等差数列求和公式word版本

等差数列求和公式

等差数列求和公式

等差数列前n 项和公式d n n na n a a S n n 2

)1(2)(11-+=+=,是数列部分最重要公式之一,学习公式并灵活运用公式可分如下四个层次:

1.直接套用公式 从公式d n n na n a a n a a S m n m n n 2

)1(2)(2)(111-+=+=+=+-中,我们可以看到公式中出现了五个量,包括,,,,,1n n S n a d a 这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求. 例1 设等差数列{}n a 的公差为d,如果它的前n 项和2n S n -=,那么( ).

(A)2,12-=-=d n a n (B)2,12=-=d n a n

(C)2,12-=+=-d n a n (D)2,12=+-=d n a n 解法1 由于2n S n -=且1--=n n n S S a 知,,12)1(22+-=-+-=n n n a n ],1)1(2[121+---+-=-=-n n a a d n n ,2-=d 选(C).

解法2 ,2

)1(21n d n n na S n -=-+=Θ对照系数易知,2-=d 此时由21)1(n n n na -=--知,11-=a 故,12+-=n a n 选(C).

例2 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知331S 与44

1S 的等比中项为551S ,331S 与44

1S 的等差中项为1,求等差数列{}n a 的通项n a . 解 设{}n a 的通项为,)1(1d n a a n -+=前n 项和为.2

)1(1d n n na S n -+= 由题意知?????=+=? 2413

1)51(4131432543S S S S S , 即?????=?++?+?+=?+??+ 2)2344(41)2233(3

1)2455(251)2344(41)2233(31112111d a d a d a d a d a

化简可得,2252053121?????=+=+d a d d a 解得???==101a d 或?????=-=45121a d

由此可知1=n a 或.5

12532)512)(1(4n n a n -=--+= 经检验均适合题意,故所求等差数列的通项为1=n a 或.5

12532n a n -=

2.逆向活用公式 在公式的学习中,不仅要从正向认识公式,而且要善于从反向分析弄清公式的本来面目.重视逆向地认识公式,逆向运用公式,无疑将大大地提高公式的解题功效,体现了思维的灵活性.

例3 设,N n ∈求证:

.2)3()1(32212)1(+<+++?+?<+n n n n n n Λ 证明 ,3212

)1(n n n ++++=+ΛΘ 又,211?<,322?<,)1(,+

.)1(32212

)1(+++?+?<+∴n n n n Λ 又),1(4322

)3(+++++=+n n n ΛΘ 且,221

.2

)3()1(3221+<+++?+?∴n n n n Λ 例4 数列{}n a 对于任意自然数n 均满足2)(1n a a S n n +=

,求证: {}n a 是等差数列.

证明 欲证n n a a -+1为常数, 由2)(1n a a S n n +=及2

)1)((111++=++n a a S n n 可得 11)1(+-+=n n a n a na 推出,)1(211+++=+n n na a a n

作差可得,221+++=n n n na na na 因此.112n n n n a a a a -=-+++

由递推性可知: d d a a a a a a n n n n (12112=-==-=-+++Λ为常数),所以命题得证.

这是九四年文科全国高考试题,高考中得分率极低,我们不得不承认此为公式教学与学习中的一个失误,倘若能重视逆向地认识公式,理解公式,应用公式,还“和”为“项”,结局还能如此惨重吗?

3.横向联系,巧用公式

在公式的学习过程中,还要从运动、变化的观点来认识公式,从函数及数列结合的角度分析透彻理解公式,公式d n n na S n 2

)1(1-+=表明是关于n 的二次函数,且常数项为0,同时也可以看出点列),(n S n 均在同一条抛物线上,且此抛物线过原点,体现了思维的广阔性,请再看例2.

解 设bn an S n +=2,则可得

?????=++++?=?+???+? 2)416(41)39(3

1)]55(51[)44(41)33(312222b a b a b a b a b a 解得???==10b a 或??

???=-=52656b a ,所以n S n =或,526562n n S n +-= 从而1=n a 或.5

12532n a n -=

例5 设等差数列{}n a 的前项和为n S ,已知,0,0,1213123<>=S S a 指出12321,,,,S S S S Λ中哪一个值最大,并说明理由.

解 由于d n n na S n 2)1(1-+

=表明点列),(n S n 都在过原点的抛物线上,再由,0,01312<>S S

易知此等差数列公差d<0,且,01>a 图象如图所

示,

易知其对称轴为)5.6,6(,00∈=x x x ,

O

于是0,076<>a a ,故6S 最大.

4.恰当变形妙用公式

对公式进行适当变形,然后再运用公式是公式应用的较高层次,从而丰富了公式本身的内涵,往往给解题带来捷径,体现了思维的深刻性. 对于公式2

)(1n a a S n n +=

,变形可得 2

))((2)(2)(111m n a a m a a n a a S n m m m n m n -+++=+=++-, 对于公式d n n na S n 2)1(1-+=,变形可得,2

11d n a n S n -+= 它表明对于任意N n ∈,点列),(n S n n 都在同一直线)2

(2:1d a x d y l -+=上.

例6 等差数列{}n a 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为( )

(A)130 (B)170 (C)210 (D)260

解法1 2

3)(313m a a S m m +=Θ 又由于1002

30212=?++=+m a a S m m m , 140)(21=+∴+m m a a m ,=+∴)(31m a a m 140)(21=++m m a a m , 从而,2102

31403=?=

m S 选(C). 解法2 由于点),

(m S m m )2,2(2m S m m )3,3(3m S m m 在同一直线)2(21d a x d y -+=上,因此

m

m m S m S m m m S m S m m m m --=--222323223,化简可得:210)(323=-=m m m S S S ,选(C).

解法3 由于点列),

(n S n n 均在同一直线上,说明数列?

?????n S n 成等差数列,从而可得 ?????????=+=??=+ 243

)5(434253432543453S S S S S S S S ,解得?????=== 5S 43543S S 或?????????-===4

58524543S S S 从而可求得???==1154a a 或??

???-=-=528

51654a a , 故等差数列{}n a 通项为1=n a 或.5

12532n a n -=

从以上可以看出,对公式的学习不应仅仅停留在公式的表面.对公式深刻而丰富的内涵忽视或视而不见,而应充分挖掘出这些隐藏在内部的思想方法为我所用,提高公式的解题功效,才能达到灵活运用公式的较高境界.