多元函数偏导数第七讲

第七讲 多元函数偏导数与最值问题

一、多元函数偏导数（抽象函数、隐函数、方程组）

例1．设函数(,,)f x y z 是k 次齐次函数，即(,,)(,,)k

f tx ty tz t f x y z =，k 为某一常数，求证：(,,)f f f x

y z kf x y z x y z

???++=???． 证明：令,

,u tx v ty w tz ===，则(,,)(,,)k f tx ty tz t f x y z =化为

(,,)(,,)k f u v w t f x y z =，

上式两边对t 求导得

1(,,)k f u f v f w kt f x y z u t v t w t -??????++=??????， 又 ,u v w

x y z t t t ???===???

有 1(,,)k f f f x y z kt f x y z u v w -???++=???

上式两边同乘以t ，得

(,,)k f f f tx ty tz kt f x y z u v w ???++=??? 即有 (,,)f f f

u v w kf u v w u v w

???++=???

于是得 (,,)f f f

x

y z kf x y z x y z

???++=???． 例2．设(,,)u f x y z =，2(,,)0y x e z j =，sin y x =，其中,f j 具有一阶连续偏导数，且

0x j ?1?，求du dx

． 解：这是有显函数，隐函数构成的复合函数的求导问题，见复合关系图：

有复合关系，有

x y z du u u dy u dz dy dz f f f dx x y dx z dx dx dx

???￠￠￠=++=++??? x

y

z

x

y

x

u

U

n R

e g

i s

t e

r e

d

由2(,,)0y

x e z j =两边对x 求导，得

12320y dy dz

x e dx dx

j j j ￠￠￠++=g g ，

又

cos dy

x dx

=，代入上式得 1231(2cos )y dz x e x dx j j j ￠￠=-+￠

g

于是

123cos (2cos )y z x y f du f f x x e x dx j j j ￠￠￠￠￠=+-+￠

g ． 例3．已知函数(,)u v x y =，满足方程

2222

()0u u u u

a x y x y

????-++=???? （1）试选择参数a ，b ，利用变量(,)(,)x y u x y v x y e a b +=，将原方程变形使得新方程中不

含一阶偏导数项；

（2）再令x y x =+，x y h =-，使新方程变换形式 解：（1）

()x y x y x y u v v e v e v e x x x

a b a b a b a a +++???=+=+??? 2222()()x y x y u v v v

e v e x x x x

a b a b a a a ++????=+++???? 222(2)x y v v

v e x x

a b a a +??=++??， ()x y u v

v e y y

a b b +??=+??， 22222(2)x y

u v v v e y y y

a b b b +???=++??? 将上述式子代入已知方程中，消去x y

e

a b +变得到

222222

(2)(2)()0u u v v a a a a v x y x y

a b a b a b ????-+++-++-++=????， U

n R

e g

i s

t e

r e

d

由题意，令2020a a a b +=ìí-+=?，解出2

2

a a

a b ì=-??í?=??，

故原方程为 2222

0u u

x y ??-=??．

（2）令x y x =+，x y h =-，则

v v v v v x x x x h x h x h

???????=+=+???????， v v v v v

y y y x h x h x h

???????=+=-??????? 22222222v v v v v x x x x x

x h x h x x h x h h ?????????=+++??????????? 22222

2v v v

x x h h ???=++???? 同理 22222

22v v v v y x x h h

????=-+????? 将上面式子代入22220u u

x y

??-=??中得到

20v

x h

?=??． 二、求闭区域上连续函数的最值 （1）先求开区域内的最值，（2）再求区域边界上最值，这是由一元函数或拉格朗日乘数法求出．

例4．求函数2

2

(,)49z f x y x y ==++在闭区域{

}

2

2

(,)4D x y x y =+￡上最大值和最小值．

解：先求(,)f x y 在区域D 内部的驻点，由

(,)0x f x y ￠=，(,)0y f x y ￠=

得到驻点(0,0)对应的函数值(0,0)9f =，

U

n R

e g

i s

t e

r e

d

再考虑函数(,)f x y 在区域D 边界22

4x y +=上的情形，

方法1：讨论2

2

(,)49f x y x y =++在约束条件2

2

4x y +=下条件极值， 令 2

2

2

2

(,)49(4)F x y x y x y l =++++- 求导，得

2222082040F

x x x F

y y y F

x y l l l

ì?=+=?????=+=í????=+-=???， 解方程组，得0x =，2y =±，4l =-或2x =±，0y =，1l =-，

求出函数值(0,2)25f =，(0,2)25f -=，(2,0)13f =，(2,0)13f -=， 比较得(,)f x y 在闭区域D 上最大值

{}max (0,0),(0,2),(2,0)25M f f f =±±=，

最小值(0,0)9m f ==．

方法2：将条件22

4x y +=写成参数形式2cos x t =，2sin y t =代入(,)f x y 中，

22()(2cos ,2sin )4cos 16sin 9t f t t t t j ==++

求导，得 ()8cos sin 32sin cos 24sin cos t t t t t t t j ￠=-+=

令()0t j ￠=，得到0t =，2t p =

，则(0)13j =，(252

p

j =， 因为()t j 是周期函数，所以只讨论0t =，2

t p

=就可以了，结论同上．

U

n R

e g

i s

t e

r e

d