第二节二元函数的一阶、二阶偏导数

第二节

二元函数的一阶、二阶偏导数

一、二元函数的一阶偏导数

1、在某点处的一阶偏导数——已知二元函数

z f(x ，y) 在点(x ，y 0)处及其附近有定

义，若一元函数z

f(x ，y 0)在点x 0处对x 可导，则称此导数值为二元函数

z f(x ，y)在点(x 0，y 0)处对x 的一阶偏导数，记作

f x (x 0，y 0) ，或z x |x

x 0，或

y y 0 f(x 0，y 0)

；

，或 |x x x

x yy

若一元函数z

f(x ，y 0 )在点y 0处对y 可导，则称此导数值为二元函

数

z f (x ，y)

在点(x 0，y 0)处对y 的一阶偏导数，记作 f y (x 0，y 0)，或z y |x

x 0，或

f(x 0，y 0)

，或 y y y 0

z x 0。

|x yy y 0 2、可导与连续关系：尽管在某点处两个一阶偏导数都存在，却不能保证在该点处连续。

3、在某区域上的一阶偏导数——若二元函数

f(x ，y)在区域E 上每一点(x ，y)处都

有对x ，对y 的一阶偏导数，则对于区域 E 上每一点(x ，y)都有一个对x 的一阶偏导

数值和一个对 y 的一阶偏导数值与之对应，于是得到两个新的二元函数，这两个新

的二

元函数分别称

为

z f (x ，y)对x ，对y 的一阶偏导函数，简称一阶偏导数，分别记作 f x (x ，y)，或z x ，或 f(x ，y) z

，或和f y (x ，y)，或z y ，或f(x ，y)，或z

。

x x y

y 二、二阶偏导数

1、定义——二元函数 z

f(x ，y)一阶偏导数的一阶偏导数称为二元函数

z f (x ，y)

的二阶偏导数，共有四个，分别记作

f xx (x ，y) (f x (x ，y))x ，或z xx ，或 f 2

(x ，y)

x 2 ，或

x 2

，

f xy (x ，y) (f x (x ，y))y ，或z xy ，或

f(x y)，或 z y x x y

2 ，

f yx(x，y) (f y(x，y))x，或z yx，或f(x y)，或z

y x

x y

f yy(x，y) (f y(x，y))y，或z yy，或f2(x，y)，或2z。

y2y2

简单复合函数求导

简单复合函数的导数一、基础知识梳理：（一）常用的求导公式 11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();1 7.()log ,'()(0,1); ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x == 则（二）复合函数的求导数公式若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则 2 )()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'='' =''+'='?'±'='± （三）复合函数求导法则 1、二重复合：若)(u f y =， )(x u φ= 且)(x u φ=在点x 处可导。则)()('?'='x u f y φ 2、多次复合函数求导法则类推二、典型例题分析：例1、求下列函数的导数； 1）、3 (23)y x =- 2）、ln(51)y x =+

练习：求下列函数的导数 1）、2 (23)y x =+ 2）、3 (13)y x =- 例2、求下列函数的导数； 1）、1 31 y x = - 2)、cos(12)y x =- 练习：求导数； 1）、1ln y x = 2）、2x y e = 3）、求曲线sin 2y x =在点P （,0π）处的切线方程。例题3 已知(5)5,'(5)3,(5)4,'(5)1f f g g ==== ，根据下列条件求(5)h 及'(5)h 1）、()3()2()h x f x g x =+ 2）、 ()()()1h x f x g x =+ 3）、()2 ()() f x h x g x +=

复合函数的求导法则(导案)

当堂检测 1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）4 x x y = ；（2）1ln 1ln x y x -=+．（3）2(251)x y x x e =-+?；（4）sin cos cos sin x x x y x x x -=+ 解：（1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4 x x x x x x x x x x x x x y ?-??-?-====， '1ln 44x x y -=。（2）''''221 1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln ) x x y x x x x x x -==-+==?=+++++ '2 2(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+?+-+? 22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-?+-+?=--?， '2(24)x y x x e =--?。（4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x -=+ '' 2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin ) x x x x x x x x x x x x x x x -?+--?+=+ 2 (cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+?+--?-++= + 2 sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ?+--?=+ 2 2 (cos sin )x x x x =+。 2 ' 2(cos sin )x y x x x =+

多元复合函数求导法则【包含偏导数】

§8.4 多元函数求导法则【定理】若函数及都在点可导; 函数在对应点具有连续偏导数, 则复合函数在点可导,且其导数为 (1) 证明:设获得增量,这时的对应增量为,函数的对应增量为。据假定,函数在点具有连续偏导数,从而有这里,当时,。上式两边除以得而当时,有,从而所以故复合函数在点可导,其导数可用(1)式计算。用同样的方法,可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。例如, 设与复合而得到函数。若在点可导, 对具有连续偏导数, 则复合函数在点可导, 且 (2)在公式(1)与(2)中的导数称为全导数。

上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形。例如, 设与复合而得到函数 ,若在点具有对及的偏导数, 函数在对应点具有连续偏导数, 则在点的两个偏导数存在, 且 (3) 事实上,求时,看作常量,因此中间变量及仍可看作一元函数而应用上述定理。但均是的二元函数,所以应把(1)式中的直导数记号改为偏导数的记号,再将换成,这样便得到了(3)式。类似地, 设及均在点具有对及的偏导数,而函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数在点的两个偏导数都存在,且 (4) 例如,若有连续偏导数,而偏导数存在,则复合函数可看作上述情形中当的特殊情形, 因此 (4)式变成

等式两边均出现了或,尽管记号一样,但其意义有本质的差别,以第一式加以阐明: 左边的是将复合函数中的看作常数,而对求偏导数；右边的是把函数中的及看作常数,而对求偏导数。因此,为了避免麻烦, 我们往往将上述两式的形式写为由该复合函数变量间的关系链，可对此求（偏）导数法则作如下解释：求,可沿第一条线路对求导, 再沿第二条线路对求导, 最后把两个结果相加。而沿第一条线路对求导,相当于把分别视为常量,就成了的函数,而又是的函数,求导结果自然是 ( 这与一元复合函数求导法则很类似)；而沿第二条线路对求导,相当于把分别视为常量,就成了的函数,而又是的函数,求导结果自然是。

复合函数求导方法和技巧

复合函数求导方法和技巧毛涛（陕西理工学院数计学院数学与应用数学专业2011级1班，陕西汉中 723000）指导老师：刘延军 [摘要]复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是微积分中的一个重点和难点，因此本文先从复合函数的定义以及性质入手，在全面了解复合函数后再探讨复合函数的求导方法，分析复合函数求导过程中容易出现的问题，然后寻求能快速准确的对复合函数进行求导的方法，并进行归纳总结，最终进行推广，帮助学生的有效学习。 [关键词] 复合函数，定义，分解，方法和技巧，数学应用 1引言复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是高等数学三大基本运算中的关键，是学生深入学习高等数学知识，提高基本运算技能的基础，对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着至关重要的作用，在各学科和现实生活中也发挥着越来越重要的作用，从而必须解决复合函数的求导问题。同时，在教学过程中，许多学生在进行求导时也犯各种各样的错误，有的甚至在学习复合函数求导之后做题时仍然不会进行求导，或者只能求导对一部分，而对另外一部分比较复杂的复合函数则还停留在一知半解的程度上，不知该求导哪一部分，也不知要对哪一部分得进行分解求导。复合函数求导方法是求导的重中之重，而且也是函数求导、求积分时不可缺少的工具，这个问题解决的好坏直接影响到换元积分法甚至以后的数学学习是否能够顺利进行。求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，然后由外层向内层逐层求导（或者也可以由内层向外层逐层求导），直到关于自变量求导，同时还要注意不能漏掉求导环节并及时化简计算结果。因此本文先给出了复合函数的定义和性质，在充分了解并且掌握复合函数的概念之后，根据其定义和性质对各种复合函数进行求导，通过对链式求导法、对数求导法、反序求导法、多元复合函数的一元求导法以及反函数求导法的分析，加以对各种对应例题的详细分解，分析每一步的步骤，比较各种求导方法，明确并且能够掌握各种题型的最佳解决方法，最终寻求一种能够既简便又准确的解决复合函数求导问题的方法，并总结技巧，方便在以后学习生活中的使用。 2复合函数的定义如果y 是a 的函数，a 又是x 的函数，即()y f a =，()a g x =，那么y 关于x 的函数[] ()y f g x =

复合函数求导法则及其应用

习题 4.4 复合函数求导法则及其应用 ⒈ 求下列函数的导数： ⑴ y x x =-+()2122； ⑵ y x x =e sin 23； ⑶ y x = +1 13 ； ⑷ y x x = ln ； ⑸ y x =sin 3； ⑹ y x =cos ； ⑺ y x x x =+-++11ln()； ⑻ y x =-arcsin (e )2 ； ⑼ ?? ? ? ?- =221ln x x y ； ⑽ y x x =+1 222(sin )； ⑾ y x x x = +-1122 ln ； ⑿ y x x = +12 csc ； ⒀ y x x = -++2213 31 23 34； ⒁ y x =-e sin 2 ； ⒂ y x a x x a x =-+-2 2 22. 解（1）)14)(12(2)'12)(12(2'222-+-=+-+-=x x x x x x x y 。（2）)3sin 23cos 3(3sin )'()'3(sin '222x x e x e x e y x x x +=+=。（3）23 32323 3)1(2 3 )'1()1(21'--+-=++-=x x x x y 。（4）2 12 ' 2 1 ln 2ln 1ln ln 21'?? ? ??-=?? ? ????? ??=x x x x x x x x y 。（5）3233cos 3)'(cos 'x x x x y ==。（6）x x x x y 2sin )'(sin '- =-=。

（7 ）1'2y = （8 ）2 2 'x x y --= = = 1 22 2--x e x 。（9）44 2 4(1)'1'[ln(1)ln(]'21x y x x x x -=--=--=4422 (1)x x x +-。（10）2232(2sin )''(2sin )x x y x x -+=+=3 2) sin 2() cos 4(2x x x x ++-。（11 ）'y = = 2 322222)1() 21)(ln 1(ln )1(2x x x x x x - -+--。（12 ）2 ' '1csc x x y x =+ = 2222 322 1csc csc cot (1csc ) x x x x x ++= +。（13 ）'y =+ 452323 4112()(21)(4)3()(31)(9)34x x x x --=--+-+ 45 223 34827(21)(31)34 x x x x --=---+。（14）2sin 2'e (sin )'x y x -=-2 sin sin 2x x e -=-?。

多元复合函数的一阶`二阶偏导数的求法

多元复合函数的一阶`二阶偏导数的求法课程名称高等数学授课周次第15周第2次授课方式课堂讲授第六章、第六节复合函数与隐函数的微分法(1) 2 章(节) 课时名称教学目的使学生掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法教学重点多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法教学难点多元抽象复合函数的二阶偏导数的求法一、教学引导: 现在要将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形。多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。二、学生课前准备: 复习一元复合函数的求导法则;预习多元复合函数的求导法则三、课堂教学过程: 第一节课:多元复合函数的求导法则: 1, 复合函数的中间变量均为一元函数的情形: 定理1 如果函数u,,(t)及v,,(t)都在点t可导～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函数z,f[,(t)～ ,(t)]在点t可导～且有 dz,zdu,zdv,,，, ，称为全导数 dt,udt,vdt dzyz,x,x,sint,y,cost,例1 设求全导数 dt 2, 复合函数的中间变量均为多元函数的情形: 定理2 如果函数u,,(x～ y)～ v,,(x～ y)都在点(x～ y)具有对x及y的偏导

数～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函数z,f [,(x～ y)～ ,(x～ y)]在点(x～ y)的两个偏导数存在～且有教学过程,z,z,u,z,v,z,z,u,z,v,,，,,,，, ～ , ,x,u,x,v,x,y,u,y,v,y设计推广: 设z,f(u～ v～ w )～ u,,(x～ y)～ v,,(x～ y)～ w,,(x～ y)～则,z,z,u,z,v,z,w,z,z,u,z,v,z,w,,，,，,,,，,，, ～ , ,x,u,x,v,x,w,x,y,u,y,v,y,w,y ,z,zu 例2 设 z,esin v～ u,xy～ v,x，y～求和, ,x,y 讨论: ,z,z, (1)设,(～ )～ ,(～ )～ ,()～则,, zfuvu,xyv,y,,x,y ,z,z,u,z,z,u,zdv,,,,，, 提示: ～ , ,x,u,x,y,u,y,vdy ,z,z, (2)设z,f(u～ x～ y)～且u,,(x～ y)～则,, ,,x,y ,f,f,f,f,z,u,z,u,，,，提示: ～ , ,x,u,x,x,y,u,y,y ,f,z,z这里与是不同的～是把复合函数z,f[,(x～ y)～ x～ y]中的y看作 ,x,x,x ,f不变而对x的偏导数～是把f(u～ x～ y)中的u及y看作不变而对x的偏导 ,x ,f ,z,z,u,z,v,z,z,u,z,v,z,,，,数, 与也朋类似的区别，; ,,，,,x,u,x,v,x,y,y,u,y,v,y,y 222 ,u,u2x，y，zz,xsiny例3设～而, 求和 u,f(x,y,z),e,x,y 3(复合函数的中间变量既有一元函数～又有多元函数的情形定理3 如果函数,(～ )在点(～ )具有对及对的偏导数～函数u,xyxyxy v,,(y)在点y可导～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函

第四节多元复合函数的求导法则

第四节多元复合函数的求导法则要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。重点：各种类型复合函数的求导与计算。难点：抽象函数的二阶偏导数计算。作业：习题8－4（36P ）2)3)2)2)3)4)2,4,6,8,10,11,12,13 一．多个中间变量，一个自变量情况定理1 如果函数()u t ?=及()v t ψ=都在点t 可导，且函数),(v u f z =在对应点具有连续偏导数，则复合函数[](),()z f t t ?ψ=在点t 可导，且其导数公式为 d z z d u z d v d t u d t v d t ?? = + ?? （全导数）证明设t 有增量t ?，相应函数()u t ?=及()v t ψ=的增量为 ,u v ??，此时函数),(v u f z =相应获得的增量为z ?．又由于函数),(v u f z =在点(,)u v 处可微，于是由上节定理3证明有 12f f z u v u v u v εε???= ?+ ?+?+??? 这里，当0,0u v ?→?→时，120,0εε→→，上式除以t ?得 1 2z f u f v u v t u t v t t t εε???????=+++???????．当0t ?→时，0,0u v ?→?→，,u du v dv t dt t dt ??→ →??，所以 0l i m t d z z f d u f d v d t t u d t v d t ?→??? ==+???，即 d z f d u f d v z d u z d v d t u d t v d t u d t v d t ?? ? ?= + =+????．此时，dz z du z dv dt u dt v dt ??=+ ??从形式上看是全微分z z dz du dv u v ??= + ??两端除以d t 得到的，常将 d z d t 称为全导数．推论若),,(w v u f z =，()u t ?=，()v t ψ=，)(t w w =复合而的复合函数 [](),(),()z f t t w t ?ψ=满足定理条件，则有全导数公式 d z z d u z d v z d w d t u d t v d t w d t ?? ? = + +?? ? 例1．设函数y x u =，而t x e =，sin y t =，求全导数dt du ．

多元复合函数的偏导数(一)

多元复合函数求导（一）

证一元函数求导法则：一元函数的链式法则链式法则 ()()(())=()y f u u x y f x y x ??==???→=复合，()()dy dy du f u x dx du dx ?''==dy du du dx y u x ??→??→

多元函数的复合情况要复杂一些（一）多元与多元的复合（二）多元与一元的复合（三）一元与多元的复合

证链式法则（多元套多元）如果),(y x u φ=及),(y x v ψ=都在点 ),(y x 具有对x 和y 的偏导数，且函数) ,(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数 )],(),,([y x y x f z ψφ=在对应点),(y x 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算 x v v z x u u z x z ????+????=??， y v v z y u u z y z ????+????=??.

u v x z y 链式法则如图示 =??x z ???u z x u ?????+v z ,x v ??=??y z ???u z y u ?????+v z .y v ??

类似地再推广，设),(y x u φ=、),(y x v ψ=、),(y x w w =都在点 ),(y x 具有对x 和y 的偏导数，复合函数)],(),,(),,([y x w y x y x f z ψφ= 在对应点),(y x 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算 x w w z x v v z x u u z x z ????+????+????=??, y w w z y v v z y u u z y z ????+????+????=??. z w v u y x

复合函数的求导法则教案

§1.2.3复合函数的求导法则教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表导数运算法则 1．[]' ''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]' ''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ?=± 3．[] ' ''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠???? （2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）函数导数 y c = '0y = *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -= sin y x = 'cos y x = cos y x = 'sin y x =- ()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =?> ()x y f x e == 'x y e = ()log a f x x = '1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a ==>≠且 ()ln f x x = '1()f x x =

二．新课讲授复合函数的概念一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==????? 三．典例分析例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例2求y ＝ax x a x 22--的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－ 21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋4 1cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ．【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋ 4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－ 31或x ＝1．于是切点为P （1，2），Q （－31，－27 14），过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2 |1271431|++-＝22716．

65 1.2.3 简单复合函数的导数 (文科：补充)教师版

反思感悟： 1.2.3 简单复合函数的导数（文科：补充）教师版班级：高二（）班姓名：时间：月日一、学习目标 1. 了解复合函数的概念； 2. 理解简单复合函数的求导法则； 3. 会求简单的复合函数的导数. 教学重、难点：简单复合函数的求导法则的理解与应用. 本课内容简析：本课从两个实例入手，归纳、总结出了简单复合函数的求导法则. 在学习中，要注意对简单复合函数的求导法则的准确理解和应用. 二、自学内容阅读选修2-2 P23（文科见导学案附），然后尽可能．．．用多．．种．方法．．完成下列练习. 1. 已知sin 2y x =，求y '. （教材P23）解：法一：[](sin 2)2(sin cos )2(sin )cos sin (cos )y x x x x x x x '''''===+ 222(cos sin )2cos2x x x =-=. 法二：sin 2y x =可由sin y u =及2u x =复合而成，从而cos 22cos2x y u x '=?=. 2. 已知2x y e =，求y '. 解：法一：22()()()()2x x x x x x x x y e e e e e e e e '''''==?=?+?=. 法二：2x y e =可由u y e =及2u x =复合而成，从而2()222u u x x u x y y u e e e ''''=?=?==. 3. 已知2(23)y x =+，求y '. 解：法一：∵24129y x x =++，∴812y x '=+. 法二：[](23)(23)(23)(23)(23)(23)812y x x x x x x x ''''=++=+++++=+. 法三：2(23)y x =+可由2y u =及23u x =+复合而成，从而22812x y u x '=?=+. 三、问题探究例1 求下列函数的导数：（1）3(23)y x =-；（2）ln(51)y x =+；解：（1）3(23)y x =-可由3y u =及23u x =-复合而成，从而322()266(23)x u x y y u u u x ''''=?=?==-. （2）ln(51)y x =+可由ln y u =及51u x =+复合而成，从而55(ln )551x u x y y u u u x ''''=?=?==+.

复合函数的导数练习题

函数求导 1. 简单函数的定义求导的方法(一差、二比、三取极限）（１)求函数的增量)()(00x f x x f y -?+=?; (2)求平均变化率 x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00。（３）取极限求导数=)(0' x f x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000 2.导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点)(0' x f 的导数就是导函数)(x f ，当0x x =时的函数值。 3．常用的导数公式及求导法则: （1)公式 ①0' =C ,（C 是常数)?? ②x x cos )(sin ' = ③x x sin )(cos ' -= ?? ④1' )(-=n n nx x ⑤a a a x x ln )(' = ???⑥x x e e =')( ⑦a x x a ln 1)(log ' = ? ?⑧x x 1)(ln ' = ⑨x x 2'cos 1)(tan = ? ⑩（x x 2' sin 1)cot - = (2)法则:' '')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±, )()()()()]()(['''x f x g x g x f x g x f += ) ()()()()(])()([2'''x g x f x g x g x f x g x f -= 例： (1)()3 24y x x =- (2）sin x y x = （3）3cos 4sin y x x =- (4)()2 23y x =+ （5）()ln 2y x =+

复合函数的导数如果函数)(x ?在点x 处可导，函数f （u )在点u=)(x ?处可导,则复合函数y= f （u )=ｆ [)(x ?]在点ｘ处也可导,并且 (f ［)(x ?])ˊ= [])(x f ?')(x ?' 或记作 x y '=u y '?x u ' 熟记链式法则若y= ｆ（u )，u ＝)(x ?? y= f [)(x ?］,则 x y '=)()(x u f ?'' 若ｙ= f (ｕ)，ｕ=)(v ?,v=)(x ψ? y= f [))((x ψ?］，则 x y '=)()()(x v u f ψ?''' （2)复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内，逐层求导。例1函数4 )31(1 x y -= 的导数. 解:4 ) 31(1x y -= 4 )31(--=x . 设4 -=u y ,x u 31-=，则 x u x u y y '''?=x u x u )'31()'(4-?=- )3(45 -?-=-u 55)31(1212---==x u 5 ) 31(12 x -= .

多元复合函数的求导法则

多元复合函数的求导法则 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】

第四节多元复合函数的求导法则要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。重点：各种类型复合函数的求导与计算。难点：抽象函数的二阶偏导数计算。作业：习题8－4（36P ）2)3)2)2)3)4)2,4,6,8,10,11,12,13 一．多个中间变量，一个自变量情况定理1 如果函数()u t ?=及()v t ψ=都在点t 可导，且函数),(v u f z =在对应点具有连续偏导数，则复合函数[](),()z f t t ?ψ=在点t 可导，且其导数公式为 dz z du z dv dt u dt v dt ??=+ ?? （全导数）证明设t 有增量t ?，相应函数()u t ?=及()v t ψ=的增量为 ,u v ??，此时函数),(v u f z =相应获得的增量为z ?．又由于函数),(v u f z =在点(,)u v 处可微，于是由上节定理3证明有这里，当0,0u v ?→?→时，120,0εε→→，上式除以t ?得 12 z f u f v u v t u t v t t t εε???????=+++???????．当0t ?→时，0,0u v ?→?→，,u du v dv t dt t dt ??→→ ??，所以 0lim t dz z f du f dv dt t u dt v dt ?→???==+ ???，即 dz f du f dv z du z dv dt u dt v dt u dt v dt ????=+=+ ????．此时，dz z du z dv dt u dt v dt ??=+ ??从形式上看是全微分z z dz du dv u v ??=+??两端除以dt 得到的，常将dz dt 称为全导数．推论若),,(w v u f z =，()u t ?=，()v t ψ=，)(t w w =复合而的复合函数 [](),(),()z f t t w t ?ψ=满足定理条件，则有全导数公式例1．设函数y x u =，而t x e =，sin y t =，求全导数 dt du ．

复合函数求导练习题

复合函数求导练习题 1. 简单函数的定义求导的方法求函数的增量?y?f?f； ?yf?f?。 ?x?x f?f 取极限求导数f’?lim ?x?0?x 求平均变化率 2．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点f’的导数就是导函数f，当x?x0时的函数值。．常用的导数公式及求导法则：公式 ①C?0，③’??sinx ‘ ②’?cosx ④’?nxn?1 ⑥’?ex ⑤’?axlna ⑦? ‘ 11’ ⑧? xlnax11’’ cotx)??⑨? ⑩法则：[f?g]?[f]?[g]， [fg]’?f’g?g’f f’f’g?g’f [ ]?2 gg 例：

32 y?xx?4y? ?? sinx x y?3cosx?4sinx y??2x?3? y?ln?x?2? 2 复合函数的导数如果函数?在点x处可导，函数f 在点u=?处可导，则复合函数y= f =f [?]在点x处也可导，并且 ])ˊ= 或记作熟记链式法则若y= f ，u=?? y= f [?]，则 f?????? ??u?y?x=yux y?x=f??? 若y= f ，u=?，v=? ? y= f [?)]，则 ?? y?x=f??? 复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四

则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内，逐层求导。例1函数y? 1 的导数. 4 解：y? 1?4 ． ?4 ，u?1?3x，则设y?u ?4 y’x?y’u?u’x?’u?’x ??4u ?5 ??12u?5?12?5? 12 ．例2求y?x 的导数． 1?x 15

复合函数的导数讲义

复合函数的导数【基础知识】如果函数)(x ?在点x 处可导，函数f (u )在点u=)(x ?处可导，则复合函数y= f (u )=f [)(x ?]在点x 处也可导，并且 (f [)(x ?])ˊ=[])(x f ?')(x ?'或记作 x y '=u y '?x u ' 熟记链式法则若y= f (u )，u=)(x ?? y= f [)(x ?]，则x y '=)()(x u f ?'' 若y= f (u )，u=)(v ?，v=) (x ψ? y= f [))((x ψ?]，则x y '=)() ()(x v u f ψ?''' （2）复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内，逐层求导。【例题详解】例1函数4 ) 31(1x y -= 的导数.例2求51x x y -=的导数．解：4 )31(1x y -= 4 )31(--=x ．解：5 1 1?? ? ??-=x x y ，设4 -=u y ，x u 31-=，则' 5 4 1151'?? ? ??-?? ?? ??-=-x x x x y x u x u y y '''?=x u x u )'31()'(4-?=-2 5 4) 1() 1(1151x x x x x ----? ? ? ? ??-=- )3(45-?-=-u 5 5)31(1212---==x u 5)31(12 x -= ．2 5 4) 1(1151x x x -??? ? ??-=-56 5 4)1(51---=x x 例3 求下列函数的导数 x y 23-= 解：（1）x y 23-= ，令u=3 -2x ，则有y=u ，u=3 -2x 由复合函数求导法则x u x u y y '?'='有y ′=()x u x u )23('-'=x u 231)2(21--=-? 在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量u ，于是前面可以直接写出如下结果：y ˊ= x x x 231)23(2321-- ='-?- 在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程：y ˊ=x x 231)2(2321-- =-?-

复合函数求导

2)()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'=''=''+'='?'±'='±1 0; 2.(),'(); 3.()sin ,'()cos ; 4.()cos ,'()sin ; 5.(),'()ln (0); 6.(),'(); 17.()log ,'()(0,1);ln 8.n n x x x x a f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -======-==>==== >≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x == 则二、复合函数的导数若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则三、基础运用举例 1 y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A 0 B 1 C －1 D 2 2 经过原点且与曲线y =5 9++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x +y =0 B x －y =0或25 x +y =0 C x +y =0或25x －y =0 D x －y =0或25 x －y =0 3 若f ′(x 0)=2,k x f k x f k 2)()(lim 000--→ =_________ 4 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________ 5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程 6 求函数的导数 (1)y =(x 2－2x +3)e 2x ; (2)y =3 1x x -

复合函数的导数教案

复合函数的导数教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高二数学选修2-2复合函数的导数教案李玲一、学习目标理解并掌握复合函数的求导法则．二、重点难点本节的重点是复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．本节的难点是：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．三、典型例题 1．求复合函数的导数求函数的导数思考一;若x=1求f （1）需要几步骤 1：计算一次函数3x+1=3*1+2=5 2：再计算ln （3*1+2）=ln5 探究1、探究函数的结构特点因此y=ln （3x+2）是由内函数为一次函数外函数为对数函数复合而成的复合函数探究:2：求复合函数的导（由内而外给每一层命名） ;x u x u y y '?'=' （由外而内逐层求导再相乘）小结：分析由内而外。求导由外向内并保持导外层内层不变原则）类比于一个洋葱种子由内而外生长，由外向内剥皮，但剥外层不影响内层。练习提升: () 2x 3ln x f y +==）（2x 3x u +=）（解：令()u ln u y =u y u 1='3x ='u 23332313u 1x +=?+=?='x x y 的导数。求函数）（4x 3sin e y +=4x 3x V +=）（()sinv v u =() u e u y =）（4x 3sin x e y +='()43x cos +?3?

课堂小结：求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．

复合函数的求导

复合函数的求导【教材分析】我校选用的人教A版教材，在新课标中对于这节内容的要求是掌握运用，在实际教学中要注意对学生的练习训练。这节内容分散在函数的教学任务当中，与函数的综合运用紧密联系在一起，注重考查学生对于函数知识的理解和运用。复合函数求导的重要内容既涉及常见函数的求导法则，同时要求学生能准确理解复合函数的求导法则，熟练掌握复合函数的求导方法，这是教材导数部分的重点也是难点。在教学设计的整体思路上采用由特殊到一般，由简单到复杂的思想，以教师精讲，学生多练，结合启发式教学法、比较法等方法发挥学生主体作用。【学情分析】我带两个文科班级，学生的数学底子薄弱，尤其在函数方面的知识应用的能力需要提高。在高一阶段的函数知识的学习上，可以感觉到学生在这一方面的学习上还有不少缺陷，但限于课时的安排，只能暂时割弃。这样，学生在函数的理解上就处于半懂半不懂的状态，还需要进行一定量的强化练习才能在函数的有关习题中获得自己的一些体会。在涉及到复合函数的知识中，学生容易不理解其概念意义，从而在学习上遇到很大的困难。在前面的学习当中，一些学生已经暴露出一些迷惑，再加上在函数内容的学习中有了一些短处，在研究复合函数的相关性质上，难度就进一步加大了。在不影响教学进度的情况下，对于这类内容的讲解会适当放慢，加大学生课堂思考的时间，争取可以在课堂上解决一些疑问。再配合课下的一些相关练习，让学生可以理解清晰，掌握明白。【教学目标】 1、知识与技能理解掌握复合函数的求导法则，能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导。 2、过程与方法回顾函数的求导法则以及复合函数的相关概念，在学习当中，采用由特殊到一般、由简单到复杂的思想方法，在教师的引导下，思考学习复合函数的求导知识。 3、情感、态度和价值观培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律的态度。在学习当中，体验由特殊到一般、由简单到复杂的数学思想，进一步培养

3.4 复合函数的导数(2)

课题： 3．4复合函数的导数(2) 教学目的： 1. 掌握复合函数的求导法则，并能进行简单的运用．教学重点：利用复合函数的求导法则求函数的导数. 教学难点：复合函数的求导法则的应用．授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：如何设中间变量，弄清复合函数是由哪些基本函数复合而成，把哪一部分看成一个整体.求导的次序是由外向内. 对于复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导．教学过程：一、复习引入： 1. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()([' ''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '= 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 3.复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u ) 在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x ). 4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．二、讲解范例：例1函数4 )31(1 x y -= 的导数.