几个有趣的悖论的数学辨析

几个有趣的悖论的数学辨析

数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态, 它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾, 对于这一矛盾的处理与研究, 丰富了数学的容, 促进了数学的发展。作为一名数学教师, 学习有关这方面的知识, 并进行研究, 既能提高自己的专业水平, 又能使授课容生动有趣; 作为学生了解这方面的容,不但能扩大知识面, 而且能提高学习兴趣

1 芝诺悖论

在西方的数学史上有一个非常有名的数学悖论——芝诺悖论。芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。芝诺本人既不是一位科学家, 更不是一位数学家, 芝诺的老师是埃利亚学派的创始人巴门尼德。巴门尼德是个一神论者, 他认为世界的本原是“不生不灭、完整、唯一和不动的”。但世界显然是丰富多彩、复杂纷繁的,怎么会是“唯一” 的呢?一个完全不动的世界怎么可能呢? 于是引起同时代人的反驳。芝诺为了捍为他老师的学说, 提出了一些论述。其中最有名的有四个, 历史上称为芝诺悖论。作为巴门尼德的继承人, 他力图证明, 如果承认“ 多” 和“ 运动” , 就会招致更加荒谬的结果。限于篇幅, 在此只辑录其二。

二分法: 你不能在有限的时间穿过无穷的点。在你穿过一定的距离的全部之前, 你必须穿过这个距离的一半。这样做下去就会陷入无止境, 所以在任何一定的空间中都有无穷个点, 你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。

阿喀琉斯追不上大乌龟: 阿喀琉斯是古希腊《荷马史诗》中一个跑得最快的大英雄, 他怎么会跑不过大乌龟呢? 假定他的速度是乌

龟的10倍, 阿喀琉斯与乌龟赛跑的路程是1千米, 让乌龟先跑1

10

千

米, 然后让阿喀琉斯去追。于是问题来了。当阿喀琉斯追到1

10

千

米的地方, 乌龟又向前跑了

1

100千米, 当阿喀琉斯又追到

1

100

千米时, 乌龟又向前跑了

1

10000千米, … …, 这样一来, 一直追下

去, 阿喀琉斯会追上大乌龟吗?

之所以说这两个论证是悖论, 是因为我们知道, 无论是谁, 不管身高身低, 只要一迈步, 都可以在有限的时间越过无穷多个点; 无论是谁, 都不会相信大英雄阿喀琉斯竟会跑不过大乌龟。然而在当时的人们的知识围, 却找不出芝诺的论证错在什么地方。

1 . 1 芝诺悖论的数学意义

芝诺的“二分法” 和“ 阿喀琉斯追不上大乌龟”的论证, 本意是要用结论的荒谬性来否定其前提关于时空的可无限分割的观点, 该两个论证与另外两个论证(“ 飞箭” 与“ 运动场” ) 组合得出了时空既是不可无限分割, 又是可以无限分割的矛盾结论。“ 芝诺悖论” 促进了以严格的思维规律为研究对象的逻辑学和以严格的求证思想为基础的数学的发展。芝诺论证问题的方法是我们今天数学中仍在使用的反证法。可以说, 这是对反证法的最早的运用。大家知道, 当一个数学命题无法直接证明时, 我们就求助于反证法。

1. 2 “芝诺悖论” 的数学解释

芝诺关于“二分法”的实质问题是无穷多个无穷小之和是什么; “ 阿喀琉斯追龟”的实质是无穷级数求和的问题。

1 . 2. 1 关于“ 二分法” 的解释

“ 二分法” 的实质问题是无穷多个无穷小之和是什么的问题。这里我们对无穷小做一个讨论。若无穷小是0 , 则无穷多个0 之和仍为0。也就是说此时的无穷是所谓的实无穷。但若无穷小是一个变量, 即不是一个恒为0的数(称为潜无穷) , 亦即无穷多个无穷小的和。那么该问题相当于极限中的未定式, 该极限可能存在,也可能不存在; 可能等于0, 可能是一个常数, 或者是无穷大。但对同一个问题, 不可能既等于零又可为无穷大。确定该极限的方法, 就是用微分学中的罗必达法则。对于“ 二分法” , 如果给定的距离一

定, 不妨设为1 , 那么先走一半即1

2,再走剩下的一半即

1

4, 再走

剩下的一半的一半即1

8, … ,以此类推则在一定时间走的距离为:

显然n时, 该式的极限为1 , 那么只要距离一定, 人们可以在一定的时间穿过无穷个点。

1 . 2.

2 关于“ 阿喀琉斯追龟” 的解释

按照该问题的条件,让乌龟先跑1

10

千米, 那么阿喀琉斯要追上乌

龟, 得先跑110 千米,

由于乌龟的速度是阿喀琉斯的110 , 则在阿喀琉斯 追到110 千米时,乌龟又跑了1100 千米,当阿喀琉斯追到1100 千米时,乌

龟又跑了110000 千米, …, 这样一来 , 阿喀琉斯一共跑的距离是下列

无穷级数的和 :

对该式在n 时取极限, 显然其极限是19 , 所以只要阿喀琉跑够19 千米, 就能追上乌龟 。

2 贝特朗奇论

2 . 1 “贝特朗奇论” 的 数学表示 在单位圆随机取一条弦,弦 长超过3(单位圆 接等 边三角形的边长)的概率是多少? 这个问题有三种解法, 答案互相矛盾 。

解法一:设弦AB 的一端A 固定于圆周上,另一端B 任意(图1)。对于等边三角形ACD , 若B 落在劣弧CD 上,则AB > 3 ,

P = CD 弧长圆周长

= 13 解法二 : 设弦 AB 垂直于直径 EF , C D = DO( 图 2) , 若 AB

的中点落在线段 C D 上 , 则 AB> 3 , 故 P = CD EF = 12 。

解法三 : 作半径为 1/ 2 的 同心圆( 图 3) 。 若 A B 的中 点

落在此圆 , 则 AB> 3 , 故 P =小圆面积大圆面积

= 14 。