安徽省阜阳市第十九中学2020-2021学年八年级上学期第一次月考数学试题

安徽省阜阳市第十九中学2020-2021学年八年级上学期第一

次月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．一个三角形的两边长分别为4和2，则该三角形的周长可能是

A．6 B．7 C．11 D．12

2．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格中的两个格点（即网格中横、纵线的交点），在这个5×5的方格纸中，格点C使△ABC的面积为2个平方单位，则图中这样的点C有（）个．

A．3 B．4 C．5 D．6

3．如图，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD=（）

A．145°B．150°C．155°D．160°

4．如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，则∠B的度数是( )

A．33°B．23°C．27°D．37°

5．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）

A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2

C．3∠A=2∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）

6．如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列

四种剪法中，符合要求的是（）

A．①②B．①③C．②④D．③④

7．如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合，那么∠1的度数是( )

A．30°B．15°C．18°D．20°

8．如图，在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=90°，OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，则∠BOC=()

A．105°B．115°C．125°D．135°

9．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，能判定△ABC≌△ADC的是（）

A．AC=AC B．∠BCA=∠DCA C．∠B=∠D D．∠BAC=∠DAC 10．如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：

①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC+∠ABD=90°；④∠BDC=∠BAC；其中正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题

11．已知三角形的三边长分别为4，8，a，则a的取值范围是______ ．

12．如图，AD是△ABC的中线，点E、F分别为AD、CE的中点，且△ABC的面积是12，则△BEF的面积是______ ．

13．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于______ 度．

14．如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，则∠A1=

______ ；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A n-1BC与∠A n-1CD 的平分线相交于点A n，要使∠A n的度数为整数，则n的值最大为______ ．

三、解答题

15．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB 与AC的和为11cm，求AC的长．

16．如图，在△ABC中，∠A=72°，∠BCD=31°，CD平分∠ACB．

（1）求∠B的度数；

（2）求∠ADC的度数．

17．如图，在△ABC和△AEF中，AC∥EF，AB=FE，AC=AF，求证：∠B=∠E．

18．如图1，已知AB=AC，D为∠BAC的平分线上面-点．连接BD，CD；全等三角形的对数是______

如图2．已知AB=AC，D，E为∠BAC的平分线上面两点．连接BD，CD，BE，CE；全等三角形的对数是___________

如图3．已知AB=AC，D，E，F为∠BAC的平分线上面三点，连接

BD，CD，BE，CE，BF，CF；全等三角形的对数是_______________

…

依此规律，第n个图形中有全等三角形的对数是__________

19．如图，在一个风筝ABCD中，AB=AD，BC=DC，分别在AB、AD的中点E、F处挂两根彩线EC、FC．求证：EC=FC．

20．如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE 于点F，求∠CDF的度数．

21．如图，四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F．

（1）若∠F=80o，则∠ABC+∠BCD=；∠E=；

（2）探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由；

（3）给四边形ABCD添加一个条件，使得∠E=∠F所添加的条件为．

22．如图，在△ABC中，∠B=∠C=45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE=∠AED，连结DE．

（1）当∠BAD=60°，求∠CDE的度数；

（2）当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，试写出∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．

23．探究与发现：

如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：

（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图2，把一块三角尺OMN放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边OM、ON恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABO+∠ACO=°；

②如图3，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC=50°，∠BDC=130°，求∠BEC 的度数；

③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，求∠A的度数．

参考答案

1．C

【分析】

先求出三角形第三边的取值范围，进而求出三角形的周长取值范围，据此求出答案．

【详解】

设第三边的长为x，

∵三角形两边的长分别是2和4，

∴4-2＜x＜2+4，即2＜x＜6．

则三角形的周长：8＜C＜12，

C选项11符合题意，

故选C．

【点睛】

考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．

2．B

【解析】

如图所示，

图中这样的点C有4个．

故选B.

3．B

【分析】

根据三角形内角和180°，列方程求出x，再用三角形的外角等于不想邻的两个内角之和得到∠BAD.

【详解】

解：在△ABC中，

∵∠B+∠C+∠BAC=180°，

∵∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，

∴6x=180，∴x=30，

∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，

故选B．

【点睛】

本题考查三角形的角度计算，熟记内角和以及外角性质是关键

4．B

【分析】

延长CD交AB于E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠1，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．

【详解】

如图，延长CD交AB于E，

∵∠C=38°，∠A=37°，

∴∠1=∠C+∠A=38°+37°=75°，

∵∠BDC=98°，

∴∠B=∠BDC-∠1=98°-75°=23°．

故选B．

【点睛】

本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．

5．B

【分析】

根据四边形的内角和为360°、平角的定义及翻折的性质，就可求出2∠A=∠1+∠2这一始终保持不变的性质．

【详解】

∵在四边形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°，

则2∠A+(180°-∠2)+(180°-∠1)=360°，

∴可得2∠A=∠1+∠2．

故选B

【点睛】

本题主要考查四边形的内角和及翻折的性质特点，解决本题的关键是熟记翻折的性质．6．B

【解析】

试题分析：根据多边形的内角和定理可知：①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，③剪开后的两个图形是三角形，它们的内角和都是180°；因此可知①③剪开后的两个图形的内角和相等，

故选B．

考点：多边形内角与外角

7．C

【分析】

∠1的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得角的度数，进而求解．

【详解】

∵正五边形的内角的度数是1

5

×（5-2）×180°=108°，正方形的内角是90°，

∴∠1=108°-90°=18°．故选C

【点睛】

本题考查了多边形的内角和定理、正五边形和正方形的性质，求得正五边形的内角的度数是关键．

8．B

【分析】

根据四边形的内角和及角平分线的定义解答即可.

【详解】

∵∠A+∠D+∠ABC+∠BCD=360°，∠A=140°，∠D=90°

∴∠ABC+∠BCD=130°

∵OB平分∠ABC，OC平分∠BCD

∴∠OBC+∠OCB=1

2

（∠ABC+∠BCD）=65°

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=115°

故选B

【点睛】

本题考查的是四边形的内角和及角平分线，掌握四边形的内角和是360°及角平分线的定义是关键.

9．D

【解析】

A. 添加AC=AC，根据SSS不能判定△ABC≌△ADC，故本选项错误；

B. 添加∠BCA=∠DCA时，根据SSA不能判定△ABC≌△ADC，故本选项错误；

C. 添加∠B=∠D，根据SSA不能判定△ABC≌△ADC，故本选项错误；

D. 添加∠BAC=∠DAC,根据SAS,能判定△ABC≌△ADC，故本选项正确；

故选：D.

10．C

【解析】

①∵AD平分△ABC的外角∠EAC，

∴∠EAD=∠DAC，

∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，

∴∠EAD=∠ABC，

∴AD∥BC，

故①正确．

②由(1)可知AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABC=2∠ADB，

∵∠ABC=∠ACB，

∴∠ACB=2∠ADB，

③在△ADC中,∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，

∵CD平分△ABC的外角∠ACF，

∴∠ACD=∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB

∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，

∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，∴∠ADC+∠ABD=90°

∴∠ADC=90°?∠ABD，

故③正确；

④∵∠BAC+∠ABC=∠ACF，

∴1

2

∠BAC+

1

2

∠ABC=

1

2

∠ACF，

∵∠BDC+∠DBC=1

2

∠ACF，

∴1

2

∠BAC+

1

2

∠ABC=∠BDC+∠DBC，

∵∠DBC=1

2

∠ABC，

∴1

2

∠BAC=∠BDC，即∠BDC=

1

2

∠BAC.

故④错误．

故选C.

点睛：本题主要考查了三角形的内角和，平行线的判定和性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是正确找各角的关系.

11．4

【解析】

根据三角形的三边关系，得

8?4

即：4

故答案为4

12．3

∵点D是BC的中点，

∴S△ABD=S△ACD=1

2

S△ABC=

1

2

×12=6，

∵点E是AD的中点，

∴S△BDE=1

2

S△ABD=

1

2

×6=3，

S△CDE=1

2

S△ACD=

1

2

×6=3，

∴S△BCE=S△BDE+S△CDE=3+3=6，∵点F是CE的中点，

∴S△BEF=1

2

S△BCE=

1

2

×6=3.

故答案为3.

13．108°

【分析】

如图，易得△OCD为等腰三角形，根据正五边形内角度数可求出∠OCD，然后求出顶角∠COD，再用360°减去∠AOC、∠BOD、∠COD即可

【详解】

∵五边形是正五边形，

∴每一个内角都是108°，

∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，

∴∠COD=36°，

∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.

故答案为108°

【点睛】

本题考查正多边形的内角计算，分析出△OCD是等腰三角形，然后求出顶角是关键. 14．32? 6

由三角形的外角性质得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，

∴∠A1BC=1

2

∠ABC，∠A1CD=

1

2

∠ACD，

∴∠A1+∠A1BC=1

2

(∠A+∠ABC)=

1

2

∠A+∠A1BC，

∴∠A1=1

2

∠A=

1

2

×64°=32°；

∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，

∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，

而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠A1，

∴∠A1=1

2

∠A，

同理可得∠A1=2∠A2，

∴∠A2=1

4

∠A，

∴∠A=2n∠A n，

∴∠A n=(1

2

)n∠A=

64

2n

，

∵∠A n的度数为整数，

∵n=6.

故答案为：32°，6.

点睛：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键.

15．8cm.

【解析】

试题分析：根据中线的定义知CD=BD，结合三角形的周长公式知AC﹣AB=5cm，又

AB+AC=11cm，易求AC的长度.

试题解析：∵AD是BC边上的中线，

∴D为BC的中点，CD=BD．

∵△ADC的周长﹣△ABD的周长=5cm．

∴AC﹣AB=5cm．

又∵AB+AC=11cm，

∴AC=8cm．即AC的长度是8cm．

16．（1）∠B=46°；（2）∠ADC=77°．

【解析】

试题分析：（1）根据角平分线的定义求出∠ACB，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；

（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．

（1）∵CD平分∠ACB，∠BCD=31°，

∴∠ACD=∠BCD=31°，

∴∠ACB=62°，

∵在△ABC中，∠A=72°，∠ACB=62°，

∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-72°-62°=46°；

（2）在△BCD中，由三角形的外角性质得，∠ADC=∠B+∠BCD=46°+31°=77°．

17．证明见解析.

【解析】

试题分析：根据两直线平行，内错角相等可得∠EFA=∠C，再利用“边角边”证明△ABC和△FEA全等，然后根据全等三角形对应角相等证明即可．

试题解析：∵AC∥EF，

∴∠EFA=∠C，

在△ABC和△FEA中，

AB FE

EFA C AC AF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ABC≌△FEA（SAS），∴∠B=∠E．

18．1；3；6；

(1)

2

n n+

【解析】

试题分析：根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出

△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．

试题解析：∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠CAD．

在△ABD与△ACD中，

AB AC

BAD CAD AD AD

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE≌△ACE，∴BE=EC，

∵△ABD≌△ACD．

∴BD=CD，

在△BDE和△CDE中,

EB EC BD CD DE DE

=

?

?

=

?

?=

?

，

∴△BDE≌△CDE（SSS），

∴图2中有3对三角形全等；

同理：图3中有6对三角形全等；

由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是

(1)

2

n n+

．

故答案为：

(1)

2

n n+

．

19．证明见解析.

【解析】

试题分析：连接AC，先利用SSS证明△ABC≌△ADC，根据全等三角形的对应角相等得出∠EAC=∠FAC，再利用SAS证明△EAC≌△FAC，即可得到EC=FC．

试题解析：如图，连结AC．

在△ABC 与△ADC 中，

AB AD BC DC AC AC =??=??=?

，

∴△ABC ≌△ADC （SSS ），

∴∠EAC=∠FAC ．

∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，

∴AE=12AB ，AF=12

AD ， ∵AB=AD ，

∴AE=AF ．

在△AEC 与△AFC 中，

AE AF EAC FAC AC AC =??∠=∠??=?

，

∴△AEC ≌△AFC （SAS ），

∴EC=FC ．

20．∠CDF=72°．

【解析】

试题分析：首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB 的度数，以及∠BCD 的度数，根据角的平分线的定义求得∠BCE 的度数，则∠ECD 可以求解，然后在△CDF 中，利用内角和定理即可求得∠CDF 的度数．

试题解析：∵∠A=40°

，∠B=76°， ∴∠ACB=180°

﹣40°﹣76°=64°， ∵CE 平分∠ACB ，

∴∠ACE=∠BCE=32°

， ∴∠CED=∠A+∠ACE=72°

， ∴∠CDE=90°

，DF ⊥CE ， ∴∠CDF+∠ECD=∠ECD+∠CED=90°

， ∴∠CDF=72°

．

21．（1）220；110；（2）∠E+∠F=180°．理由见解析. （3）AB∥CD．

【解析】

试题分析：（1）先根据三角形内角和定理求出∠FBC+∠BCF=180°-∠F=110°，再由角平分线定义得出∠ABC=2∠FBC，∠BCD=2∠BCF，那么

∠ABC+∠BCD=2∠FBC+2∠BCF=2（∠FBC+∠BCF）=220°；由四边形ABCD的内角和为

360°，得出∠BAD+∠CDA=360°-（∠ABC+∠BCD）=140°．由角平分线定义得出∠DAE=1 2

∠BAD，∠ADE=1

2

∠CDA，那么∠DAE+∠ADE=

1

2

∠BAD+

1

2

∠CDA=

1

2

（∠BAD+∠CDA）=70°，然后根据三角形内角和定理求出

∠E=180°-（∠DAE+∠ADE）=110°；

（2）由四边形ABCD的内角和为360°得到∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD=360°，由角平分线定义得出∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF=180°，又根据三角形内角和定理有

∠DAE+∠ADE+∠E=180°，∠FBC+∠BCF+∠F=180°，那么

∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F=360°，于是

∠E+∠F=360°-（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）=180°；

（3）由（2）可知∠E+∠F=180°，如果∠E=∠F，那么可以求出∠E=∠F=90°，根据三角形内角和定理求出∠DAE+∠ADE=90°，再利用角平分线定义得到∠BAD+∠CDA=180°，于是AB∥CD．

试题解析：（1）∵∠F=70，

∴FBC+∠BCF=180°?∠F=110°.

∵∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F，

∴∠ABC=2∠FBC，∠BCD=2∠BCF，

∴∠ABC+∠BCD=2∠FBC+2∠BCF=2(∠FBC+∠BCF)=220°；

∵四边形ABCD的内角和为360°，

∴∠BAD+∠CDA=360°?(∠ABC+∠BCD)=140°.

∵四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，

∴∠DAE=1

2

∠BAD，∠ADE=

1

2

∠CDA，

∴∠DAE+∠ADE=1

2

∠BAD+

1

2

∠CDA=

1

2

(∠BAD+∠CDA)=70°，

∴∠E=180°?(∠DAE+∠ADE)=110°；

故答案为220；110；

（2）∠E+∠F=180°．理由如下：

∵∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD=360°，

∵四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F，

∴∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF=180°，

∵∠DAE+∠ADE+∠E=180°，∠FBC+∠BCF+∠F=180°，

∴∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F=360°，

∴∠E+∠F=360°-（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）=180°；

（3）AB∥CD．

点睛：本题考查了三角形，四边形内角和定理，角平分线定义，平行线的判定，等式的性质，利用数形结合，理清角度之间的关系是解题的关键.

22．（1）∠CDE＝30°；（2）∠CDE＝1

2

∠BAD.

【解析】

试题分析：（1）先根据三角形外角的性质得出

∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°=105°，∠AED=∠C+∠EDC，再根据∠B=∠C，∠ADE=∠AED即可得出结论；

（2）利用（1）的思路与方法解答即可．

试题解析：（1）∵∠ADC是△ABD的外角，

∴∠ADC=∠B+∠BAD=105°，

∵∠AED是△CDE的外角，

∴∠AED=∠C+∠EDC．

∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，

∴∠ADC-∠EDC=105°-∠EDC=45°+∠EDC，

解得：∠CDE=30°；

（2）∠CDE=1

2

∠BAD，

理由：设∠BAD=x，

∵∠ADC是△ABD的外角，

∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+x，

∵∠AED是△CDE的外角，

∴∠AED=∠C+∠CDE，

∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，

∴∠ADC-∠CDE=∠45°+x-∠CDE=45°+∠CDE，

得：∠CDE=1

2

∠BAD．

点睛：本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键.

23．（1）见解析；（2）①40，②∠BEC =90°③∠A为70°

【分析】

(1)连接AD并延长至点F，利用三角形外角性质可得结论；

（2）①②③都可利用（1）的结论求解.

【详解】

(1)连接AD并延长至点F

由外角定理可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD；

且∠BDC=∠BDF+∠CDF及∠BAC=∠BAD+∠CAD；

相加可得∠BDC=∠A+∠B+∠C；

(2) ①由(1)的结论易得：∠ABO+∠ACO+∠A=∠BOC，

又因为∠A=50°,∠BOC=90°，

所以∠ABO+∠ACO=90°?50°=40°

②由(1)的结论易得∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD,易得∠ABD+∠ACD =80°；

而∠BEC=1

2

(∠ABD+∠ACD)+∠A，

代入∠BAC=50°，∠BDC=130°,可得∠BEC =90°；

③∠BG1C═110(∠ABD+∠ACD)+∠A，

∵∠BG1C=77°，

∴设∠A为x，

∵∠ABD+∠ACD=140?x

∴110(140?x)+x=77，

14?110x+x=77，

x=70

∴∠A为70°.

【点睛】

本题考查三角形外角性质，（1）题作出辅助线是关键，（2）题利用（1）的结论是关键.