2016最新中考二次函数动点问题(含答案)

二次函数的动点问题

1.如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．

（1）求正方形ABCD 的边长．

（2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度．

（3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标．

（4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ = ∠的点P 有 个．

（抛物线()2

0y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ??-- ???

，．

[解] （1）作BF y ⊥轴于F ．

()()01084A B ，，，，

86FB FA ∴==，．

图①

图②

10AB ∴=．

（2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒．

又1010101AB =÷= ，

． P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位．

（3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥．

GA AP FA AB ∴

=，即610

GA t =． 3

5

GA t ∴=．

3

105OG t ∴=-．

4OQ t =+ ，

()113410225S OQ OG t t ?

?∴=??=+- ??

?．

即2319

20105

S t t =-

++． 19

195323

210b a -=-=???- ???

，且190103≤≤， ∴当19

3t =

时，S 有最大值． 此时476331

1051555

GP t OG t ==

=-=，， ∴点P 的坐标为7631155??

???

，．

（8分）

方法二：当5t =时，1637922

OG OQ S OG OQ ===

= ，，． 设所求函数关系式为2

20S at bt =++．

抛物线过点()63102852??

???

，，，，

1001020286325520.2

a b a b ++=??∴?++=??，

31019.5a b ?=-??∴??=??， 2319

20105

S t t ∴=-

++． 19

195323

210b a -=-=???- ???

，且190103≤≤， ∴当19

3t =

时，S 有最大值． 此时7631155

GP OG ==，， ∴点P 的坐标为7631155??

???

，．

（4）2．

[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。

． 2. 如图①，Rt ABC △中，90B ∠=

，30CAB ∠=

．它的顶点A 的坐标为(100)，，顶点

B

的坐标为(5，10AB =，点P 从点A 出发，沿A B C →→的方向匀速运动，同

时点Q 从点(02)D ，出发，沿y 轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求BAO ∠的度数．

（2）当点P 在AB 上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P 的运动速度．

（3）求（2）中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）如果点P Q ，保持（2）中的速度不变，那么点P 沿AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小，当点

P 沿这两边运动时，使90OPQ ∠= 的点P 有几个？请说明理由．

解: （1）60BAO = ∠．

（2）点P 的运动速度为2个单位/秒． （3

）(10)P t -（05t ≤≤）

1

(22)(10)2

S t t =

+- 2

9121

24t ??=--+

???

． ∴当92t =

时，S 有最大值为1214

，

此时112P ?

??

． （4）当点P 沿这两边运动时，90OPQ = ∠的点P 有2个． ①当点P 与点A 重合时，90OPQ < ∠，

当点P 运动到与点B 重合时，OQ 的长是12单位长度，

作90OPM =

∠交y 轴于点M ，作PH y ⊥轴于点H ，

由OPH OPM △∽△

得：11.5OM =

=， 所以OQ OM >，从而90OPQ > ∠．

所以当点P 在AB 边上运动时，90OPQ = ∠的点P 有1个． ②同理当点P 在BC

边上运动时，可算得1217.8OQ =+

=． （第29题图①）

x t

而构成直角时交y 轴于0?

??，20.217.83

=>， 所以90OCQ < ∠，从而90OPQ = ∠的点P 也有1个． 所以当点P 沿这两边运动时，90OPQ = ∠的点P 有2个．

3. （本题满分14分）如图12，直线43

4

+-

=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B .

（1）求该二次函数的关系式；

（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒

2

3

个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动，当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ?的面积为S .

①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；

②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = .

解：（1）令0=x ，则4=y ；

令0=y 则3=x ．∴()30A ，．()04C ， ∵二次函数的图象过点()04C ，， ∴可设二次函数的关系式为

42++=bx ax y

又∵该函数图象过点()30A ，．()10B -， ∴093404a b a b =++??

=-+?，

．

解之，得34-

=a ，3

8=b ． ∴所求二次函数的关系式为43

8

342++-

=x x y （2）∵43

8

342++-

=x x y =()3

161342+--x

∴顶点M 的坐标为1613??

???

， 过点M 作MF x ⊥轴于F

∴AFM AOCM FOCM S S S =+△四边形梯形

=()1013164213161321=???

? ??+?+?-? ∴四边形AOCM 的面积为10 （3）①不存在DE ∥OC

∵若DE ∥OC ，则点D ，E 应分别在线段OA ，CA 上，此时12t <<，在Rt AOC △中，5AC =．

设点E 的坐标为()11x y ，∴5

4

43

1-=

t x ，∴512121-=t x ∵DE OC ∥，

∴

t t 2

3

51212=- ∴38=t

∵3

8

=t >2，不满足12t <<．

∴不存在DE OC ∥．

②根据题意得D ，E 两点相遇的时间为

1124

42

3543=

+++（秒） 现分情况讨论如下： ⅰ）当01t <≤时，213

4322

S t t t =

?= ； ⅱ）当12t <≤时，设点E 的坐标为()22x y ，

∴

()5

4454

2--=

t y ，∴516362t y -=

∴t t t t S 5

27

5125163623212+-=-??=

ⅲ）当2

16363t

y -=

设点D 的坐标为()44,y x

∴5

32344

-=t y ， ∴5

12

64-=t y

∴AOE AOD S S S =-△△

512632151636321-??--??=

t t =572533+-t ③80243

0=S

47.关于x 的二次函数22(4)22y x k x k =-+-+-以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴上方．

（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；

（2）设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直于x 轴于点B ，再过点A 作

x 轴的平行线交抛物线于点D ，过点D 作DC 垂直于x 轴于点C ，得到矩形ABCD ．设矩

形ABCD 的周长为l ，点A 的横坐标为x ，试求l 关于x 的函数关系式；

（3）当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．

参考资料：抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a

a ??

-- ???，，对称轴是直线

2b

x a

=-

． 解：（1）据题意得：2

40k -=，

2k ∴=±．

当2k =时，2220k -=>． 当2k =-时，2260k -=-<．

又抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，2k ∴=．

∴抛物线的解析式为：22y x =-+．

函数的草图如图所示．（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可） （2）解：令220x -+=

，得x =

不0x <<

112A D x =，2112A B x =-+，

211112()244l A B A D x x ∴=+=-++．

当x >

222A D x =，

2

2

22(2)2A B x x =--+=-． 2

22222()244l A D A B x x ∴=+=+-．

l ∴关于x 的函数关系是：

当0x <<2244l x x =-++；

当x >

2244l x x =+-．

（3

）解法一：当0x <<

1111A B A D =，

得2

220x x +-=．

解得1x =-

，或1x =-

将1x =-代入2

244l x x =-++，

得8l =．

当x >

2222A B A D =，得2220x x --=．

解得1x =

，或1x =

将1x =2

244l x x =+-

，得8l =．

综上，矩形ABCD 能成为正方形，

且当1x =

时正方形的周长为8；

当1

x =

（第26题）

时，正方形的周长为8．

解法二：当0x <<

1x =-．

∴正方形的周长11488l A D x ===．

当x >

1x =

∴正方形的周长22488l A D x ===．

综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当1x =时正方形的周长为8；当1x =

时，正方形的周长为8．

解法三： 点A 在y 轴右侧的抛物线上，

0x ∴>，且点A 的坐标为2(2)x x -+，．

令AB AD =，则2

22x x -+=．

∴222x x -+=， ①或222x x -+=- ②

由①解得1x =-，或1x =-；

由②解得1x =，或1x = 又8l x =，

∴当1x =-时8l =；

当1x =8l =．

综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当1x =时正方形的周长为8；当1x =

时，正方形的周长为8．

5.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB

（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；

（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；

（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．

解：（1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8

∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB ＜OC ∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8） 又∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0） （2）∵点C （0，8）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上 ∴c ＝8，将A （－6，0）、B （2，0）代入表达式，得

第26题图(批卷教师用图)

第26题图

?

?

?

0＝36a －6b ＋8

0＝4a ＋2b ＋8 解得?

????

a ＝－

2

3

b ＝－

83

∴所求抛物线的表达式为y ＝－23x 2－8

3x ＋8

（3）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8，∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴

EF AC ＝BE AB 即EF 10＝8－m

8

∴EF ＝40－5m 4

过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝4

5

∴

FG EF ＝45 ∴FG ＝45〃40－5m 4

＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－1

2（8－m ）（8－m ）

＝12（8－m ）（8－8＋m ）＝12（8－m ）m ＝－1

2m 2＋4m 自变量m 的取值范围是0＜m ＜8 （4）存在．

理由：∵S ＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2

＋8 且－12

＜0，

∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8

∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0） ∴△BCE 为等腰三角形．

6.（14分）如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式.

（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒

的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；

（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。 （注：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2b x a

=-

）

（1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4)

因为B （0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3 所以抛物线解析式为2111

(3)(4)4333

y x x x x =-+-=-

++ 解法二：设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，

依题意得：c=4且934016440a b a b -+=??++=? 解得13

13a b ?=-????=??

所以 所求的抛物线的解析式为211

433

y x x =-++

（2）连接DQ ，在Rt △AOB

中，5AB =

=

所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2

因为BD 垂直平分PQ ，所以PD=QD ，PQ ⊥BD ，所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB ，所以∠ABD=∠ADB ，∠ABD=∠QDB ，所以DQ ∥AB 所以∠CQD=∠CBA 。∠CDQ=∠CAB ，所以△CDQ ∽ △CAB

DQ CD AB CA = 即210

,577

DQ DQ == 所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –

107=257 ，2525

177

t =÷=

所以t 的值是

257

（3）答对称轴上存在一点M ，使MQ+MC 的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为122

b x a =-

= 所以A （- 3，0），C （4，0）两点关于直线1

2

x =对称 连接AQ 交直线1

2

x =

于点M ，则MQ+MC 的值最小 过点Q 作QE ⊥x 轴，于E ，所以∠QED=∠BOA=900 DQ ∥AB ，∠ BAO=∠QDE ， △DQE ∽△ABO

QE DQ DE BO AB AO == 即 10

7453

QE DE

== 所以QE=87，DE=67，所以OE = OD + DE=2+67=207，所以Q （207，8

7

）

设直线AQ 的解析式为(0)y kx m k =+≠

则20

87730

k m k m ?+=???-+=? 由此得 841

2441

k m ?

=???

?=?? 所以直线AQ 的解析式为8244141y x =+ 联立12

8244141x y x ?

=????=+??

由此得12

8244141

x y x ?

=????=+?? 所以M 128(,

)241 则：在对称轴上存在点M 128

(,)241

，使MQ+MC 的值最小。

7. 如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），

OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝

3

1． （1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存

在，请说明理由．

（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG 的最大面积.

（1

将A、B、C三点的坐标代入得

?

?

?

?

?

-

=

=

+

+

=

+

-

3

3

9

c

c

b

a

c

b

a

……………………2分

解得：

?

?

?

?

?

-

=

-

=

=

3

2

1

c

b

a

……………………3分所以这个二次函数的表达式为：3

2

2-

-

=x

x

y……………………3分方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）………………………1分设该表达式为：)3

)(1

(-

+

=x

x

a

y……………………2分将C点的坐标代入得：1

=

a……………………3分所以这个二次函数的表达式为：3

2

2-

-

=x

x

y……………………3分（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3）……………………4分理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：3

-

-

=x

y

∴E点的坐标为（－3，0）……………………4分由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF

∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F，坐标为（2，－3）……………………5分

方法二：易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：3--=x y

∴E 点的坐标为（－3，0） ………………………4分 ∵以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形

∴F 点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合

∴存在点F ，坐标为（2，－3） ………………………5分 （3）如图，①当直线MN 在x 轴上方时，设圆的半径为R （R>0），则N （R+1，R ）， 代入抛物线的表达式，解得2

17

1+=

R (6)

②当直线MN 在x 轴下方时，设圆的半径为r （r>0）， 则N （r+1，－r ）， 代入抛物线的表达式，解得2

17

1+-=

r ………7∴圆的半径为2171+或2

17

1+-． ……………7（4）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ，

易得G （2，－3），直线AG 为1--=x y ．……………设P （x ，322--x x ），则Q （x ，－x －1），PQ 22++-=x x ．

3)2(2

1

2?++-=

+=???x x S S S GPQ APQ APG ……………………9分 当2

1

=

x 时，△APG 的面积最大 此时P 点的坐标为??

?

??-

415,21，827的最大值为APG

S ?． ……………………10分 8．（本小题12分）解：（1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8

∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB ＜OC ∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8） 又∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0）

∴A 、B 、C 三点的坐标分别是A （－6，0）、B （2，0）、C （0，8） （2）∵点C （0，8）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上

∴c ＝8，将A （－6，0）、B （2，0）代入表达式y ＝ax 2＋bx ＋8，得

?

?

?

0＝36a －6b ＋8

0＝4a ＋2b ＋8 解得?

????

a ＝－

2

3

b ＝－

83

∴所求抛物线的表达式为y ＝－23x 2－8

3x ＋8

（3）∵AB ＝8，OC ＝8

∴S △ABC ＝1

2

×8×8=32

（4）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8， ∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴

EF AC ＝BE AB 即EF 10＝8－m 8 ∴EF ＝40－5m 4

过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45

∴

FG EF ＝45 ∴FG ＝45〃40－5m 4

＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－1

2（8－m ）（8－m ）

＝12（8－m ）（8－8＋m ）＝12（8－m ）m ＝－1

2m 2＋4m 自变量m 的取值范围是0＜m ＜8 （5）存在． 理由：

∵S ＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2＋8 且－1

2＜0，

∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8

∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0） ∴△BCE 为等腰三角形．

9.（12分）已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线3

4

y x b =-+相交于点B ，点C ，直线3

4

y x b =-

+与y 轴交于点E ． （1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积．

（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？

解：（1）在2

334

y x =-

+中，令0y = 23

304

x ∴-+=

12x ∴=，22x =-

(20)A ∴-，，(20)B ，

1分

又 点B 在3

4

y x b =-

+上 3

02b ∴=-+

32

b =

BC ∴的解析式为33

42

y x =-+

2分

（2）由2334

3342y x y x ?

=-+????=-+??，得11194x y =-???=??2220x y =??

=? 4分

914C ?

?∴- ??

?，，(20)B ，

4AB ∴=，9

4

CD =

5分 1994242

ABC

S ∴=??=△ 6分

（3）过点N 作NP MB ⊥于点P

EO MB ⊥

NP EO ∴∥ BNP BEO ∴△∽△ 7分 BN NP

BE EO

∴

= 8分

由直线3342y x =-

+可得：302E ?? ???

， ∴在BEO △中，2BO =，32EO =

，则5

2

BE = 25322t NP

∴

=

，65NP t ∴= 9分 16

(4)25S t t ∴=-

2312

(04)55S t t t =-+<<

10分 2312(2)55

S t =--+

11分

此抛物线开口向下，∴当2t =时，12

5

S =

最大 ∴当点M 运动2秒时，MNB △的面积达到最大，最大为

125

． 12分