九年级上册数学 二次函数单元试卷(word版含答案)
九年级上册数学二次函数单元试卷（word版含答案）
一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）
1．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2
(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）
(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．
【解析】
试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；
（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH 垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；
（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；
（2）∵y=﹣x2+x+2，
∴y=﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴是x=．
∴OD=．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=CP2=CP3=CD．
作CH⊥x轴于H，
∴HP1=HD=2，
∴DP1=4．
∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2
∴x1=﹣1，x2=4，
∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），
∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD?OC+EF?CM+EF?BN，
=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），
=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．
=﹣（a﹣2）2+
∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，
∴E（2，1）．
考点：1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值
2．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴，y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+2x+b经过点B．
（1）该抛物线的函数解析式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M 的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '． ①写出点M '的坐标；
②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l ′与直线AM '重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l '与线段BM '交于点C ，设点B ，M '到直线l '的距离分别为d 1，d 2，当d 1+d 2最大时，求直线l '旋转的角度（即∠BAC 的度数）．
【答案】（1）2
y x 2x 3=-++；（2）2
1525228
S m ??=--+ ??? ，258；（3）
①57,24M ??' ???
；②45°
【解析】 【分析】
（1）利用直线l 的解析式求出B 点坐标，再把B 点坐标代入二次函数解析式即可求出b 的值．
（2）设M 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），然后根据面积关系将△ABM 的面积进行转化．
（3）①由（2）可知m ＝5
2
，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值． ②可将求d 1+d 2最大值转化为求AC 的最小值． 【详解】
（1）令x ＝0代入y ＝﹣3x+3， ∴y ＝3， ∴B （0，3），
把B （0，3）代入y ＝﹣x 2+2x+b 并解得：b ＝3， ∴二次函数解析式为：y ＝﹣x 2+2x+3． （2）令y ＝0代入y ＝﹣x 2+2x+3，
∴0＝﹣x2+2x+3，
∴x＝﹣1或3，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3，
∵M在抛物线上，且在第一象限内，
∴0＜m＜3，
令y＝0代入y＝﹣3x+3，
∴x＝1，
∴A的坐标为（1，0），
由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），∴S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△OBM+S△OAM﹣S△AOB
＝1
2
×m×3+
1
2
×1×（-m2+2m+3）-
1
2
×1×3
＝﹣1
2
（m﹣
5
2
）2+
25
8
，
∴当m＝5
2
时，S取得最大值
25
8
．
（3）①由（2）可知：M′的坐标为（5
2
，
7
4
）．
②设直线l′为直线l旋转任意角度的一条线段，过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，
根据题意知：d1+d2＝BF，
此时只要求出BF 的最大值即可， ∵∠BFM′＝90?，
∴点F 在以BM′为直径的圆上， 设直线AM′与该圆相交于点H ， ∵点C 在线段BM′上， ∴F 在优弧'BM H 上， ∴当F 与M′重合时， BF 可取得最大值， 此时BM′⊥l 1，
∵A （1，0），B （0，3），M′（
52，7
4
）， ∴由勾股定理可求得：AB ＝10，M′B ＝55
，M′A ＝85， 过点M′作M′G ⊥AB 于点G ， 设BG ＝x ，
∴由勾股定理可得：M′B 2﹣BG 2＝M′A 2﹣AG 2， ∴
8516
﹣（10﹣x ）2＝125
16﹣x 2，
∴x ＝
510
， cos ∠M′BG ＝
'BG BM ＝2
2
，∠M′BG= 45? 此时图像如下所示，
∵l 1∥l′，F 与M′重合，BF ⊥l 1 ∴∠B M′P=∠BCA ＝90?， 又∵∠M′BG=∠CBA= 45? ∴∠BAC ＝45?．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与二次函数的综合以及一次函数旋转求角度问题，正确掌握一次函数与二次函数性质及综合问题的解法是解题的关键．
3．已知抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠过点(0,2)A -． （1）若点(2,0)-也在该抛物线上，请用含a 的关系式表示b ；
（2）若该抛物线上任意不同两点()11,M x y 、()22,N x y 都满足：当120x x <<时，
()()12120x x y y --<；当120x x <<时，()()12120x x y y -->；若以原点O 为圆心，
OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B 、C （点B 在点C 左侧），且ABC ?有一个内
角为60，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点P 与点O 关于点A 对称，且O 、M 、N 三点共线，求证：
PA 平分MPN ∠．
【答案】（1）21b a =-；（2）2
2y x =-；（3）见解析.
【解析】 【分析】
（1）把点()0,2-、()2,0-代入抛物线解析式，然后整理函数式即可得到答案． （2）根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y 轴、开口向上，进而可得出0b =，由抛物线的对称性可得出ABC ?为等腰三角形，结合其有一个60?的内角可得出ABC ?为等边三角形，设线段BC 与y 轴交于点D ，根据等边三角形的性质可得出点C 的坐标，再利用待定系数法可求出a 值，此题得解；
（3）由（1）的结论可得出点M 的坐标为1(x ，2
12)x -+、点N 的坐标为2(x ，
222)x -+，由O 、M 、N 三点共线可得出21
2
x x =-
，进而可得出点N 及点'N 的坐标，由点A 、M 的坐标利用待定系数法可求出直线AM 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点'N 在直线PM 上，进而即可证出PA 平分MPN ∠． 【详解】
解：（1）把点()0,2-、()2,0-分别代入，得
2420
c a b c =-?
?
-+=?． 所以21b a =-．
（2），如图1，
当120x x <<时，()()12120x x y y --<，
120x x ∴-<，120y y ->， ∴当0x <时，y 随x 的增大而减小；
同理：当0x >时，y 随x 的增大而增大，
∴抛物线的对称轴为y 轴，开口向上，
0b ∴=．
OA 为半径的圆与拋物线的另两个交点为B 、C ， ABC ∴?为等腰三角形，
又ABC ?有一个内角为60?， ABC ∴?为等边三角形．
设线段BC 与y 轴交于点D ，则BD CD =，且30OCD ∠=?， 又2OB OC OA ===，
·303CD OC cos ∴=?=，·
301OD OC sin =?=． 不妨设点C 在y 轴右侧，则点C 的坐标为31)． 点C 在抛物线上，且2c =-，0b =，
321a ∴-=，
1a ∴=，
∴抛物线的解析式为22y x =-．
（3）证明：由（1）可知，点M 的坐标为1(x ，212)x -，点N 的坐标为2(x ，2
22)x -．
如图2，直线OM 的解析式为()110y k x k =≠．
O 、M 、N 三点共线，
10x ∴≠，20x ≠，且221212
22
x x x x --=，
1212
22
x x x x ∴-
=-， ()121212
2x x x x x x -∴-=-
，
122x x ∴=-，即21
2
x x =-， ∴点N 的坐标为12(x -
，21
4
2)x -． 设点N 关于y 轴的对称点为点'N ，则点'N 的坐标为12(x ，21
4
2)x -． 点P 是点O 关于点A 的对称点，
24OP OA ∴==，
∴点P 的坐标为()0,4-．
设直线PM 的解析式为24y k x =-，
点M 的坐标为1(x ，2
12)x -，
212124x k x ∴-=-，
2121
2x k x +∴=，
∴直线PM 的解析式为211
2
4x y x x +=-．
()
222111221111
224224
·42x x x x x x x +-+-==-，
∴点'
N在直线PM上，
PA
∴平分MPN
∠．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次（二次）函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出a、b满足的关系式；（2）①利用等边三角形的性质找出点C的坐标；
②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点'N在直线PM上．
4．如图，抛物线2(0)
y ax bx c a
=++≠与坐标轴的交点为()
30
A-,，()
10
B,，
()
0,3
C-，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若E为第二象限内一点，且四边形ACBE为平行四边形，求直线CE的解析式．（3）P为抛物线上一动点，当PAB
?的面积是ABD
?的面积的3倍时，求点P的坐标．【答案】（1）223
y x x
=+-；（2）33
y x
=--；（3）点P的坐标为()
5,12
-或()
3,12．
【解析】
【分析】
（1）本题考查二次函数解析式的求法，可利用待定系数法，将点带入求解；
（2）本题考查二次函数平行四边形存在性问题，可根据题干信息结合平行四边形性质确定动点位置，进一步利用待定系数法求解一次函数解析式；
（3）本题考查二次函数与三角形面积问题，可先根据题干面积关系假设动点坐标，继而带入二次函数，列方程求解．
【详解】
（1）∵抛物线2
y ax bx c
=++与坐标轴的交点为()
30
A-,，()
10
B,，()
0,3
C-，
∴
930
3
a b c
a b c
c
-+=
?
?
++=
?
?=-
?
，解得
1
2
3
a
b
c
=
?
?
=
?
?=-
?
∴抛物线的解析式为223
y x x
=+-．
（2）如图，过点E作EH x
⊥轴于点H，
则由平行四边形的对称性可知1AH OB ==，3EH OC ==． ∵3OA =，∴2OH =，∴点E 的坐标为()2,3-． ∵点C 的坐标为()0,3-，
∴设直线CE 的解析式为()30y kx k =-< 将点()2,3E -代入，得233k --=，解得3k =-， ∴直线CE 的解析式为33y x =--．
（3）∵22
23(1)4y x x x =+-=+-，
∴抛物线的顶点为()1,4D --．
∵PAB ?的面积是ABD ?的面积的3倍， ∴设点P 为(),12t ．
将点(),12P t 代入抛物线的解析式2
23y x x =+-中，
得22312t t +-=，解得3t =或5t =-， 故点P 的坐标为()5,12-或()3,12． 【点睛】
本题考查二次函数与几何的综合，利用待定系数法求解解析式时还可以假设交点式，几何图形存在性问题求解往往需要利用其性质，假设动点坐标，列方程求解．
5．定义：函数l 与l '的图象关于y 轴对称，点(),0P t 是x 轴上一点，将函数l '的图象位于直线x t =左侧的部分，以x 轴为对称轴翻折，得到新的函数w 的图象，我们称函数w 是函数l 的对称折函数，函数w 的图象记作1F ，函数l 的图象位于直线x t =上以及右侧的部分记作2F ，图象1F 和2F 合起来记作图象F ．
例如：如图，函数l 的解析式为1y x =+，当1t =时，它的对称折函数w 的解析式为
()11y x x =-<．
（1）函数l 的解析式为21y x =-，当2t =-时，它的对称折函数w 的解析式为_______； （2）函数l 的解析式为1212
y x x =--，当42x -≤≤且0t =时，求图象F 上点的纵坐标的最大值和最小值；
（3）函数l 的解析式为()2
230y ax ax a a =--≠．若1a =，直线1y t =-与图象F 有两个
公共点，求t 的取值范围．
【答案】（1）()212y x x =+<-；（2）F 的解析式为2211(0)2
11(0)2y x x x y x x x ?=--≥????=--+
；图象
F 上的点的纵坐标的最大值为3
2
y =
，最小值为3y =-；（3）当3t =-，31712t <≤，317
5t +<<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点． 【解析】 【分析】
（1）根据对折函数的定义直接写出函数解析式即可；
（2）先根据题意确定F 的解析式，然后根据二次函数的性质确定函数的最大值和最小值即可；
（3）先求出当a=1时图像F 的解析式，然后分14t -=-、点(),1t t -落在
223()y x x x t =--≥上和点(),1t t -落在()2
23y x x x t =--+<上三种情况解答，最后
根据图像即可解答． 【详解】
解：（1）()212y x x =+<-
（2）F 的解析式为2211(0)2
11(0)2y x x x y x x x ?=--≥????=--+
当4x =-时，3y =-，当1x =-时，32
y =， 当1x =时，3
2
y =-
，当2x =时，1y =， ∴图象F 上的点的纵坐标的最大值为3
2
y =
，最小值为3y =-. （3）当1a =时，图象F 的解析式为22
23()
23()y x x x t y x x x t ?=--≥?=--+
∴该函数的最大值和最小值分别为4和-4； a ：当14t -=-时，3t =-，
∴当3t =-时直线1y t =-与图象F 有两个公共点； b ：当点(),1t t -落在223()y x x x t =--≥上时，
2123t t t -=--，解得1t =
2t =
c ：当点(),1t t -落在()2
23y x x x t =--+<上时，
2123t t t -=--+，解得34t =-（舍），41t =
14t -=，
∴55t =
1t <≤5t <<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点；
综上所述：当3t =-1t <≤5t <<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点. 【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了“称折函数”的定义、二次函数的性质、解二元一次方程等知识，弄清题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点
(2,0),(3,0)A B -，交y 轴于点C ，且经过点(6,6)D --，连接,AD BD ．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）△ANM 与ABD ?是否相似?若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合)，过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于 ．（直接写出答案）
【答案】（1）2113442y x x =-
-+；（2）点M （0，3
2）、点N （34
，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，3
2
）；（3）QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为12
5
． 【解析】 【分析】
（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解； （2）分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可； （3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=2339
2055
x x -
-+，即可求解． 【详解】
解：（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3）， 将点D 坐标代入上式并解得：1
4
a =-， 故函数的表达式为：2113
442
y x x =--+…①， 则点C （0，
3
2
）； （2）由题意得：AB=5，AD=10，BD=35， ①∠MAN=∠ABD 时， （Ⅰ）当△ANM ∽△ABD 时，
直线AD 所在直线的k 值为
34
，则直线AM 表达式中的k 值为34-，
则直线AM 的表达式为：3(2)4
y x =--，故点M （0，3
2），
AD AB AM AN =，则AN=5
4，则点N （34，0）； （Ⅱ）当△AMN ∽△ABD 时，
同理可得：点N （-3，0），点M （0，3
2
）， 故点M （0，
32）、点N （34
，0）或点M （0，3
2），N （-3，0）； ②∠MAN=∠BDA 时， （Ⅰ）△ABD ∽△NMA 时， ∵AD ∥MN ，则tan ∠MAN=tan ∠BDA=1
2
， AM ：y=12-
（x-2），则点M （-1，3
2
）、点N （-3，0）； （Ⅱ）当△ABD ∽△MNA 时，
AD BD AM AN
=，即35
35AN =
， 解得：AN=9
4
，
故点N （14-
，0）、M （-1，3
2
）； 故：点M （-1，
32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，3
2
）； 综上，点M （0，
32）、点N （34
，0）或点M （0，3
2），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，3
2）； （3）如图所示，连接PH ，
由题意得：tan ∠PQH=
43，则cos ∠PQH=35
， 则直线AD 的表达式为：y=33
42
x -， 设点P （x ，2113442x x -
-+），则点Q （x ，33
42
x -），
则QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42
x -+ =2339
2055x x --+ =2312(2)205x -
++， ∵3
020
-
<， 故QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125
． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．
7．如图，已知二次函数1L ：()2
2311y mx mx m m =+-+≥和二次函数2L ：
()2
341y m x m =--+-()1m ≥图象的顶点分别为M 、N ，与x 轴分别相交于A 、B
两点（点A 在点B 的左边）和C 、D 两点（点C 在点D 的左边），
（1）函数()2
2311y mx mx m m =+-+≥的顶点坐标为______；当二次函数1L ，2L 的y
值同时随着x 的增大而增大时，则x 的取值范围是_______； （2）判断四边形AMDN 的形状（直接写出，不必证明）； （3）抛物线1L ，2L 均会分别经过某些定点； ①求所有定点的坐标；
②若抛物线1L 位置固定不变，通过平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是多少？ 【答案】（1）()1,41m --+，13x
；（2）四边形AMDN 是矩形；（3）①所有定
点的坐标，1L 经过定点()3,1-或()1,1，2L 经过定点()5,1-或()1,1-；②抛物线2L 应平移的距离是423+423-． 【解析】 【分析】
（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M 的坐标；结合函数图象填空； （2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A 、D 、M 、N 的横坐标，可得AD 的中点为（1，0），MN 的中点为（1，0），则AD 与MN 互相平分，可证四边形AMDN 是
矩形；
（3）①分别将二次函数的表达式变形为1:(3)(1)1L y m x x =+-+和2:(1)(5)1L y m x x =----，通过表达式即可得出所过定点；
②根据菱形的性质可得EH 1=EF=4即可，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解． 【详解】
解：（1）12b
x a
=-
=-，顶点坐标M 为(1,41)m --+， 由图象得：当13x 时，二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大．
故答案为：(1,41)m --+；13x
；
（2）结论：四边形AMDN 是矩形．
由二次函数21:231(1)L y mx mx m m =+-+和二次函数22:(3)41(1)L y m x m m =--+-解析式可得：
A 点坐标为41(1m m ---
，0)，D 点坐标为41
(3m m
-+，0)， 顶点M 坐标为(1,41)m --+，顶点N 坐标为(3,41)m -，
AD ∴的中点为(1,0)，MN 的中点为(1,0)，
AD ∴与MN 互相平分，
∴四边形AMDN 是平行四边形，
又
AD MN =，
∴□AMDN 是矩形；
（3）①
二次函数21:231(3)(1)1L y mx mx m m x x =+-+=+-+，
故当3x =-或1x =时1y =，即二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，
二次函数22:(3)41(1)(5)1L y m x m m x x =--+-=----，
故当1x =或5x =时1y =-，即二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点， ②
二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数
22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，
如图：四个定点分别为(3,1)E -、(1,1)F ，(1,1)H -、(5,1)G -，则组成四边形EFGH 为平行四边形，
∴FH ⊥HG ，FH=2，HM=4-x ，
设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形， 则EH 1=EF=H 1M=4，
由勾股定理可得：FH 2+HM 2=FM 2， 即22242(4)x =+-， 解得：423x =±，
抛物线1L 位置固定不变，通过左右平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是423+或423-．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
8．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+2的图象与x 轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y 轴交于点C ．
（1）求这个二次函数的关系解析式； （2）求直线AC 的函数解析式；
（3）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△
ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由； 【答案】（1）y=﹣23x 2﹣43x+2；（2）223y x =+；（3）存在，(35,22
-) 【解析】 【分析】
（1）直接用待定系数法即可解答；
（2）先确定C 点坐标，设直线AC 的函数解析式y=kx+b ，最后用待定系数法求解即可； （3）连接PO ，作PM⊥x 轴于M ，PN⊥y 轴于N ，然后求出△ACP 面积的表达式，最后利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】
解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+2过点A （﹣3，0），B （1，0）， ∴093202a b a b =-+??
=++?
解得2343a b ?=-????=-??
，
∴二次函数的关系解析式为y=﹣23x 2﹣4
3
x+2； （2）∵当x=0时，y=2， ∴C （0，2）
设直线AC 的解析式为y kx b =+，把A 、C 两点代入得
0=32k b b -+??
=? 解得232
k b ?
=
???=? ∴直线AC 的函数解析式为2
23
y x =+； （3）存在．
如图: 连接PO ，作PM⊥x 轴于M ，PN⊥y 轴于N
设点P 坐标为（m ，n ）,则n=224
233
m m --+），PN=-m ，AO=3
当x=0时，y=22400233
-?-?+=2， ∴点C 的坐标为（0,2），OC=2 ∵PAC
PAO
PCO
ACO
S
S
S
S
=+-
21241
1322()322332
2m m m ??=
??--++??--?? ??? =23m m -- ∵a=-1<0
∴函数S △PAC =-m 2-3m 有最大值 ∴b 当m=
()33
212
-=--?-
∴当m=32
-时，S △PAC 有最大值n=222423435
223332322m m ??--+=-?-?+= ???
∴当△ACP 的面积最大时，P 的坐标为（35
,22
-）． 【点睛】
本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数极值等知识点，根据题意表示出△PAC 的面积是解答本题的关键．
9．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +2的图象与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ． （1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；
【答案】（1）224
233y x x =--+；（2）存在，点P 35,22??- ???
，使△PAC 的面积最大；
（3）存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形．Q 点坐标为：Q 1（2，3），Q 2（3，1），Q 3（﹣1，﹣1），Q 4（﹣2，1）．
初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．
初三数学上册《 二次函数》
21.1二次函数 教学目标 【知识与技能】 以实际问题为例理解二次函数的概念,并掌握二次函数关系式的特点. 【过程与方法】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 【情感、态度与价值观】 联系学生已有知识,让学生积极参与函数的学习过程,使学生体会函数的思想. 重点难点 【重点】 二次函数的概念. 【难点】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 教学过程 一、问题引入 1.一次函数和反比例函数是如何表示变量之间的关系的? [一次函数的表达式是y=kx+b(k≠0),反比例函数的表达式是y=(k≠0)] 2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y和x之间有什么关系? (正方体的表面积y与棱长x之间的关系式是y=6x2.)
3.物体解放下落的距离s随时间t的变化而变化,s与t之间有什么关系?(下落的距离s随时间t变化的关系式是s=gt2.) 上面问题2、3中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数有哪些性质?它的图象是什么?它与以前学过的函数、方程等有哪些关系? 这就是本节课要学习的二次函数.(教师板书课题) 二、新课教授 师:我们再来看几个问题. 问题1某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗.要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米? 这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系.设围成的矩形水面的一边长为x m,那么,矩形水面的另一边长应为(20-x)m.若它的面积为 Sm2,则有S=x(20-x)=-x2+20x. 问题2有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少? 设增加x人,这时,共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只装配(190-10x)个玩具.所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为 y=(190-10x)(15+x)=-10x2+40x+2 850. 这两个问题中,函数关系式都是用自变量的二次式表示的. 二次函数的定义:大凡地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中,x是自变量,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项. 二次函数的自变量的取值范围大凡都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中,0 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 教材分析 本节课是数学新人教版九级（上）第二十二章《二次函数》第一节课内容 二次函数教学设计 一、教学目标知识方面： 1.理解并掌握二次函数的概念； 2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式。 3.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 4.通过分析实际问题列出二次函数关系式，培养学生分析问题、解决问题的能力。情感方面：通过学生的主动参与，师生、学生之间的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发他们的求知欲、培养合作意识。 二、教材分析 本节课是数学新人教版九年级（上）第二十二章《二次函数》第一节课内容.知识方面，它是在正比例函数，一次函数，对函数认识的完善与提高；也是对方程的理解的补充，同时也是以后学习初等函数的基础。根据本节的教学内容及学生学情，给彩虹、桥梁等图片这些丰富的生活实例，进一步让学生充分感受到二次函数的应用价值与实际意义。 重点是理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 难点是从实例中抽象出二次函数的定义，会分析实例中的二次函数关系。 三、教学过程教学过程： 一、提出问题，导入新课。 1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？图象形状各是什么？ 2、教师提出问题：投篮球时篮球运行的路线是什么曲线？这种曲线的形状是怎样的？是否象以前学过的函数图象？能否用新的函数关系式来表示？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这将在本章——二次函数中学习。 3、你能举出一些生活中类似的曲线吗？ 二、合作交流，形成概念。1．列式表示下面函数关系。 问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形 的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。 问题2：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 活动中教师关注： （1）学生参与小组合作讨论后，能否明白题意，写出相应关系式。 （2）问题3中可先分析一年后的产量，再得出两年后的产量。 2.教师引导学生观察，分析上面三个函数关系式的共同点。 学生小组交流、讨论得出结论，它们的共同点： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。 a,b,c为常数，且a≠0 （2）等式的右边最高次数为，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。（3）x的取值范围是任意实数。 教师口述二次函数的定义并板书在黑板上：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b，c是常数，a≠0）的函数，叫二次函数。 22．1二次函数的图像和性质（一） 一、学习目标 1．知识与技能目标： （1）理解并掌握二次函数的概念； （2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式； （3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。 二、学习重点难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 2．难点：理解二次函数的概念。 三、教学过程 （一）创设情境、导入新课： 回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？ （二）自主探究、合作交流： 问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。问题2：n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系? 问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。 问题5：什么是二次函数？ 形如。 问题6：函数y=ax2+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？ （三）尝试应用： 例1． 关于x 的函数 是二次函数， 求m 的值． 注意：二次函数的二次项系数必须是 的数。 例2． 已知关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7。求这个二次函数的解析式．(待定系数法) （四）巩固提高： 1．下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=3x －1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2－2x+1; (5)y=x 2－x(1+x); (6)y=x － 2+x ． 2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。 3、n 支球队参加比赛，每两支队之间进行一场比赛。写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。 4、已知二次函数y=x2+px+q ，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为－ 5， 求这个二次函数的解析式． （五）小结： 1．二次函数的一般形式是 。2．会用 法求二次函数解析式。 （六）作业设计 22．1二次函数 y=ax 2的图像和性质（二） 一．学习目标： m m 2 21)x (m y --= 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0(完整版)初三数学二次函数所有经典题型
人教版九年级数学上册二次函数教案
(精)人教版数学九年级上册《二次函数》全章教案(最新)
最新史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结