例说求函数的最大值和最小值的方法

例1.设x 是正实数，求函数x

x x y 32+

+=的最小值。解：先估计y 的下界。 55)1(3)1(5)21(3)12(222≥+-

+-=+-+

++-=x

x x x x x x y 又当x =1时，y =5，所以y 的最小值为5。

说明本题是利用“配方法”先求出y 的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。例如，本题我们也可以这样估计：

77)1(3)1(7)21(3)12(222-≥-+

+-=-++

++-=x

x x x x x x y 但y 是取不到-7的。即-7不能作为y 的最小值。

例2. 求函数1

223222++--=x x x x y 的最大值和最小值。解去分母、整理得：(2y -1)x 2+2(y +1)x +(y +3)=0. 当2

1≠y 时，这是一个关于x 的二次方程，因为x 、y 均为实数，所以 ?=[2(y +1)]2-4(2y -1)(y +3)≥0, y 2+3y --4≤0,

所以 -4≤y ≤1 又当3

1-=x 时，y =-4;x =-2时，y =1.所以y min =-4，y max =1.

说明本题求是最值的方法叫做判别式法。

例3.求函数152++-=x x y ，x ∈[0,1]的最大值解：设]2,1[1∈=+t t x ，则x =t 2-1

y = -2(t 2-1)+5t = -2t 2+5t +1

原函数当t =169,45=x 即时取最大值8

33 例4求函数22

3,5212≤≤+--=x x x x y 的最小值和最大值解：令x -1=t (

121≤≤t ) 则t t t t y 4142+=+=

y min =5

1,172max =y 例5.已知实数x ,y 满足1≤x 2+y 2≤4,求f (x )=x 2+xy +y 2的最小值和最大值解：∵)(2

122y x xy +≤ ∴6)(23

),(2222≤+≤++=y x xy y x y x f 又当2==y x 时f (x ,y )=6，故f (x ,y )max =6 又因为)(2122y x xy +-

≥

∴2

1)(21),(2222≥+≥++=y x xy y x y x f 又当2

2,22-==y x 时f (x ,y )=21，故f (x ,y )min =21 例6.求函数2

224)1(5+++=x x x y 的最大值和最小值解：原函数即111)1(5222++-+=

x x y 令1

12+=x t (0

2019，当x =0时，函数取最大值5 例7.求函数|]2

11[1|)(+-=x x x f 的最大值解：设α=+=+}2

11{,]211[x n x ，则 f (x )=|2

1|1|-=-αn x 由于 0≤α<1,故f (x )≤

21，又当x =122-k (k 为整数)时f (x )= 21, 故f (x )max =2

1 例8.求函数113632424+-++--=x x x x x y 的最大值解：原函数即222222)1()0()2()3()(-+---+-=

x x x x x f

在直角坐标系中，设点P(x ,x 2),A(3,2),B(0,1)，则

f (x )=|PA|-|PB|≤|AB|=10 又当6

137+-=x 时，f (x )= 10 故f max (x ) = 10

例9.设a 是实数,求二次函数y =x 2-4ax +5a 2-3a 的最小值m ，当0≤a 2-4a -2≤10中变动时，求m 的最大值

解：y =x 2-4ax +5a 2-3a =(x -2a )2+a 2-3a

由0≤a 2-4a -2≤10解得：622-≤≤-a 或62+≤a ≤6

故当a =6时，m 取最大值18

例10.已知函数f (x )=log 2(x +1)，并且当点(x ,y )在y =f (x )的图象上运动时，点)2,

3(y x 在y =g (x )的图象上运动，求函数p (x )=g (x )-f (x )的最大值。

解因为点(x ,y )在y =f (x )的图象上，所以y =log 2(x +1)。点)2

,3(y x 在y =g (x )的图象上，所以)3

(2x g y =故 )13(log 2

1)(),1log(21)3(2+=+=x x g x x g 2222)

1(13log 21)1(log )13(log 21)()()(++=+-+=

-=x x x x x f x g x p

令2)

1(13++=x x u ，则 8989)4311(213)1(2)1(2)1(3222≤+-+-=+++-=+-+=x x x x x u 当4311=+x ，即31=x 时，89=u ，所以8

9max =u 从而 89log 21)(2max =

=x p 。例11.已知函数2

622+++=x bx ax y 的最小值是2，最大值是6，求实数a 、b 的值。解：将原函数去分母，并整理得(a -y )x 2+bx +(6-2y )=0.

若y =a ，即y 是常数，就不可能有最小值2和最大值6了，所以y ≠a 。于是

?=b 2-4(a -y )(6-2y )≥0,所以y 2

-(a +3)y +3a -82

b ≤0. 由题设，y 的最小值为2，最大值为6，所以(y -2)(y -6)≤0, 即 y 2-8y +12≤0.

由(1)、(2)得??

???=-=+1283832

b a a 解得：62,5±==b a 例12.求函数48148)(22----=x x x x x f 的最小值和最大值。

解先求定义域。由?????≥--≥-0

48140822x x x x 最6≤x ≤8. ]8,6[,686)6(8)(∈-+-=---=x x x x

x x x x f

当x ∈[6,8]，且x 增加时，6-+

x x 增大，而x -8减小，于是f (x )是随着x 的增加而

减小，即f (x )在区间[6，8]上是减函数。所以

f max (x )=f (8)=0, f min (x )=f (6)=032

例13.设x ,y ,z 是3个不全为零的实数，求2222z

y z yz xy +++的最大值分析：欲求2222z

y z yz xy +++的最大值，只须找一个最小常数k ，使得xy +2yz ≤k (x 2+y 2+z 2) ∵ x 2+αy 2≥2αxy (1-α)y 2+z 2≥2α-1yz

∴ x 2+y 2+z 2≥2αxy +2α-1yz

令2α=α-1,则α=51

解：∵yz z y xy y x 5

454,52512222≥+≥+ ∴)2(52

222yz xy z y x +≥++ 即2522

22≤+++z y x yz xy 又当x =1,y =5，z =2时，上面不等号成立，从而

2222z y z yz xy +++的最大值为25 例14.设函数f :(0,1)→R 定义为??

???<<==+=q p q p q p x q p x x x f 0,1),(,1)(当是无理数时当求f (x )在区间

8,87(上的最大值解：(1)若x ∈)9

,87(且x 是无理数，则 f (x )=x <9

8 (2) 若x ∈)98

,87(且x 是有理数，设q

p x =，其中(p ,q )=1,0

p p q q p p q q p 所以 63q +9≤64q -8，∴q ≥17 因此17

16989898819181)()(≤+=+=+-≤+==q q q q q q p q p f x f 17

16)1715(=f ∴f (x )在区间)98

,87(上的最大值1716)1715(

=f 作业：

1.若3x 2+2y 2=2x ,求x 2+y 2的最大值

2.设x ,y 是实数，且0622222=+--+-y x y xy x 求u =x +y 的最小值

3.已知x 1,x 2是方程x 2-(k -2)x +k 2+3k +5=0 (k ∈R)的两个实数根，求x 12+x 22的最大值和最小值

4.求函数x x x x y 243222-++-=

的最小值

函数的最大值与最小值

课题:函数的最大值和最小值教学目的： ⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； ⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．教学过程：一、复习引入： 1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点 2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有 .就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点 3.极大值与极小值统称为极值注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个即一个函数的极大值未必大于极小值，（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点二、讲解新课： 1.函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值， 2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：

正弦函数的最大值与最小值

正弦函数的最大值与最小值 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

正弦函数的最大值与最小值： (1) 当sinx ＝1，即x ＝2k π＋2 π(k ∈Z)时，y max ＝1； (2) 当sinx ＝－1，即x ＝2k π－2 π(k ∈Z)时，y max ＝－1。余弦函数的最大值与最小值：——让学生研究得出结论。 (1) 当cosx ＝1，即x ＝2k π(k ∈Z)时，y max ＝1； (2) 当cosx ＝－1，即x ＝2k π＋π(k ∈Z)时，y max ＝－1。 [例1] 求下列函数的定义域。 (1) y ＝12sin x 1 －解：2sinx －1≠0，即sinx ≠12，则x ≠2k π＋6π且x ≠2k π＋56π(k ∈Z) 所求函数的定义域为{x| x ≠2k π＋6π且x ≠2k π＋56 π，k ∈Z} (2) y 解：cosx ≥0，则x ∈[2k π－2π，2k π＋2 π]，k ∈Z [例2] 求下列函数的值域。 (1) y ＝2sinx －3 解：∵－1≤sinx ≤1 ∴－5≤2 sinx －3≤－1，则所求函数的值域为[－5，－1] (2) y ＝sin 2 x －sinx －2 解：y ＝sin 2x －sinx －2＝(sinx －12) 2－94 ∵－1≤sinx ≤1 ∴当sinx ＝12时，y min ＝－94 ；当sinx ＝－1时，y max ＝0。则所求函数的值域为[－94 ，0] (3) y ＝cos 2x －4cosx －2 解：y ＝cos 2x －4cosx －2＝(cos x －2) 2－6 ∵－1≤cosx ≤1 ∴当cosx ＝1时，y min ＝－5；当cosx ＝－1时，y max ＝3。则所求函数的值域为[－5，3] [例3] 写出下列函数取到最大值与最小值时的x 值。 (1) y ＝cos (x －4 π) 解：① 当cos (x －4π)＝1，即x －4π＝2k π，得x ＝2k π＋4 π(k ∈Z)时，y max ＝1； ② 当cos (x －4π)＝－1，即x －4π＝2k π＋π，得x ＝2k π＋54 π(k ∈Z)时，y min ＝－1。

导数运用最大值与最小值(含答案)

最大值与最小值一、基础过关 1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是________，________. 2．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________． 3．函数y ＝ln x x 的最大值为________． 4．函数f (x )＝x e x 的最小值为________． 5．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a ,2]上的最大值为15 4 ，则a 等于________． 6．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________． 7．求函数f (x )＝1 3x 3－4x ＋4在[0,3]上的最大值与最小值．二、能力提升 8．函数y ＝4x x 2＋1 的值域为________． 9．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当MN 达到最小时t 的值为________． 10．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． 11．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值及f (x )在[－2,2]上的最大值． 12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围．三、探究与拓展 13．已知函数f (x )＝(x －k )e x . (1)求f (x )的单调区间； (2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．

例说求函数的最大值和最小值的方法

例说求函数的最大值和最小值的方法例1.设x 是正实数，求函数x x x y 32+ +=的最小值。解：先估计y 的下界。 55)1(3)1(5)21(3)12(222≥+- +-=+-+ ++-=x x x x x x x y 又当x =1时，y =5，所以y 的最小值为5。说明本题是利用“配方法”先求出y 的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。例如，本题我们也可以这样估计： 77)1(3)1(7)21(3)12(222-≥-+ +-=-++ ++-=x x x x x x x y 但y 是取不到-7的。即-7不能作为y 的最小值。例2. 求函数1 223222++--=x x x x y 的最大值和最小值。解去分母、整理得：(2y -1)x 2+2(y +1)x +(y +3)=0. 当2 1≠y 时，这是一个关于x 的二次方程，因为x 、y 均为实数，所以 ?=[2(y +1)]2-4(2y -1)(y +3)≥0, y 2+3y --4≤0, 所以 -4≤y ≤1 又当3 1-=x 时，y =-4;x =-2时，y =1.所以y min =-4，y max =1.

说明本题求是最值的方法叫做判别式法。例3.求函数152++-=x x y ，x ∈[0,1]的最大值解：设]2,1[1∈=+t t x ，则x =t 2-1 y = -2(t 2-1)+5t = -2t 2+5t +1 原函数当t =169,45=x 即时取最大值8 33 例4求函数22 3,5212≤≤+--=x x x x y 的最小值和最大值解：令x -1=t ( 121≤≤t ) 则t t t t y 4142+=+= y min =5 1,172max =y 例5.已知实数x ,y 满足1≤x 2+y 2≤4,求f (x )=x 2+xy +y 2的最小值和最大值解：∵)(2 122y x xy +≤ ∴6)(23 ),(2222≤+≤++=y x xy y x y x f 又当2==y x 时f (x ,y )=6，故f (x ,y )max =6 又因为)(2122y x xy +- ≥