一次函数与特殊平行四边形专题

一次函数与特殊平行四边形专题

1、如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（4，0），B（0，3）．点C的坐标为（0，m），其中m＜2，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD=2OC，连结DE，以DE，DA为边作?DEFA．

（1）图中AB= ；BE= （用m的代数式表示）．（2）若?DEFA为矩形，求m的值；

（3）是否存在m的值，使得?DEFA为菱形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

2、在平面直角坐标系中，一张矩形纸片OBCD按图1所示放置，已知OB=10，BC=6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD（含端点）交于点E，与边OB （含端点）或其延长线交于点F．请回答：

（1）如图1，若点E的坐标为（0，4），求点A的坐标；

（2）将矩形沿直线y=- 1 x/2+n折叠，求点A的坐标；

（3）将矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边OB上（含端点），直接写出k的取值范围．

3、如图，在平面直角坐标系中，直线y=- 3 x/4+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且

点A的坐标为（4，0），四边形ABCD是正方形．

（1）填空：b= ；

（2）求点D的坐标；

（3）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），试探索在x上方是否存在

另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理

由；若存在，请求出点N的坐标．

4、如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，点D在边0C上，点E在边OA上，把矩形沿直线DE翻折，使点O落在边AB上的点F处，且AF/AE=4/3．若线段OA=8，又2AB=30A．请解答下

列问题：

(1)求点B、F的坐标：

(2)求直线ED的解析式：

(3)在直线ED、FD上是否存在点M、N，使以点C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

4、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（-3，0），（0，6），动点P从点O

出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动。以CP，CO为邻边构造□PCOD，在线段OP延长线上取点E，

使PE=AO，设点P运动的时间为t秒.

（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；

（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；

（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截

取FM=2，FN=1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，设□PCOD的面积为S.

①当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；

②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围.

5、如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，点A的坐标为（1，0）

∠ABO=30°，过点B的直线y=m与x轴交于点C．

（1）求直线l的解析式及点C的坐标．

（2）点D在x轴上从点C向点A以每秒1个单位长的速度运动（0＜t＜4），

过点D分别作DE∥AB，DF∥BC，交BC、AB于点E、F，连接EF，点G为

EF的中点．

①判断四边形DEBF的形状并证明；②求出t为何值时线段DG的长最短．

（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由．

6、如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA=8、OB=6，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂

足为点D，交y轴于点E．

（1）求线段AB的长；

（2）求直线CE的解析式；

（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使

以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的

坐标；若不存在，请说明理由．

7、如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转

90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于

点H，线段BC=2，OC=4．

（1）求直线BD的解析式；（2）求△OFH的面积；

（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、

M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐

标；若不存在，请说明理由．

8、在直角坐标系中，直线y=2x+4交x轴于A，交y轴于D

（1）以A为直角顶点作等腰直角△AMD，直接写出点M的坐标

为。

（2）以AD为边作正方形ABCD，连BD，P是线段BD上（不与B、

D重合）的一点，在BD上截取PG= ，过G作GF⊥BD，交BC

于F，连AP则AP与PF有怎样的数量关系和位置关系？并证明你

的结论；

（3）在（2）中的正方形中，若∠PAG=45°，试判断线段PD、PG、BG之间有何关系，并证明你的结论．

9、如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，

3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），

得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于

点P，连AP、AG．

（1）求证：△AOG≌△ADG；

（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，

说明理由；

（3）当∠1=∠2时，一次函数y=kx+b经过点P、E，求它的解析式．

10、OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x

轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6．

（1）如图，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，

记作B′点．求B′点的坐标；

（2）求折痕CM所在直线的解析式．

11、如图，已知四边形ABCD为矩形，O为坐标原点，点A的坐标为（0，6），点C的坐标为（8，0），点P是线段BC上一动点，已知点D是直线AE上位于第一象限的任意一点，直线AE与x轴交于点E（-3，0）；

（1）求直线AE的关系式；

（2）连接PD，当AD=AP、∠DAP=90°时，求直线DP的函数关系式；

（3）若将直线AD向右科移6个单位后，在该直线上是否存在一点D，使

△APD成为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，

请说明理由．

12、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别

为（0，5）、（0，2）、（4，2），直线l的解析式为y=kx+5-4k（k＞0）．

（1）当直线l经过点B时，求一次函数的解析式；

（2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点D；

（3）直线l与y轴交于点M，点N是线段DM上的一点，且△NBD为等腰

三角形，试探究：

①当函数y=kx+5-4k为正比例函数时，点N的个数有个；

②点M在不同位置时，k的取值会相应变化，点N的个数情况可能会改变，

请直接写出点N所有不同的个数情况以及相应的k的取值范围．

13、如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，且OA边和AB边所在直线

的解析式分别为y=x和y=-x+．

（1）求正方形OABC的边长；

（2）现有动点P、Q分别从C、A同时出发，点P沿线段CB向终点B运动，

速度为每秒1个单位，点Q沿折线A→O→C向终点C运动，速度为每秒k

个单位，设运动时间为2秒．当k为何值时，将△CPQ沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形？

14、如图，将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，其中A（1，0），C（0，1），P为AB边上一个动点，折叠该纸片，使O点与P点重合，折痕l与OP交于点M，与对角线AC交于Q点

（1）若点P的坐标为（1，），求点M的坐标；

（2）若点P的坐标为（1，t）

①求点M 的坐标（用含t 的式子表示）（直接写出答案）

②求点Q 的坐标（用含t 的式子表示）（直接写出答案）

（3）当点P 在边AB 上移动时，∠QOP 的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出它的角度的大小．并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由．

15、如图，四边形ABCD 为矩形，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，D （0，0），B （3，4），矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点B 落在AD 边上的G 处，E ，F 分别在BC ，AB 边上且F （1，4）．

（1）求G 点坐标；

（2）求直线EF 解析式；（3）点N 在坐标轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M ，N ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M 点坐标；若不存在，说明理由．

16、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线y=-x+4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在x 轴负半轴上，S △ABC =28．点P 是线段CA 上一动点．

（1）求直线CB 的解析式；

（2）H 是直线BC 上一点，在平面内是否存在一点R ，使以点O ，B ，H ，R

为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，请说

明理由．

17、在平面直角坐标系xOy 中，边长为6的正方形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，直线y=mx+2与OC ，BC 两边分别相交于点D ，G ，以DG 为边作菱形DEFG ，顶点E 在OA 边上．

（1）如图1，当CG=OD 时，直接写出点D 和点G 的坐标，并求直线DG 的函数表达式；

（2）如图2，连接BF ，设CG=a ，△FBG 的面积为S ．

①求S 与a 的函数关系式；

②判断S 的值能否等于等于1？若能，求此时m 的值，若不能，请说明理由；

（3）如图3，连接GE ，当GD 平分∠CGE 时，m 的值为 ．

18、如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝? x +6分别与x 轴、y 轴交于点B 、C ，且

与直线l 2：y ＝

（1）分别求出点A、B、C的坐标；

（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、

C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说

明理由．

19、如图①，已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以

OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．

（1）求点A、C的坐标；

（2）将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，

求直线CD的解析式（图②）；

（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△

ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，

请说明理由．

20、如图1，平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点O是AB的中点，直线l：y=kx﹣2k+4过定点C，交x轴于点E．

（1）求正方形ABCD的边长；

（2）如图2，当k=﹣时，过点C作FC⊥CE，交AD于点F，连接EF，BD相交于点H，BD交y轴于G，求线段GH的长．

（3）如图3，在直线l上有一点N，CN=，连接AN，点M为AN的中点，连接BM，求线段BM的长度的最小值，并求出此时点N的坐标．