二维形式的柯西不等式(一)

教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.

教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义.

教学过程：

一、复习准备：

1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？

答案：

(0,0)2

a b a b +≥

>>及几种变式.

2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥

二、讲授新课：

1. 教学柯西不等式：

① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++

222

()()(

)a c b d a d b c a c b

d =++-

≥+. （要点：展开→配方）

证法三：（向量法）设向量(,)m a b = ，(,)n c d =

，则||m = ，||n = ∵ m n ac bd ?=+

，且||||cos ,m n m n m n =<> ，则||||||m n m n ≤ . ∴ …..

证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则

2

2

()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.

∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ?=-+-++≤0，即…..

③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？

||ac bd ≥+ 或

||||ac bd ≥+

ac bd +.

④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤

.

即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）

→ 讨论：上面时候等号成立？（β

是零向量，或者,αβ

共线）

⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d . 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式：

① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈≥

分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明

→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）

三、巩固练习：

1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式

2. 作业：教材P 37 4、5题.

教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.

教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.

教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？

答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+≥

2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？

3. 如何利用二维柯西不等式求函数y =的最大值?

要点：利用变式||ac bd +≤.

二、讲授新课：

1. 教学最大（小）值：

① 出示例1：求函数y =

分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演

→

变

式

：

02y x =-

→

推

广

：

(,

,

,,,)y b

c

d e f

x a

b

c

d

e

f

R

+

=

-∈

② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法）222

2

2

2

2

111()(32)(32)13

13

13

x y x y x y +=

++≥

+=

.

讨论：其它方法 （数形结合法）

2. 教学不等式的证明：

① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：

112x y +≥.

分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）

要点：

2

2

2

2

111111()(

)]

22

x y x y x y +=++=

++≥…

讨论：其它证法（利用基本不等式）

② 练习：已知a 、b R +∈，求证：1

1

()()4a b a

b ++≥.

3. 练习：

① 已知,,,x y a b R +∈，且1a b x y

+=，则x y +的最小值.

要点：()()a

b x y x y x y

+=+

+=…. → 其它证法

② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）

变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=的最大值.

3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.

三、巩固练习：

1. 练习：教材P 37 8、9题

2. 作业：教材P 37 1、6、7题

第三课时 3.2 一般形式的柯西不等式

教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.

教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想.

教学过程：

一、复习准备： 1. 练习：

2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？

答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++

二、讲授新课：

1. 教学一般形式的柯西不等式：

① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤

，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？

② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈ ，则

22222

2

1212

1122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b

+++++≥+++ 讨论：什么时候取等号？（当且仅当

121

2

n n

a a a

b b b =

==

时取等号，假设0i b ≠）

联想：设1122

n n B a b a b a b =+++，22212n A a a a =++ ，222

12n C b b b =+++ ，则有2

0B A C -≥，可联想到一些什么？

③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？ （注意分类）

要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++???++++???+（）（222

12()n b b b +++???+ ，则

2

2

2

1122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++???+≥+（.

又222120n a a a ++???+>，从而结合二次函数的图像可知，

[]2

2

2

2

1122122()4()n n n a b a b a b a a a ?=+++-++ 2

2

2

12()n b b b +++ ≤0

即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.） ④ 变式：2222

12121()n n a a a a a a n

++≥

++???+ . （讨论如何证明）

2. 教学柯西不等式的应用：

① 出示例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.

分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式： ② 练习：若,,x y z R +∈，且

1111x y z

++=，求23

y z x +

+的最小值. ③ 出示例2：若a >b >c ，求证：c

a c

b b

a -≥

-+

-411.

要点：2

1111()(

)[()()](

)(11)4a c a b b c a b

b c

a b

b c

-+

=-+-+

≥+=----

3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.

三、巩固练习：

1. 练习：教材P 41 4题

2. 作业：教材P 41 5、6题

第四课时 3.3 排序不等式

教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.

教学重点：应用排序不等式证明不等式. 教学难点：排序不等式的证明思路.

教学过程：

一、复习准备：

1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？ （柯西不等式、三角不等式）

2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课：

1. 教学排序不等式： ① 看书：P 42~P 44.

② 提出排序不等式（即排序原理）： 设有两个有序实数组:12a a ≤≤···n a ≤;12b b ≤≤···n b ≤.12,,c c ···n c 是12,b b ，···,n b 的任一排列,则有

1122

a b a b ++···+n n a b (同序和) 1122a c a c ≥++·

··+n n a c (乱序和) 121n n a b a b -≥++·

··+1n a b (反序和) 当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时，反序和等于同序和.

（要点：理解其思想，记住其形式） 2. 教学排序不等式的应用：

① 出示例1：设12,,,n a a a ???是n 个互不相同的正整数，求证：

3212

2

2

1111232

3

n a a a a n n

+

++???+

≤+

+

+???+

.

分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？ 证明过程：

设12,,,n b b b ???是12,,,n a a a ???的一个排列，且12n b b b <

2

2

11112

3

n

>>

>???>

，由排序不等式，得

3322112222

2

2

2

3

2

3

n n a a b b a b a b n

n

+

+

+???+

≥+

+

+???+

≥…

小结：分析目标，构造有序排列. ② 练习：

已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++. 解答要点：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，

于是 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a a b b c c a b b c c a ++≥++， 两式相加即得.

3. 小结：排序不等式的基本形式.

三、巩固练习：

1. 练习：教材P 45 1题

2. 作业：教材P 45 3、4题