四边形与证明(经典难题)
第八部分图形与证明
知识点的把握
新的课程标准对图形与证明提出了如下要求：
1.了解证明的含义.
(1)理解证明的必要性;(2)通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论;(3)结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立;(4)通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的;(5)通过实例，体会反证法的含义;(6)掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据.
2.掌握以下基本事实，作为证明的依据.(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等;(2)两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行; (3)若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边，或三边)分别相等，则这两个三角形全等;(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等.
3.利用2中的基本事实证明下列命题.
(1)平行线的性质定理(内错角相等、同旁内角互补)和判定定理(内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行);(2)三角形的内角和定理及推论(三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角);(3)直角三角形全等的判定定理;(4)角平分线性质定理及逆定理；三角形的三条角平分线交于一点(内心);(5)垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心);(6)三角形中位线定理;(7)等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理;(8)平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理.
4.通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值.
命题方向
经过对近几年各地的中考试题来看，直接考查本章知识的试题约占10%，普遍由圆结合其他的知识点进行考查.在主客观题中均有出现，往往是综合运用方程、函数、三角形、相似形等知识解决与圆有关的中考压轴题.除了考查几何图形的性质和应用外，还常常与应用问题、实际问题结合，对学生的探究能力和创新思维能力进行综合考查.
纵观近三年的中考命题，可以预见：用几何图形的性质、判定考查学生的逻辑推理的能力、分析和解决问题的能力、以及创新意识和实际能力.因此，考查分类讨论思想、数形结合思想以及运用观察、想象、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比等数学方法.
考试重点
一、几何图形的性质定理、判定定理的应用
本考点为基本图形的性质定理和判定定理的应用，我们要明确的基础知识有：平行线的性质定理和判定定理、三角形的内角和定理及推论、直角三角形全等的判定定理、角平分线性质定理及逆定理、垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线定理、等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理.
中考过程中，几何证明是必考的范围.其中是以基本图形的性质和判定定理为主.结合各方面的知识点，考虑辅助线的做法，运用综合分析法来找出条件和结论之间的关系，提高学生的解题能力、分析能力、研究探索能力.对于几何证明的题目应首先从基本知识入手，关注辅助线的做法，总结方法，积累经验，在看图和识图方面不断创新，不断提高.
【例1】已知：如图8-1，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论.
图8-1 图8-2
分析：结合图形可以看出△ADE与△CBF全等的条件只差AE=CF，从而可以证明.证明：(1)如图8-2，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD.
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=AB，CF=CD.
∴AE=CF.
∴△ADE≌△CBF.
(2)当四边形BEDF是菱形时，
四边形 AGBD是矩形.如图8-2.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∵AG∥BD，
∴四边形 AGBD是平行四边形.
∵四边形 BEDF是菱形，
∴DE=BE.
∵AE=BE，
∴AE=BE=DE.
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°.
∴∠2+∠3=90°.
即∠ADB=90°.
∴四边形AGBD是矩形.
【例2】已知:在⊙O中，CD平分∠ACB，弦AB、CD相交于点E，连结AD、BD.
图8-3
(1)写出图8-3中3对相似的三角形；
(2)找出图8-3中相等的线段，并说出理由.
解析：由图可以看出:
△ACE∽△DBE，△AED∽△BEC，△ADE∽△CDA.
同时还可以看到AD=BD.
证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=BD.
【例3】已知：在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q.
(1)求四边形AQMP的周长；
(2)写出图8-4中的两对相似三角形(不需证明)；
图8-4
(3)M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.
分析：结合图形的有关性质，可以证明四边形AQMP为矩形，故其周长为2a.
解：(1)∵PM∥AB，QM∥AC
∴四边形AQMP为平行四边形
且∠1=∠C，∠2=∠B，
又∵AB=AC=a.
∴∠B=∠C，
∴∠1=∠B=∠C=∠2.
∴QB=QM，PM=PC.
∴四边形AQMP的周长为：
AQ+QM+MP+PA=AP+QB+PC+PA=AB+AC=2a；
(2)△ABC∽△QBM∽△PMC；(三对中写出任意两对即可)
(3)如图8-5当M为底边BC的中点时，四边形AQMP为菱形.理由：当M为BC中点时.
图8-5
∵PM∥AB.QM∥AC.
∴PM=AB=.
QM=AC=.
∴PM=QM.
由(1)知：四边形AQMP为平行四边形.
∴四边形AQMP为菱形.
二、与圆有关的综合证明
本考点为圆的有关性质和圆中的一些定理、判定的基本应用.这是整个初中数学的核心之一.往往作为中考的压轴题，主要考查的数学思想很多：数形结合的思想、分类讨论的思想、转化化归的思想，以及观察、想象、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括等数学 方法.
与圆有关的证明多数是结合三角形、四边形、相似形、函数等知识为主的压轴题.以“提供新材料，创设新情境，提出新问题”等新题型较多.在解题方法中要做到稳中有变、变中求新、新中求好的思想.充分发挥学生的能力.
【例4】如图8-6，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC 与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.
(1)求证：点F是BD中点；
(2)求证：CG是⊙O的切线；
(3)若FB=FE=2，求⊙O的半径.
图8-6 图8-7
分析：通过观察图形结合圆中的基础知识，运用相似三角形的性质、切线的判定方法以及直角三角形中的勾股定理，可以证明线段相等、切线及有关线段的长度.
(1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF.
∴，∵HE=EC，∴BF=FD.
(2)证明：方法一：如图8-7连接CB、OC，
∵AB是直径，∴∠ACB=90°.∵F是BD中点，∴FC=BD=FB.
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO.
∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线.
方法二：可证明△OCF≌△OBF.
(3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC.
可证得：FA=FG，且AB=BG.
由切割线定理得：(2+FG)2=BG×AG=2BG2. ①
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2=FG2-BF2, ②
由①②得：FG2-4FG-12=0,
解之得：FG1=6，FG2=-2(舍去).
∴AB=BG=.
∴⊙O半径为2.
【例5】已知：⊙O1与⊙O2相交于点A、B，过点B作CD⊥AB，分别交⊙O1和⊙O2于点
C、D.
(1)如图8-8(1)，求证：AC是⊙O1的直径；
(2)若AC=AD，如图8-8(2)，连结BO2、O1O2，求证：四边形O1C BO2是平行四边形；
②若点O1在⊙O2外，延长O2O1交⊙O1于点M，在劣弧上任取一点E(点E与点B不重
合). EB的延长线交优弧于点F，如图8-8(3)所示.连结 AE、AF.则AE________AB(请在横线上填上“≥、≤、＜、＞”这四个不等号中的一个＝并加以证明.
(1) (2) (3)
图8-8
证明：(1)∵ CD⊥AB，
∴∠ABC=90°
∴ AC是⊙O1的直径 .
(2)①证明1：∵ CD⊥AB，∴∠ABD=90°.
∴AD是⊙O2的直径.
∵AC=AD.
∵CD⊥AB，∴CB=BD.
∵ O1、O2分别是AC、AD的中点.
∴ O1O2∥CD且 O1O2=CD=CB.
∴四边形O1C BO2是平行四边形.
证明2：∵ CD⊥AB，∴∠ABD=90°.
∴AD是⊙O2的直径.
∵ AC=AD.
∵ CD⊥AB，∴CB=BD.
∵B、O2分别是CD、AD的中点.
∴BO2∥AC且 BO2=AC=O1C，
∴四边形O1C BO2是平行四边形.
证明3：∵ CD⊥AB，∴∠ABD=90°.
∴AD是⊙O2的直径.
∵ O1、O2分别是AC、AD的中点.
∴ O1O2∥CD.
∵ CD⊥AB，∴ CB=BD.
∴ B是CD的中点.
∴O2B∥O1C.
∴四边形O1C BO2是平行四边形.
证明4：∵CD⊥AB，∴∠ABD=90°.
∴AD是⊙O2的直径.
∵AC=AD.
∴ O1C=O2B.
∴∠C=∠D.
∵ O2B=O2D，
∴∠O2B D=∠D .
∴∠C=∠O2B D.
∴O2B∥O1C.
∴四边形O1C BO2是平行四边形.
② AE＞AB
证明1：当点E在劣弧上(不与点C重合)时，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠AEB=∠ACD=∠ADC=∠AFB，
∴AE=AF.
记AF交BD为G ∵AB⊥CD，
∴ AF＞AG＞AB，
当点E与点C重合时，AE=AC＞AB，
当点E在劣弧上 (不与点B重合)时，设AE交CD与H，
AE＞AH＞AB
综上，AE＞AB.
证明2：当点E在劣弧上(不与点C重合)时，
连结EC、DF，∵ AD是⊙O2的直径，即∠AFD=90°.
∠EAC=∠EBC=∠DBF=∠DAF.
∵ AC=AD 直角△AFD≌直角△AEC.
∴ AE=AF.
证明3：当点E在劣弧上(不与点C重合)时，
连结EC、DF，∵ AD是⊙O2的直径，即∠AFD=90°.
∵∠DBF=∠DAF. ∴∠ADF+∠DBF=90°.
又∵∠DBF=∠EBC. ∠ABE+∠EBC=90°.
∴∠ADF=∠ABE.
∵∠ABE=∠ACE. ∴∠ADF=∠ACE.
∵AC=AD，∴直角△AFD≌直角△AEC.
∴AE=AF.
【例6】如图8-9，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去得到四边形A n B n C n D n.
图8-9
(1)证明：四边形A1B1C1D1是矩形；
(2)写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；
(3)写出四边形A n B n C n D n的面积；
(4)求四边形A5B5C5D5的周长.
分析：通过题目中所给条件，充分应用三角形的中位线定理结合矩形的判定定理，从而比较容易的得出证明.
(1)证明:∵点A1，D1分别是AB、AD的中点，
∴A1D1是△ABD的中位线.
∴A1D1∥BD，A1D1=BD，
同理：B1C1∥BD ，B1C1=BD.
∴A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形.
∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1，
∴A1B1⊥A1D1,
即∠B1A1D1=90°.
∴四边形A1B1C1D1是矩形.
解：(2)四边形
A1B1C1D1的面积为12；四边形A2B2C2D2的面积为6；
(3)四边形A n B n C n D n的面积为24×；
(4)方法一：由(1)得矩形A1B1C1D1的长为4，宽为3；
∵矩形A5B5C5D5∽矩形A1B1C1D1；
∴可设矩形A5B5C5D5的长为4x,宽为3x，则
4x·3x=×24,
解得x=；
∴4x=1,3x=.
∴矩形A5B5C5D5的周长=2(1+)=.
方法二：矩形A5B5C5D5的面积/矩形A1B1C1D1的面积
=(矩形A5B5C5D5的周长)2/(矩形A1B1C1D1的周长)2
即∶12=(矩形A5B5C5D5的周长)2∶142
∴矩形A5B5C5D5的周长=.
历年真题
一、选择题
1如图8-10，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE 的周长是( )
图8-10
A.6
B.8
C.9
D.10
答案：B
解析：有平行四边形的性质可得：AB=CD=3，AD=BC=5.结合垂直平分线的性质得AE=CE.所以△CDE的周长为AD+CD=8.
2 如图，8-11已知⊙O过正方形ABCD的顶点A、B，且与CD边相切，若正方形的边长为2，则圆的半径为( )
图8-11
A. B. C. D.1
答案：B
分析：有图形的性质可过点O分别作出AB、BC的垂线，利用垂径定理和切割线定理可求出圆的半径.
3.如图8-12，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有( )
图8-12
A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
答案：A
解析：应用矩形的有关性质、面积的计算方法可以任意的证明四边形AGPE的面积等于PFHC，四边形AGHD的面积等于四边形FEDC，四边形ABFE的面积等于四边形BGHC，共3对.
二、填空题
4.如图8-13，已知弦AB的长等于⊙O的半径，点C是上一点，则∠ACB=____________度.
图8-13
答案：30
解析：由AB的长等于半径，则弦AB所对的弧的度数为60度，所以∠ACB的度数为×
60=30度.
5如图8-14，⊙O为△ABC的外接圆，直径AB=10，弦BC=8，则弦AC=_________.
图8-14
答案：6
解析：由AB为直径，则∠C=90°，所以由勾股定理可计算出弦AC=6.
6.如图8-15，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于D.若AC=8 cm，DE=2 cm，则OD的长为____________.
图8-15
答案：3
解析：∵点E为弧AC的中点，∴DE⊥AC，由垂径定理可知AD=CD=4 cm.在直角三角形中用勾股定理可求出OD=3 cm.
7.如图8-16，已知A=30，点B，C是AD上的三等分点，分别以AB，BC，CD为直径作圆，圆心分别为E，F，G，AP切⊙G于点P，交⊙F于M，N，则弦MN的长是__________.
图8-16
答案：8
解析：连结GP，过F点作FH垂直于MN于H.则△AGP∽△AFH，所以，所
以FH=3，连结FM，在直角三角形FMH中由勾股定理得MH=4，所以MN=8.
三、解答题
8.已知：如图8-17，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证：∠P=90°.
图8-17
证明：∵AB∥CD，∴∠EFD+∠FEB=180°.∵EP、FP分别平分∠BEF、∠DFE，∴∠FEP+∠EFP=90°.∴∠P=90°.
9.如图8-18①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起(点A与点E重合)，已知AC=8 cm，BC=6 cm，∠C=90°，EG=4 cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜边上的中点.
如图8-18②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1 cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1 cm/s的速度在直角边GF上向点F 运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移.设运动时间为x(s)，FG 的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y(cm2)(不考虑点P与G、F重合的情况).
①②
图8-18
(1)当x为何值时，OP∥AC ?
(2)求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围.
(3)是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由.
(参考数据：1142=12 996，1152=13 225，1162=13 456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16)解：(1)∵Rt△EFG∽Rt△ABC，
∴
∴FG==3 cm.
∵当P为FG的中点时，OP∥EG，EG∥AC，
∴OP∥AC.
∴ x=×3=1.5(s).
∴当x为1.5s时，OP∥AC.
(2)在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF=5 cm.
∵EG∥AH，∴△EFG∽△AFH.
∴
∴
∴ AH=( x+5)，FH=(x+5).
过点O作OD⊥FP，垂足为 D.
∵点O为EF中点，
∴OD=EG=2 cm.
∵FP=3-x，
∴S四边形OAHP=S△AFH-S△OFP
=·AH·FH-·OD·FP
=·(x+5)·(x+5)-×2×(3-x)
=+3 (0＜x＜3).
(3)假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24.
则S四边形OAHP=×S△ABC
∴+3=×6×8
∴6x2+85x-250=0.
解得 x1=，x2=(舍去).
∵0＜x＜3，
∴当x=(s)时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24.
10已知：如图8-19，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F.求证：四边形AFCE是菱形.
图8-19
证明：∵EF垂直平分AC，∴EF⊥AC，且AO=CO′.
证得：△AOE≌COF.
证得：四边形AECF是平行四边形.
由AC⊥EF可知：四边形AECF是菱形.
11如图8-20：∠MON = 90°，在∠MON的内部有一个正方形AOCD，点A、C分别在射线OM、ON上，点B1是ON上的任意一点，在∠MON的内部作正方形AB1C1D1.
图8-20
(1)连结D1D，求证：∠ADD1=90°；
(2)连结CC1，猜一猜，∠C1CN的度数是多少？并证明你的结论；
(3)在ON上再任取一点B2，以AB2为边，在∠MON的内部作正方形AB2C2D2，观察图形，并结合(1)(2)的结论，请你再做出一个合理的判断.
(1)证明：∵四边形AOCD、AB1C1D1为正方形，
∴∠OAD=∠B 1AD1=90°，OA=AD=AB1=AD1.
∴∠OAB1=∠DAD1.∴△AOB1≌△ADD1.
∴∠ADD1= 90°.
(2)解：∠C1CN=45°.
如右图作C1H⊥ON于H.
证明：∵四边形AOCD、AB1C1D1为正方形，
∴∠AOB1=∠C1HB1=90°，AB1=B1C1.
又∵∠AB1O+∠C1B1H=90°，∠AB1O+∠OAB1=90°，
∴∠C1B1H=∠OAB1.
∴△AOB1≌△B1HC1.
∴B1H=OA，C1H=OB1.
∵OA=OC，∴OC=B1H.
∴OB1=CH，∴CH=C1H，
∴∠C1CN=45°.
(3)解：作图略.推得：(∠ADD2=90°、∠C2CN=45°、D、D1、D2在一条直线上、C、C1、C2在一条直线上.)
12.已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C 重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E.
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图8-21①)，易证：OD+OE=2OC.
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图8-21②、图8-21③这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明.
①②③
图8-21
解析：图2结论：OD+OE=OC.
证明：过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别为P、Q.
△CPD≌△CQE，DP=EQ
OP=OD+DP，DQ=OE-EQ
又OP+OQ=OC，即OD+DP+OE-EQ=OC
∴OD+OE=OC.
图3结论：OE-OD=OC.
13. 如图8-22，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连结AE、BF.
图8-22
求证：(1)AE=BF；
(2)AE⊥BF.
分析：证明线段相等的方法，通常是通过证明两个三角形全等来证明.而证明线段垂直的方法是通过直角三角形的两锐角互余等方法证明.
证明：(1)在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△EOF是等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°-∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，
∴AE=BF；
(2)如图延长AE交BF于D，交OB于C，
则∠BCD=∠ACO，
由(1)知：∠OAC=∠OBF，
∴∠BDA=∠AOB=90°，
∴AE⊥BF.
14.如图8-23，已知：M是AB的中点，MC=MD，∠1=∠2.
求证：AC=BD.
图8-23
证明：∵M是AB的中点,∴MA=MB.
∵MC=MD,
∠1=∠2,
∴△AMC≌△BMD.
∴AC=BD.
评述：证明线段相等的一般方法是证两个三角形全等.由已知条件可以用边角边定理证明全等，故AC=BD.
15.如图8-24,已知在等腰梯形ABCD中,AD∥BC.
图8-24
(1)若AD=5, BC=11,梯形的高是4,求梯形的周长.
(2)若AD=a, BC=b,梯形的高是h,梯形的周长为c.则c=_________.(请用含a、b、h的代数式表示;答案直接写在横线上,不要求证明.)
(3)若AD=3, BC=7, BD=,求证：AC⊥BD.
解：(1)如右图过点A作高，交BC于点E.则BE=3，所以AB=5，故梯形的周长为：5+11+5+5=26.
(2)同理可得：c=a+b+.
(3)证明：过点D作DF∥AC交BC的延长线于F.则四边形ADFC为平行四边形.
∴CF=AD=3.
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AC=BD=.
在△BDF中，BD=DF=，BF=BC+CF=10.
∴BD2+DF2=BF2，∴△BDF为直角三角形.∴BD⊥DF.
∵AC∥DF.
∴AC⊥BD.
评述：在解决有关梯形问题时，常常通过作高线、平移一腰、平移对角线，转化为三角形和平行四边形、矩形等知识来解决.
16.如图8-25⊙O半径为2，弦BD=，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD 上.
图8-25
求：四边形ABCD的面积.
解：如右图连结OA、OB，OA交BD于F.
OF=1AF=1S△ABD=BD·AF=
AE=CE S△ADE=S△CDE，S△ABE=S△CBE
S四边形ABCD=2S△ABD=
评述：有关几何图形的计算，特别是涉及圆的计算多数都与垂径定理、勾股定理等知识点有关.对这些知识的综合应用是中考的一个方向.既能考查对知识的掌握情况又可以提高学生解决问题和分析问题的能力.
17. 如图8-26，CB，CD是⊙O的切线，切点分别为B，D.CD的延长线与⊙O直径BE的延长线交于A点，连OC，ED.
图8-26
(1)探索OC与ED的位置关系，并加以证明；
(2)若AD=4，CD=6，求tan∠ADE的值.
解：(1)ED∥OC.
证明(思路)：如右图连OD，BD，证DE⊥BD，CO⊥BD.
(2)∵ ED∥OC，
∴∠ADE=∠ACO.
又∵ CB，CD是⊙O的切线，切点分别为B，D，
∴∠BCO=∠ACO，
∴∠ADE =∠BCO.
记⊙O的半径为R，
∵ED∥OC，AD=4，CD=6，
∴，
∴ AE=.
又∵AD2=AE·AB，16=·，∴ R=3.
即BO=3，而BC=CD=6，
∴tan∠ADE=tan∠BCO=.
评述：结合三角函数的知识来考查圆的内容，是近几年中考普遍存在的问题.一般难度比较大，对于此类问题的处理方法：既要合理的安排时间，平时也要多练习，多总结.
18.如图8-27，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点.
图8-27
(1)求证：△ABM≌△CDM；
(2)四边形MENF是什么图形？请证明你的结论；
(3)若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC有何数量关系？并请说明理由.
答案: (1)证明：∵四边形ABCD为等腰梯形.
∴AB=DC.
∴M是AD的中点.
∴AM=DM.
∴△ABM≌△CDM.
(2)解：四边形MENF是菱形
由△ABM≌△DCM.∴MB=MC.
∵E、F、N分别是MB、MC、BC的中点.
∴ME=BM，MF=MC，NF=BM，NE=MC.
∴ME=MF=FN=NE.∴四边形MENF是菱形.
(3)解：梯形的高等于底边BC的一半.
连结MN.
∵MENF是正方形.∴∠BMC=90°.
∵MB=MC，N是中点.
∴MN⊥BC且MN=BC.
19.如图8-28，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点(点E与点A，D不重合).BE 的垂直平分线交AB于M，交DC于N.
图8-28
(1)设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；
(2)当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大?最大值是多少?
解:(1)连接ME,设MN交BE于P,根据题意,得MB=ME,MN BE.
过N作AB的垂线交AB于F,在Rt MBP和Rt MNF中,
∠MBP+∠BMN=90°,∠FNM+∠BMN=90°,
∴∠MBP=∠MNF.
又AB=FN,
∴在Rt△EBA≌Rt△MNF,故MF=AE=x
在Rt△AME中,AE=x,ME=MB=2-AM,
∴(2-AM)2=x2+AM2
解得AM=1-
所以四边形ADNM的面积
S=×2=2AM+AE=2(1-)+x=+x+2
即所求关系式为S=+x+2
(2)S=+x+2=(x2-2x+1)+=(x-1)2+.
∴当AE=x=1时，四边形ADNM的面积S的值最大.最大值是.
评述：本题注重了考查用代数知识解决几何问题的能力，特别是用方程的思想去解决问题，这是中考试题的特点.同时此类问题还应该注意一些辅助线的添加方法，真正做的有的方矢，提高解题的速度.
公务员考试数字推理题50道联附答案
公务员考试数字推理题附答案 【656】5，25，61，113，（）A、125；B、181；C、225；D、226 【657】9，1，4，3，40，（） A.81；B.80；C.121；D.120； 【658】5，5，14，38，87，（） A.167；B. 168；C.169；D. 170； 【659】1，5，19，49，109，( ) A.170；B.180；C.190；D.200； 【660】4/9，1，4/3，( )，12，36 A、2/3；B、2；C、3；D、6 【661】2，7，16，39，94，（） A.227 B.237 C.242 D.257 【662】–26，-6，2，4，6，（） A.8；B.10；C.12；D.14； 【663】1，128，243，64，（） A.121.5；B.1/6；C.5；D.1/3 【664】5，14，38，87，（） A.167；B.168；C.169；D.170； 【665】1，2，3，7，46，（） A.2109；B.1289；C.322；D.147 【666】0，1，3，8，22，63，（）A、121；B、125；C、169；D、185 【667】5，6，6，9，（），90 A.12；B.15；C.18；D.21 【668】2，90，46，68，57，（） A.65；B.62．5；C.63；D.62； 【669】20，26，35，50，71，( ) A.95；B.104；C.100；D.102； 【670】18，4，12，9，9，20，( )，43 A.8；B.11；C.30；D.9； 【671】–1，0，31，80，63，( )，5 【672】3，8，11，20，71，（） A.168；B.233；C.91；D.304 【673】2，2，0，7，9，9，( ) A.13；B.12；C.18；D.17； 【674】（），36，81，169 A.16；B.27；C.8；D.26； 【675】求32+62+122+242+42+82+162+322 A.2225；B.2025；C.1725；D.2125 【676】18，4，12，9，9，20，（），43 A、9；B、23；C、25；D、36 【677】5，7，21，25，（） A.30；B.31；C.32；D.34 【678】1，8，9，4，( )，1/6 A.3；B.2；C.1；D.1/3 【679】16，27，16，( )，1 A.5；B.6；C.7；D.8 【680】2，3，6，9，18，( ) A、27；B、45；C、49；D、56 【681】1，3，4，6，11，19，( ) A、21；B、23；C、25；D、34 【682】1，2，9，121，（） A.251；B.441；C.16900；D.960 【683】5，6，6，9，（），90 A.12；B.15；C.18；D.21 【684】1，1，2，6，（） A.19；B.27；C.30；D.24； 【685】-2，-1，1，5，( )，29 A、7；B、9；C、11；D、13 【686】3，11，13，29，31，（）A、33；B、35；C；47；D、53 【687】5，5，14，38，87，（） A.167；B.68；C.169；D.170 【688】102，96，108，84，132，( ) A、144；B、121；C、72；D、36 【689】0，6，24，60，120，（）A、125；B、169；C、210；D、216 【690】18，9，4，2，( )，1/6 A.3；B.2；C.1；D.1/3 【691】 4.5，3.5，2.8，5.2，4.4，3.6，5.7，( ) A.2.3；B.3.3；C.4.3；D.5.3 【692】0，1/4，1/4，3/16，1/8，（）A、2/9；B、3/17；C、4/49；D、5/64 【693】16，17，36，111，448，( ) A.2472；B.2245；C.1863；D.1679 【694】133/57，119/51，91/39，49/21，( )，7/3 A.28/12；B.21/14；C.28/9；D.31/15 【695】0，4，18，48，100，( ) A.140；B.160；C.180；D.200； 【696】1，1，3，7，17，41，( ) A.89；B.99；C.109；D.119 【697】22，35，56，90，( )，234 A.162；B.156；C.148；D.145 【698】5，8，-4，9，( )，30，18，21 A.14；B.17；C.20；D.26
八年级 四边形经典证明题
1. 已知：如图，点E 、G 在平行四边形ABCD 的边AD 上，EG ＝ED ，延长CE 到点F ，使得EF ＝EC 。求证：AF ∥BG 。 2. 如图所示，平行四边形ABCD 内有一点E ，满足ED ⊥AD 于D ，∠EBC ＝∠EDC ，∠ECB ＝45°。请找出与BE 相等的一条线段，并给予证明。 A B C D E 3. 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝12cm ，∠ABC ＝80°，BD 是∠ABC 的平分线，点E 是AB 边的中点。 （1）求∠EDB 的度数；（2）求DE 的长。
4. 已知：如图，等边△ABC 的边长为a ，D 为AC 边上的一个动点，延长AB 至E ，使BE ＝CD ，连接DE ，交BC 于点P 。 （1）求证：DP ＝PE ； （2）若D 为AC 的中点，求BP 的长。 5. 如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝32°。分别以BC 、CD 为边向外作△BCE 和△DCF ，使BE ＝BC ，DF ＝DC ，∠EBC ＝∠CDF ，延长AB 交边EC 于点G ，点G 在E 、C 两点之间，连接AE 、AF 。 （1）求证：△ABE ≌△FDA ； （2）当AE ⊥AF 时，求∠EBG 的度数。 6. 如图所示，在△ABC 中，AC ＝4cm ，把△ABC 沿AC 方向平移1cm 到△A'B'C'的位置，则四边形ABB'C'的面积是△ABC 面积的多少倍？ A C'
7. 已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且EF ＝ED ，EF ⊥ED 。求证：AE 平分∠BAD 。 8 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为边BC 上一点，以AB ，BD 为邻边作平行四边形ABDE ，连接AD ，EC 。 （1）求证：△ADC ≌△ECD ； （2）若BD ＝CD ，求证：四边形ADCE 是矩形。 E C B A 9. 如图，以△ABC 的三边为边，在BC 的同侧分别另作三个等边三角形，即△ABD ，△BCE ，△ACF 。 （1）求证：四边形ADEF 是平行四边形； （2）在△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形； （3）对于任意△ABC ，四边形ADEF 是否总存在？
特殊四边形的证明经典必考题
H G F E D C B A H G F E D C B A 特殊的平行四边形复习 探究一：中点四边形 1、探究证明： （1）如图，四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，且AC=BD ，点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，猜想四边形EFGH 是什么样的图形，并证明； （2）如图，四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，且AC ⊥BD ，点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，猜想四边形EFGH 是什么的图形，并证明；
探究二、矩形的折叠问题 一、求角度 例1、如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C D ，分别落在C D ''，的位置上，EC '交AD 于点G ．已知58EFG ∠=°，那么BEG ∠= °． 例2、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( )．(A)60° (B)75° (C)90° (D)95° 二、求线段长度 例3、如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ） （A ）34 （B ）33（C ）2 4 （D ）８ 三、求图形面积 例4、如图，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成右图并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ） A ．234cm B ．236cm C ．238cm D ．240cm 【折叠问题练习】 1．如图，四边形ABCD 为矩形纸片，把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF 。若CD=6，则AF=（ ）. A ． B ． C ． D ．8 A B C D E F
行测：数字推理题100道
【1】7，9，-1，5，( ) A、4； B、2； C、-1； D、-3 分析:选D，7+9=16； 9+（-1）=8；（-1）+5=4；5+（-3）=2 , 16，8，4，2等比 【2】3，2，5/3，3/2，( ) A、1/4； B、7/5； C、3/4； D、2/5 分析:选B，可化为3/1，4/2，5/3，6/4，7/5,分子3，4，5，6，7,分母1，2，3，4，5 【3】1，2，5，29，（） A、34； B、841； C、866； D、37 分析:选C，5=12+22；29=52+22；( )=292+52=866 【4】2，12，30，（） A、50； B、65； C、75； D、56； 分析:选D，1×2=2； 3×4=12； 5×6=30； 7×8=（）=56 【5】2，1，2/3，1/2，（） A、3/4； B、1/4； C、2/5； D、5/6； 分析:选C，数列可化为4/2，4/4，4/6，4/8，分母都是4，分子2，4，6，8等差，所以后项为4/10=2/5， 【6】 4，2，2，3，6，（） A、6； B、8； C、10； D、15； 分析:选D，2/4=；2/2=1；3/2=； 6/3=2；，1，, 2等比，所以后项为×6=15 【7】1，7，8，57，（） A、123； B、122； C、121； D、120； 分析:选C，12+7=8； 72+8=57； 82+57=121； 【8】 4，12，8，10，（） A、6； B、8； C、9； D、24； 分析:选C，(4+12)/2=8；(12+8)/2=10； (8+10)/2=9 【9】1/2，1，1，（），9/11，11/13 A、2； B、3； C、1； D、7/9； 分析:选C，化成 1/2,3/3,5/5 ( ),9/11,11/13这下就看出来了只能是(7/7)注意分母是质数列，分子是奇数列。 【10】95，88，71，61，50，（） A、40； B、39； C、38； D、37； 分析：选A， 思路一：它们的十位是一个递减数字 9、8、7、6、5 只是少开始的4 所以选择A。 思路二：95 - 9 - 5 = 81；88 - 8 - 8 = 72；71 - 7 - 1 = 63；61 - 6 - 1 = 54；50 - 5 - 0 = 45；40 - 4 - 0 = 36 ，构成等差数列。 【11】2，6，13，39，15，45，23，( ) A. 46； B. 66； C. 68； D. 69； 分析：选D，数字2个一组,后一个数是前一个数的3倍 【12】1，3，3，5，7，9，13，15（），（） A：19，21；B：19，23；C：21，23；D：27，30； 分析：选C，1，3，3，5，7，9，13，15（21），（ 30 ）=>奇偶项分两组1、3、7、13、21和3、5、9、15、23其中奇数项1、3、7、13、21=>作差2、4、6、8等差数列，偶数项3、5、9、15、23=>作差2、4、6、8等差数列 【13】1，2，8，28，（） ；；；； 分析：选B， 1×2+2×3=8；2×2+8×3=28；8×2+28×3=100
中考数学四边形经典证明题含答案
1．如图，正方形ABCD 和正方形A ′OB ′C ′是全等图形，则当正方形A?′OB ′C ′绕正方形 ABCD 的中心O 顺时针旋转的过程中． （1）四边形OECF 的面积如何变化． （2）若正方形ABCD 的面积是4，求四边形OECF 的面积． 解：在梯形ABCD 中由题设易得到： △ABD 是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°． 过点D 作DE ⊥BC ，则DE=1 2BD=23，BE=6 ．过点A 作AF ⊥BD 于F ，则AB=AD=4． 故S 梯形ABCD =12+43． 2．如图，ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，EF ⊥AC 交CD 于E ，交AB 于F ，问四边形AFCE 是菱形吗？请说明理由． 解：四边形AFCE 是菱形． ∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴OA=OC ，CE ∥AF ． ∴∠ECO=∠FAO ，∠AFO=∠CEO ． ∴△EOC ≌△FOA ，∴CE=AF ． 而CE ∥AF ，∴四边形AFCE 是平行四边形． 又∵EF 是垂直平分线，∴ AE=CE ．∴四边形AFCE 是菱形． 3．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，?垂足分别为E 、F ．求证：（1）△BDE ≌CDF ．（2）△ABC 是直角三角形时，四边形AEDF 是正方形．
19．证明：（1）,90D BC BD CD DE AB DF AC BED CFD B C 是的中点 △BDE ≌△CDF ． （2）由∠A=90°，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 知： AEDF BED CFE DE DF 四边形是矩形 矩形AEDF 是正方形．4．如图，ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且AE=CF ，问：四边形EBFD 是平行四边形吗？为什么？ 解：四边形EBFD 是平行四边形．在 ABCD 中，连结BD 交AC 于点O ， 则OB=OD ，OA=OC ．又∵AE=CF ，∴OE=OF ． ∴四边形EBFD 是平行四边形．5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片 折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积． 【提示】把AF 取作△AEF 的底，AF 边上的高等于AB ＝3． 由折叠过程知，EF 经过矩形的对称中心，FD ＝BE ，AE ＝CE ＝AF ．由此可以在△ABE 中使用勾股定理求AE ，即求得AF 的长． 【答案】如图，连结AC ，交EF 于点O ， 由折叠过程可知，OA ＝OC ， ∴O 点为矩形的对称中心．E 、F 关于O 点对称，B 、D 也关于O 点对称． ∴BE ＝FD ，EC ＝AF ，
特殊四边形的证明 必考题
H G F E D C B A H G F E D C B A 图 特殊的平行四边形复习 探究一：中点四边形 1、探究证明： （1）如图，四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，且AC=BD ，点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，猜想四边形EFGH 是什么样的图形，并证明； （2）如图，四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，且AC ⊥BD ，点 E 、 F 、 G 、 H 分别为边AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，猜想四边形EFGH 是什么的图形，并证明； 探究二、矩形的折叠问题 一、求角度 例1、如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C D ，分别落在C D ''，的位置上，EC '交AD 于点G ．已知58EFG ∠=°，那么BEG ∠= °． 例2、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( )．(A)60° (B)75° (C)90° (D)95° 二、求线段长度 例3、如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ） （A ）34 （B ）33（C ）2 4 （D ）８ 三、求图形面积 例4、如图，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成右图并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ） A ．234cm B ．236cm C ．238cm D ．240cm 【折叠问题练习】 1．如图，四边形ABCD 为矩形纸片，把纸片 ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF 。若CD=6，则AF=（ ）. A B D E F
数字推理专项习题50道(附答案)
Ａ．186 Ｂ．208 Ｃ．158 Ｄ．132 2． 1， 5， 19， 81， 411，（）Ａ．2473 Ｂ．2485 Ｃ．1685 Ｄ．1857 3． 3， 3， 12， 21， 165，（）Ａ．649 Ｂ．606 Ｃ．289 Ｄ．343 4． 0，，，，，（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 5． 7， 11， 16， 25， 54，（）Ａ．98 Ｂ．127 Ｃ．172 Ｄ．203 6． 3， 7， 16， 41， 90，（）Ａ．121 Ｂ．211 Ｃ．181 Ｄ．256 7． 3， 12， 30， 63， 117，（）Ａ．187 Ｂ．198 Ｃ．193 Ｄ．196 8． 3， 8， 22， 62， 178，（）Ａ．518 Ｂ．516 Ｃ．548 Ｄ．546 9． 3， 2，，，，（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 10． 1， 3， 8， 33， 164，（）Ａ．999 Ｂ．985 Ｃ．1024 Ｄ．1048
A.12 B.16 C.20 D.24 12. 4， -6， 6， -8， 7.5，（） A．-7.5 B.-8 C.-8.5 D.-9.6 13. 16， 8， 12， 30， 105，（） A.215 B.365.5 C.425 D.472.5 14. -3， 5， 7， 4， 14， 18，（） A.29 B.23 C.21 D.17 15. 1234， 1360， 1396， 2422， 2458，（） A.2632 B.2584 C.2864 D.2976 16. -2， 2， 6， 10， 46，（） A.78 B.86 C.124 D.146 17. 4， 12， 40， 112， 352，（） A.625 B.784 C.832 D.996 18. -32， 36， -30， 38， -29，（） A.39 B.45 C.51 D.63 19. 1， 5， 11， 20， 34， 56，（） A.68 B.71 C.82 D.91 20. ， 3， 2， 10， 9， 31， 37，（） A.94 B.72 C.56 D.48
特殊的平行四边形试题及答案
第一章特殊平行四边形检测题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列四边形中，对角线一定不相等的是（ D ） A.正方形 B.矩形 C.等腰梯 形 D.直角梯形 3.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是（ D ） ①平行四边形;②菱形;③等腰梯形;④对角线互相垂直的四边形. A.①③ B.②③ C.③④ D.②④ 4.已知一矩形的两边长分别为10 cm和15 cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ B ） A.6 cm和9 cm B. 5 cm和10 cm C. 4 cm和11 cm D. 7 cm和8 cm 5.如图，在矩形 中， 分别为边 的中点.若
， ，则图中阴影部分的面积为（ B ） A.3 B.4 C.6 D.8 第6题图 第5题图 6.如图，在菱形 中， ，∠ ，则对角线 等于（D ）
A.20 B.15 C.10 D.5 7.若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（ B ） A.4 B.2 C. D. 8.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ C ） A.每一条对角线平分一组对角 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 A. B. C. D.
（1）（2） 一、填空题（每小题3分，共24分） 11.已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是___6______. 13.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使 ，则∠BCE的度数是22.5° . 14.如图，矩形 的两条对角线交于点 ，过点 作 的垂线 ，分别交 ， 于点 ，
特殊的四边形有关的计算与证明.doc
特殊的四边形有关的计算与证明： 学习目标： 1．掌握矩形，菱形，正方形的判定及性质； 2．综合运用菱形，矩形知识解决实际问题能力； 热身训练 1. . 如图，四边形ABCD是菱形. 对角线AC=8 ㎝，D B=6 ㎝，D H⊥AB与H. 求D H的 长. D C A O H B A 模拟练习2．（2017 海淀一模）如图，在□ABCD中，过 D 点A作AE ⊥BC F 于点E ，AF ⊥DC 于点F ，AE AF ． （1）求证：四边形ABCD是菱形；B C E （2）若EAF 60°，CF 2，求AF 的长．
3．如图，在已知平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，与BC相交于点 E，EF//AB，与AD相交于点 F. 求证: 四边形ABEF是菱形. 拓展提高： 4.（西城2017 一模）如图，在□ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC，过点 A 作AE∥BD，交 CD 的延长线于点E，过点 E 作EF⊥BC，交BC 延长线于点 F. （1）求证：四边形ABCD 是菱形； E （2）若∠ABC=45°，BC= 2，求E F 的长. A D B F C
1. 如图，已知AD平分∠BAC，DE// AC ，DF// AB ，试说明EF与AD互相垂直平分 A E F B C D 2. 已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点 E 是AD 的中点；过点 A 作AF∥BC 交 A F BE 的延长线于F，连接CF． E （1）求证：四边形ADC F 是平行四边形； D C （2）填空： B ①如果AB =AC，四边形ADCF 是形； ②如果∠BAC =90°，四边形ADCF 是形；． 3．如图所示，在矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm 、点P 从点 D 出发向点 A 运动， 同时点Q 从点B 出发向点 C 运动，点P、Q 的速度都是1cm/s． （1）在运动过程中，四边形AQCP 可能是菱形吗？ 如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP 是菱形？ （2）分别求出菱形AQCP 的周长、面积．
2015年国家公务员考试--行测数字推理题解题技巧大全及经典题型概况总结
2015年国家公务员考试--行测数字推理题解题技巧大全及经典题型概况总结 第一部分：数字推理题的解题技巧 行政能力倾向测试是公务员（civil servant）考试必考的一科，数字推理题又是行政测试中一直以来的固定题型。如果给予足够的时间，数字推理并不难；但由于行政试卷整体量大，时间短，很少有人能在规定的考试时间内做完，尤其是对于文科的版友们来说，数字推理、数字运算（应用题）以及最后的资料分析是阻碍他们行政拿高分的关卡。并且，由于数字推理处于行政A类的第一项，B类的第二项，开头做不好，对以后的考试有着较大的影响。应广大版友，特别是MM版友的要求，甘蔗结合杨猛80元书上的习题，把自己的数字推理题解题心得总结出来。如果能使各位备考的版友对数字推理有所了解，我在网吧花了7块钱打的这篇文章也就值了。 数字推理考察的是数字之间的联系，对运算能力的要求并不高。所以，文科的朋友不必担心数学知识不够用或是以前学的不好。只要经过足够的练习，这部分是可以拿高分的，至少不会拖你的后腿。抽根烟，下面开始聊聊。 一、解题前的准备 1.熟记各种数字的运算关系。 如各种数字的平方、立方以及它们的邻居，做到看到某个数字就有感觉。这是迅速准确解好数字推理题材的前提。常见的需记住的数字关系如下： （1）平方关系：2-4,3-9,4-16,5-25,6-36,7-49,8-64,9-81,10-100,11-121,12-144 13-169,14-196,15-225,16-256,17-289,18-324,19-361,20-400 （2）立方关系:2-8,3-27,4-64,5-125,6-216,7-343,8-512,9-729,10-1000 （3）质数关系:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29...... （4）开方关系:4-2,9-3,16-4...... 以上四种，特别是前两种关系，每次考试必有。所以，对这些平方立方后的数字，及这些数字的邻居（如，64，63，65等）要有足够的敏感。当看到这些数字时，立刻就能想到平方立方的可能性。熟悉这些数字，对解题有很大的帮助，有时候，一个数字就能提供你一个正确的解题思路。如216 ，125，64（）如果上述关系烂熟于胸，一眼就可看出答案但一般考试题不会如此弱智，实际可能会这样215，124，63，（）或是217，124，65，（）即是以它们的邻居（加减1），这也不难，一般这种题5秒内搞定。 2.熟练掌握各种简单运算，一般加减乘除大家都会，值得注意的是带根号的运算。根号运算掌握简单规律则可，也不难。 3.对中等难度以下的题，建议大家练习使用心算，可以节省不少时间，在考试时有很大效果。 二、解题方法 按数字之间的关系，可将数字推理题分为以下十种类型： 1.和差关系。又分为等差、移动求和或差两种。 （1）等差关系。这种题属于比较简单的，不经练习也能在短时间内做出。建议解这种题时，用 口算。 12，20，30，42，（）
2017中考复习特殊四边形综合题
特殊四边形综合题 1．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP． （1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？ （2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明； （3）在平移变换过程中，设y=S ，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出 △OPB y的最大值． 2．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE 上一定点（其中EP＜PD） （1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G． ①求证：PG=PF；②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA 于点G，你认为（1）中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．
3．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b． （1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值； （2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值； （3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由． 4．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变． （1）求证：=； （2）求证：AF⊥FM； （3）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明．
平行四边形经典证明题例题讲解
1 / 1 经纬教育 平行四边形证明题 经典例题（附带详细答案） 1．如图，E F 、是平行四边形 ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥， 求证：AF CE =． 【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =， ACB CAD ∴∠=∠． 又BE DF ∥， BEC DFA ∴∠=∠， BEC DFA ∴△≌△， ∴CE AF = 2．如图6，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ， ， 求四边形ABCD 的周长． 【答案】20、 解法一: ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴∥即得是平行四边形 ∴ ∴四边形的周长 解法二: 3 ,6==AB BC AB CD ∥?=∠+∠180C B B D ∠=∠?=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=?+?=D C A B E F A D C B
连接 ∵ ∴ 又∵ ∴≌ ∴ ∴四边形的周长解法三: 连接 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴∥即是平行四边形 ∴ ∴四边形的周长 3.（在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C 的大小． 【关键词】多边形的内角和 【答案】设x A= ∠（度），则20 + = ∠x B，x C2 = ∠． 根据四边形内角和定理得，360 60 2 ) 20 (= + + + +x x x． 解得，70 = x． ∴? = ∠70 A，? = ∠90 B，? = ∠140 C． 4．（如图，E F ，是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF CE DF BE DF BE == ，，∥． AC AB CD ∥ DCA BAC∠ = ∠ B D A C CA ∠=∠= ， ABC △CDA △ 36 AB CD BC AD ==== ， ABCD18 3 2 6 2= ? + ? = BD AB CD ∥ CDB ABD∠ = ∠ ABC CDA ∠=∠ ADB CBD∠ = ∠ AD BC ABCD 36 AB CD BC AD ==== ， ABCD18 3 2 6 2= ? + ? = A D C B A D C B 1 / 1
特殊四边形证明题(正方形)
特殊四边形证明题（正方形） 1．如图，四边形ABCD 是正方形, 点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F . 求证：DE －BF = EF ． 2．如图 ，ABCD 是正方形．G 是 BC 上的一点，DE ⊥AG 于 E ，BF ⊥AG 于 F ． （1）求证：ABF DAE △≌△； (2）求证：DE EF FB =+． 3．如图，在正方形ABCD 中，CE DF ⊥．若10cm CE =，求DF 的长． 4．正方形ABCD 中，MN ⊥GH ，求证：MN=HG 。 5．在正方形ABCD 的边CD 上任取一点E ，延长BC 到F ，使CF=CE ， 求证：BE ⊥DF 6．在正方形ABCD 的CD 边上取一点G ，在CG 上向原正方形外作正方形GCEF ， 求证：DE ⊥BG ，DE=BG 。 F C B E A _ D _ C _ B _ A _ M _ N _ G _ H A D E F C G B _ C _ D _ A _ B _ F _ E _ F _ G _ C _ D _ A _ B _ E _ H
7．已知如图，四边形ABCD 是正方形，F 、E 分别为BC 、CD 上的点，且EF=BF+DE ，AM ⊥EF ，垂足为M ，求证：(1)AM=AB ；(2)连AF ，连AE ，求∠FAE ． 8．正方形ABCD 中，∠EAF=45?.求证：BE+DF=EF 。 9．若分别以三角形ABC 的边AB 、AC 为边，在三角形外作正方形ABDE 、ACFG ， 求证：BG=EC ，BG ⊥EC 。 10．若以三角形ABC 的边AB 、AC 为边 向三角形外作正方形ABDE 、ACFG ， 求证：S AEG ?=S ABC ?。 11．若以三角形ABC 的边AB 、BC 为边向 三角形外作正方形ABDE 、BCFG ，N 为AC 中点，求证：DG=2BN ，BM ⊥DG 。 12．正方形ABCD 的边AD 上有一点E ，满足BE=ED+DC ，如果M 是AD 的中点， 求证：∠EBC=2∠ABM ， M E F B C A D _ H _ F _ G _ E _ D _ A _ B _ C _ F _ G _ E _ D _ A _ B _ C _ F _ G _ D _ E _ B _ A _ C _ N _ M _ C _ D _ A _B _ E _ F _ C _ D _ A _ B _ E _ M
数字推理专项习题50道附答案资料全
Ａ．186 Ｂ．208 Ｃ．158 Ｄ．132 2．1，5，19，81，411，（）Ａ．2473 Ｂ．2485 Ｃ．1685 Ｄ．1857 3．3，3，12，21，165，（）Ａ．649 Ｂ．606 Ｃ．289 Ｄ．343 4．0，，，，，（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 5．7，11，16，25，54，（）Ａ．98 Ｂ．127 Ｃ．172 Ｄ．203 6．3，7，16，41，90，（）Ａ．121 Ｂ．211 Ｃ．181 Ｄ．256 7．3，12，30，63，117，（）Ａ．187 Ｂ．198 Ｃ．193 Ｄ．196 8．3，8，22，62，178，（）Ａ．518 Ｂ．516 Ｃ．548 Ｄ．546 9．3，2，，，，（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 10．1，3，8，33，164，（）Ａ．999 Ｂ．985 Ｃ．1024 Ｄ．1048
A.12 B.16 C.20 D.24 12. 4，-6，6，-8，7.5，（） A．-7.5 B.-8 C.-8.5 D.-9.6 13. 16，8，12，30，105，（） A.215 B.365.5 C.425 D.472.5 14. -3，5，7，4，14，18，（） A.29 B.23 C.21 D.17 15. 1234，1360，1396，2422，2458，（） A.2632 B.2584 C.2864 D.2976 16. -2，2，6，10，46，（） A.78 B.86 C.124 D.146 17. 4，12，40，112，352，（） A.625 B.784 C.832 D.996 18. -32，36，-30，38，-29，（） A.39 B.45 C.51 D.63 19. 1，5，11，20，34，56，（） A.68 B.71 C.82 D.91 20. ，3，2，10，9，31，37，（） A.94 B.72 C.56 D.48
特殊平行四边形：证明题[1]
特殊平行四边形之证明题 题型一：菱形的证明 1、如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( ) A. DE 是△ABC 的中位线 B. AA '是BC 边上的中线 C. AA '是BC 边上的高 D. AA '是△ABC 的角平分线 2．已知：如图，在ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △． （1）求证：BE DG =； （2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论． 3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ． （1）求证：△ABE ≌△AD ′F ； （2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论． A B C D E A ' A D G C B F E A B C D E F D ′
4.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、CD ． （1）求证：AD ＝CE ； （2）填空：四边形ADCE 的形状是 ． 5.两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图7放置，AB BF =，求证：四边形BNDM 为菱形． 6.如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE . （1）求证：△ABE ≌△ ACE （2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由. 7.如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把ACD △沿CA 方向平移得到A C D '''△． （1）证明A AD CC B '''△≌△； （2）若30ACB ∠=°，试问当点C '在线段AC 上的什么位置时，四边形ABC D ''是菱 形，并请说明理由． C D E M A B F N D A E N M O C B A D A ' C ' （第19题） D '
50道经典数学推理题及答案解析
50道经典数学推理题及答案解析 2009-2-10 10:35【大中小】 1.256 ，269 ，286 ，302 ，（） A.254 B.307 C.294 D.316 解析：2+5+6=13 256+13=269 2+6+9=17 269+17=286 2+8+6=16 286+16=302 ？=302+3+2=307 2. 72 ，36 ，24 ，18 ，（） A.12 B.16 C.14.4 D.16.4 解析： （方法一） 相邻两项相除， 72 36 24 18 \ / \ / \ / 2/1 3/2 4/3（分子与分母相差1且前一项的分子是后一项的分母） 接下来貌似该轮到5/4，而18/14.4=5/4. 选C （方法二） 6×12=72，6×6=36，6×4=24，6×3 =18，6×X 现在转化为求X 12，6，4，3，X 12/6 ，6/4 ，4/3 ，3/X化简得2/1，3/2，4/3，3/X，前三项有规律，即分子比分母大一，则3/X=5/4 可解得：X=12/5 再用6×12/5=14.4 3. 8 ，10 ，14 ，18 ，（） A. 24 B. 32 C. 26 D. 20 分析：8，10，14，18分别相差2，4，4，？可考虑满足2/4=4/？则？＝8 所以，此题选18＋8＝26 4. 3 ，11 ，13 ，29 ，31 ，（）
A.52 B.53 C.54 D.55 分析：奇偶项分别相差11－3＝8，29－13＝16＝8×2，？－31＝24＝8×3则可得？＝55，故此题选D 5. -2/5，1/5，-8/750，（）。 A 11/375 B 9/375 C 7/375 D 8/375 解析：-2/5，1/5，-8/750，11/375=> 4/（-10），1/5，8/（-750），11/375=> 分子4、1、8、11=>头尾相减=>7、7 分母-10、5、-750、375=>分2组（-10，5）、（-750，375）=>每组第二项除以第一项=>-1/2，-1/2所以答案为A 6. 16 ，8 ，8 ，12 ，24 ，60 ，（） A.90 B.120 C.180 D.240 分析：相邻两项的商为0.5，1，1.5，2，2.5，3， 所以选180 7. 2 ，3 ，6 ，9 ，17 ，（） A.18 B.23 C.36 D.45 分析：6+9=15=3×5 3+17=20=4×5 那么2+？=5×5=25 所以？=23 8. 3 ，2 ，5/3 ，3/2 ，（） A.7/5 B.5/6 C.3/5 D.3/4 分析：通分3/1 4/2 5/3 6/4 ——7/5 9. 20 ，22 ，25 ，30 ，37 ，（） A.39 B.45 C.48 D.51 分析：它们相差的值分别为2，3，5，7.都为质数，则下一个质数为11 则37+11＝48 10. 3 ，10 ，11 ，（），127 A.44 B.52 C.66 D.78 解析：3=1^3+2 10=2^3+2
(完整)初中数学经典四边形习题50道(附答案)
经典四边形习题 50道（附答案） 1．已知：在矩形ABCD 中，A E ⊥BD 于E ， ∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。 2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60度，E 、F 分别为梯形的腰AB 、 DC 的中点，求：EF 的长。 3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。 4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ， AC 为邻边作平行四边形ACED ，DC 延长线 交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。 5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ， AC 平分∠A ，又∠B=60度，梯形的周长是 20cm, 求：AB 的长。 6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。 7、已知：梯形ABCD 的对角线的交点为E _ D _ C _B _ C _ A _ B _ A _ B _ E _A _ B
若在平行边的一边BC 的延长线上取一点F ， 使S ABC ?=S EBF ?，求证：DF ∥AC 。 8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于 对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ， 在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ， 若EG 与DF 的交点为H ， 求证：AH 与正方形的边长相等。 9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边， 在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ， AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。 10、正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、AD 延长线 上的一点，且AE=AF=AC ，EF 交BC 于G ，交AC 于K ，交CD 于H ，求证：EG=GC=CH=HF 。 11、在正方形ABCD 的对角线BD 上，取BE=AB ， 若过E 作BD 的垂线EF 交CD 于F ， 求证：CF=ED 。 12、平行四边形ABCD 中，∠A 、∠D 的平分线相交于E ，AE 、 DE 与DC 、AB 延长线交于G 、F ，求证：AD=DG=GF=FA 。 13、在正方形ABCD 的边CD 上任取一点E ， _B _ C _B _ F _ B _ C _ F _ C _ D _ B _ F _ F _ G _ B _A _ E
特殊四边形的证明与计算
特殊四边形的证明与计算 1．如图，△ABC 是等边三角形，点E 在线段AC 上，连接BE ，以BE 为边作等边三角形BEF ，将线段CE 绕点C 顺时针旋转60°，得到线段CD ，连接AF 、AD 、ED . (1)求证：△BCE ≌△ACD ； (2)求证：四边形ADEF 是平行四边形． 第1题图 证明：(1)∵△ABC 是等边三角形， ∴BC ＝AC ，∠BCE ＝60°， 由题意得CE ＝CD ，∠ECD ＝60°. 在△BCE 和△ACD 中， ?????BC ＝AC ∠BCE ＝∠ACD ＝60° CE ＝CD ， ∴△BCE ≌△ACD (SAS)； (2)∵△BCE ≌△ACD ， ∴AD ＝BE ，∠DAE ＝∠CBE ， ∵△BEF 是等边三角形，
∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°， ∴AD＝EF， ∵△ABC与△BEF均是等边三角形， ∴∠BCE＝∠BEF＝60°， ∵∠BCE＋∠CBE＝∠BEF＋∠AEF， ∴∠CBE＝∠AEF， ∴∠DAE＝∠AEF，∴AD∥EF， ∴四边形ADEF是平行四边形． 2．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE 平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC. (1)求证：四边形BDEF是平行四边形； (2)线段BF、AB、AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论． 第2题图 (1)证明：如解图，延长CE交AB于点G， 第2题解图
∵AE ⊥CE ， ∴∠AEG ＝∠AEC ＝90°， ∵AE 平分∠BAC ， ∴∠GAE ＝∠CAE ， 在△AGE 和△ACE 中， ?????∠GAE ＝∠CAE AE ＝AE ∠AEG ＝∠AEC ， ∴△AGE ≌△ACE (ASA)， ∴GE ＝EC . ∵点D 是边BC 的中点， ∴BD ＝CD ，DE 为△CGB 的中位线， ∴DE ∥BF . 又∵EF ∥BC ， ∴四边形BDEF 是平行四边形； (2)解：BF ＝12(AB －AC )． 理由如下： 由(1)可知，△AGE ≌△ACE ，四边形BDEF 是平行四边形， ∴AG ＝AC ，BF ＝DE ＝12BG ， ∴BF ＝12BG ＝12(AB －AG )＝12(AB －AC )．