二次函数单元试卷(word版含答案)

二次函数单元试卷（

word版含答案）

一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．已知，抛物线y＝-

1

2

x2 +bx+c交y轴于点C（0,2），经过点Q（2,2）.直线y＝x+4分别交x轴、y轴于点B、A．

（1）直接填写抛物线的解析式________；

（2）如图1，点P为抛物线上一动点（不与点C重合），PO交抛物线于M，PC交AB于N，连MN.

求证：MN∥y轴；

（3）如图,2，过点A的直线交抛物线于D、E，QD、QE分别交y轴于G、H.求证：CG ?CH 为定值.

【答案】（1）2

1

2

2

y x x

=-++；（2）见详解；（3）见详解．

【解析】

【分析】

（1）把点C、D代入y＝-

1

2

x2 +bx+c求解即可；

（2）分别设PM、PC的解析式，由于PM、PC与抛物线的交点分别为：M、N.，分别求出M、N的代数式即可求解；

（3）先设G、H的坐标，列出QG、GH的解析式，得出与抛物线的交点D、E的横坐标，再列出直线AE的解析式，算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证．【详解】

详解：（1）∵y＝-

1

2

x2 +bx+c过点C（0,2），点Q（2,2），

∴

2

1

222

2

2

b c

c

?

-?++

?

?

?=

?

＝

,

解得：1

2b c =??=?

. ∴y=-

12

x 2

+x+2； （2） 设直线PM 的解析式为：y=mx ，直线PC 的解析式为：y=kx+2

由2

2122y kx y x x =+??

?=-++??

得

12

x 2

+（k-1）x=0, 解得：120,22x x k ==-， x p =22p x k =-

由2

1=22y mx y x x =???-++??

得

12

x 2

+(m-1)x-2=0， ∴124b

x x a

?=-

=- 即x p?x m =-4，

∴x m =4p x -=21

k -.

由24y kx y x =+??=+?

得x N =

2

1

k -=x M , ∴MN ∥y 轴.

（3）设G （0，m ）,H （0，n ）. 设直线QG 的解析式为y kx m =+， 将点()2,2Q 代入y kx m =+ 得22k m =+

22

m

k -∴=

∴直线QG 的解析式为22

m

y x m -=

+ 同理可求直线QH 的解析式为22

n

y x n -=

+； 由222122m y x m y x x -?=+????=-++??

得

221

=222

m x m x x -+-++ 解得：122,2x x m ==-

2D x m ∴=-

同理，2E x n =-

设直线AE 的解析式为：y=kx+4，

由2

4122y kx y x x =+???=-++??

， 得

12

x 2

-(k-1)x+2=0 124b

x x a

∴?=-

= 即x D x E =4，

即（m-2）?（n-2）=4 ∴CG?CH=（2-m ）?（2-n ）=4.

2．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，其中A （3，0），B （﹣1，0），与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，直线y ＝kx +b 1经过点A ，C ，连接CD ． （1）求抛物线和直线AC 的解析式：

（2）若抛物线上存在一点P ，使△ACP 的面积是△ACD 面积的2倍，求点P 的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ，使线段AQ 绕Q 点顺时针旋转90°得到线段QA 1，且A 1好落在抛物线上？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2y x 2x 3=-++；3y x =-+ ；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3） 【解析】 【分析】

（1）将点A ，B 坐标代入抛物线解析式中，求出b ，c 得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A ，C 坐标代入直线AC 的解析式中，即可得出结论；

（2）利用抛物线的对称性得出BD ＝AD ，进而判断出△ABC 的面积和△ACP 的面积相等，即可得出结论；

（3）分点Q 在x 轴上方和在x 轴下方，构造全等三角形即可得出结论． 【详解】

解：（1）把A （3，0），B （﹣1，0）代入y ＝﹣x 2+bc +c 中，得930

10

b c b c -++=??

--+=?，

∴23b c =??=?

，

∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3， 当x ＝0时，y ＝3， ∴点C 的坐标是（0，3），

把A （3，0）和C （0，3）代入y ＝kx +b 1中，得11303k b b +=??=?，

∴1

1

3k b =-??=?

∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x +3； （2）如图，连接BC ， ∵点D 是抛物线与x 轴的交点， ∴AD ＝BD ， ∴S △ABC ＝2S △ACD ， ∵S △ACP ＝2S △ACD ，

∴S △ACP ＝S △ABC ，此时，点P 与点B 重合， 即：P （﹣1，0），

过B 点作PB ∥AC 交抛物线于点P ，则直线BP 的解析式为y ＝﹣x ﹣1①，

∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3②，

联立①②解得，

1

x

y

=-

?

?

=

?

或

4

5

x

y

=

?

?

=-

?

，

∴P（4，﹣5），

∴即点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；

（3）如图，

①当点Q在x轴上方时，设AC与对称轴交点为Q'，由（1）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+3，

当x＝1时，y＝2，

∴Q'坐标为（1，2），

∵Q'D＝AD＝BD＝2，

∴∠Q'AB＝∠Q'BA＝45°，

∴∠AQ'B＝90°，

∴点Q'为所求，

②当点Q在x轴下方时，设点Q（1，m），

过点A1'作A1'E⊥DQ于E，

∴∠A1'EQ＝∠QDA＝90°，

∴∠DAQ+∠AQD＝90°，

由旋转知，AQ＝A1'Q，∠AQA1'＝90°，

∴∠AQD+∠A1'QE＝90°，

∴∠DAQ＝∠A1'QE，

∴△ADQ≌△QEA1'（AAS），

∴AD＝QE＝2，DQ＝A1'E＝﹣m，

∴点A1'的坐标为（﹣m+1，m﹣2），

代入y＝﹣x2+2x+3中，

解得，m＝﹣3或m＝2（舍），

∴Q的坐标为（1，﹣3），

∴点Q的坐标为（1，2）和（1，﹣3）．

【点睛】

本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，三角形“k ”字型全等，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．

3．已知函数2266()

22()

x ax a x a y x ax a x a ?-+>=?-++≤?（a 为常数，此函数的图象为G ）

（1）当a ＝1时，

①直接写出图象G 对应的函数表达式 ②当y=-1时，求图象G 上对应的点的坐标

（2）当x >a 时，图象G 与坐标轴有两个交点，求a 的取值范围 （3）当图象G 上有三个点到x 轴的距离为1时，直接写出a 的取值范围

【答案】（1）①2266(1)

22(1)

x x x y x x x ?-+>=?-++≤?，②(1,1),(32,1),(32,1)--+--；（2）

0a <或

2635a <<；（3）31412a --<，1153a <<，1123a <<-【解析】 【分析】

（1）①将1a =代入函数解析式中即可求出结论；

②分1x >和1x ≤两种情况，将y=-1分别代入求出x 的值即可；

（2）根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可；

（3）先求出2

66y x ax a =-+的对称轴为直线6321

a

x a -=-

=?，顶点坐标为(

)

23,96a a a -+，222y x ax a =-++的对称轴为直线

()

221a x a =-=?-，顶点坐标为()2

,2a a

a +，然后根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解

即可． 【详解】

（1）①1a =时，2266(1)

22(1)

x x x y x x x ?-+>=?-++≤?

②当1x >时，

2661x x -+=-

2670x x -+=

1233x x ==当1x ≤时，

2221x x -++=-

2230x x --=

121,3x x =-=（舍）

∴坐标为(1,1),(31),(31)---- （2）当0a <时

266()y x ax a x a =-+>与y 轴交点坐标(0,6)a ，266y x ax a =-+对称轴为直线

6321

a

x a -=-

=?，过点(1,1) ∴x ＞a ＞3a ，此时图像G 与坐标轴有两个交点（与x 轴一个交点，与y 轴一个交点） 当0a ≥时，

266()y x ax a x a =-+>的图像与y 轴无交点

顶点坐标为(

)

2

3,96a a a -+

当x a =时，2

56y a a =-+＞0①，且2960a a -+<②时，此时图像G 与x 轴有两个交点

将①的两边同时除以a ，解得65a <； 将②的两边同时除以a ，解得23

a > ∴

2635a << 即当26

35

a <<时，图像G 与坐标轴有两个交点，

综上，0a <或

26

35

a << （3）2

66y x ax a =-+的对称轴为直线6321a

x a -=-

=?，顶点坐标为()

23,96a a a -+ 222y x ax a =-++的对称轴为直线

()

221a x a =-=?-，顶点坐标为()

2,2a a a + ①当a ＜0时，

()222y x ax a x a =-++≤中，当x=a 时，y 的最大值为22a a +

由()2

10a +≥可得221a a +≥-，即此图象必有一个点到x 轴的距离为1

而()266y x ax a x a =-+>必过（1,1），即此图象必有一个点到x 轴的距离为1，此时x

＞3a ，y ＞225666a a a a a a ?+=-+-

当22

21561

a a a a ?+

22y x ax a x a =-++≤与x 轴只有一个交点，()266y x ax a x a =-+>与x 轴有两个交点

解得：315

a --<

； 当22

21561

a a a a ?+>?-+>-?时，()2

22y x ax a x a =-++≤与x 轴有两个交点，()266y x ax a x a =-+>与x 轴有一个交点

解得：1a -+<<，与前提条件a ＜0不符，故舍去； ②当a ≥0时，

()222y x ax a x a =-++≤中，当x=a 时，y 的最大值为22a a +，必过点（-1，-1），即

此图象必有一个点到x 轴的距离为1

而()2

66y x ax a x a =-+>，此时当x=3a 时，y 的最小值为296a a -+，由

()2

310a --≤可得2961a a -+≤，即此图象必有一个点到x 轴的距离为1 当22

2

221561961

961

a a a a a a a a ?+??-+>-??-+≠?时，()2

22y x ax a x a =-++≤与x 轴只有一个交点，()266y x ax a x a =-+>与x 轴有两个交点

解得：

115

a <<-+且13a ≠；

当22

2

221

561961

961

a a a a a a a a ?+与x 轴有两个交点

此不等式无解，故舍去；

当2

2

2

2

21

561

961

961

a a

a a

a a

a a

?+>

?

-+<

?

?

-+>-

?

?-+≠

?

时，()

222

y x ax a x a

=-++≤与x轴有两个交点，

()

266

y x ax a x a

=-+>与x轴有一个交点

此不等式无解，故舍去；

综上：

314

12

5

a

-

--<<或

11

53

a

<<或

1

12

3

a

<<-+

【点睛】

此题考查的是二次函数的性质和分段函数的应用，此题难度较大，掌握二次函数的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．

4．如图，抛物线()

250

y ax bx a

=+-≠经过x轴上的点1,0

A和点B及y轴上的点C，经过B C

、两点的直线为y x n

=+．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，PBE

△的面积最大并求出最大值．（3）过点A作AM BC

⊥于点M，过抛物线上一动点N（不与点B C

、重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A M N Q

、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．

【答案】（1）265

y x x

=-+-（2）2

t=；2（3）

541

2

或4或

541

2【解析】

【分析】

（1）先确定A 、B 、C 三点的坐标，然后用待定系数法解答即可；

（2）先求出AB 、BC 的长并说明△BOC 是等腰直角三角形，再求出点P 到BC 的高d

为

()4542

d BP sin t =??=

-，则12PBE

S

BE d =?

?

)()12442t t t =?-=-，再根据二次函数的性质即可确定最大值；

（3

）先求出4542

AM AB sin =??=?

=N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则，再说明四边形AMNQ

是平行四边形，得到NQ AM ==；再过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H 结合题意说明NQH 为等腰直角三角

形，求得4NH =

==；设()

2

,65N m m m -+-，则(),0G m ，

(),5H m m -，最后分点N 在x 轴上方时、点N 在x 轴下方且5m >时和1m <三种情况

解答即可． 【详解】

解：()1因为直线y x n =+经过B C 、两点，且点B 在x 轴上，点C 在y 轴上， ∵()(),,00,B n C n -

∴抛物线2

5y ax bx =+-经过点1,0A ，点(),0B n -，点()0,C n ，

∴250505a b an bn n +-=??--=??-=?，解得51,6n a b =-??

=-??=?

所以抛物线的解析式为2

65y x x =-+-．

()2∵()()()1,05,0,0,,5,A B C -

∴4,AB BC BOC ==为等腰直角三角形， ∴45,ABC ∠=

由题意得4,2,02BP t BE t t =-=<≤点P 到BE

的距离()4542

d BP sin t =??=- 所以1

2

PBE

S

BE d =??

)()1244222

t t t t =??-=-；

∵二次函数()()42

f t t =-的函数图象开口向下，零点为0和4, ∴04

22

t +=

=时，

∴()()()22422

max f t f ==??-=即2t =时，PBE △的面积最大，且最大值

为

()

3由题意得454AM AB sin =??== 过点N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则,NQ BC ⊥ ∵点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形，

∴NQ AM ==

过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H ∵:5BC l y x =-，

∴NQH 为等腰直角三角形，

∴4,NH =

==

设()

2

,65N m m m -+-， 则(),0G m ，(),5H m m -，

①点N 在x 轴上方时，此时()()2

655,NH m m m =-+---

∴()

()2

6554m m m -+---=，即()()140,m m --=

解得1m =（舍，因为此时点N 与点A 重合）或4m =；

②点N 在x 轴下方且5m >时，此时()()

2

565,NH m m m =---+- ∴()(

)

2

5654m m m ---+-=，即2

540,m m --=

解得552m -=

<（舍）或m =

③点N 在x 轴下方且1m <时，此时()()2

565,NH m m m =---+-

∴()(

)

2

5654m m m ---+-=，即2

540,m m --=解得52m =

或52

m +=（舍）

综上所述，54,2m m +==

，52

m =符合题意， 即若点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形，

点N

的横坐标为

5412-或4或541

2

+．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的性质、平行四边形的判定与性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解答本题的关键

5．已知函数2222

22(0)114(0)

2

2x ax a x y x ax a x ?-+-

=?---+≥??（a 为常数）． （1）若点()1,2在此函数图象上，求a 的值． （2）当1a =-时，

①求此函数图象与x 轴的交点的横坐标．

②若此函数图象与直线y m =有三个交点，求m 的取值范围．

（3）已知矩形ABCD 的四个顶点分别为点()2,0A -，点()3,0B ，点()3,2C ，点

()2,2D -，若此函数图象与矩形ABCD 无交点，直接写出a 的取值范围．

【答案】（1）1a =或3a =-；（2）①12x =--122x =+；②

7

2

4m ≤<或21m -<<-；（3）322a <--或21a ≤<-或22a >【解析】 【分析】

（1）本题根据点(1,2)横坐标大于零，故将点代入对应解析式即可求得a 的取值． （2）①本题将1a =-代入解析式，分别令两个函数解析式y 值为零即可求得函数与x 轴

交点横坐标；②本题可求得分段函数具体解析式，继而求得顶点坐标，最后平移直线

y m =观察其与图像交点，即可得到答案．

（3）本题可根据对称轴所在的位置分三种情况讨论，第一种为当2a <-，将

2222y x ax a =-+-函数值与2比大小，将2211

422

y x ax a =---+与0比大小；第二

种为当20a -≤<，2

2

22y x ax a =-+-函数值与0比大小，且该函数与y 轴的交点和0比大小，2211

422

y x ax a =-

--+函数值与2比大小，且该函数与y 轴交点与2比大小；第三种为2

2

22y x ax a =-+-与y 轴交点与2比大小，2211

422

y x ax a =---+与y 轴交点与0比大小． 【详解】

（1）将()1,2代入2211422y x ax a =-

--+中，得211

2422

a a =---+，解得1a =或3a =-．

（2）当1a =-时，函数为2221,

(0)17

(0)

2

2x x x y x x x ?+-

=?-++≥?

?，

①令2210x x +-=

，解得1x =--

1x =- 令217

022

x x -

++=

，解得1x =+

或1x =-

综上，1x =--

1x =+．

②对于函数()2

210y x x x =+-<，其图象开口向上，顶点为()1,2--； 对于函数217

(0)22

y x x x =-

++≥，其图象开口向下，顶点为()1,4，与y 轴交于点70,2??

???

． 综上，若此函数图象与直线y m =有三个交点，则需满足

7

2

4m ≤<或21m -<<-． （3）22

22y x ax a =-+-对称轴为x a =；2211

422

y x ax a =-

--+对称轴为x a =-． ①当2a <-时，若使得2

2

22y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足当2x =-时，2

2

22y x ax a =-+-24+422a a =->+，解不等式得0a >或4a ，在此基础

上若使2211

422

y x ax a =-

--+图像与矩形ABCD 无交点，需满足当3x =时，2221111

49342222

0y x ax a a a =---+=?--+<-，

解得223a >-或322a <--， 综上可得：322a <--．

②当20a -≤<时，若使得2

2

22y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足

2x =-时，2222y x ax a =-+-24+420a a =+-<；当0x =时，

22222=20y x ax a a =-+--≤；得222a -≤<-，

在此基础上若使2211

422

y x ax a =-

--+图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，222111

4=42222y x ax a a ---+->=；3x =时，

2221111

49342222

2y x ax a a a =---+=?--+>-；

求得21a -<<-； 综上：21a -≤<-．

③当0a ≥时，若使函数图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，

22222=22y x ax a a =-+--≥且222111

4+40222

y x ax a a =---+=-<；

求解上述不等式并可得公共解集为：22a >．

综上：若使得函数与矩形ABCD 无交点，则322a <--或21a -≤<-或22a >． 【点睛】

本题考查二次函数综合，求解函数解析式常用待定系数法，函数含参数讨论时，往往需要分类讨论，分类讨论时需要先选取特殊情况以用来总结规律，继而将规律一般化求解题目．

6．如图，在平面直角坐标系x O y 中，抛物线y = ax 2+ bx + c 经过A 、B 、C 三点，已知点A （-3，0），B （0，3），C （1，0）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为F ，交直线AB 于点E ，作PD ⊥AB 于点D ．动点P 在什么位置时，△PDE 的周长最大，求出此时P 点的坐标；

（3）在直线x = -2上是否存在点M ，使得∠MAC = 2∠MCA ，若存在，求出M 点坐标．若不存在，说明理由．

【答案】（1）y=-x 2-2x+3；（

2）点（-

32，15

4

），△PDE 的周长最大；（3）点M （-2，3）或（-2，-3）．

【解析】 【分析】

（1）将A 、B 、C 三点代入，利用待定系数法求解析式；

（2）根据坐标发现，△AOB 是等腰直角三角形，故只需使得PD 越大，则△PDE 的周长越大.联立直线AB 与抛物线的解析式可得交点P 坐标；

（3）作点A 关于直线x=-2的对称点D ，利用∠MAC = 2∠MCA 可推导得MD=CD ，进而求得ME 的长度，从而得出M 坐标 【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-3，0），B （0，3），C （1，0），

∴93030

a b c c a b c -+=??=??++=?

，解得：1

23a b c =-??

=-??=?，

所以，抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3； （2）∵A （-3，0），B （0，3），

∴OA=OB=3，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°， ∵PF ⊥x 轴，∴∠AEF=90°-45°=45°， 又∵PD ⊥AB ，∴△PDE 是等腰直角三角形，

∴PD 越大，△PDE 的周长越大，易得直线AB 的解析式为y=x+3， 设与AB 平行的直线解析式为y=x+m ，

联立2

23

y x m

y x x =+??=--+?，消掉y 得，x 2+3x+m-3=0， 当△=9-4（m-3）=0，即m=21

4

时，直线与抛物线只有一个交点，PD 最长， 此时x=-32，y=15

4，∴点（-32

，154），△PDE 的周长最大；

（3）设直线x=-2与x 轴交于点E ，作点A 关于直线x=-2的对称点D ，则D （-1，0），连接MA ，MD ，MC ．

∴MA=MD ，∠MAC=∠MDA=2∠MCA ， ∴∠CMD=∠DCM

∴MD=CD=2 ， ∴

∴点M （-2）或（-2， 【点睛】

本题是动点和最值的考查，在解决动点问题时，寻找出不变量来分析是解题关键，最值问题，通常利用对称来简化分析

7．在平面直角坐标系中，点(),p tq 与(),q tp ()0t ≠称为一对泛对称点． （1）若点()1,2，

()3,a 是一对泛对称点，求a 的值；

（2）若P ，Q 是第一象限的一对泛对称点，过点P 作PA x ⊥轴于点A ，过点Q 作QB y ⊥轴于点B ，线段PA ，QB 交于点C ，连接AB ，PQ ，判断直线AB 与PQ 的位

置关系，并说明理由；

（3）抛物线2

y ax bx c =++()0a ＜交y 轴于点D ，过点D 作x 轴的平行线交此抛物线

于点M （不与点D 重合），过点M 的直线y ax m =+与此抛物线交于另一点N ．对于任意满足条件的实数b ，是否都存在M ，N 是一对泛对称点的情形？若是，请说明理由，并对所有的泛对称点(),M M M x y ，(),N N N x y 探究当M y ＞N y 时M x 的取值范围；若不是，请说明理由． 【答案】（1）

2

3

；（2）AB ∥PQ ，见解析；（3）对于任意满足条件的实数b ，都存在M ，N 是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M(x M ，y M )，N(x N ，y N )，当y M ＞y N 时，x M 的取值范围是x M ＜1且x M ≠0 【解析】 【分析】

（1）利用泛对称点得定义求出t 的值，即可求出a.

（2）设P ，Q 两点的坐标分别为P （p,tq ），Q （q,tp ），根据题干条件得到A （p,0），B （0,tp ），C （p,tp ）的坐标，利用二元一次方程组证出k 1=k 2，所以AB ∥PQ.

（3）由二次函数与x 轴交点的特征，得到D 点的坐标；然后利用二次函数与一元二次方程的关系，使用求根公式即可得到答案. 【详解】

（1）解：因为点（1，2），（3，a ）是一对泛对称点， 设3t ＝2 解得t ＝

23

所以a ＝t×1＝

23

（2）解：设P ，Q 两点的坐标分别为P （p,tq ），Q （q,tp ），其中0＜p ＜q ，t ＞0. 因为PA ⊥x 轴于点A ，QB ⊥y 轴于点B ，线段PA ，QB 交于点C ，

所以点A ，B ，C 的坐标分别为：A （p,0），B （0,tp ），C （p,tp ） 设直线AB ，PQ 的解析式分别为：y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2，其中k 1k 2≠0. 分别将点A （p,0），B （0,tp ）代入y ＝k 1x ＋b 1，得

111pk b tp b tp +=??=?. 解得11k t

b tp

=-??

=? 分别将点P （p,tq ），Q （q,tp ）代入y ＝k 2x ＋b 2，得

2222

pk b tp qk b tp +=??

+=?. 解得22k t

b tp tp =-??=+? 所以k 1＝k 2. 所以AB ∥PQ

（3）解：因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0）交y 轴于点D ， 所以点D 的坐标为（0,c ）. 因为DM ∥x 轴，

所以点M 的坐标为（x M ,c ），又因为点M 在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0）上. 可得ax M 2＋bx M ＋c ＝c ，即x M （ax M ＋b ）＝0. 解得x M ＝0或x M ＝－

b a . 因为点M 不与点D 重合，即x M ≠0，也即b≠0， 所以点M 的坐标为（－

b

a

,c ） 因为直线y ＝ax ＋m 经过点M ，

将点M （－

b a ,

c ）代入直线y ＝ax ＋m 可得，a·（－b a

）＋m ＝c. 化简得m ＝b ＋c

所以直线解析式为：y ＝ax ＋b ＋c.

因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝ax ＋b ＋c 交于另一点N ， 由ax 2＋bx ＋c ＝ax ＋b ＋c ，可得ax 2＋（b －a ）x －b ＝0. 因为△＝（b －a ）2＋4ab ＝（a ＋b ）2， 解得x 1＝－b

a

，x 2＝1. 即x M ＝－

b a ，x N ＝1，且－b

a

≠1，也即a ＋b≠0.

所以点N 的坐标为（1,a ＋b ＋c ） 要使M （－

b

a

,c ）与N （1,a ＋b ＋c ）是一对泛对称点， 则需c ＝t ×1且a ＋b ＋c ＝t ×（－b a

）. 也即a ＋b ＋c ＝（－

b

a

）·c 也即（a ＋b ）·a ＝－（a ＋b ）·c. 因为a ＋b≠0，

所以当a ＝－c 时，M ，N 是一对泛对称点.

因此对于任意满足条件的实数b ，都存在M ，N 是一对泛对称点的情形. 此时点M 的坐标为（－

b

a

,－a ），点N 的坐标为（1,b ）. 所以M ，N 两点都在函数y ＝b

x

（b≠0）的图象上. 因为a ＜0，

所以当b ＞0时，点M ，N 都在第一象限，此时 y 随x 的增大而减小，所以当y M ＞y N 时，0＜x M ＜1；

当b ＜0时，点M 在第二象限，点N 在第四象限，满足y M ＞y N ，此时x M ＜0.

综上，对于任意满足条件的实数b ，都存在M ，N 是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M （x M ,y M ），N （x N ,y N ），当y M ＞y N 时，x M 的取值范围是x M ＜1且x M ≠0. 【点睛】

本题主要考察了新定义问题，读懂题意是是做题的关键；主要考察了二元一次方程组，二次函数、一元二次方程知识点的综合，把握题干信息，熟练运用知识点是解题的核心.

8．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）． （1）若b ＝1，a ＝﹣

1

2

c ，求证：二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点； （2）若a <0，c ＝0，且对于任意的实数x ，都有y ≤1，求4a +b 2的取值范围； （3）若函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1?y 2＞0，且2a +3b +6c ＝0，试确定二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）240a b +≤ ；（3）12323

b a <-< 【解析】 【分析】

（1）根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论； （2）根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标，再整理即可；

（3）将（0，y 1）和（1，y 2）分别代入函数解析式，由y 1?y 2＞0，及2a +3b +6c ＝0，得不等式组，变形即可得出答案．

【详解】

解：（1）证明：∵y ＝ax 2+bx+c （a≠0）， ∴令y ＝0得：ax 2+bx+c ＝0 ∵b ＝1，a ＝﹣

1

2

c ， ∴△＝b 2﹣4ac ＝1﹣4（﹣1

2

c ）c ＝1+2c 2， ∵2c 2≥0，

∴1+2c 2＞0，即△＞0，

∴二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点； （2）∵a ＜0，c ＝0，

∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx ，其图象开口向下， 又∵对于任意的实数x ，都有y≤1，

∴顶点纵坐标2

14b a

-≤，

∴﹣b 2≥4a ， ∴4a+b 2≤0；

（3）由2a+3b+6c ＝0，可得6c ＝﹣（2a+3b ）， ∵函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1?y 2＞0， ∴c （a+b+c ）＞0， ∴6c （6a+6b+6c ）＞0，

∴将6c ＝﹣（2a+3b ）代入上式得，﹣（2a+3b ）（4a+3b ）＞0， ∴（2a+3b ）（4a+3b ）＜0， ∵a≠0，则9a 2＞0， ∴两边同除以9a 2得，

24

()()033

b b a a ++<， ∴203403b a b a ?+??或203403

b a b a ?+>????+

∴42

33

b a -

<<-， ∴二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围是：12

323

b a <-<． 【点睛】

本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

9．如图，抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．点A 坐标的为

3,0，点C 的坐标为()0,3．

（Ⅰ）求抛物线的解析式；

（Ⅱ）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作i 轴的垂线，与直线

AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作

QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求AEM △的面

积；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若=22FG DQ ，求点F 的坐标．

【答案】（Ⅰ）2

23y x x =--+；（Ⅱ）1

2

；（Ⅲ）()4,5F --或()1,0 【解析】 【分析】

（Ⅰ）将点A ，点C 坐标代入解析式可求解；

（Ⅱ）设M （x ，0），P （x ，-x 2-2x+3），利用对称性可求点Q （-2-x ，-x 2-2x+3），可求MP=-x 2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x ，则可用x 表示矩形PMNQ 的周长，由二次函数的性质可求当矩形PMNQ 的周长最大时，点P 的坐标，即可求点E ，点M 的坐标，由三角形面积公式可求解；

（Ⅲ）先求出点D 坐标，即可求2FG=4，设F （m ，-m 2-2m+3），则G （m ，m+3），用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解． 【详解】

解:（Ⅰ）依题意()()2

330

{3

b c c --+?-+==

解得2{3

b c =-= 所以2

23y x x =--+