【新教材】新人教A版必修一 对数与对数函数 作业

1．函数f (x ）＝错误!的定义域为( ）

A.错误!

B ．(2，＋∞)

C.错误!∪（2，＋∞）

D.错误!∪

C ．（2,3)∪（3,4］

D ．(－1，3)∪(3,6] 解析:选C 由错误!得错误!故函数定义域为(2,3）∪（3,4］，故选C.

6．计算:lg 0.001＋ln 错误!＋2

21log 3－＋＝________。 解析：原式＝lg 10－3＋ln e 12＋2log 232＝－3＋错误!＋错误!＝－1。

答案:－1

7．已知函数f (x )＝错误!关于x 的方程f （x ）＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是______．

解析：

问题等价于函数y ＝f （x ）与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.

答案：（1，＋∞）

8．函数f (x ）＝log 2错误!·log 错误!(2x )的最小值为______．

解析：依题意得f (x ）＝错误!log 2x ·(2＋2log 2x ）＝(log 2x )2＋log 2x ＝错误!2

－错误!≥－错误!,

当且仅当log 2x ＝－错误!，即x ＝错误!时等号成立,

因此函数f （x ）的最小值为－错误!。

答案：－错误!

9．已知函数f (x ）是定义在R 上的偶函数，f （0)＝0,当x >0时，f （x ）＝log 12x 。

（1)求函数f （x )的解析式;

(2)解不等式f （x 2

－1)>－2。

解:(1）当x 〈0时，－x 〉0,则f (－x ）＝log 12 （－x )．

因为函数f (x ）是偶函数，所以f （－x )＝f （x )．

所以函数f （x ）的解析式为

f (x )＝错误!

(2)因为f (4)＝log 错误!4＝－2，f (x ）是偶函数，

所以不等式f(x2－1)>－2可化为f（|x2－1|）>f（4）．

又因为函数f(x)在(0，＋∞）上是减函数，

所以｜x2－1｜<4，解得－错误!

即不等式的解集为(－5,错误!）．

10．设f（x)＝log a(1＋x）＋log a（3－x）（a>0，a≠1），且f(1)＝2。

(1）求a的值及f(x）的定义域；

(2)求f（x）在区间错误!上的最大值．

解：(1)∵f(1)＝2，

∴log a4＝2（a〉0，a≠1)，∴a＝2.

由错误!得x∈(－1，3),

∴函数f（x）的定义域为(－1,3）．

（2)f(x）＝log2（1＋x）＋log2(3－x）

＝log2（1＋x）(3－x)

＝log2，

∴当x∈（－1，1]时，f（x）是增函数;

当x∈(1，3)时，f(x）是减函数，

故函数f(x）在错误!上的最大值是

f（1)＝log24＝2。

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1．已知函数f（x）＝log a(2x－a)在区间错误!上恒有f（x)>0，则实数a的取值范围是( )

A.错误!

B.错误!

C.错误!D。错误!

解析：选A 当0〈a〈1时，

函数f（x）在区间错误!上是减函数，

所以log a错误!〉0,

即0〈错误!－a<1，

解得错误!〈a〈错误!，故错误!

当a〉1时，函数f（x）在区间错误!上是增函数,

所以log a（1－a）〉0，

即1－a>1，解得a〈0，此时无解．

综上所述,实数a的取值范围是错误!。

2．已知函数f（x）＝3－2log2x，g（x）＝log2x。

（1)当x∈时，求函数h（x)＝·g（x）的值域；

(2)如果对任意的x∈，不等式f(x2)·f(错误!）>k·g(x）恒成立，求实数k的取值范围．

解:（1）h（x）＝（4－2log2x）·log2x＝－2(log2x－1）2＋2,

因为x∈，所以log2x∈，

故函数h(x)的值域为．

(2)由f(x2）·f(错误!）>k·g（x)，

得（3－4log2x)(3－log2x)〉k·log2x，

令t＝log2x，因为x∈，所以t＝log2x∈,

所以（3－4t)(3－t）>k·t对一切t∈恒成立，

①当t＝0时，k∈R;

②当t∈（0，2]时,k<错误!恒成立，

即k<4t＋9

t

－15,

因为4t＋9

t

≥12,当且仅当4t＝错误!，即t＝错误!时取等号，

所以4t＋错误!－15的最小值为－3.

综上,实数k的取值范围为（－∞，－3）．