为学生对于这部分仅有初中学的简单函数作为基础，所以新课的引入非常重要 教学目标： 知识与技能目标： 掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。过程与方法目标： 培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。情感、态度与价值观目标： 体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。 教学重点与难点： 等差数列前n项和公式是重点。 获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。 教学策略： 用游戏的方法调动学生的积极性 教学用具： flash，ppt 课堂系统部分：
整节课分为三个阶段： 问题呈现阶段 探究发现阶段 公式应用阶段 问题呈现1： 有10袋金币，在这10袋中有一袋金币是假的，已 知，真金币的重量是2两/个,而假币的重量是1两/ 个。 问：只给一个电子秤，而且只能秤一次，找出哪一 袋金币是假的？ 动画演示： 由刚刚的计算我们已经知道，从10袋里面拿出 的金币数共55个，如果这10袋都是真币，那么 电子秤显示的数据应该是： 而实际显示的的数字是：102（两） 可见比全是真币时少了8两 又因为，每个假币比真币轻1两 所以，可知在电子秤上有8个假币 那么，第8袋全是假币。 设计说明： 这道题的设计新颖之处在于摆脱了以往以高斯算法引出的模式，用一道智力题，激发学生的学习兴趣。 动画的演示更能较直观地表现出本题的思维方式 承上启下，探讨高斯算法. 问题呈现2： 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国 皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大 理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七 大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝 石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度， 128910? +++++=L 问题1：S 12910=++++L S 10921=++++L 2S 11111111 =++++L 2S 1110110=?=110S 552 ==552110() ?=两
等差数列求和公式教学反思
等差数列求和公式教学反思 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 在高一（5）班上好“等差数列求和公式”这一堂课后，通过和学生的互动，我对求和公式上课时遇到的几点问题提出了一点思考． 一、对内容的理解及相应的教学设计 1．“数列前n项的和”是针对一般数列而提出的一个概念，教材在这里提出这个概念只是因为本节内容首次研究数列前n项和的问题．因此，教学设计时应注意“从等差数列中跳出来”学习这个概念，以免学生误认为这只是等差数列的一个概念． 2．等差数列求和公式的教学重点是公式的推导过程，从“掌握公式”来解释，应该使学生会推导公式、理解公式和运用公式解决问题．其实还不止这些，让
学生体验推导过程中所包含的数学思想方法才是更高境界的教学追求，这一点后面再作展开．本节课在这方面有设计、有突破，但教师组织学生讨论与交流的环节似乎还不够充分，因为这个层面上的学习更侧重于让学生“悟”． 3．用公式解决问题的内容很丰富．本节课只考虑“已知等差数列，求前n项”的问题，使课堂不被大量的变式问题所困扰，而能专心将教学的重点放在公式的推导过程．这样的处理比较恰当． 二、求和公式中的数学思想方法 在推导等差数列求和公式的过程中，有两种极其重要的数学思想方法．一种是从特殊到一般的探究思想方法，另一种是从一般到特殊的化归思想方法．从特殊到一般的探究思想方法大家都很熟悉，本节课基本按教材的设计，依次解决几个问题。 从一般到特殊的化归思想方法的揭示是本节课的最大成功之处．以往人们常常只注意到“倒序相加”是推导等差数
列求和公式的关键，而忽视了对为什么要这样做的思考．同样是求和，与的本质区别是什么？事实上，前者是100个不相同的数求和，后者是50个相同数的求和，求和的本质区别并不在于是100个还是50个，而在于“相同的数”与“不相同的数”．相同的数求和是一个极其简单并且在乘法中早已解决了的问题，将不“相同的数求和”（一般）化归为“相同数的求和”（特殊），这就是推导等差数列求和公式的思想精髓．不仅如此，将一般的求和问题化归为我们会求（特殊）的求和问题这种思想还将在以后的求和问题中反复体现． 在等差数列求和公式的推导过程中，其实有这样一个问题链： 为什么要对和式分组配对？（因为想转化为相同数求和） 为什么要“倒序相加”？（因为可以避免项数奇偶性讨论） 为什么“倒序相加”能转化为相同数求和？（因为等差数列性质）
等差数列求和公式
等差数列求和公式 等差数列的和=（首相+末项）÷2×项数 注：（首相+末项）÷2可以看做是等差数列的中间项，即把等差数列的每一项都变成中间项a，就可以把等差数列看成求a+a+a+…+a+a+a+a的和。 末项=首项+公差×（项数-1） 首项=末项-公差×（项数-1） 公差=（末项-首项）÷（项数-1） 项数=（末项-首项）÷公差+1 后面三个式子可以用第二个式子推得，推出公式如下： 把第二个式子：末项=首项+公差×（项数-1） 移项，把“公差×（项数-1）”从等号右面移到左面，并变符号（加号变成减号）， 等式左面就变成“末项-公差×（项数-1）”，等式右面还剩下“首项”， 写成等式就是：末项-公差×（项数-1）=首项 即第三个式子就推出来了：“首项=末项-公差×（项数-1）” 把第二个式子：末项=首项+公差×（项数-1） 移项，把“首项”从等式右面移到等式左面，并变符号， 等式左面就变成“末项-首项”，等式右面还剩下“公差×（项数-1）” 写成等式就是“末项-首项=公差×（项数-1）” 再把等式右面的“（项数-1）“移到等式左面，并变号（乘号变成除号）， 等式左面变成“（末项-首项）÷（项数-1）”，等式左面只剩下“公差” 写成等式就是：（末项-首项）÷（项数-1）=公差 即第四个式子就推出来了：“公差=（末项-首项）÷（项数-1）” 把第二个式子：末项=首项+公差×（项数-1） 移项，把“首项”从等式右面移到等式左面，并变符号， 等式左面就变成“末项-首项”，等式右面还剩下“公差×（项数-1）” 写成等式就是“末项-首项=公差×（项数-1）” 再把等式右面的“公差”移到等式左面，并变号（乘号变成除号）, 等式左面变成“（末项-首项）÷公差”，等式右面还剩下“项数-1” 写成等式：（末项-首项）÷公差=项数-1 再把等式右面的“1”移到等式左面，并变符号（减号变加号） 等式左面就变成“（末项-首项）÷公差+1”，右面只剩下“项数” 写成等式就是：（末项-首项）÷公差+1=项数 即第五个式子就推出来了：“项数=（末项-首项）÷公差+1”
等差数列前n项和的公式推导
等差数列的前n项和 一．教学目标： 知识与技能目标： 1.掌握等差数列前n项和公式； 2.掌握等差数列前n项和公式的推导过程; 3.会简单运用等差数列前n项和公式. 过程与方法目标： 1.通过对等差数列前n项和公式的推导,体会倒序相加求和的思想方法； 2.通过公式的运用体会方程的思想. 情感态度与价值观目标： 进入21世纪之后，数学文化的研究更加深入。结合文学作品,将教材知识和诗歌联系起来,使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体察社会文化和数学文化之间的互动，提升学生数学抽象和数学建模的核心素养，使学生感受到数学的文化品位；在公式的推导过程中，体验特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，提高学生的逻辑推理和数学运算的核心素养，体会方程的思想方法.在公式的记忆过程中，借助于几何图形，展现了数学的统一美，提高学生直观想象的核心素养，培养学生勇于创新的科学精神. 二．教学重点难点： S公式的推导；会简单应用求和公式. 教学重点：理解并掌握等差数列前n项和 n 教学难点：倒序相加的思想方法推导等差数列前n项和公式思路的获得. 三．教学策略及设计 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，引导学生自主探究，分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解记忆公式，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点. 四. 教法、学法 本课采用“探究——发现”教学模式. 教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.学生的学法突出探究、发现与交流. 五. 教学过程 教学过程设计为六个教学环节：
(一 ) 创设情境，提出问题 课前，分发印有宝塔诗《花》的卡片. 教师：我们常中的校园繁花似锦，不禁让我想起唐代张南史的一首诗《花》： 问题1：（播放媒体资料宝塔诗：花） 花 （唐） 张南史 花 花 深浅 芬葩 凝为雪 错为霞 莺和蝶到 苑占宫遮 已迷金谷路 频驻玉人车 芳草欲陵芳树 东家半落西家 愿得春风相伴去 一攀一折向天涯 【设计意图】通过宝塔诗，这种非常奇特的诗体的外表形式，让学生感受到用数学的思想、方法来度量诗歌的写作形式，别有一番风味，努力使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位。用数学的观点观察现实，通过理性思维，追求创新精神，欣赏数学之美。让学生体会到数学与文学是相通的，在文学作品中进一步提升学生的数学建模意识. 教师：从数学的角度，这首诗有什么特点？ 教师追问：能提出一个数学问题吗？ （文学中写诗歌、写作文都是有字数要求的） 问题1： 这首诗的内容一共有多少个字？ 即: ()246810121421234567?S =++++++=++++++= 教师：根据诗中文字的对称性，我们也可以取其一半来研究.怎样快速求出结果？ 教师追问：你是怎么想到的？ 从而引出123100?S =++++= 著名数学家高斯小时候就会算，闻名于世，那么小高斯是如何快速地得出了答案的呢？请同学们思考高斯方法的特点，适合类型和方法本质. 学生活动1： （高斯用的是偶数个相加时首尾等距离配对，变不同数的加法运算为相同数的加法运算，变加法为乘法，大大提高效率.） 特点： 首项与末项的和： 1100101+= ， 第2项与倒数第2项的和： 299101+=， 第50项与倒数第50项的和： 5051101+=， 于是所求的和是： 101505050?= 123100101505050++++=?= 教师：还有其他办法吗？ 预设：学生会用下发的卡片，进行实验操作，从图形倒置拼补上解决问题.
等差数列求和公式
等差数列求和公式 Sn=n(a1+an)/2 或Sn=[2na1+n(n-1)d]/2 注：an=a1+(n-1)d 转换过程： Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1)d]/2 应该是对于任一N均成立吧（一定）,那么 Sn-S(n-1)=[n(a1+an)-(n-1)(a1+a(n-1))]/2=[a1+n*an-(n-1)*a(n-1)]/2=an 化简得(n-1)a(n-1)-(n-2)an=a1,这对于任一N均成立 当n取n-1时式子变为,(n-3)a(n-1)-(n-2)a(n-2)=a1=(n-2)an-(n-1)a(n-1) 得 2(n-2)a(n-1)=(n-2)*(an+a(n-2)) 当n大于2时得2a(n-1)=an+a(n-2)显然证得他是等差数列 和＝（首项＋末项）×项数÷2 项数＝（末项-首项）÷公差＋1 首项=2和÷项数-末项 末项=2和÷项数-首项 末项=首项+（项数-1）×公差 性质： 若m、n、p、q∈N ①若m＋n=p＋q，则am+an=ap+aq ②若m+n=2q，则am+an=2aq 等比数列求和公式 (1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。 (2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)； 推广式：an=am×q^(n-m)； (3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) (n为比值，a为项数） (4)性质： ①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq； ②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列. ③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2 (5)"G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠ 0）". (6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
等差数列求和公式word版本
等差数列求和公式
等差数列求和公式 等差数列前n 项和公式d n n na n a a S n n 2 )1(2)(11-+=+=,是数列部分最重要公式之一,学习公式并灵活运用公式可分如下四个层次: 1.直接套用公式 从公式d n n na n a a n a a S m n m n n 2 )1(2)(2)(111-+=+=+=+-中,我们可以看到公式中出现了五个量,包括,,,,,1n n S n a d a 这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求. 例1 设等差数列{}n a 的公差为d,如果它的前n 项和2n S n -=,那么( ). (A)2,12-=-=d n a n (B)2,12=-=d n a n (C)2,12-=+=-d n a n (D)2,12=+-=d n a n 解法1 由于2n S n -=且1--=n n n S S a 知,,12)1(22+-=-+-=n n n a n ],1)1(2[121+---+-=-=-n n a a d n n ,2-=d 选(C). 解法2 ,2 )1(21n d n n na S n -=-+=Θ对照系数易知,2-=d 此时由21)1(n n n na -=--知,11-=a 故,12+-=n a n 选(C). 例2 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知331S 与44 1S 的等比中项为551S ,331S 与44 1S 的等差中项为1,求等差数列{}n a 的通项n a . 解 设{}n a 的通项为,)1(1d n a a n -+=前n 项和为.2 )1(1d n n na S n -+= 由题意知?????=+=? 2413 1)51(4131432543S S S S S , 即?????=?++?+?+=?+??+ 2)2344(41)2233(3 1)2455(251)2344(41)2233(31112111d a d a d a d a d a
(完整word版)等差数列的求和公式教学设计
等差数列前n项和 教学案例： 一、教学设计思想 本堂课的设计是以个性化教学思想为指导进行设计的。 本堂课的教学设计对教材部分内容进行了有意识的选择和改组，为了体现个性化教学的教学理念，在教法上，采用了以学生为主体，以问题为中心，以老师为引导，以小组的合作为主要学习方式。课堂结构个性化，让学生在探究中展现个性，在合作中促进学生的个性发展。 在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。 二、学生情况与教材分析 1、学生通过上一节的学习，已经了解了等差数列的定义，基本上掌握了通项公式，会运用等差数列的通项公式进行解题，因此只要简单地回顾上一节课的知识就可引入新课； 2、几何能直观地启迪思路，帮助理解，特别是对于职中类学生，他们对知识的理解还是处于模糊阶段，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。 3、学习应该是学生积极主动的建构知识的过程，应该与学生熟悉的背景相联系。本课要求学生通过自主地观察、讨论、归纳、反思来参与学习，认识和理解数学知识，学会发现问题并尝试解决问题，在学习活动中进一步提升自己的能力。 三、教学目标 1、知识目标 （1）掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法； （2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 2、能力目标 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。
