数值分析报告-二分法和牛顿法方程求根

《数值分析》实验报告一

姓名: 周举

学号: PB09001046

实验一

一、实验名称

方程求根 二、实验目的与要求：

通过对二分法和牛顿法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点；

比较二者的计算速度和计算精度。 三、实验内容：

通过对二分法和牛顿迭代法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点 。 （一）二分法

算法：给定区间[a,b]，并设f （a ）与f （b ）符号相反，取δ为根的容许误差，ε为值的容许误差。 （1）令c=(a+b)/2

（2）如果(c-a)< δ或)(c f <ε，则输出c ，结束；否则执行（3） （3）如果f(a)f(c)<0，则令)()(,c f b f c b ←←；否则，则令

)()(,c f a f c a ←←，重复（1），（2），（3）。

（二）牛顿迭代法：给定初值0x ，ε为根的容许误差，η为)(x f 的容

许误差，N 为迭代次数的容许值。

（1）如果)(x f <η或迭代次数大于N ，则算法结束；否则执行（2）。

（2）计算)('/)(0001x f x f x x -=

（3）若 < 或 < ，则输出 ，程序结束；否则执行（4）。

（4）令 = ，转向（1）。 四、实验题目与程序设计 1、二分法

3.1.1、用二分法求方程

a. f(x)= x x tan 1--在区间[0，π/2]上的根, c. f(x)=6cos 22-++-x e x x 在区间[1，3]上的根。 源程序：

3.1.1.a

#include #include void main() { float a,b;double c,y,z; printf("plese input two number a and b:\n"); scanf("%f%f",&a,&b); c=(a+b)/2; y=1/c-tan(c); printf("a=%f,b=%f,b-a=%f,c=%f,f(c)=%f\n",a,b,b-a,c,y); while(fabs(b-a)>0.00001|| fabs(y)>0.00001) { z=1/a-tan(a); if(z*y<0) b=c; else a=c; c=(a+b)/2; y=1/c-tan(c); printf("a=%f,b=%f,b-a=%f,c=%f,f(c)=%f\n",a,b,b-a,c,y); } }

x x 01-ε)(1x f ηx 1x 0x 1

输入0 1.5707563( /2~1.5705563)

得到下表：

由上表可以看出刚开始时f（c）取值幅度很大，但是经过一段历程之后，幅度变得平缓甚至基本接近与零，我们认为，x=0.8603是方程的根，结果与实际想要得到的值相当接近。

3.1.1 c

#include

#include

void main()

{ float a,b;double c,y,z;

printf("plese input two number a and b:\n");

scanf("%f%f",&a,&b);

c=(a+b)/2;

y=pow(2,-c)+exp(c)+2*cos(c)-6;

printf("a=%f,b=%f,b-a=%f,c=%f,f(c)=%f\n",a,b,b-a,c,y);

while(fabs(b-a)>0.00001 || fabs(y)>0.00001)

{

z=pow(2,-a)+exp(a)+2*cos(a)-6;

if(z*y<0)

b=c;

else

a=c;

c=(a+b)/2;

y=pow(2,-c)+exp(c)+2*cos(c)-6;

printf("a=%f,b=%f,b-a=%f,c=%f,f(c)=%f\n",a,b,b-a,c,y);

}

}

输入1 3 ，得到如下表：

我们认为，x=1.8294是方程的根。

3.1.4、用二分法求方程

4032010958411812467284224494536546362345678=+-+-+-+-x x x x x x x x 在[5.5，6.5]上的根，将-36改为-36.001，并重复试验。

源程序如下： #include #include void main() { float a,b,c,y,z,w;int n=0; printf("plese input two number a and b:\n"); scanf("%f%f",&a,&b); c=(a+b)/2; y=pow(c,8)-36*pow(c,7)+546*pow(c,6)-4536*pow(c,5)+22449*pow(c,4)-67284*pow(c,3)+118124*c*c-109584*c+40320;

printf(" a b b-a c f(a) f(c) f(b)\n"); printf("%f,%f,%f,%f,%f,%f,%f\n",a,b,b-a,c,z,y,w); while(y>0.00001 || c-a>0.00001 ) {

z=pow(a,8)-36*pow(a,7)+546*pow(a,6)-4536*pow(a,5)+22449*pow(a,4)-67284*pow(a,3

)+118124*a*a-109584*a+40320;

w=pow(b,8)-36*pow(b,7)+546*pow(b,6)-4536*pow(b,5)+22449*pow(b,4)-67284*pow(b ,3)+118124*b*b-109584*b+40320;

if(z*y<0)

b=c;

else

a=c;

c=(a+b)/2;

y=pow(c,8)-36.001*pow(c,7)+546*pow(c,6)-4536*pow(c,5)+22449*pow(c,4)-67284*pow( c,3)+118124*c*c-109584*c+40320;

printf("%f,%f,%f,%f,%f,%f,%f\n",a,b,b-a,c,z,y,w);

n++;

}

}

输入5.5 6.5 得到下表：

我们认为x=6.0000是方程的根。

如果把第二项系数换成36.001，重复以上实验，则得到下表：

由于f（a）和f（b）总是同为负数，我们在（5.5,6.5）之间没有找到需要的根，这就说明，当方程中某一个系数相差很小时，方程的根取值可能相差很大。

2、牛顿迭代法

3.2.5、用牛顿法求方程011661242234=+-++x x x x 接近0.1的两根。

源程序如下： #include #include void main() { int n=0,M; float x,y,s,t,u,v; printf("plese input x M t and s :\n"); scanf("%f%d%f%f",&x,&M,&t,&s); u=2*x*x*x*x+24*x*x*x+61*x*x-16*x+1; v=8*x*x*x+72*x*x+122*x-16; y=x-u/v; printf("N=%d,x=%f,y=%f,|y-x|=%f,f(x)=%f\n",n,x,y,fabs(y-x),u); n++; while(n<=M && fabs(y-x)>t && fabs(u)>s ) { x=y; u=2*x*x*x*x+24*x*x*x+61*x*x-16*x+1; v=8*x*x*x+72*x*x+122*x-16; y=x-u/v; printf("N=%d,x=%f,y=%f,|y-x|=%f,f(x)=%f\n",n,x,y,fabs(y-x),u); n++; } }

为了能够找到x=0.1附近的两个根，我们不妨取0x =0.0，0x =0.1和0x =0.2两个值尝试一下，分别得到如下的结果：

（1）当0x =0.0时，我们认为x=0.1213是方程的根。

x=0.1时，我们认为x=0.1213是方程的根。

（2）当

x=0.2时，我们认为x=0.1231是方程的根。

（3）当

故方程在x=0.1附近的两根为x=0.1213和x=0.1231。将这一过程表示在坐标图中：

由于方程的两个根和x=0.1比较接近，可以看出，当初值取为0.1时，f(c)的函数最为平缓，这表示此时f（x）最先到达零点；其次，0.2比0.0更加接近于根x=0.1213和x=0.1231，所以初值为0.2的曲线比初值为0.0的曲线更加平缓。这就说明了，用牛顿法解方程式，应该尽量使初值接近零点，这样能够更节省时间，得到的根更准确。

3.2.14、用牛顿法求解下面两个非线性方程的根

a. ?????=-++=++1010111316919

52442

22y x y x x y y , b. ?????=+-+=++-0

tan 20

2

23x y xy x y e x x

3.2.14、a 取???

? ??--++-++=10101113169195244)(222y x y x x y y X F ，则 ?

??? ??

-++='1061113384852)(y x y X F ，

?????

?

? ??++---+++-+++--++---+++--++-=

'-=)111x 338)(4y 8()10-y 6(52)10101113169(52)195244)(111338()111x 338)(4y 8()10-y 6(52)10101113169)(4y 8()195244)(10-y 6(F(X))(H 2

222221-y x y x x y y x y x y x x y y X F

H X X k k +=+)1(，根据牛顿法的思想，其源程序如下：

#include #include void main() { float x,y,u,v,s,t;int n=0,M; printf("plese input two number x 、y ,and M:\n"); scanf("%f%f%d",&x,&y,&M); printf("%f,%f,%d\n",x,y,M); s=4*y*y+4*y+52*x-19; t=169*x*x+3*y*y+111*x-10*y-10; printf("N=%d,x=%f,y=%f,f1=%f,f2=%f\n",n,x,y,s,t); n++; while(n<=M) {

u=-((6*y-10)*(4*y*y+4*y+52*x-19)-(8*y+4)*(169*x*x+3*y*y+111*x-10*y-10))/(52*(6*y-10)-(8*y+4)*(338*x+111));

v=-(-(338*x+111)*(4*y*y+4*y+52*x-19)+52*(169*x*x+3*y*y+111*x-10*y-10))/(52*(6*y-10)-(8*y+4)*(338*x+111));

x=x+u;y=y+v;

s=4*y*y+4*y+52*x-19;

t=169*x*x+3*y*y+111*x-10*y-10;

printf("N=%d,x=%f,y=%f,f1=%f,f2=%f\n",n,x,y,s,t);

n++;

}

}

输入初值0 0 10，这里10是指计算次数，得到下表

从表中可以知道，方程的根是x=0.1342，y=1.3043，同时，从上表可以发现，在N>4之后，f1(X)和f2(X)基本上等于零，这个接近程度相当低，而且，方程很快能够得到需要的根，这说明牛顿法的效率是相当高的。

（b）和（a）的做法思想是一样的，其源程序如下：

#include

#include

void main()

{

float x,y,u,v,s,t,r;int n=0,M;

printf("plese input two number x、y ,and M:\n");

scanf("%f%f%d",&x,&y,&M); printf("%f,%f,%d\n",x,y,M);

s=x+exp(-x)+y*y*y;

t=x*x+2*x*y-y*y+tan(x);

printf("N=%d,x=%f,y=%f,f1=%f,f2=%f\n",n,x,y,s,t);

n++;

while(n<=M)

{

r=(1-exp(-x))*(2*x-2*y)-3*y*y*(2*x+2*y+1/(1+x*x));

u=-((2*x-2*y)*s-3*y*y*t)/r;

v=-((-2*x-2*y-1/(1+x*x))*s-(1-exp(-x))*t)/r;

x=x+u;y=y+v;

s=x+exp(-x)+y*y*y;

t=x*x+2*x*y-y*y+tan(x); printf("N=%d,x=%f,y=%f,f1=%f,f2=%f\n",n,x,y,s,t); n++; } }

当输入0 0 20时，我惊奇地发现不能得到想要的结果，而是出现了很多不知何物的字母，于是我猜测在运算过程当中可能出现了分母零，于是我加入了一个r 表示上面程序中u 和v 共同的分母，即r=((1-exp(-x))*(2*x-2*y)-3*y*y*(2*x+2*y+1/(1+x*x)))，验算初值为0和0时的情况，结果果然出现了r=0，于是我将初始值改为1和1，运算20次，得到下表：

从中可以看出，方程的根为x= - 0.7112 ，y= - 1.0984 ，另外，从中可以看出，此次需要进行更多运算，才能是方程值趋于零，与前一个方程组（a ）相比，它的求解过程步骤要多一些。

五、小结：

二分法和牛顿法都是解方程的两个比较好的方法，二分法在解一元方程应用中相比牛顿法要简单些，特别是写程序要简单些，但是二分法求根过程的步骤要比牛顿法多，牛顿法不仅可以解一元方程，还可以解多元可微分方程，而且求根速度很快，但是牛顿法有一个点就是要在根的附近才能求解，如果离根距离太大，有可能不能解出根来，所以在不知根在哪个小范围的情况下，最好先用二分法找到一个比较小的区间，再在这个区间上求方程的根，这样的求解是可行的。另外，如果在某点处，矩阵)(X F 的行列式为零，则在运算中会出现分母为零的情况，牛顿法不能继续求解，这也是牛顿法的个缺点，但是遇到这种情况的时候，如果稍稍改变初值，求解过程就会实现了。