特殊的平行四边形专题题型详细分类

特殊的平行四边形讲义知识点归纳

矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示：

四边形分类专题汇总

专题一：特殊四边形的判定

【知识点】

1.平行四边形的判定方法：

（1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________

2.矩形的判定方法：

（1）______________ （2）______________ （3）______________

3.菱形的判定方法：

（1）______________ （2）______________ （3）______________

4.正方形的判定方法：

（1）______________ （2）______________ （3）______________

5.等腰梯形的判定方法：

（1）______________ （2）______________ （3）______________

【练一练】

一．选择题

矩形菱形正方形

性

质

边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等

角四个角都是直角对角相等四个角都是直角

对

角

线

互相平分且相等

互相垂直平分，且每条对

角线平分一组对角

互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定

·有三个角是直角;

·是平行四边形且有

一个角是直角;

·是平行四边形且两

条对角线相等.

·四边相等的四边形；

·是平行四边形且有一组

邻边相等；

·是平行四边形且两条对

角线互相垂直。

·是矩形，且有一组邻边相等；

·是菱形，且有一个角是直角。

对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形

1．能够判定四边形ABCD 是平行四边形的题设是（ ）．

A ．AB∥CD，AD=BC

B ．∠A=∠B，∠C=∠D

C ．AB=C

D ，AD=BC D ．AB=AD ，CB=CD

2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（ ）．

A ．相邻的角互补

B ．两组对角分别相等

C ．一组对边平行，另一组对边相等

D ．对角线交点是两对角线中点

3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( )

A.一组对边平行，另一组对边相等

B.一组对边平行，一组对角相等

C.一组对边平行，一组邻角互补

D.一组对边相等，一组邻角相等

4．如下左图所示，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，下列判断正确的是（ ）．

A ．若AO=OC ，则ABCD 是平行四边形;

B ．若AC=BD ，则ABCD 是平行四边形;

C ．若AO=BO ，CO=DO ，则ABC

D 是平行四边形;

D ．若AO=OC ，BO=OD ，则ABCD 是平行四边形

5．不能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件是（ ）

A ．AB=CD ，AD=BC

B ．AB ∥CD ，AB=CD

C ．AB=C

D ，AD ∥BC D ．AB ∥CD ，AD ∥BC

6.四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，能判断它为矩形的题设是（ ）

A ．AO=CO ，BO=DO

B ．AO=BO=CO=DO

C ．AB=BC ，AO=CO

D ．AO=CO ，BO=DO ，AC ⊥BD

7.四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）

A ．AB=CD

B ．AD=B

C C ．AB=BC

D ．AC=BD

8.在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（ ）

A 、AC ＝BD ，A

B ∥CD ，AB ＝CD B 、AD ∥B

C ，∠A ＝∠C

C 、AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥B

D D 、AC ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC

9.在下列命题中，真命题是（ ）

Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形

Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

10.在下列命题中，正确的是（ ）

A 一组对边平行的四边形是平行四边形

B 有一个角是直角的四边形是矩形

C 有一组邻边相等的平行四边形是菱形

D 对角线互相垂直平分的四边形是正方形

11.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）

A ．当AB=BC 时，它是菱形

B ．当A

C ⊥B

D 时，它是菱形 C ．当∠ABC=900时，它是矩形 D ．当AC=BD 时，它是正方形

12.如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．

的是（ ） A ．四边形AEDF 是平行四边形 B ．如果90BAC ∠=o ，那么四边形AEDF 是矩形

C ．如果A

D 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形

D C B A Ａ Ｆ Ｃ Ｄ Ｂ Ｅ

D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形

13.下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（ ）。

A 、对角线互相垂直且相等的四边形

B 、一条对角线平分一组对角的矩形

C 、对角线相等的棱形

D 、对角线互相垂直的矩形

14.下列命题中，假命题是（ ）。

A 、四个内角都相等的四边形是矩形

B 、四条边都相等的平行四边形是正方形

C 、既是菱形又是矩形的四边形是正方形

D 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形

15.在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定四边形是正方形的条件是（ ）。

A 、BD AC =，CD A

B // B 、B

C A

D //，C A ∠=∠

C 、DO CO BO AO ===，B

D AC ⊥ D 、CO AO =，DO BO =，BC AB =

16.下列命题正确的是（ ）

A ．对角线相等且互相平分的四边形是菱形

B ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形

C ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形

D ．对角线相等的四边形是等腰梯形

17.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）

A 、当AB=BC 时，它是菱形

B 、当A

C ⊥B

D 时，它是菱形

C 、当∠ABC=90°时，它是矩形

D 、当AC=BD 是，它是正方形

18.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是 （ ）

A.等腰梯形

B.正方形

C.平行四边形

D.矩形

一．矩形 例1：若矩形的对角线长为8cm ，两条对角线的一个交角为600

，则该矩形的面积为

例2：菱形具有而矩形不具有的性质是 （ ）A ． 对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等；D.邻角互补 例3： 已知：如图， □ABCD 各角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，?H ，求证：?四边形EFGH 是矩形．

二．菱形

例1已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ．求证：四边形AFCE 是菱形．

例2、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于M ，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE 。求证：AM=BE 。

B M A

D C

E A

例3（中考题）如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E ． 求线段BE 的长．

例4、如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F 。请你猜想DE 与DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想

例5、如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：△BDE ≌△BCF ；

（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；

（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.

三．正方形

例1、（2011海南）如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE=PB . （1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ； （2）设AP =x , △PBE 的面积为y .

① 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；

② 当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值.

D B C O

60A B C P D E

专题二：矩形的有关线段计算

1.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知0

120AOD ∠=，AB=2.5，则AC

的长为 。

2. 如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，则边AD 的长是___________厘米.

3. 如图，矩形ABCD 中，35AB BC ==，．过对角线交点O 作OE AC ⊥交AD 于E ，则AE 的长是（ ）

A ．1.6

B ．2.5

C ．3

D ．3.4

4. 如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ）

A ．1

B ．

34 C ．23 D ．2

5. 将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）．

A 、3

B 、2

C 、3

D 、32

6. 如图矩形纸片ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝10cm ，CD 上有一点E ，ED ＝2cm ，AD 上有一点P ，PD ＝3cm ，过P 作PF ⊥AD 交BC 于F ，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与PF 交于Q 点，则PQ 的长是_________cm.

7. 把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，则

重叠部分△DEF 的面积是 cm 2．

8. 如图(十二)，长方形ABCD 中，E 为BC 中点，作AEC ∠的角平分线交AD 于F 点。若AB ＝6，AD ＝16，则FD 的长度为（ ）

A ′ D C

A．4 B．5 C．6 D．8

9.如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_____cm.

10.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的

点B1重合，则AC＝

cm．

专题三：菱形的有关线段计算

1. 已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是

4∶3，则这个菱形的面积是（）

A．12cm2 B．24cm2C．48cm2D．96cm2

2. .若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（）

A 16

B 8

C 4

D 1

3.如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是_________cm.

4. 菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）A．3

2 B．3

3 C．3

4 D．3

5. 已知菱形ABCD的面积是2

12cm，对角线4

AC=cm，则菱形的边长是__________cm；

6. 菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，4cm

AB=．那么，菱形ABCD的面积是，对角线BD 的长是．

7. 已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（）

A、16错误!未找到引用源。

B、16

C、8错误!未找到引用源。

D、8

8. 如图为菱形ABCD与△ABE的重迭情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何（）

A、8

B、9

C、11

D、12

9.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于cm2．

专题四：正方形的有关线段计算

1. 如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A 落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N= ;

F

A

D

E

B

C

A

D

E

B

A'N M B

C

A D

E

2. 如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是 cm 2．

3. 如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）

A ．3cm

B ．4cm

C ．5cm

D ．6cm

4. 如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、

DF ，∠1=∠2 ， ∠3=∠4. （1）证明：△AB E ≌△DAF ；（2）若∠AGB =30°，求EF 的长.

5. 如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且3B C '=，则AM 的长是B

A ．1.5 Ｂ．2 Ｃ．2.25 Ｄ．2.5

专题五：有关特殊四边形的角度计算

1. 如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = BC ，则∠ACP 度数是 ．

2. 如图，l m ∥，矩形ABCD 的顶点B 在直线m 上，则α∠= 度．

3. 如图，在菱形ABCD 中，72ADC ∠=o ，AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，连接CP ，则CPB ∠=________度．

4. 如图，在菱形ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC =（ ）

A ．35°

B ．45°

C ．50°

D ．55°

5. 如图19，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF ，若∠ABE ＝20°，那么∠EFC ′的度数为 度．

N M F E D

C B A 题3

A C

B D E F G

1423

B C D A P D A B C m l α 65° D C B A E

P

A D E P C

B F