求多元函数二阶偏导数的矩阵方法

第二节二元函数的一阶、二阶偏导数

第二节 二元函数的一阶、二阶偏导数 一、二元函数的一阶偏导数 1、在某点处的一阶偏导数——已知二元函数 z f(x ，y) 在点(x ，y 0)处及其附近有定 义，若一元函数z f(x ，y 0)在点x 0处对x 可导，则称此导数值为二元函数 z f(x ，y)在点(x 0，y 0)处对x 的一阶偏导数，记作 f x (x 0，y 0) ，或z x |x x 0，或 y y 0 f(x 0，y 0) z ； ，或 |x x x x yy 若一元函数z f(x ，y 0 )在点y 0处对y 可导，则称此导数值为二元函 数 z f (x ，y) 在点(x 0，y 0)处对y 的一阶偏导数，记作 f y (x 0，y 0)，或z y |x x 0，或 f(x 0，y 0) ，或 y y y 0 z x 0。 |x yy y 0 2、可导与连续关系：尽管在某点处两个一阶偏导数都存在，却不能保证在该点处连续。 3、在某区域上的一阶偏导数——若二元函数 z f(x ，y)在区域E 上每一点(x ，y)处都 有对x ，对y 的一阶偏导数，则对于区域 E 上每一点(x ，y)都有一个对x 的一阶偏导 数值和一个对 y 的一阶偏导数值与之对应，于是得到两个新的二元函数，这两个新 的二 元函数分别称 为 z f (x ，y)对x ，对y 的一阶偏导函数，简称一阶偏导数，分别记作 f x (x ，y)，或z x ，或 f(x ，y) z ，或 和f y (x ，y)，或z y ，或f(x ，y)，或z 。 x x y y 二、二阶偏导数 1、定义——二元函数 z f(x ，y)一阶偏导数的一阶偏导数称为二元函数 z f (x ，y) 的二阶偏导数，共有四个，分别记作 f xx (x ，y) (f x (x ，y))x ，或z xx ，或 f 2 (x ，y) 2z x 2 ，或 x 2 2 ， 2 f xy (x ，y) (f x (x ，y))y ，或z xy ，或 f(x y)，或 z y x x y 2 ， 2

二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系

目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 (1) 2二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系 (2) 2.1二元函数连续与偏导数存在之间的关系 (2) 2.2二元函数连续与可微之间的关系 (3) 2.3二元函数可微与偏导数存在之间的关系 (3) 2.4二元函数可微与偏导数连续之间的关系 (4) 二元函数连续、偏导数、可微的关系图 (6) 参考文献 (7) 致谢 (8)

本科生毕业论文 2 二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系 摘要 一元函数可微与可导等价，可导必连续.但二元函数并非如此，以下文章给出了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系，并给出了简单的证明，且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件下所具有的共性. 关键词 二元函数 连续 偏导数 可微 The Relationship among Continuation, Partial Derivatives and Differentiability in Binary Function Abstract Unary function differentiable with derivative equivalent, will be continuously differentiable. But the dual function is not the case, the following article gives a continuous function of two variables, partial derivatives, can be said the relationship between them, and gives a simple show, and illustrated with examples related between them and under certain conditions have in common.. Key words binary function continuation partial derivatives differentiability 引言 二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识.本文详细讨论这三者之间的关系. 1 二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 定义1 设f 为定义在点集2D R ?上的二元函数，0D P ∈（0P 或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点），对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要0,)(D P U P δ?∈， 就有0)||()(f P f P ε<-，则称f 关于集合 D 在点0P 连续. 定义2 设函数(,),(,)z f x y x y D =∈，若00,)(y D x ∈且0,)(y f x 在0x 的某一邻域内 有定义，则当极限00000000(,))(,) (,lim lim x x x f x y f x y f x x y x x ?→?→+-=????存在时，则称这个极限 为函数f 在点00,)(y x 关于x 的偏导数，记作0 (,) |x y f x ??. 定义3 设函数(,)z f x y =在点000,)(y P x 某邻域0()U P 内有定义， 对于0()U P 中的点00,)(,)(y P x y x x y ++=??，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为

多元复合函数求导法则【包含偏导数】

§8.4 多元函数求导法则 【定理】若函数及都在点可导; 函数在对应点具有连续偏导数, 则复合函数在点可导,且其导数为 (1) 证明:设获得增量,这时的对应增量为,函数 的对应增量为。 据假定,函数在点具有连续偏导数,从而有 这里,当时,。 上式两边除以得 而当时,有,从而 所以 故复合函数在点可导,其导数可用(1)式计算。 用同样的方法,可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。 例如, 设与复合而得到 函数。 若在点可导, 对具有连续偏导数, 则复合函数在点可导, 且 (2)在公式(1)与(2)中的导数称为全导数。

上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形。 例如, 设 与 复合而得到 函数 ,若 在点 具有对及的偏导数, 函数 在对应点具有连续偏导数, 则在点的两个偏导数存在, 且 (3) 事实上,求时,看作常量,因此中间变量及仍可看作一元函数而应用上述定理。 但均是的二元函数,所以应把(1)式中的 直导数记号改为偏导数的记号,再将换成,这样便得到了(3)式。 类似地, 设及 均在点具有对及的偏 导数,而函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数 在点的两个偏导数都存在,且 (4) 例如,若有连续偏导数,而 偏导数存在,则复合函数 可看作上述情形中当的特殊情形, 因此 (4)式变成

等式两边均出现了 或,尽管记号一样,但其意义有本质的差别,以第一式加以阐明: 左边的是将复合函数 中的看作常数,而对求偏导数； 右边的是把函数中的及看作常数,而对 求偏导数。 因此,为了避免麻烦, 我们往往将上述两式的形式写为 由该复合函数变量间的关系链，可对此求（偏）导数法则作如下解释： 求,可沿第一条线路对求导, 再沿第二条线路对求导, 最后把两个结果相加。 而沿第一条线路对 求导,相当于把分别视为常量,就成了的函数,而又是的 函数,求导结果自然是 ( 这与一元复合函数求导法则很类似)；而沿第二条线路对 求导,相当于把分别视为常量,就成了的函数,而又是的 函数,求导结果自然是。

多元函数的一阶偏导数练习1

多元函数的一阶偏导数练习题 1.Z=ln(e x+e y),y=2x3,求dZ/dx。 2.设Z=arctan(v/u),u=xsiny,v=xcosy,求Z'x，Z'y。

3.z=f(u,v),u=2x2-3y2,v=e x,求dz/dx,dz/dy。 4.设Z=f(2x2-y2,3x+2y),求Z'x，Z'y。

5.设z3+2xyz=33,求?z/?x,?z/?y。 6.设函数z=z(x,y)由方程x+y2-e^2-3z=0所确定,求?z/?y。

7.设函数z=z(x,y)由方程x3+y3+z3-2xyz+2=0所确定,求?z/?x,?z/?y。 8.(x+2)/z=lnz/y,求?z/?x，?z/?y。

9.设u=3x+sin(y/2)+e xyz+33,求?u/?x,?u/?y,?u/?z。 10.u=xyz*e^(x2+2y2+3z2),求?u/?x，?u/?y,?u/?z。

参考答案： 1.dZ/dx=(e x+6x2*e y)/(e x+e y). 2.Z'x=(ucosy-vsiny)/(u2+v2),Z'y=-x(usiny+vcosy)/(u2+v2). 3.dz/dx=4xf'u+e^xf'v，dz/dy=-6yf'u. 4.Z'x=4xf1'+3f2'，Z'y=-2yf1'+2f2'. 5.?z/?x=-2yz/(3z2+2xy)，?z/?y=-2xz/(3z2+2xy). 6.?z/?y=2y/3. 7.?z/?x=(3x2-2yz)/(2xy-3z2),?z/?y=(3y2-2xz)/(2xy-3z2). 8.?z/?x=y/(1+lnz)，?z/?y=(x+2)/(1+lnz). 9.?u/?x=3+yze xyz,?u/?y=(1/2)cos(y/2)+xze xyz,?u/?z=xye xyz. 10. ?u/?x=yz*(1+2x2)e^(x2+2y2+3z2), ?u/?y=xz*(1+4y2)e^(x2+2y2+3z2), ?u/?z=xz*(1+6z2)e^(x2+2y2+3z2).

多元复合函数的一阶`二阶偏导数的求法

多元复合函数的一阶`二阶偏导数的求法课程名称高等数学授课周次第15周第2次授课方式课堂讲授 第六章、第六节复合函数与隐函数的微分法(1) 2 章(节) 课时名称 教学目的使学生掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法 教学重点多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法 教学难点多元抽象复合函数的二阶偏导数的求法 一、教学引导: 现在要将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形。多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。 二、学生课前准备: 复习一元复合函数的求导法则;预习多元复合函数的求导法则 三、课堂教学过程: 第一节课:多元复合函数的求导法则: 1, 复合函数的中间变量均为一元函数的情形: 定理1 如果函数u,,(t)及v,,(t)都在点t可导～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函数z,f[,(t)～ ,(t)]在点t可导～且有 dz,zdu,zdv,,，, ，称为全导数 dt,udt,vdt dzyz,x,x,sint,y,cost,例1 设求全导数 dt 2, 复合函数的中间变量均为多元函数的情形: 定理2 如果函数u,,(x～ y)～ v,,(x～ y)都在点(x～ y)具有对x及y的偏导

数～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函数z,f [,(x～ y)～ ,(x～ y)]在点(x～ y)的两个偏导数存在～且有 教学过程,z,z,u,z,v,z,z,u,z,v,,，,,,，, ～ , ,x,u,x,v,x,y,u,y,v,y设计推广: 设z,f(u～ v～ w )～ u,,(x～ y)～ v,,(x～ y)～ w,,(x～ y)～则,z,z,u,z,v,z,w,z,z,u,z,v,z,w,,，,，,,,，,，, ～ , ,x,u,x,v,x,w,x,y,u,y,v,y,w,y ,z,zu 例2 设 z,esin v～ u,xy～ v,x，y～求和, ,x,y 讨论: ,z,z, (1)设,(～ )～ ,(～ )～ ,()～则,, zfuvu,xyv,y,,x,y ,z,z,u,z,z,u,zdv,,,,，, 提示: ～ , ,x,u,x,y,u,y,vdy ,z,z, (2)设z,f(u～ x～ y)～且u,,(x～ y)～则,, ,,x,y ,f,f,f,f,z,u,z,u,，,，提示: ～ , ,x,u,x,x,y,u,y,y ,f,z,z这里与是不同的～是把复合函数z,f[,(x～ y)～ x～ y]中的y看 作 ,x,x,x ,f不变而对x的偏导数～是把f(u～ x～ y)中的u及y看作不变而对x的偏导 ,x ,f ,z,z,u,z,v,z,z,u,z,v,z,,，,数, 与也朋类似的区 别，; ,,，,,x,u,x,v,x,y,y,u,y,v,y,y 222 ,u,u2x，y，zz,xsiny例3设～而, 求和 u,f(x,y,z),e,x,y 3(复合函数的中间变量既有一元函数～又有多元函数的情形 定理3 如果函数,(～ )在点(～ )具有对及对的偏导数～函数u,xyxyxy v,,(y)在点y可导～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函

多元函数偏导数(第七讲)

第七讲 多元函数偏导数与最值问题 一、多元函数偏导数（抽象函数、隐函数、方程组） 例1．设函数(,,)f x y z 是k 次齐次函数，即(,,)(,,)k f tx ty tz t f x y z =，k 为某一常数，求证：(,,)f f f x y z kf x y z x y z ???++=???． 证明：令, ,u tx v ty w tz ===，则(,,)(,,)k f tx ty tz t f x y z =化为 (,,)(,,)k f u v w t f x y z =， 上式两边对t 求导得 1(,,)k f u f v f w kt f x y z u t v t w t -??????++=??????， 又 ,u v w x y z t t t ???===??? 有 1(,,)k f f f x y z kt f x y z u v w -???++=??? 上式两边同乘以t ，得 (,,)k f f f tx ty tz kt f x y z u v w ???++=??? 即有 (,,)f f f u v w kf u v w u v w ???++=??? 于是得 (,,)f f f x y z kf x y z x y z ???++=???． 例2．设(,,)u f x y z =，2(,,)0y x e z j =，sin y x =，其中,f j 具有一阶连续偏导数，且 0x j ?1?，求du dx ． 解：这是有显函数，隐函数构成的复合函数的求导问题，见复合关系图： 有复合关系，有 x y z du u u dy u dz dy dz f f f dx x y dx z dx dx dx ???￠￠￠=++=++??? x y z x y x u U n R e g i s t e r e d

第四节 多元复合函数的求导法则

第四节 多元复合函数的求导法则 要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。 重点：各种类型复合函数的求导与计算。 难点：抽象函数的二阶偏导数计算。 作业：习题8－4（36P ）2)3)2)2)3)4)2,4,6,8,10,11,12,13 一．多个中间变量，一个自变量情况 定理1 如果函数()u t ?=及()v t ψ=都在点t 可导，且函数),(v u f z =在对应点具有连续偏导数，则复合函数[](),()z f t t ?ψ=在点t 可导，且其导数公式为 d z z d u z d v d t u d t v d t ?? = + ?? （全导数） 证明 设t 有增量t ?，相应函数()u t ?=及()v t ψ=的增量为 ,u v ??，此时函数),(v u f z =相应获得的增量为z ?． 又由于函数),(v u f z =在点(,)u v 处可微，于是由上节定理3证明有 12f f z u v u v u v εε???= ?+ ?+?+??? 这里，当0,0u v ?→?→时，120,0εε→→，上式除以t ?得 1 2z f u f v u v t u t v t t t εε???????=+++???????． 当0t ?→时，0,0u v ?→?→，,u du v dv t dt t dt ??→ →??， 所以 0l i m t d z z f d u f d v d t t u d t v d t ?→??? ==+???，即 d z f d u f d v z d u z d v d t u d t v d t u d t v d t ?? ? ?= + =+????． 此时，dz z du z dv dt u dt v dt ??=+ ??从形式上看是全微分z z dz du dv u v ??= + ??两端除以d t 得到 的，常将 d z d t 称为全导数． 推论 若),,(w v u f z =，()u t ?=，()v t ψ=，)(t w w =复合而的复合函数 [](),(),()z f t t w t ?ψ=满足定理条件，则有全导数公式 d z z d u z d v z d w d t u d t v d t w d t ?? ? = + +?? ? 例1．设函数y x u =，而t x e =，sin y t =，求全导数dt du ．

多元复合函数的偏导数(一)

多元复合函数求导 （一）

证一元函数求导法则： 一元函数的链式法则 链式法则 ()()(())=()y f u u x y f x y x ??==???→=复合 ，()()dy dy du f u x dx du dx ?''==dy du du dx y u x ??→??→

多元函数的复合情况要复杂一些（一）多元与多元的复合 （二）多元与一元的复合 （三）一元与多元的复合

证链式法则（多元套多元） 如果),(y x u φ=及),(y x v ψ=都在点 ),(y x 具有对x 和y 的偏导数，且函数) ,(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数 )],(),,([y x y x f z ψφ=在对应点),(y x 的两个偏 导数存在，且可用下列公式计算 x v v z x u u z x z ????+????=??， y v v z y u u z y z ????+????=??.

u v x z y 链式法则如图示 =??x z ???u z x u ?????+v z ,x v ??=??y z ???u z y u ?????+v z .y v ??

类似地再推广，设),(y x u φ=、),(y x v ψ=、),(y x w w =都在点 ),(y x 具有对x 和y 的偏导数，复合函数)],(),,(),,([y x w y x y x f z ψφ= 在对应点),(y x 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算 x w w z x v v z x u u z x z ????+????+????=??, y w w z y v v z y u u z y z ????+????+????=??. z w v u y x

第二节二元函数的一阶、二阶偏导数

第二节 二元函数的一阶、二阶偏导数 一、二元函数的一阶偏导数 1、 在某点处的一阶偏导数——已知二元函数)(y x f z ，=在点)(00y x ，处及其附近有定 义，若一元函数)(0y x f z ，=在点0x 处对x 可导，则称此导数值为二元函数)(y x f z ，=在点)(00y x ，处对x 的一阶偏导数，记作)(00y x f x ，'，或00|y y x x x z =='，或x y x f ??)(00，，或00 |y y x x x z ==??； 若一元函数)(0y x f z ，=在点0y 处对y 可导，则称此导数值为二元函数) (y x f z ，=在点)(00y x ，处对y 的一阶偏导数，记作)(00y x f y ，'，或00|y y x x y z =='，或y y x f ??)(00，，或0 0|y y x x y z ==??。 2、 可导与连续关系：尽管在某点处两个一阶偏导数都存在，却不能保证在该点处连续。 3、 在某区域上的一阶偏导数——若二元函数)(y x f z ，=在区域E 上每一点)(y x ，处都 有对x ，对y 的一阶偏导数，则对于区域E 上每一点)(y x ，都有一个对x 的一阶偏导数值和一个对y 的一阶偏导数值与之对应，于是得到两个新的二元函数，这两个新的二元函数分别称为)(y x f z ，=对x ，对y 的一阶偏导函数，简称一阶偏导数，分别记作)(y x f x ，'，或x z '，或 x y x f ??)(，，或x z ??和)(y x f y ，'，或y z '，或y y x f ??)(，，或y z ??。 二、二阶偏导数 1、 定义——二元函数)(y x f z ，=一阶偏导数的一阶偏导数称为二元函数) (y x f z ，=的二阶偏导数，共有四个，分别记作 x x xx y x f y x f ))(()(''=''，，，或xx z ''，或22)(x y x f ??，，或22x z ?? y x xy y x f y x f ))(()(''=''，，，或xy z ''，或y x y x f ???)(2，，或y x z ???2

多元复合函数的求导法则

多元复合函数的求导法 则 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】

第四节 多元复合函数的求导法则 要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。 重点：各种类型复合函数的求导与计算。 难点：抽象函数的二阶偏导数计算。 作业：习题8－4（36P ）2)3)2)2)3)4)2,4,6,8,10,11,12,13 一．多个中间变量，一个自变量情况 定理1 如果函数()u t ?=及()v t ψ=都在点t 可导，且函数),(v u f z =在对应点具有连续偏导数，则复合函数[](),()z f t t ?ψ=在点t 可导，且其导数公式为 dz z du z dv dt u dt v dt ??=+ ?? （全导数） 证明 设t 有增量t ?，相应函数()u t ?=及()v t ψ=的增量为 ,u v ??，此时函数),(v u f z =相应获得的增量为z ?． 又由于函数),(v u f z =在点(,)u v 处可微，于是由上节定理3证明有 这里，当0,0u v ?→?→时，120,0εε→→，上式除以t ?得 12 z f u f v u v t u t v t t t εε???????=+++???????． 当0t ?→时，0,0u v ?→?→，,u du v dv t dt t dt ??→→ ??， 所以 0lim t dz z f du f dv dt t u dt v dt ?→???==+ ???，即 dz f du f dv z du z dv dt u dt v dt u dt v dt ????=+=+ ????． 此时，dz z du z dv dt u dt v dt ??=+ ??从形式上看是全微分z z dz du dv u v ??=+??两端除以dt 得到的，常将dz dt 称为全导数． 推论 若),,(w v u f z =，()u t ?=，()v t ψ=，)(t w w =复合而的复合函数 [](),(),()z f t t w t ?ψ=满足定理条件，则有全导数公式 例1．设函数y x u =，而t x e =，sin y t =，求全导数 dt du ．

多元函数的偏导数

多元函数的偏导数 以二元函数为例。 二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念。.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识。 定义1 设f(x,y)为定义在点集D?R2上的二元函数，P0∈D（P0或者是D的聚点，或者是D的孤立点），对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要P∈U(P0,δ)∩D，就有f P?f(P0)<ε，则称f(x,y)关于集合D在点P0连续。定义2 设函数z=f x,y,(x,y)∈D，若(x0,y0∈D且f x,y0在x0的某一邻域内 有定义，则当极限limΔx→0?x f(x0,y0) ?x =limΔx→0f x0+?x,y0?f(x0,y0) ?x 存在时，则称这 个极限为函数f x,y在点x0,y0关于x的偏导数，记作ef ex(x 0,y0) 。 定义3 设函数z=f x,y在点P0x0,y0某邻域U(P0,δ)内有定义，对于U(P0,δ)中的点P x,y=(x0+?x,y0+?y)，若函数f x,y在点P0x0,y0处的全增量可表示为?z=f x0+?x,y0+?y?f x0,y0=A?x+B?y+O(ρ)，其中A、B是仅与点P0x0,y0有关的常数，ρ= ?x2+?y2，O(ρ)是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f x,y在点P0x0,y0处可微。 二元函数连续与偏导数存在不等价，偏导数存在不一定连续，连续不一定偏导数存在.这与一元函数不同.一元函数中，可导一定连续，连续不一定可导。定理1：若z=f x,y在点x,y可微，则z=f x,y在点x,y一定连续。 定理2：若二元函数z=f x,y在其定义域内一点P0x0,y0处可微，则f x,y在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且A=f x x0,y0,B=f y x0,y0。 定理3：若二元函数z=f x,y的偏导数在点P0x0,y0的某邻域内存在，且

第二节 二元函数的一阶、二阶偏导数

第二节 二元函数的一阶、二阶偏导数 一、二元函数的一阶偏导数 1、 在某点处的一阶偏导数——已知二元函数)(y x f z ，=在点)(00y x ，处及其附近有定 义，若一元函数)(0y x f z ，=在点0x 处对x 可导，则称此导数值为二元函数)(y x f z ，=在点)(00y x ，处对x 的一阶偏导数，记作)(00y x f x ，'，或0 |y y x x x z =='，或x y x f ??) (00，，或 0|y y x x x z ==??； 若一元函数)(0y x f z ，=在点0y 处对y 可导，则称此导数值为二元函数)(y x f z ，=在点)(00y x ，处对y 的一阶偏导数，记作)(00y x f y ，'，或0 |y y x x y z =='，或 y y x f ??) (00，，或 0|y y x x y z ==??。 2、 可导与连续关系：尽管在某点处两个一阶偏导数都存在，却不能保证在该点处连续。 3、 在某区域上的一阶偏导数——若二元函数)(y x f z ，=在区域E 上每一点)(y x ，处都 有对x ，对y 的一阶偏导数，则对于区域E 上每一点)(y x ，都有一个对x 的一阶偏导数值和一个对y 的一阶偏导数值与之对应，于是得到两个新的二元函数，这两个新的二元函数分别称为)(y x f z ，=对x ，对y 的一阶偏导函数，简称一阶偏导数，分别记作 )(y x f x ，'，或x z '，或 x y x f ??) (，，或 x z ??和)(y x f y ，'，或y z '，或 y y x f ??) (，，或 y z ??。 二、二阶偏导数 1、 定义——二元函数)(y x f z ，=一阶偏导数的一阶偏导数称为二元函数) (y x f z ，=的二阶偏导数，共有四个，分别记作 x x xx y x f y x f ))(()(''=''，，，或xx z ''，或 2 2 ) (x y x f ??，，或 2 2 x z ?? y x xy y x f y x f ))(()(''=''，，，或xy z ''，或 y x y x f ???)(2 ，，或 y x z ???2 x y yx y x f y x f ))(()(''=''，，，或yx z ''，或x y y x f ???)(2 ，，或x y z ???2