高中数学-古典概型

课题:古典概型

导学目标： 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．

自主梳理

1．基本事件有如下特点：

(1)任何两个基本事件是________的．

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成______________． 2．一般地，一次试验有下面两个特征

(1)有限性．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

(2)等可能性．每个基本事件出现的可能性相同，称这样的概率模型为古典概型．

判断一个试验是否是古典概型，在于该试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性．

3．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是________；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P(A)＝________.

自我检测

1．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5下方的概率为( )

A .16

B .14

C .112

D .19

2．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是( )

A .112

B .110

C .325

D .12125

3．三张卡片上分别写上字母E ，E ，B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．

4．有100张卡片(编号从1号到100号)，从中任取1张，取到卡号是7的倍数的概率为________． 5．在平面直角坐标系中，从五个点：A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________(用分数表示).

探究点一 基本事件的概率

例1 投掷六个面分别记有1,2,2,3,3,3的两颗骰子． (1)求所出现的点数均为2的概率； (2)求所出现的点数之和为4的概率．

变式迁移1 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球．问： (1)共有多少个基本事件？

(2)摸出的两只球都是白球的概率是多少？

探究点二 古典概型的概率计算

例2 班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张

相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．

(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；

(2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求独唱和朗诵由同一个人表演的概率．

变式迁移2同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．

探究点三古典概型的综合问题

例3汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：

轿车A 轿车B 轿车C

舒适型100 150 z

标准型300 450 600

按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．

(1)求z的值；

(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；

(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．

变式迁移3为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体．

(1)求该总体的平均数；

(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．

分类讨论思想的应用

例(12分)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．

(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；

(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？

(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．

多角度审题本题属于求较复杂事件的概率，关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模

型，联想掷骰子试验，把红桃2、红桃3、红桃4和方片4分别用数字2,3,4,4′表示，抽象出基本事件，把复杂事件用基本事件表示，找出总体I 包含的基本事件总数n 及事件A 包含的基本事件个数m ，用公式P(A)＝m

n

求解． 【答题模板】

解 (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示，其他用相应的数字表示)为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同情况．[6分]

(2)甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为2

3

.[9

分]

(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，故甲胜的

概率P 1＝512，同理乙胜的概率P 2＝5

12.因为P 1＝P 2，所以此游戏公平．[12分]

【突破思维障碍】

(1)对一些较为简单、基本事件个数不是太大的概率问题，计数时只需要用枚举法即可计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，但应特别注意：计算时要严防遗漏，绝不重复．

(2)取球模型是古典概型计算中的一个典型问题，好多实际问题都可以归结到取球模型上去，特别是产品的抽样检验，解题时要分清“有放回”与“无放回”，“有序”与“无序”等条件的影响．

【易错点剖析】

1．题目中“红桃4”与“方片4”属两个不同的基本事件，应用不同的数字或字母标注． 2．注意“抽出的牌不放回”对基本事件数目的影响．

1．基本事件的特点主要有两条：①任何两个基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和．

2．古典概型的基本特征是：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．

3．计算古典概型的基本步骤有：①判断试验结果是否为等可能事件；②求出试验包括的基本事件的个

数n ，以及所求事件A 包含的基本事件的个数m ；③代入公式P(A)＝m

n

，求概率值．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率为( ) A .1936 B .12 C .59 D .1736 2．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( ) A ．0.35 B ．0.25 C ．0.20 D ．0.15

3．连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n)与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( ) A .512 B .712 C .13 D .12 4．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P(a ，b)，记“点P(a ，b)落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为( )

A ．3

B ．4

C ．2,5

D ．3,4

5．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )

A.112

B.110

C.15

D.310 二、填空题(每小题4分，共12分)

6．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若

选到男教师的概率为9

20，则参加联欢会的教师共有________人．

7．在集合{x |x ＝n π6，n ＝1,2,3，…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x ＝1

2

的概率是

________．

8．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________．

三、解答题(共38分)

9．(12分)袋子中装有编号为a ，b 的2个黑球和编号为c ，d ，e 的3个红球，从中任意摸出2个球． (1)写出所有不同的结果；

(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率； (3)求至少摸出1个黑球的概率．

10．(12分)某商场举行抽奖活动，从装有编号0,1,2,3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．

(1)求中三等奖的概率； (2)求中奖的概率．

11．(14分)已知实数a ，b ∈{－2，－1,1,2}． (1)求直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限的概率；

(2)求直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率．

自主梳理 1．几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

2．在几何概型中，事件A 的概率计算公式

P (A )＝____________________________________________________________________.

求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．

3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点： (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；

(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．古典概型与几何概型的区别

(1)相同点：基本事件发生的可能性都是________；

(2)不同点：古典概型的基本事件是有限个，是可数的；几何概型的基本事件是________，是不可数的． 自我检测

1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并且以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )

A.14

B.13

C.427

D.415

2．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )

A.14

B.13

C.12

D.23 3.

如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )

A.12

B.32

C.13

D.14 4．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________．

5．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于1

4，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不．在家看书的概率为________．

探究点一 与长度有关的几何概型

例1 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪的内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？

变式迁移1 在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．

探究点二 与角度有关的几何概型

例2 如图所示，在等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM

变式迁移2

若将例2题目改为：“在等腰Rt △ACB 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率”，答案还一样吗？

探究点三与面积有关的几何概型

例3两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．

变式迁移3甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．

分类讨论与数形结合思想的应用

例(12分)已知函数f(x)＝x2－2ax＋b2，a，b∈R.

(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率；

(2)若a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，求方程f(x)＝0没有实根的概率．

【突破思维障碍】

1．古典概型和几何概型的区别在于试验的全部结果是否有限，因此到底选用哪一种模型，关键是对试验的确认和分析．

2．用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”．

【易错点剖析】

1．计算古典概型的概率时，列举基本事件应不重不漏．

2．计算几何概型的概率时，区域的几何度量要准确无误．

1．几何概型：若一个试验具有两个特征：①每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；②每次试验的各种结果是等可能的．那么这样的试验称为几何概型．

2．由概率的几何定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关．

3．几何概型的概率公式：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域

用A表示(A?Ω)，则P(A)＝A的度量Ω的度量.

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )

A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8

2．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S

4

的概率是( )

A.1

4 B.12 C.34 D.23

4．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )满足?

???

?

f (2)≤12f (－1)≤3的

事件为A ，则事件A 的概率为( )

A.58

B.12

C.38

D.14

5．在区域???

x ＋y －

2≤0，x －y ＋

2≥0，

y ≥0

内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( )

A.π2

B.π8

C.π6

D.π4 二、填空题(每小题4分，共12分)

6．

从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 落在阴影部分的概率为________． 7．如图所示，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆．现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________．

8．在可行域内任取一点，规则如程序框图所示，则能输出数对(x ，y )的概率是________．

三、解答题(共38分) 9．(12分)

已知等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°.

(1)在线段BC 上任取一点M ，求使∠CAM <30°的概率； (2)在∠CAB 内任作射线AM ，求使∠CAM <30°的概率．

10．(12分)甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设甲乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是4小时和6小时，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．11．(14分)已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.

(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；

(2)若a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，求f(1)>0成立时的概率．