热力学与统计物理第三章知识总结

§3.1 热动平衡判据

当均匀系统与外界达到平衡时，系统的热力学参量必须满足一定的条件，称为系统的平衡条件。这些条件可以利用一些热力学函数作为平衡判据而求出。下面先介绍几种常用的平衡判据。

oisd一、平衡判据

1、熵判据

熵增加原理，表示当孤立系统达到平衡态时，它的熵增加到极大值，也就是说，如果一个孤立系统达到了熵极大的状态，系统就达到了平衡态。于是，我们就能利用熵函数的这一性质来判定孤立系统是否处于平衡态，这称为熵判据。孤立系统是完全隔绝的，与其他物体既没有热量的交换，也没有功的交换。如果只有体积变化功，孤立系条件相当与体积不变和内能不变。

因此熵判据可以表述如下：一个系统在体积和内能不变的情形下，对于各种可能的虚变动，平衡态的熵最大。在数学上这相当于在保持体积和内能不变的条件下通过对熵函数求微分而求熵的极大值。如果将熵函数作泰勒展开，准确到二级有

d因此孤立系统处在稳定平衡态的充分必要条件为

既围绕某一状态发生的各种可能的虚变动引起的熵变，该状态的熵就具有极大值，是稳定的平衡状态。

如果熵函数有几个可能的极大值，则其中最大的极大相应于稳定平衡，其它较小的极大相应于亚稳平衡。亚稳平衡是这样一种平衡，对于无穷小的变动是稳定是，对于有限大的变动是不稳定的。如果对于某些变动，熵函数的数值不变，，这相当于中性平衡了。

熵判据是基本的平衡判据，它虽然只适用于孤立系统，但是要把参与变化的全部物体都包括在系统之内，原则上可以对各种热动平衡问题作出回答。不过在实际应用上，对于某些经常遇到的物理条件，引入其它判据是方便的，以下将讨论其它判据。

2、自由能判据

表示在等温等容条件下，系统的自由能永不增加。这就是说，处在等温等容条件下的系统，如果达到了自由能为极小的状态，系统就达到了平衡态。我们可以利用函数的这一性质来判定等温等容系统是否处于平衡态，其判据是：系统在等温等容条件下，对于各种可能的变动，平衡态的自由能最小。这一判据称为自由能判据。

按照数学上的极大值条件，自由能判据可以表示为： ;

由此可以确定平衡条件和平衡的稳定性条件。

所以等温等容系统处于稳定平衡状态的必要和充分条件为：

3吉布斯函数判据

在等温等压过程中，系统的吉布斯函数永不增加。可以得到吉布斯函数判据：系统在等温等压条件下，对于各种可能的变动，平衡态的吉布斯函数最小。

数学表达式为 ,

等温等压系统处在稳定平衡状态的必要和充分条件为

除了熵，自由能和吉布斯函数判据以外，还可以根据其它的热力学函数性质进行判断。例如，内能判据，焓判据等。

二、平衡条件

做为热动平衡判据的初步应用，我们考虑一个均匀的物质系统与具有恒定温度和恒定压强的热源相互接触，在接触中二者可以通过功和热量的方式交换能量。我们推求在达到平衡时所要满足的平衡条件和平衡稳定条件。

1．平衡条件

现在利用熵判据求系统的平衡条件。我们将系统和热源合起来构成一个孤立系统，设系统的

熵为S，热源的熵为因为熵是一个广延量，具有可加性，则孤立系统的总熵（用）

为： (1)

当达到平衡态时，根据极值条件可得： (2)

由热力学基本方程得

(3)

注意到组合系统是孤立的，必须满足

(4)

将（3）代入（2）得

将（4）代入上式得

（5）

因为式中U，V为独立参量，可任意变化，所以为使上式成立，各系数必须恒等于零。由此

可得： (6)

此式即为系统于外界保持平衡时应满足的条件。表明系统和外界的温度相等，是系

统和外界在热接触的情况下应满足的平衡条件，称为热平衡条件。表明系统和外界压强相等，称为力学平衡条件。

为了保证平衡状态的稳定性，系统除了满足平衡条件外，还要满足平衡稳定条件。

2、平衡稳定条件

由熵判据可知系统稳定平衡时需满足

即

因为系统与热源发生相互作用而破坏平衡时，热源的状态改变很小，也就是对平衡态的偏离很小，所以可忽略。此时系统的平衡稳定条件简化为

（8）

（法一）由（3）式

将上式再微分一次，略去和

利用线性代数求得

（法二）根据泰勒展式。将（8）式展为

通过导数变换，根据线性代数关系求得， (9)

是平衡的稳定性条件。其中反映了系统的热动稳定性的要求，反映了系统的力学稳定性的要求。

§3.2 开系的热力学基本方程

一、几个概念k

1、元：把热力学系统的每一种化学组分称为一个组元，简称为元。

2、单元系：仅由一种化学组分组成的系统。例如纯水。

3、多元系：由若干种化学组分组成的系统。例如空气。

4、相：系统中物理和化学性质完全相同且成份相同的均匀部分称为一个相。

5、单相系（均匀系）：仅有单一的相构成的系统称为单相系

6、复相系（多相系）：有若干个相共存的系统称为复相系

又根据组成系统的组元数目，把复相系分为单元复相系和多元复相系。例如，水和水蒸气共存是单元二相系；盐是水溶液与水蒸气共存是二元二相系；

7、相变：在复相系中发生的相转变过程。

8、开系：在相变过程中，物质可以由一相变到另一相，因此一个相的质量或mol数是可以变的，这时系统为开系。

二、开系的热力学方程

1、G的全微分dG

从上一章我们知道，一个封闭的均匀系，在简单情况下，只需两个独立参量即可确定系统的状态，比如用T，P即可确定系统的吉布斯函数。但对均匀开放系统来说，为了确定其状态，还必须把组成系统的物质摩尔数n或者质量m考虑在内，通常选摩尔数，则此时吉布斯函数是T，P，n为独立参量，则吉布斯函数的全微分可扩展表示为

⑴

G是以 V，P，n为独立变量的特征函数

其中⑵

称为化学势，它表示在温度、压强不变的情况下，增加一摩尔的物质时，系统吉布斯函数的增量。

μdn表示由于摩尔数改变了dn所引起的吉布斯函数的改变。

由于吉布斯函数是广延量，我们定义一个摩尔吉布斯函数（即1摩尔物质的吉布斯函数），则系统的吉布斯函数G(T,P,n)=ng(T,P) ⑶

因此将⑶代入⑵式得⑷

这就是说，化学势μ等于摩尔吉布斯函数g，这个结果适用于单元相系。

2、dU

由得内能的全微分

⑸U是以S，V，n为独立变量的特征函数

⑸式就是开系的热力学基本方程。它是的推广，可知，开系的内能U

是以S,V,n为独立变量的特性函数。μ也可以表示为⑹

即化学势μ也等于在S,V不变的条件下，增加1mol物质时系统内能的改变。

3、 dH

由焓的定义得焓的全微分为

⑺

H是以S，P，n为独立变量的特性函数。

因此化学势也可表示为⑻

4、dF

因自由能定义F=U-TS。可得自由能的全微分

(注：dV——>dU) ⑼

F是以T，V，n为独立变量的特性函数

因此⑽

（5）、（7）、（9）称为开系的热力学函数

如果定义一个热力学函数巨热力势⑾

它的全微分为

⑿J是以T，V，μ为独立变量的特性函数。如果已知巨热力势J(T，V，μ)，其它热力学函数可用下面的偏导数求得：

⒀由以上讨论可见，单元开系的热力学特性函数与闭系相比，仅增加了一个变数n,并由此引进了化学势的概念。

§3.3 单元系的复相平衡条件

一、平衡条件

1、推导：为简单起见，考虑一个孤立的单元两相系，我们用上角标α和β表示两个相，用

，，和，，分别表示α和β相的内能，体积和摩尔数。因为是孤立系，所以总的内能，体积和摩尔数是恒定的，有

⑴

若系统发生一个虚变动，则α相和β相的内能，体积和摩尔数分别改变：，，

和，，。孤立系统的条件式（1）要求：

⑵

由知,两相的熵变为

⑶

根据熵的广延性知，整个系统的熵变

⑷

根据熵判据知，当整个系统达到平衡时，总熵有极大值

因为⑷式中δU,δV,δn是独立变量,δS=0要求

，，

即：热平衡条件

力学平衡条件⑸

相变平衡条件

2、讨论

如果平衡条件未被满足，复相系统将发生变化，变化将朝着熵增加的方向进行。

1）如果热平衡条件未能满足，变化将朝着

的方向进行。例如当时，变化朝着的方向进行，即能量将从高温的α相传递到低温的β相去。

2）在热平衡满足的情况下，若力学平衡未能满足，变化将朝着

的方向进行。例，当时，变化将朝着的方向进行，即压强大的相α膨胀，压强小的相β收缩。

3）在热平衡条件已满足，相变平衡条件未被满足时，变化将朝着

的方向进行。例如当时，变化将朝着的方向进行，即物质将由化学势高的β相相变到化学势低的α相去，这是μ被称为化学势的原因。

二、单元复相系的稳定性条件仍可表示为,

§3.4 单元复相系的平衡性质

一、P—T图：

1、P—T图：实验指出：系统的相变与其温度和压强有关，在不同的温度和压强下系统可以有不同的相，气相、液相或固相。有些物质的固相还可以具有不同的晶格结构，不同的晶格结构也是不同的相。如水（H2O）构成的系统有三态：水蒸气（气）、水（液）、冰（固）。在不同的条件下，其相有：气态有一相；液态有一相；固态有六种不同的稳定态，它们分属于六相。在直角坐标中，单元系相同可以用P—T图表示。

由单元系相平衡条件，知

⑴

由式（1）决定的曲线 P=P(T) ⑵

称为相平衡曲线。画出P—T关系图即为相图。如图为单元系相图。

三条曲线将图分为三个区域，它们分别表示固相、液相和气相单相存在的温度和压强范围。

化学势用，，表示，在各自的区域内，温度和压强可以单独变化。如图中分开气、液两相的曲线AC，为汽化线，为气液两相的平衡线，在气化线上气液两相可以平衡共存。气化线上有一点C，温度等于C点时，液相不存在，因而汽化线也不存在，C点称为临界点，相应

的温度和压强称为临界温度和临界压强。例如，水的临界温度是647.05K，临界压强是

分开液相和固相区域的曲线AB称为熔解线（或凝固线）。

⑶分开气相和固相区域的曲线称为升华线。

⑷

由于固相在结构上与气液相差别很大，所以溶解曲线和升华曲线不存在端点，它们只能与其他相平衡曲线相交而中断。

气化线、熔解线和升华线交于一点A，此点三相共存称为三相点，是三条相平衡曲线的交点。在三相点，物质的气、液、固相共存。对于某一物质三相点的温度和压强是确定的。例如，水的

三相点温度为273.16K，压强为.

举例：以液—气两相的转变为例说明由一相到另一相的转变过程。

如图所示：系统开始处在由点1所代表的气相，如果维持温度不变，缓慢地增加外界的压强，则为了维持平衡态，系统的压强将相应地增大。这样系统的状态将沿直线1—2变化，直到与汽化线相交于2点，这时开始有液体凝结，并放出热量（相变潜热）。在点2，气、液两相平衡共存。如果系统放出的热量不断被外界吸收，物质将不断地由气相转变为液相，而保持其温度和压强不变，直到系统全部转变为液相后，如果仍保持温度不变而增加外界的压强，系统的压强将相应地增大，其状态将沿着直线2—3变化。

2、P—T图的热力学理论解释：

由吉布斯函数判据我们知道，在一定温度和压强下，系统的平衡状态是吉布斯函数最小的状

态。各相的化学势是温度和压强确定的函数，如果在某一温度和压强范围内，α相的化学势较其它相的化学势低，系统将以α相单独存在。这个温度和压强范围就是α相的单相区域。在这个区域内温度和压强是独立的状态参量。

在气化线AC上，气液两相平衡共存。根据热平衡条件，力学平衡条件和相变平衡条件，可

知，，⑸在三相点，三个相的温度、压强和化学势都相等，即

⑹

三相点的温度和压强由⑹式决确定。

（5）式给出两相平衡共存时压强和温度的关系，是两相平衡曲线的方程式。在平衡曲线上，温度和压强两个参量中只有一个可以独立改变P=P(T)。由于在平衡曲线上两相的化学势相等，两

相的任意比例共存，整个系统的吉布斯函数都是相等的。即，这就是中性平衡。当系统缓慢地从外界吸收或放出热量时，物质将由一相转变到另一相而始终保持在平衡态，称为平衡相变。

二、克拉珀龙（Clapeyron）方程

1、Clapeyron方程

式子（5）为两相平衡曲线，由于对物质化学势缺乏足够的知识，我们并不知道每一相的化学势，所以相图上的曲线多是由实验直接测定的。但是由热力学理论可以求出相平衡曲线的斜率的表达式称为Clapeyron方程。

如图，在P—T图上画出两相平衡曲线。在相平衡曲线上取邻近的两点A(T，P)和B(T+dT，P+dP)在相平衡曲线上两相的化学势相等，即

⑺

两式相减得: ⑻

这个结果表明，当沿着平衡曲线由A(T，P)变到B(T+dT，P+dP)时，两相化学势的变化必然相等。化学势的全微分为

(9)

其中和分别表示摩尔熵和摩尔体积。

所以有

则由（8）式得

整理变形得⑽定义相变潜热：以L表示1摩尔物质由α相变到β相时吸收的热量，称为，摩尔相变潜热。因为相变时物质的温度不变，由熵的定义得

⑾

代入（10）式得⑿此式称为（Clapeyron）方程，它给出两相平衡的斜率。

分析Clapeyron方程:当物质发生熔解、蒸发或升华时，混乱程度增加，因而熵也增加，相变潜热点是正的。由固相或液相转变到气相体积也增加，因此气化线和升华线的斜率dP∕dT是

恒正的。由固相转到液相时，体积也发生膨胀，这时熔解线的斜率也是正的。但有些物质，如冰，在熔解时体积缩小，熔解线的斜率是负的。

2、蒸汽压方程

应用克拉珀龙方程，可以得出蒸汽压方程的近似表达式。与凝聚相（液相或固相）达到平衡的蒸汽称为饱和蒸汽。由于两相平衡时压强与温度间存在一定的关系，饱和蒸汽的压强是温度的函数。描述饱和蒸汽的方程称为蒸汽方程。

若α相为凝聚相，β相为气相，凝聚相的摩尔体积（每摩尔凝聚物的体积）远小于气相的摩尔体积，我们可以略去克拉珀龙方程（10）中的V，并把气相看作理想气体，满足，

则克拉珀龙方程可简化为

分离变量: ⒀

如果更进一步近似地认为相变潜热与温度无关,积分上式，得

⒁

即蒸汽压方程的近似表达式。可以将式⒁写成

⒂

由式（15）可知，饱和蒸汽压随温度的增加而迅速的增加。由蒸汽压方程，可以确定出在一定温度下的饱和蒸汽压；反过来测定饱和蒸汽压，也可确定出该状态的温度。根据这个原理，可以制造蒸汽压温度计。蒸汽压温度计主要用与低温范围的测量。

§3.5液滴的形成

前面讨论两相平衡时没有考虑表面相的影响，因而得出的结果只适用于分界面为平面，或液面的曲率半径足够大时的情况。当分界面为曲面时，表面张力会对力学平衡条件和相平衡条件产生影响。

一、平衡条件：

我们首先讨论在考虑表面相以后系统在达到平衡时所要满足的平衡条件。将液滴与其蒸汽看作一个复合系统。设液滴为α相，蒸汽为β相，表面为γ相，三相的热力学基本方程分别为

⑴

设液滴与其蒸汽构成的复合系统已达到热平衡，则满足

且设温度和体积保持不变，因而我们可应用自由能判据推导系统的力学平衡条件和相变平衡条件。

设想在温度和总体积保持不变的条件下，系统发生一个虚变动，则三相的n，V和A分别发生,;,;δA的变化。由于在虚变动中的系统的总摩尔数和总体积保

持不变，应用

则

⑷

在三相温度相等的条件下，整个系统的自由能满足

即⑸

为简单起见，假设液滴是球形的则,

所以有,

代入⑸式有⑹

由于和是任意的独立参量,上式中的系数必为零,所以得

(力学平衡条件)

(相平衡条件) ⑺

力学平衡条件表明由于表面张力的存在，平衡时球形液滴内部的压强比蒸汽的压强

大。当r→时，过渡到，这正是分界面为平面时的力学平衡条件。

相变平衡条件表明平衡时两相的化学势仍然相等，但化学势中的压强不相等，其关系由力学平衡条件确定。

二、液滴的形成（中肯半径或临界半径）

首先讨论气液两相平衡时分界面为曲面的蒸汽压强P′与分界面为平面的饱和蒸汽压的关系。

已知在分界面（液面）为平面时，力学平衡条件是，相变平衡条件为

⑻

上式确定饱和蒸汽压与温度的关系。

对分界面为曲面的情况，设两相（气、液）平衡时的蒸汽压强为P′。由分界面为曲面的平

衡条件⑼

给出曲面上的蒸汽压强P′与曲面半径r的关系。

现在利用（8）、（9）两式推导曲面上的蒸汽压强P′与平液面上的蒸汽压强P的关系。由于液体有不易压缩的性质，压强改变时液体的性质变化很小，所以可将液体的化学势

在P的邻域展成泰勒（Taylor）级数，只取一级近似，得

⑽

由,得

⑾

将蒸汽看作理想气体，根据（2.4.15）和，可得蒸汽的化学势

⑿

其中是温度的函数由上式得

⒀

由⑿⒀式得⒁

下面由⑻⑼⑾⒁四式得⒂

在实际问题中，通常，所以⒂式可近似写为

⒃

根据（16）式可以求出与压强为P′的蒸汽处于平衡的液滴半径为

⒄

称为中肯半径（或临界半径）。当时，,液相的化学势降低，因此气相将发生凝结，液滴连续增大；

当时，就有，因而液滴就要蒸发。

只有当时，蒸汽与液滴互相平衡。

由以上的讨论可以看出，在给定的温度T 压强P′下，要想在系统中出现凝结现象，就必须在系统中存在有半径大于相应于T, P′时的临界半径的液滴。这种液滴起着凝结核心的作用，如果系统非常纯净，或其中的小颗粒半径非常小，那么就会出现系统中的蒸汽压强已超过P，但并没有发生凝结，而形成过饱和蒸汽（过冷现象）。可见，过饱和蒸汽的出现，是由于蒸汽中缺少凝结核的缘故。

三、沸腾现象

对于沸腾现象的讨论，可以完全仿照液滴形成的讨论进行。但是应把液滴的半径r换成气

泡的半径-r。所以可以得到两相共存的力学平衡条件为⒅

表明气泡内的蒸汽压强比液体的压强大才能维持气泡在液体中的力学平衡。

将r变为-r后，又可得到

⒆

表明为满足相平衡条件，气泡内的压强P′必须小于同温度下平液面上的饱和蒸汽压P

由（18）（19）式可以说明液体的沸腾现象及沸腾前的过热现象。液体沸腾时，内部有大量的蒸汽泡不断形成和扩大。在一班情况下，液体内部和器壁上都有很多小空气泡，它们作为汽化的核心，半径已足够大而接近于分界面为平面时，泡内的蒸汽压P′近似等于P，只有温度再上升一点使P′等于或大于液体的压强P时，气泡就会不断长大，出现沸腾现象。但是，如果液体中没有现成的空气泡做核，或由涨落而引起的气泡非常小，即使达到正常沸点时，也不会出现沸腾现象。这是由于相变平衡条件（19）式要求气泡中的压强P′必须小于分界面为平面的饱和蒸汽压P，不能满足力学平衡条件（18）式，气泡反而被液体压缩，所以不会产生沸腾现象。

在这种情况下，只有当温度较正常沸点更高，使P′增大到满足时，才能沸腾。液体的温度等于正常沸点而不沸腾的现象称为液体的过热现象。可见液体的过热现象的出现，是由于液体内缺少汽化核的缘故。

§3.6相变的分类

以前讨论的气、液、固之间的相变，两相的体积不相等，熵也不相等（有相变潜热），

, 即相变时，有熵和体积的突变，而是另外一

些量，如，等压膨胀函数α，等温压缩系数等发生突变，1933年，爱伦费斯特（Ehrenfest）提出一个理论，把相变分为许多级（类）

一、一级相变

特征：相变时两相的化学势连续，但一级偏导数（熵和体积）有突变。

由，得

, ，得

一级相变的数学表达式即

, ⑴

可见通常的气、液、固之间的相变是一级相变。

二、二级相变

特征：相变时两相的化学势及一级偏导数（熵和体积）连续，但二级偏导数（，α，）发生突变,

即：

()

所以

则可得，α，发生突变。但没有相变潜热和比容突变。

三、n级相变

类推到n级相变，

特征：相变时两相的化学势及一级，二级……直到（n-1）级偏导数连续，但n级偏导数发生突变。

一级相变的相平衡曲线的斜率由Clapeyron方程给出，对于二级相变，由于

,,Clapeyron方程变为不定式，不能应用。但是爱伦费斯特根据二级相

变在临近的两个点两相的比熵和比容变化相等,

的条件导出了二级相变点压强随温度变的斜率公式.

证明：当两相系统在压强为P，温度为T的情况下达到平衡时，比容为

,而在P+dP和T+dT的情况下平衡时，应有

即但取T,P为独立参量，则

由

此得到同样，对于两相平衡系统，有，而

由此得到

称为爱伦费斯特方程。

人们习惯上把二级以上的相变通称为连续相变。由上可知，连续相变在相变点两相的化学势以及化学势的一级偏导数连续。连续相变的相变点称为临界点。通过实验和理论都可以分析连续相变，

热力学与统计物理第二章知识总结

§2.1内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分热力学函数中的物态方程、内能和熵是基本热力学函数，不仅因为它们对应热力学状态描述第零定律、第一定律和第二定律，而且其它热力学函数也可以由这三个基本热力学函数导出。焓：自由能：吉布斯函数：下面我们由热力学的基本方程(1) 即内能的全微分表达式推导焓、自由能和吉布斯函数的全微分焓、自由能和吉布斯函数的全微分 o焓的全微分由焓的定义式，求微分，得，将（1）式代入上式得(2) o自由能的全微分由得 (3) o吉布斯函数的全微分 (4)

从方程（1）（2）（3）（4）我们容易写出内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分dU，dH，dF，和dG独立变量分别是S，V；S，P；T，V和T，P 所以函数U（S，V），H（S，P），F（T，V），G（T，P）就是我们在§2.5将要讲到的特性函数。下面从这几个函数和它们的全微分方程来推出麦氏关系。二、热力学（Maxwell）关系(麦克斯韦或麦氏) (1)U（S，V）利用全微分性质（5）用（1）式相比得（6）再利用求偏导数的次序可以交换的性质，即（6）式得（7）（2） H（S，P）同（2）式相比有由得（8）（3） F（T，V）

同（3）式相比（9）（4） G（T，P）同（4）式相比有（10）（7），（8），（9），（10）式给出了热力学量的偏导数之间的关系，称为麦克斯韦（J.C.Maxwell）关系，简称麦氏关系。它是热力学参量偏导数之间的关系，利用麦氏关系，可以从以知的热力学量推导出系统的全部热力学量，可以将不能直接测量的物理量表示出来。例如，只要知道物态方程，就可以利用（9），（10）式求出熵的变化，即可求出熵函数。 §2.2麦氏关系的简单应用证明 1. 求选T,V为独立变量，则内能U（T,V）的全微分为（1）熵函数S(T,V)的全微分为( 2)

圆的知识点总结

圆的知识点总结 (一)圆的有关性质 [知识归纳] 1. 圆的有关概念：圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆; 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高; 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆;圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。２. 圆的对称性圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形; 圆具有旋转不变性。３. 圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1 （１）平分弦（不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。垂径定理及推论１可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个:①过圆心；②垂直于弦;③平分弦（不是直径); ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个:①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆心角或两条弧所对的弦相等;④两条弦的弦心距相等。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。６. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半; 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等；推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径; 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※８. 轨迹轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。（1)平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心,定长为半径的圆；（2)平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线；（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 [例题分析］例1. 已知:如图１，在⊙O中，半径OＭ⊥弦AB于点N。图1 ①若AB＝，ＯN=1，求MN的长; ②若半径ＯＭ=R，∠ＡOB=120°,求ＭＮ的长。解:①∵ＡB＝,半径OM⊥AB，∴AN＝BN＝ ∵ON=1,由勾股定理得OＡ=2 ∴MN=OＭ－ON=OA-ON=１ ②∵半径OＭ⊥AB，且∠AOＢ=1２0°∴∠AOＭ＝6０°

人教版初三化学第三章知识点总结

第三单元自然界的水课题1 水的组成一、水的组成 1、水的组成：（1）电解水的实验 A.装置―――水电解器 B.电源种类---直流电 C.加入硫酸或氢氧化钠的目的----增强水的导电性 D.化学反应：文字表达式：：水（H 2O ）氢气（H 2） + 氧气（O 2）化学方程式：2H 2O 通电 2H 2↑+ O 2↑ 产生位置负极正极体积比 2 ： 1 质量比 1 ： 8 E.检验：O 2---出气口置一根带火星的木条----木条复燃 H 2---出气口置一根燃着的木条------气体燃烧，发出淡蓝色的火焰（2）结论： ①水是由氢、氧元素组成的。 ②化学变化中，分子可分而原子不可分。 2、水的性质物理性质：无色无味的液体、40C 时密度最大，为1g/cm 3 化学性质：通电分解文字表达式：水（H 2O ）氢气（H 2） + 氧气（O 2）化学方程式： 2H 2O 通电 2H 2↑+O 2↑ 3、氢气 1、物理性质：密度最小的气体（向下排空气法）（氢气与其它气体的显著区别之处）；难溶于水（排水法）、无色无臭的气体证明氢气密度比空气小的方法：用氢气吹肥皂泡，若肥皂泡上升，则密度比空气小 2、化学性质：可燃性（用途：高能燃料；氢氧焰焊接，切割金属）文字表达式：氢气（H 2） + 氧气（O 2）水（H 2O ）化学方程式：2H 2 + O 2 点燃 2H 2 O 点燃前，要验纯现象：发出淡蓝色火焰，放出热量，有水珠产生注意：混有一定量的空气或氧气的氢气遇明火会发生爆炸，因此点燃前必须验纯。二、物质的分类 1、概念单质：由同种元素组成的纯净物例：氢气、氧气、红磷等化合物：由不同种元素组成的纯净物例：水、高锰酸钾等氧化物：由两种元素组成，且含有氧元素的纯净物例：二氧化硫、氧化铁等注意:单质、化合物前提必须是纯净物，即划分单质、化合物的标准是根据纯净物的元素种类来划分的。若只含一种元素的纯净物就属于单质；若含有几种元素的纯净物就属于化合物 2、物质分类的步骤 ①根据物质种类分为纯净物与混合物②写出纯净物的化学符号③根据元素种类将纯净物分点燃通电通电电解水口诀：

大学物理热学总结

大学物理热学总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

大学物理热学总结 (注：难免有疏漏和不足之处，仅供参考。 ) 教材版本：高等教育出版社《大学物理学》热力学基础 1、体积、压强和温度是描述气体宏观性质的三个状态参量。 ①温度：表征系统热平衡时宏观状态的物理量。摄氏温标，t表示，单位摄氏度（℃）。热力学温标，即开尔文温标，T表示，单位开尔文，简称开（K）。热力学温标的刻度单位与摄氏温标相同，他们之间的换算关系： T/K=273.15℃+ t 温度没有上限，却有下限，即热力学温标的绝对零度。温度可以无限接近0K，但永远不能达到0K。 ②压强：气体作用在容器壁单位面积上指向器壁的垂直作用力。单位帕斯卡，简称帕（Pa）。其他：标准大气压（atm）、毫米汞高（mmHg）。 1 atm =1.01325×105 Pa = 760 mmHg ③体积：气体分子运动时所能到达的空间。单位立方米（m3）、升（L） 2、热力学第零定律：如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡，则这两个系统也必处于热平衡。该定律表明：处于同一热平衡状态的所有热力学系统都具有一个共同的宏观特征，这一特征可以用一个状态参量来表示，这个状态参量既是温度。3、平衡态：对于一个孤立系统（与外界不发生任何物质和能量的交换）而言，如果宏观性质在经过充分长的时间后保持不变，也就是系统的状态参量不再岁时间改变，则此时系统所处的状态称平衡态。通常用p—V图上的一个点表示一个平衡态。（理想概念） 4、热力学过程：系统状态发生变化的整个历程，简称过程。可分为： ①准静态过程：过程中的每个中间态都无限接近于平衡态，是实际过程进行的无限缓慢的极限情况，可用p—V图上一条曲线表示。 ②非准静态过程：中间状态为非平衡态的过程。

圆的知识点总结史上最全的

A 图4 图5 圆的总结集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线点与圆的位置关系: 点在圆内 dr 点A 在圆外直线与圆的位置关系: 直线与圆相离 d>r 无交点直线与圆相切 d=r 有一个交点直线与圆相交 dR+r 外切（图2）有一个交点 d=R+r 相交（图3）有两个交点 R-r

高一物理上第三章知识点总结

第三章相互作用一．力 1.定义：力是物体之间的相互作用。力的作用效果有两个，一是使物体发生形变，二是改变物体的运动状态。在国际单位制中，力的单位是牛顿，简称牛，符号是N。力的大小用弹簧测力计测量。 2. 力的本质 (1)力的物质性：力是物体对物体的作用，力不能离开物体而独立存在。每个力的产生必然同事联系两个物体——施力物体和受力物体。 (2)力的相互性：物体之间力的作用是相互的，施力物体同时也是受力物体。力总是成对出现的，分别作用在两个物体上，作用效果不能抵消。 (3)力的矢量性：力既有大小又有方向。 (4)力作用的独立性：几个力作用在同一物体上，每个力对物体的作用效果均不会因其它力的存在而受到影响。 3．力的三要素包括力的大小、方向、作用点。 4. 力的图示：力可以用一条有向线段表示，线段的长度表示力的大小，它的指向表示力的方向，箭头或箭尾表示力的作用点，线段所在的直线叫做力的作用线。 5.力的分类按性质命名的力，例如：重力、弹力、摩擦力、分子力、电磁力。按效果命名的力，例如：拉力、压力、支持力、动力、阻力。二．重力 1.定义：由于地球的吸引而使物体受到的力。它的施力物体是地球。

2.重力的大小G=mg，方向竖直向下。作用点叫物体的重心。重心的位置与物体的质量分布和形状有关。质量均匀分布，形状规则的物体的重心在其几何中心处。薄板类物体的重心可用悬挂法确定。注意：重力是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转所需的向心力，在两极处重力等于万有引力．由于重力远大于向心力，一般情况下近似认为重力等于万有引力。四种基本相互作用：万有引力、电磁相互作用、强相互作用和弱相互作用。这四种基本相互作用是不需要物体相互接触就能产生作用的，称为非接触力。三．弹力 1.接触力：接触力按照性质可以分为弹力和摩擦力，他们在本质上都是由电磁力引起的。 2.形变：物体在力的作用下形状或者体积会发生改变，这种变化叫做形变。有些物体在撤去力之后形变可以恢复，称为弹性形变。3.发生形变的物体，由于要恢复原状，会对跟它接触的且使其发生形变的物体产生力的作用，这种力叫弹力。弹力产生的条件是与物体直接接触并且发生形变。但物体的形变不能超过弹性限度。弹力的方向和产生弹力的那个形变方向相反。 4.胡克定律弹簧发生形变时，弹力的大小F与弹簧的伸长量（或缩短量）成正比，即F=Kx，其中K称作弹簧的劲度系数，单位是N/m,劲度系数由弹簧本身的结构决定。四．摩擦力

大学物理之热学公式篇

热学公式 1.理想气体温标定义:0 273.16lim TP p TP p T K p →=?(定体) 2.摄氏温度t 与热力学温度T 之间的关系:0 //273.15t C T K =- 华氏温度F t 与摄氏温度t 之间的关系:9325 F t t =+ 3.理想气体状态方程:pV RT ν= 1mol 范德瓦耳斯气体状态方程:2 ()()m m a p V b RT V + -= 其中摩尔气体常量8.31/R J mol K =?或2 8.2110/R atm L mol K -=??? 4.微观量与宏观量的关系:p nkT =,23kt p n ε= ,3 2kt kT ε= 5.标准状况下气体分子的数密度(洛施密特数)253 0 2.6910/n m =? 6.分子力的伦纳德-琼斯势:12 6 ()4[()()]p E r r r σ σ ε=-,其中ε为势阱深度 , σ= ,特别适用于惰性气体,该分子力大致对应于昂内斯气体; 分子力的弱引力刚性球模型(苏则朗模型):06 000, ()(), p r r E r r r r r φ+∞

热力学与统计物理学课后习题及解答

第一章热力学的基本规律 1.1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数T k 。解：由理想气体的物态方程为 nRT PV = 可得: 体胀系数：T P nR V T V V αp 111==??? ????= 压强系数：T V nR P T P P βV 111==??? ????= 等温压缩系数：P P nRT V P V V κT 1)(112=???? ??=??? ?????= 1.2 证明任何一种具有两个独立参量P T ，的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T k ，根据下述积分求得：()??=dP κdT αV T ln 如果P κT αT 11==，，试求物态方程。解：体胀系数：p T V V α??? ????=1，等温压缩系数：T T P V V κ??? ?????=1 以P T ，为自变量，物质的物态方程为：()P T V V ,= 其全微分为：dP κV VdT αdP P V dT T V dV T T p ?=??? ????+??? ????=，dP κdT αV dV T ?= 这是以P T ，为自变量的全微分，沿任意的路线进行积分得： ()??=dP κdT αV T ln 根据题设，将P κT αT 1,1==，代入：???? ???=dP P dT T V 11ln 得：C p T V +=ln ln ，CT PV =，其中常数C 由实验数据可确定。 1.4 描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力￡，物态方程是()0￡=T L f ，，，实验通常在1n p 下进行，其体积变化可以忽略。

物理必修一第三章知识点总结

第三章相互作用专题一:力的概念、重力和弹力 1．力的本质 (1)力的物质性：力是物体对物体的作用。提到力必然涉及到两个物体:施力物体和受力物体，力不能离开物体而独立存在,(不离开不是一定要接触)有力时物体不一定接触。 (2)力的相互性：力是成对出现的，作用力和反作用力同时存在。作用力和反作用力总是等大、反向、共线，分别作用在两个物体上，作用效果不能抵消. (3)力的矢量性：力有大小、方向，对于同一直线上力的矢量运算，同向相加，反向相减。 (4)力作用的独立性：几个力作用在同一物体上，每个力对物体的作用效果均不会因其它力的存在而受到影响。 2．力的作用效果 $ 力对物体作用有两种效果：一是使物体发生形变，二是改变物体的运动状态。这两种效果可各自独立产生，可同时产生。 3．力的三要素：大小、方向、作用点完整表述一个力时，三要素缺一不可。当力 F1、F2的大小、方向均相同时，我们说F1=F2。力的大小可用弹簧秤测量，也可通过定理、定律计算，力的单位是牛顿，符号是N。 4．力的图示和力的示意图力的图示：用一条有向线段表示力的方法叫力的图示，用带有标度的线段长短表示大小，用箭头指向表示方向，作用点用线段的起点表示。 5.重力（1）．重力的产生： - 重力是由于地球的吸收而产生的,重力的施力物体是地球。（2）．重力的大小： ○由G=mg计算，g为重力加速度，通常g取米／秒方。 ○由弹簧秤测量：物体静止时弹簧秤的示数为重力大小。（3）．重力的方向：重力的方向总是竖直向下的，不一定指向地心。（4）．重力的作用点——重心 ○物体的各部分都受重力作用，效果上,认为各部分受到的重力作用都集中于一点，叫做物体的重心。(假设的点) $ ○重心跟物体的质量分布、物体的形状有关，重心不一定在物体上。质量分布均匀、形状规则的物体其重心在物体的几何中心上。（5）．重力和万有引力重力是地球对物体万有引力的一个分力，万有引力的另一个分力提供物体随地球自转的向心力，同一物体在地球上不同纬度处的向心力大小不同，但由此引起的重力变化不大，一般情况可近似认为重力等于万有引力，即：mg=GMm/R2。除两极和赤道外，重力的方向并不指向地心。重力的大小及方向与物体的运动状态无关，在加速运动的系统中，例如：发生超重和失

圆知识点总结及归纳

第一讲圆的方程（一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化（1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. （2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：

(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2 ＋E 2 －4F >0时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心， 1 2 D 2＋ E 2－4 F 为半径的圆； ②当D 2 ＋E 2 －4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2，－E 2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数都为 1 ，没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． 2>r 2. （2）若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. （3）若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2

方法一：方法二：（四）圆与圆的位置关系 1 外离 2外切 3相交 4内切 5内含（五）圆的参数方程（六）温馨提示 1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：（1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0.

九年级数学圆的知识点总结大全

r B 一、知识回顾第四章：《圆》圆的周长： C=2πr 或 C=πd 、圆的面积： S=πr 2 圆环面积计算方法： S=πR2- πr 2或 S=π（ R2-r 2） (R 是大圆半径， r 是小圆半径）二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念： 1 、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2 、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3 、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点 O 为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 d r 点C 在圆内； A d 2、点在圆上 d r 点B 在圆上； O d 3、点在圆外 d r 点 A 在圆外； C 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 d r 无交点； 2、直线与圆相切 d r 有一个交点； 3、直线与圆相交 d r 有两个交点； r d d=r r d

C D 四、圆与圆的位置关系外离（图 1）无交点 d R r ；外切（图 2）有一个交点 d R r ；相交（图 3）有两个交点 R r d R r ；内切（图 4）有一个交点 d R r ；内含（图 5）无交点 d R r ； d d d R r R r R r 图 1 图2 图 3 d d r R r R 图4 图 5 五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即： ① AB 是直径 ② AB CD ③ CE DE ④ 弧 BC 弧 BD ⑤ 弧 AC 弧 AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。 A 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 C D 即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CD O O ∴弧 AC 弧BD A B E B 六、圆心角定理顶点到圆心的角，叫圆心角。圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定

高中化学选修4第三章知识点分类总结

第三章水溶液中的离子平衡一、弱电解质的电离 1、定义：电解质：在水溶液中或熔化状态下能导电的化合物,叫电解质。非电解质：在水溶液中或熔化状态下都不能导电的化合物。强电解质：在水溶液里全部电离成离子的电解质。弱电解质：在水溶液里只有一部分分子电离成离子的电解质。 2、电解质与非电解质本质区别：电解质——离子化合物或共价化合物非电解质——共价化合物注意：①电解质、非电解质都是化合物 ②SO 2、NH 3、CO 2等属于非电解质 ③强电解质不等于易溶于水的化合物（如BaSO 4不溶于水，但溶于水的BaSO 4全部电离，故BaSO 4为强电解质）——电解质的强弱与导电性、溶解性无关。 3、弱电解质的电离平衡：在一定的条件下，当弱电解质分子电离成离子的速率和离子结合成分子的速率相等时，电离过程就达到了平衡状态，这叫弱电解质的电离平衡。 4、影响电离平衡的因素： A 、温度：电离一般吸热，升温有利于电离。 B 、浓度：浓度越大，电离程度越小；溶液稀释时，电离平衡向着电离的方向移动。 C 、同离子效应：在弱电解质溶液里加入与弱电解质具有相同离子的电解质，会减弱电离。 D 、其他外加试剂：加入能与弱电解质的电离产生的某种离子反应的物质时，有利于电离。 5、电离方程式的书写：用可逆符号弱酸的电离要分布写（第一步为主） 6、电离常数：在一定条件下，弱电解质在达到电离平衡时，溶液中电离所生成的各种离子浓度的乘积，跟溶液中未电离的分子浓度的比是一个常数。叫做电离平衡常数，（一般用Ka 表示酸，Kb 表示碱。）物质单质电解质非电解质：非金属氧化物，大部分有机物。如SO 3、CO 2、C 6H 12O 6、CCl 4、CH 2=CH 2 强电解质：强酸，强碱，大多数盐。如HCl 、NaOH 、NaCl 、BaSO 4 弱电解质：弱酸，弱碱，极少数盐，水。如HClO 、NH 3·H 2O 、Cu(OH)2、混和物纯净物

大学物理热学第一章知识点整理

第一章导论 1. 宏观描述方法和微观描述方法热力学是热物理学的宏观理论,而统计物理学则是热物理学的微观理论. 2. 热力学系统的平衡态在不受外界条件的影响下,经过足够长时间后系统必将达到一个宏观上看来不随时间变化的状态,这才是平衡态判断是否平衡态的标准：有无热流与粒子流. 力学平衡条件:通常情况下，表现为压强处处相等热学平衡条件：温度处处相等(无热流) 化学平衡条件：无外场作用下，系统各部分的化学组成处处相同只有在外界条件不变的情况下同时满足力学平衡条件、热学平衡条件和化学平衡条件的系统，才不会存在热流与粒子流，才处于平衡态。 3.热力学第零定律和温标热力学第零定律的物理意义：互为热平衡的物体之间必存在一个相同的特征-----它们的温度是相同的温标是温度的数值表示法建立经验温标的三个要素：（1）选择某种测温物质，确定它的测温属性（某种属性随着冷热程度的改变而单调、显著的改变）（2）选定固定点（如水的沸点为100℃，冰的正常熔点是0℃）（3）进行分度水的三相点温度为273.16k，冰点温度为273.15k 热力学温标为基本温标摄氏温标、理想气体温标和热力学温标 4、物态方程处于平衡态的某种物质的热力学参量(如压强、体积、温度)之间所满足的函数关系称为这种物质的物态方程,或称状态方程。物态方程都显含有温度T。只有在压强趋于零时的气体才是理想气体，在理想气体条件下，一切不同化学组成的气体在热学性质上的差异趋于消失。理想气体物态方程：R=8.31普适气体常量另一形式：p=nkT 能严格满足理想气体物态方程的气体才是理想气体，理想气体虽然是一种理想模型，但常温

热力学与统计物理答案详解第二章的

第二章均匀物质的热力学性质 2.1 已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度. 试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加. 解：根据题设，气体的压强可表为 (),p f V T = （1）式中()f V 是体积V 的函数. 由自由能的全微分 dF SdT pdV =-- 得麦氏关系 .T V S p V T ??????= ? ??????? （2）将式（1）代入，有 ().T V S p p f V V T T ?????? === ? ? ?????? （3）由于0,0p T >>，故有0T S V ??? > ????. 这意味着，在温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加. 2.2 设一物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = 试证明其内能与体积无关. 解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = （1）故有 ().V p f V T ???= ???? （2）但根据式（2.2.7），有 ,T V U p T p V T ?????? =- ? ??????? （3）所以

()0.T U Tf V p V ???=-= ???? （4）这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数. 2.3 求证： ()0;H S a p ???< ???? ()0.U S b V ??? > ???? 解：焓的全微分为 .dH TdS Vdp =+ （1）令0dH =，得 0.H S V p T ???=-< ???? （2）内能的全微分为 .dU TdS pdV =- （3）令0dU =，得 0.U S p V T ??? => ? ??? （4） 2.4 已知0T U V ??? = ????，求证0.T U p ?? ?= ???? 解：对复合函数 (,)(,(,))U T P U T V T p = （1）求偏导数，有 .T T T U U V p V p ?????????= ? ? ?????????? （2）如果0T U V ??? = ????，即有 0.T U p ?? ?= ???? （3）式（2）也可以用雅可比行列式证明：

(完整版)圆的知识点归纳总结大全

圆的知识点归纳总结大全一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。（1）劣弧：小于半圆周的弧。（2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。（3）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。（2）推论： ?平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ?平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

（1）同弧所对的圆周角相等。（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ，OP=d 。 7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。（2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。（直角三角形的外心就是斜边的中点。） 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切；直线与圆没有交点，直线与圆相离。 2 9、平面直角坐标系中，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）。则AB=221221)()(y y x x -+- 10、圆的切线判定。（1）d=r 时，直线是圆的切线。 d = r 直线与圆相切。 d < r （r > d 直线与圆相交。 d > r （r d 点P 在⊙O 内 d > r （r

九年级化学第三章知识点总结

第三单元物质构成的奥秘第一节分子和原子一、分子和原子的异同分子原子定义分子是保持物质化学性质的最小粒子。原子是化学变化中的最小粒子。性质质量小、体积小；不断运动；有间隔；同种粒子的化学性质相同。联系分子是由原子构成的。分子、原子都是构成物质的微粒。区别在化学变化中，分子可以再分，而原子不可以再分。备注 1. 所有金属、稀有气体、金刚石（石墨）和硅是由原子构成的，其他大多数物质是由分子构成的。 2. 在受热的情况下，粒子能量增大，运动速率加快。 3. 物体的热胀冷缩现象，原因是构成物质的粒子的间隔受热时增大，遇冷时缩小。 4. 气体容易压缩是因为构成气体的粒子的间隔较大。 5. 不同液体混合后总体积小于原体积的和，说明粒子间是有间隔的。 6. 一种物质如果由分子构成，那么保持它化学性质的最小粒子是分子；如果它由原子构成，那么保持它化学性质的最小粒子是原子。二、验证分子运动的探究实验【实验操作】如右图，取适量的酚酞溶液，分别倒入A 、B 两个小烧杯中，另取一个小烧杯C ，加入约5mL 浓氨水。用一个大烧杯罩住A 、C 两个小烧杯，烧杯B 置于大烧杯外。观察现象。【实验现象】烧杯A 中的酚酞溶液由上至下逐渐变红。【实验结论】分子是不断运动的。【注意事项】浓氨水显碱性，能使酚酞溶液变红。浓氨水具有挥发性，能挥发出氨气。三、从微观角度解释问题 1. 用分子观点解释由分子构成的物质的物理变化和化学变化物理变化：没有新分子生成的变化。（水蒸发时水分子的间隔变大，但水分子本身没有变化，故为物理变化）化学变化：分子本身发生变化，有新分子生成的变化。（电解水时水分子变成了新物质的分子，故为化学变化） 2. 纯净物和混合物（由分子构成的物质）的区别：纯净物由同种分子构成，混合物由不同种分子构成。 3. 分子和原子的联系：分子是由原子构成的，同种原子结合成单质分子，不同种原子结合成化合物分子。 4. 分子和原子的本质区别：在化学变化中，分子可以再分，而原子不能再分。 5. 化学变化的实质：在化学变化过程中，分子裂变成原子，原子重新组合，形成新物质的分子。第二节原子的结构 1. 原子的构成

(完整版)人教版圆知识点总结

1．圆的有关概念： (1)圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。 ①表示方法：⊙O ，读作“圆O ” ②确定一个圆的条件：?? ?半径 —定长圆心—定点（2）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆（两个全等的圆）（3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（4）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．（5）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．（6）等弧：同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧。（7）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（8）等弧：同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧。 ( 9 ) 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，圆心是它的对称中心。知识点2 垂径定理及其推论垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；要点：①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弧（优弧、劣弧）；⑤平分圆心角推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧知识点3 圆周角定理圆周角定理: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，并且等于所对圆心角的一半推论1:直径（或半圆）所对的圆周角为90°，90°圆周角所对的弦是直径。总结：同圆或等圆中，① 弧相等——弦相等，圆心角相等，所对圆周角相等; ② 圆心角相等——弧相等，弦相等，所对圆周角相等； ③ 弦相等——弧相等，圆心角相等，同弧或等弧所对的圆周角相等; （注意：弦所对的圆周角有两种）知识点4 外接圆与内切圆相关概念（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心（4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（5）圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角知识点5 点与圆的位置点与圆的位置关系共有三种：

(完整word版)大学物理热学总结

大学物理热学总结 ( 注：难免有疏漏和不足之处，仅供参考。教材版本：高等教育出版社《大学物理学》) 热力学基础 1、体积、压强和温度是描述气体宏观性质的三个状态参量。 ①温度：表征系统热平衡时宏观状态的物理量。摄氏温标，t 表示，单位摄氏度（℃）。热力学温标，即开尔文温标，T 表示，单位开尔文，简称开（K ）。热力学温标的刻度单位与摄氏温标相同，他们之间的换算关系： T /K=273.15℃+ t 温度没有上限，却有下限，即热力学温标的绝对零度。温度可以无限接近0K ，但永远不能达到0K 。 ②压强：气体作用在容器壁单位面积上指向器壁的垂直作用力。单位帕斯卡，简称帕（Pa ）。其他：标准大气压（atm ）、毫米汞高（mmHg ）。 1 atm =1.01325×105 Pa = 760 mmHg ③体积：气体分子运动时所能到达的空间。单位立方米（m 3）、升（L ） 2、热力学第零定律：如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡，则这两个系统也必处于热平衡。该定律表明：处于同一热平衡状态的所有热力学系统都具有一个共同的宏观特征，这一特征可以用一个状态参量来表示，这个状态参量既是温度。 3、平衡态：对于一个孤立系统（与外界不发生任何物质和能量的交换）而言，如果宏观性质在经过充分长的时间后保持不变，也就是系统的状态参量不再岁时间改变，则此时系统所处的状态称平衡态。通常用p —V 图上的一个点表示一个平衡态。（理想概念） 4、热力学过程：系统状态发生变化的整个历程，简称过程。可分为： ①准静态过程：过程中的每个中间态都无限接近于平衡态，是实际过程进行的无限缓慢的极限情况，可用p —V 图上一条曲线表示。 ②非准静态过程：中间状态为非平衡态的过程。 5、理想气体状态方程: 一定质量的气体处于平衡态时，三个状态参量P.V .T 存在一定的关系，即气体的状态方程()0,,=T V P f 。理想气体p 、V 、T 关系状态方称2 22111T V P T V P =，设质量m ，摩尔质量M 的理想气体达标准状态，有 00000T V P M m T V P T PV m == 令00/T V P R m =,则有理想气体状体方程 RT M m PV = 式中1131.8--??=K mol J R ，为摩尔气体常量。

热力学与统计物理论文

负温度状态姓名：王军帅学号：20105052010 化学化工学院应用化学专业指导老师：胡付欣职称：教授摘要：通过分析负温度概念的引入，从理论上证明负温的存在，并论证实验上负温度的实现，在进步分析了负温度系统特征的基础上，引入了种新的温度表示法，使之与人们的习惯致。关键词：负温度;熵;能量;微观粒 Negative Temperature State Abstract：The concept of negative temperature was introduced Its existence was proved theoretically and its realization in experiment also discussed after analysis of the negative temperature system characteristic，one kind of new temperature express is used in order to consistent with the common express. Key words: negative temperature; entropy; energy; microparticle 引言温度是热学中非常重要的一个物理量，可以说任何热力学量都与温度有关.描述物体冷热程度的物理量—开尔文温度—一般都是大于零的，由热力学第三定律可知“绝对零度是不可能达到的”，也就是说自然界的低温极限是绝对零度，即-273.16℃.以OK作为坐标原点，通常意义上的温度一般就在原点的右半轴上，其范围就是零到值总为正。那么有没有负温度呢？左半轴是不是可以用负温度来对应呢？它表示的温度是不是更低呢？此时系统的热力学性质又将会怎么样呢？这些问题激起人们对温度的疑惑与兴趣. 1.负温度概念的引入通常所说的温度与系统微观粒子的运动状态有关，随着温度的升高，粒子的能量也升高，粒子运动就会越激烈，无序度也会增加:在低温时，高能量粒子的数目总是少于低能量粒子的数目，所以随着温度的升高，高能量粒子数目逐渐增