人教版数学高二作业第三讲二、一般形式的柯西不等式

一、基础达标

1.已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2

n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大

值是( ) A.1

B.2

C.3

D.4

解析 (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1.

当且仅当a i ＝x i ＝n

n (i ＝1，2，…，n )时，等号成立. 故a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1. 答案 A

2.n 个正数的和与这n 个正数的倒数的和的乘积的最小值是( ) A.1

B.n

C.n 2

D.1n

解析 设n 个正数是x 1，x 2，…，x n ， 由柯西不等式，得

(x 1＋x 2＋…＋x n )? ????1x 1＋1

x 2＋…＋1x n

≥? ?

???x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n 2

＝(1＋1＋…＋1)2＝n 2.

当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时，等号成立. 答案 C

3.若则a 21＋a 22＋…＋a 2

n ＝5，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1的最小值为( )

A.－25

B.－5

C.5

D.25

解析 由柯西不等式，得(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(a 22＋a 23＋…＋a 2n ＋a 21)≥(a 1a 2＋a 2a 3

＋…＋a n －1a n ＋a n a 1)2，

∴|a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1|≤5. ∴－5≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1≤5，

故所求最小值为－5.选B. 答案 B

4.若实数x ＋y ＋z ＝1，则2x 2＋y 2＋3z 2的最小值为( ) A.1 B.6 C.11

D.611

解析 ∵(2x 2＋y 2＋3z 2)? ??

??1

2＋1＋13

≥? ?

???2x ·12＋y ·1＋3z ·132＝(x ＋y ＋z )2＝1. ∴2x 2＋y 2＋3z 2≥1

1

2＋1＋13

＝

6

11，

当且仅当x ＝311，y ＝611，z ＝2

11时，等号成立. ∴2x 2＋y 2＋3z 2的最小值为6

11. 答案 D

5.设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )? ????

4a ＋9b ＋36c 的最小值是________.

解析 (a ＋b ＋c )? ????

4a ＋9b ＋36c

＝??????

? ??

??2a 2＋? ????3b 2＋? ????6c 2

≥?

?

???a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c 2＝(2＋3＋6)2＝121.

当且仅当a 2＝b 3＝c

6时，等号成立. 答案 121

6.设x ，y ，z ∈R ，2x ＋2y ＋z ＋8＝0，则(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2的最小值为________.

解析 2x ＋2y ＋z ＋8＝0?2(x －1)＋2(y ＋2)＋(z －3)＝－9.

考虑以下两组向量：u ＝(2，2，1)，v ＝(x －1，y ＋2，z －3)，由柯西不等式，

得(u·v )2≤|u |2·|v |2； 即2≤(22＋22＋12)·.

所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥（－9）29

＝9，

当且仅当x ＝－1，y ＝－4，z ＝2时，等号成立，此时取得最小值9. 答案 9

7.已知α1，α2，…，αn 是平面凸n 边形的内角的弧度数，求证：1α1

＋1α2

＋…＋1

α

n

≥n 2

（n －2）π

. 证明 由柯西不等式，得(α1＋α2＋…＋αn )? ????1α1＋1

α2＋…＋1αn

≥?

?

???α1·1α1＋α2·1α2＋…＋αn ·1αn 2＝n 2. ∵α1＋α2＋…＋αn ＝(n －2)π， ∴1α1＋1α2＋…＋1αn ≥n 2

（n －2）π

， 当且仅当α1＝α2＝…＝αn ＝n －2

n π时，等号成立. 二、能力提升

8.已知a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为( ) A.3 B.3 2 C.18

D.9

解析 由柯西不等式得 (

3a ＋1＋

3b ＋1＋

3c ＋1)2≤(1＋1＋1)·(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)

＝3.

∵a ＋b ＋c ＝1，∴(

3a ＋1＋

3b ＋1＋

3c ＋1)2≤3×6＝18，

∴3a ＋1＋3b ＋1＋

3c ＋1≤32，当且仅当a ＝b ＝c ＝1

3时等号成立.

答案 B

9.已知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c ＞0，则2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最小值为( ) A.1

B.3

C.6

D.9

解析 ∵a ＋b ＋c ＝1，

∴2

a ＋

b ＋2

b ＋

c ＋2

c ＋a

＝2(a ＋b ＋c )·? ????1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ＝·

? ????1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立. 答案 D

10.已知2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________.

解析 由柯西不等式，得(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2， 即x 2

＋y 2

＋z 2

≥8214＝327，当且仅当x 2＝y

3

＝z 时，等号成立.

又2x ＋3y ＋z ＝8，解得x ＝87，y ＝127，z ＝4

7， 故所求点为? ????

87，127，47.

答案 ? ??

??

87，127，47

11.在△ABC 中，设其各边长分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，求证：(a 2＋b 2＋c 2

)? ??

??1

sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2. 证明 ∵a sin A ＝b sin B ＝c

sin C ＝2R ， ∴(a 2＋b 2＋c 2)? ????1

sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥

? ??

??a

sin A ＋b sin B ＋c sin C 2＝36R 2.∴原不等式成立.

12.已知二次三项式f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的所有系数均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：对于任何正数x 1，x 2，当x 1x 2＝1时，必有f (x 1)f (x 2)≥1.

证明 f (x 1)f (x 2)＝(ax 21＋bx 1＋c )(ax 2

2＋bx 2＋c )

≥2

＝f 2(x 1x 2)＝f 2(1)＝1. 故f (x 1)f (x 2)≥1. 三、探究与创新

13.设x 1，x 2，x 3，…，x n 都是正实数，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝S . 求证：x 21S －x 1＋x 22S －x 2＋…＋x 2n S －x n ≥S n －1.

证明 法一 根据柯西不等式，得 不等式左边＝x 21S －x 1＋x 22S －x 2＋…＋x 2n

S －x n

＝·1

（n －1）S ·

? ????x 21S －x 1＋x 22S －x 2

＋…＋x 2

n S －x n ＝1（n －1）S ·

???????

?

???x 1

S －x 12＋?

????x 2

S －x 22＋…＋? ????x n

S －x n 2≥

1（n －1）S

????

????S －x 1·

x 1

S －x 1＋? ????

S －x 2·

x 2

S －x 2＋…＋

????

????S －x n ·

x n

S －x n 2＝1（n －1）S

(x 1＋x 2＋…＋x n )2 ＝1（n －1）S ·S 2＝S

n －1＝不等式右边. 故原不等式成立.

法二 ∵a ＞0，∴a ＋1

a ≥2，

∴a ≥2－1

a ，当且仅当a ＝1时，等号成立.

∴x 2i

S －x i ＝x i

n －1·（n －1）x i S －x i ≥x i n －1·?????

???2－S －x i （n －1）x i ＝2x i n －1－S －x i （n －1）2，i ＝1，2，…，n .

n 个式子相加，有x 21S －x 1＋x 22S －x 2＋…＋x 2n

S －x n ≥2x 1n －1＋2x 2n －1＋…＋2x n

n －1－

????????S －x 1（n －1）2＋S －x 2（n －1）2＋…＋S －x n （n －1）2＝2S n －1－nS －S （n －1）2

＝S n －1

.