4简谐振动习题
四、简谐振动习题
4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动: (1)拍皮球时球的运动;
(2)如题4-1图所示,一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短).
题4-1图
解:要使一个系统作谐振动,必须同时满足以下三个条件:一 ,描述系统的各种参量,如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量;二,系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动;三,在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用. 或者说,若一个系统的运动微分方程能用
0d d 222=+ξωξ
t
描述时,其所作的运动就是谐振动.
(1)拍皮球时球的运动不是谐振动.第一,球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置; 第二,球在运动中所受的三个力:重力,地面给予的弹力,击球者给予的拍击力,都不是线 性回复力.
(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动,是谐振动.显然,小球在运动过程中 ,各种参量均为常量;该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点,即系统势能最小值位置点O ;而小球在运动中的回复力为θsin mg -,如题4-1图(b)所
示.题 中所述,S ?<<R ,故R
S
?=θ→0,所以回复力为θmg -.式中负号,表示回复力的方向始终与角位移的方向相反.即小球在O 点附近的往复运动中所受回复力为线性的.若以小球为对象,则小球在以O '为圆心的竖直平面内作圆周运动,由牛顿第二定律,
在凹槽切线方向上有
θθ
mg t
mR -=22d d
令R
g
=
2
ω,则有 0d d 222=+ωθ
t
4-2 劲度系数为1k 和2k 的两根弹簧,与质量为m 的小球按题4-2图所示的两种方式连 接,试证明它们的振动均为谐振动,并分别求出它们的振动周期.
题4-2图
解:(1)图(a)中为串联弹簧,对于轻弹簧在任一时刻应有21F F F ==,设串联弹簧的等效倔强系数为串K 等效位移为x ,则有
1
11x k F x k F -=-=串
222x k F -=
又有 21x x x +=
2
211k F k F k F
x +==
串 所以串联弹簧的等效倔强系数为
2
12
1k k k k k +=
串
即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为)/(2121k k k k k +=的弹簧振子系统,故小球作谐振动.其振动周期为
2
121)(222k k k k m k m
T +===
ππ
ω
π
串 (2)图(b)中可等效为并联弹簧,同上理,应有21F F F ==,即21x x x ==,设并联弹簧的倔强系数为并k ,则有
2211x k x k x k +=并
故 21k k k +=并 同上理,其振动周期为
2
12k k m
T +='π
4-3 如题4-3图所示,物体的质量为m ,放在光滑斜面上,斜面与水平面的夹角为θ,弹簧的倔强系数为k ,滑轮的转动惯量为I ,半径为R .先把物体托住,使弹簧维持原长,然 后由静止释放,试证明物体作简谐振动,并求振动周期.
题4-3图
解:分别以物体m 和滑轮为对象,其受力如题4-3图(b)所示,以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点,沿斜面向下为x 轴正向,则当重物偏离原点的坐标为x 时,有
221d d sin t
x
m T m g =-θ ①
βI R T R T =-21 ②
βR t
x
=22d d )(02x x k T += ③
式中k mg x /sin 0θ=,为静平衡时弹簧之伸长量,联立以上三式,有
kxR t
x
R I mR -=+22d d )(
令 I
mR kR +=22
2
ω
则有
0d d 222=+x t
x
ω 故知该系统是作简谐振动,其振动周期为
)/2(222
2
2K R I m kR I mR T +=+==ππωπ
4-4 质量为kg 10103
-?的小球与轻弹簧组成的系统,
按)SI ()3
28cos(1.0π
π+=x 的规律
作谐振动,求:
(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值;
(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能,在哪些位置上动能与势能相等? (3)s 52
=t 与s 11=t 两个时刻的位相差;
解:(1)设谐振动的标准方程为)cos(0φω+=t A x ,则知:
3/2,s 4
1
2,8,m 1.00πφω
π
πω==
=
∴==T A 又 πω8.0==A v m 1s m -? 51.2=1
s m -?
2.632==A a m ω2s m -?
(2) N 63.0==m m a F
J 1016.32
122
-?==
m mv E J 1058.121
2-?===E E E k p
当p k E E =时,有p E E 2=, 即
)2
1(212122kA kx ?= ∴ m 20
2
22±=±
=A x (3) ππωφ32)15(8)(12=-=-=?t t
4-5 一个沿x 轴作简谐振动的弹簧振子,振幅为A ,周期为T ,其振动方程用余弦函数
表示.如果0=t 时质点的状态分别是:
(1)A x -=0;
(2)过平衡位置向正向运动; (3)过2
A
x =
处向负向运动; (4)过2
A x -
=处向正向运动.
试求出相应的初位相,并写出振动方程.
解:因为 ???-==00
0sin cos φωφA v A x
将以上初值条件代入上式,使两式同时成立之值即为该条件下的初位相.故有
)2cos(
1ππ
π
φ+==t T A x )23
2cos(2
32πππφ+==t T A x
)32cos(3
3π
ππ
φ+==
t T A x
)45
2cos(4
54πππφ+==
t T A x
4-6 一质量为kg 10103-?的物体作谐振动,振幅为cm 24,周期为s 0.4,当0=t 时位移为cm 24+.求:
(1)s 5.0=t 时,物体所在的位置及此时所受力的大小和方向; (2)由起始位置运动到cm 12=x 处所需的最短时间; (3)在cm 12=x 处物体的总能量.
解:由题已知 s 0.4,m 10242=?=-T A ∴ 1s rad 5.02-?==ππ
ωT
又,0=t 时,0,00=∴+=φA x 故振动方程为
m )5.0cos(10242t x π-?=
(1)将s 5.0=t 代入得
0.17m m )5.0cos(102425.0=?=-t x π
N
102.417.0)2
(10103
23
2--?-=???-=-=-=π
ωx
m ma F
方向指向坐标原点,即沿x 轴负向. (2)由题知,0=t 时,00=φ,
t t =时 3
,0,20πφ=<+
=t v A x 故且 ∴ s 3
2
2/3==?=ππωφt (3)由于谐振动中能量守恒,故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为
J
101.7)24.0()2(10102121
214223222--?=???===
π
ωA m kA E 4-7 有一轻弹簧,下面悬挂质量为g 0.1的物体时,伸长为cm 9.4.用这个弹簧和一个质量为g 0.8的小球构成弹簧振子,将小球由平衡位置向下拉开cm 0.1后 ,给予向上的初速度
10s cm 0.5-?=v ,求振动周期和振动表达式.
解:由题知 1
2
311m N 2.010
9.48.9100.1---?=???==x g m k
而0=t 时,-12020s m 100.5m,100.1??=?-=--v x ( 设向上为正) 又 s 26.12,51082.03
===?==
-ωπωT m k 即 m
102)5100.5()100.1()(
2222
22
2
0---?=?+?=+=∴
ω
v x A
4
5,15100.1100.5tan 0
22000π
φωφ==???=-=--即x v ∴ m )4
5
5cos(1022π+?=
-t x
4-8 图为两个谐振动的t x -曲线,试分别写出其谐振动方程.
题4-8图
解:由题4-8图(a),∵0=t 时,s 2,cm 10,,2
3
,0,0000===∴>=T A v x 又πφ 即 1s rad 2-?==
ππωT
故 m )2
3
cos(1.0ππ+
=t x a 由题4-8图(b)∵0=t 时,3
5,0,2000π
φ=∴>=v A x
01=t 时,2
2,0,0111π
πφ+
=∴<=v x
又 ππωφ2
535
11=+?= ∴ πω6
5=
故 m t x b )3
56
5cos(1.0ππ+
= 4-9 一轻弹簧的倔强系数为k ,其下端悬有一质量为M 的盘子.现有一质量为m 的物体从离盘底h 高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起,于是盘子开始振动.
(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? (2)此时的振动振幅多大?
(3)取平衡位置为原点,位移以向下为正,并以弹簧开始振动时作为计时起点,求初位相并写出物体与盘子的振动方程. 解:(1)空盘的振动周期为k M π
2,落下重物后振动周期为k
m M +π2,即增大. (2)按(3)所设坐标原点及计时起点,0=t 时,则k
mg
x -=0.碰撞时,以M m ,为一系统动量守恒,即
0)(2v M m gh m +=
则有 M
m gh
m v +=20
于是
g
M m kh
k mg M m gh m k mg v x A )(21)
)
(2()()(2
222
2
++=
++=+=ω
(3)g
m M kh
x v )(2tan 000+=
-
=ωφ (第三象限),所以振动方程为 ??
?
???+++++
=g m M kh t M m k g
M m kh
k m g x )(2arctan cos )(21
4-10 有一单摆,摆长m 0.1=l ,摆球质量kg 10103
-?=m ,当摆球处在平衡位置时,若给小球一水平向右的冲量1
4s m kg 100.1--???=?t F ,取打击时刻为计时起点)0(=t ,求
振动的初位相和角振幅,并写出小球的振动方程. 解:由动量定理,有
0-=??mv t F
∴ 1-3
4
s m 01.0100.1100.1?=??=??=--m t F v
按题设计时起点,并设向右为x 轴正向,则知0=t 时,1
00s m 01.0,0-?==v x >0
∴ 2/30πφ= 又 1s rad 13.30
.18.9-?===
l g ω
∴ m 102.313
.301
.0)(
30
20
20-?==
=
+=ω
ω
v v x A 故其角振幅
rad 102.33-?==
Θl
A
小球的振动方程为
rad )2
313.3cos(102.33πθ+?=-t
4-11 有两个同方向、同频率的简谐振动,其合成振动的振幅为m 20.0,位相与第一振动的位相差为
6
π
,已知第一振动的振幅为m 173.0,求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差.
题4-11图
解:由题意可做出旋转矢量图如下. 由图知
01
.02/32.0173.02)2.0()173.0(30cos 222122122=???-+=?
-+=A A A A A
∴ m 1.02=A 设角θ为O AA 1,则
θcos 2212
2212A A A A A -+=
即 0
1
.0173.02)02.0()1.0()173.0(2cos 2
222122
221=??-+=
-+=A A A A A θ 即2
π
θ=
,这说明,1A 与2A 间夹角为
2π,即二振动的位相差为2
π
. 4-12 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅:
(1) ?????+=+=cm )373cos(5cm )33cos(521ππt x t x (2)??
???
+=+=cm
)343cos(5cm )33cos(521
π
πt x t x 解: (1)∵ ,23
3712ππ
πφφφ=-=
-=?
∴合振幅 cm 1021=+=A A A
(2)∵ ,3
34ππ
πφ=-=
? ∴合振幅 0=A
4-13 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动,振动方程为
??
???
-=+=m
)65
2cos(3.0m )62cos(4.021
ππt x t x 试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相,并写出谐振方程。 解:∵ πππ
φ=--=
?)6
5
(6 ∴ m 1.021=-=A A A 合
3365cos
3.06cos
4.065sin
3.06sin
4.0cos cos sin sin tan 22122211=+-?=
++=πππ
π
φφφφφA A A A ∴ 6
π
φ=
其振动方程为
m )6
2cos(1.0π
+
=t x
(作图法略) *
4-14 如题4-14图所示,两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆,已知x 方向的振动方程为cm 2cos 6t x π=,求y 方向的振动方程.
题4-14图
解:因合振动是一正椭圆,故知两分振动的位相差为2
π或23π;又,轨道是按顺时针方向旋
转,故知两分振动位相差为
2
π
.所以y 方向的振动方程为 cm )2
2cos(12π
π+=t y
一简谐运动练习题及答案
一、简谐运动 班级姓名 一.选择题(每小题中至少有一个选项是正确的) 1.随着电信业的发展,手机是常用的通信工具,当来电话时,它可以用振动来提示人们。振动原理很简单:是一个微型电动机带动转轴上的叶片转动。当叶片转动后,电动机就跟着振动起来。其中叶片的形状你认为是下图中的() 2.关于机械振动,下列说法正确的是()A.往复运动就是机械振动B.机械振动是靠惯性运动的,不需要有力的作用C.机械振动是受回复力作用D.回复力是物体所受的合力 3.下述说法中正确的是()A.树枝在风中摇动是振动B.拍篮球时,篮球的运动是振动 C.人走路时手的运动是振动 D.转动的砂轮的边缘上某点的运动是振动,圆心可以看作是振动中心 4.关于简谐运动的动力学公式F=-kx,以下说法中正确的是()A.k是弹簧倔强系数,x是弹簧长度 B.k是回复力跟位移的比例常数,x是做简谐振动的物体离开平衡位置的位移 C.对于弹簧振子系统,k是倔强系数,它表示弹簧的性质 D.因为k=F/x,所以k与F成正比 5.关于简谐运动的有关物理量,下列说法中错误的是()A.回复力方向总是指向平衡位置. B.向平衡位置运动时,加速度越来越小,速度也越来越小. C.加速度和速度方向总是跟位移方向相反. D.速度方向有时跟位移方向相同,有时相反. 6.作简谐运动的物体每次通过同一位置时,都具有相同的()A.加速度.B.动量.C.动能. D.位移.E.回复力.F.速度. 7.简谐运动是一种:( ) A.匀速运动B.变速运动C.匀加速运动 D.变加速运动E.匀减速运动 8.如图所示,弹簧振子以O点为平衡位置作简谐振动,当它从C向O点运动的过程中,位移方向及其大小的变化是()A.向右,逐渐增大B.向右,逐渐减小 C.向左,逐渐增大D.向左,逐渐减小 9.如图所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在A、
气轨上的弹簧简谐振动实验报告
气轨上弹簧振子的简谐振动 目的要求: (1)用实验方法考察弹簧振子的振动周期与系统参量的关系并测定弹簧的劲度系数和有效质量。 (2)观测简谐振动的运动学特征。 (3)测量简谐振动的机械能。 仪器用具: 气轨(自带米尺,2m,1mm),弹簧两个,滑块,骑码,挡光刀片,光电计时器,电子天平(0.01g),游标卡尺(0.05mm),螺丝刀。 实验原理: (一)弹簧振子的简谐运动过程: 质量为 m1的质点由两个弹簧与连接,弹簧的劲度系数分别 为k1和 k2,如下图所示: 当 m1偏离平衡位置 x时,所受到的弹簧力合力为 令 k=,并用牛顿第二定律写出方程 解得 X=Asin() 即其作简谐运动,其中 在上式中,是振动系统的固有角频率,是由系统本身决定的。m=m 1+m0是振动系统的有效质量, m 0是弹簧的有效质量,A是振幅,是初相位,A和由起始条件决定。系统的振动周期为
通过改变测量相应的 T,考察 T 和的关系,最小二乘法线性拟合求出 k 和 (二)简谐振动的运动学特征: 将()对 t 求微分 ) 可见振子的运动速度 v 的变化关系也是一个简谐运动,角频率为,振幅为,而且 v 的相位比 x 超前 . 消去 t,得 v2=v02(v2?v2) x=A时,v=0,x=0 时,v 的数值最大,即 实验中测量 x和 v 随时间的变化规律及 x和 v 之间的相位关系。 从上述关系可得 (三)简谐振动的机械能: 振动动能为 系统的弹性势能为 则系统的机械能 式中:k 和 A均不随时间变化。上式说明机械能守恒,本实验通过测定不同 位置 x上 m 1的运动速度 v,从而求得和,观测它们之间的相互转换并验证机械能守恒定律。 (四)实验装置: 1.气轨设备及速度测量 实验室所用气轨由一根约 2m 长的三角形铝材做成,气轨的一端堵死,另 一端送入压缩空气,气轨的两个方向上侧面各钻有两排小孔,空气从小孔喷出。把用合金铝做成的滑块放在气轨的两个喷气侧面上,滑块的表面经过精加工与
绝对值计算化简专项练习30题(有答案)OK(新)
绝对值计算化简专项练习30题(有答案)1.已知a、b、c在数轴上的位置如图所示,化简:|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a﹣b| 2.有理数a,b,c在数轴上的对应位置如图,化简:|a﹣b|+|b﹣c|+|a﹣c|. 3.已知xy<0,x<y且|x|=1,|y|=2. (1)求x和y的值; (2)求的值. 4.计算:|﹣5|+|﹣10|÷|﹣2|. 5.当x<0时,求的值. 6.若abc<0,|a+b|=a+b,|a|<﹣c,求代数式的值.
7.若|3a+5|=|2a+10|,求a的值. 8.已知|m﹣n|=n﹣m,且|m|=4,|n|=3,求(m+n)2的值. 9.a、b在数轴上的位置如图所示,化简:|a|+|a﹣b|﹣|a+b|. 10.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,试化简下式:|a﹣c|﹣|a﹣b|﹣|b﹣c|+|2a|. 11.若|x|=3,|y|=2,且x>y,求x﹣y的值. 12.化简:|3x+1|+|2x﹣1|. 13.已知:有理数a、b在数轴上对应的点如图,化简|a|+|a+b|﹣|1﹣a|﹣|b+1|.
14.++=1,求()2003÷(××)的值. 15.(1)|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值? (2)|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣1|的最小值? (3)|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣20|的最小值? 16.计算:|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣| 17.若a、b、c均为整数,且|a﹣b|3+|c﹣a|2=1,求|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|的值. 18.已知a、b、c三个数在数轴上对应点如图,其中O为原点,化简|b﹣a|﹣|2a﹣b|+|a﹣c|﹣|c|.
大学物理振动习题含答案
一、选择题: 1.3001:把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开,使摆线与竖直方向成一 微小角度 ,然后由静止放手任其振动,从放手时开始计时。若用余弦函数表示其 运动方程,则该单摆振动的初相为 (A) (B) /2 (C) 0 (D) [ ] 2.3002:两个质点各自作简谐振动,它们的振幅相同、周期相同。第一个质 点的振动方程为x 1 = A cos(t + )。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处 回到平衡位置时,第二个质点正在最大正位移处。则第二个质点的振动方程为: (A) )π21cos(2++=αωt A x (B) )π21cos(2-+=αωt A x (C) )π23cos(2-+=αωt A x (D) )cos(2π++=αωt A x [ ] 3.3007:一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻弹簧下面,振动角频率为。 若把此弹簧分割成二等份,将物体m 挂在分割后的一根弹簧上,则振动角频率是 (A) 2 (B) ω2 (C) 2/ω (D) /2 [ ] 4.3396:一质点作简谐振动。其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述,则其初相应为 (A) /6 (B) 5/6 (C) -5/6 (D) -/6 (E) -2/3 [ 5.3552:一个弹簧振子和一个单摆(只考虑小幅度摆动),在地面上的固有 振动周期分别为T 1和T 2。将它们拿到月球上去,相应的周期分别为1T '和2T '。则有 (A) 11T T >'且22T T >' (B) 11T T <'且22T T <' (C) 11T T ='且22T T =' (D) 11T T ='且22T T >' [ ] 6.5178:一质点沿x 轴作简谐振动,振动方程为 )312cos(1042π+π?=-t x (SI)。从t = 0时刻起,到质点位置在x = -2 cm 处,且向x 轴正方向运动的最 短时间间隔为 (A) s 81 (B) s 61 (C) s 41 (D) s 31 (E) s 21 [ ] 7.5179:一弹簧振子,重物的质量为m ,弹簧的劲度系数为k ,该振子作振 幅为A 的简谐振动。当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时,开始计时。 则其振动方程为: v 21
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简谐运动练习题 一、基础题 1.如图所示,是一列简谐横波在某时刻的波形图. 若此时质元P 正处于加速运动过程中, 则此时 ( ) y/m Q P O x/m N A. 质元 Q和质元 N均处于加速运动过程中 B. 质元 Q和质元 N均处于减速运动过程中 C. 质元 Q处于加速运动过程中,质元N 处于减速运动过程中 D. 质元 Q处于减速运动过程中,质元N 处于加速运动过程中 2.一质点做简谐运动,先后以相同的速度依次通过A、 B 两点,历时1s,质点通过B 点后再经过1s 又第 2 次通过 B 点,在这两秒钟内,质点通过的总路程为12cm,则质点的振动周期和振幅分别为() A. 3s, 6cm B.4s,6cm C.4s,9cm D.2s,8cm 3.一物体置于一平台上,随平台一起在竖直方向上做简谐运动,则 A.当平台振动到最高点时,物体对平台的正压力最大 B.当平台振动到最低点时,物体对平台的正压力最大 C.当平台振动经过平衡位置时,物体对平台的正压力为零 D.物体在上下振动的过程中,物体的机械能保持守恒 4.一列平面简谐波,波速为20 m/s ,沿 x 轴正方向传播,在某一时刻这列波的图象, 由图可知 () A. 这列波的周期是0.2 s B. 质点 P、Q此时刻的运动方向都沿y 轴正方向 C. 质点 P、R 在任意时刻的位移都相同 D. 质点 P、S 在任意时刻的速度都相同 5.弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动,在振子向平衡位置运动的过程中()A.振子所受回复力逐渐减小B.振子位移逐渐减小 C.振子速度逐渐减小D.振子加速度逐渐减小 6.某物体在 O 点附近做往复运动,其回复力随偏离平衡位置的位移变化规律如图所示, 物体做简谐运动的是 F F F F
简谐振动特性研究实验
实验一、简谐振动特性研究与弹簧劲度系数测量【实验目的】 1. 胡克定律的验证与弹簧劲度系数的测量; 2. 测量弹簧的简谐振动周期,求得弹簧的劲度系数; 3. 测量两个不同弹簧的劲度系数,加深对弹簧的劲度系数与它的线径、外径关系的了解。 4. 了解并掌握集成霍耳开关传感器的基本工作原理和应用方法。 【实验原理】 1. 弹簧在外力作用下将产生形变(伸长或缩短)。在弹性限度内由胡克定律知:外力和它的变形量成正比,即: (1) (1)式中,为弹簧的劲度系数,它取决于弹簧的形状、材料的性质。通过测量和的对应关系,就可由(1)式推算出弹簧的劲度系数。 2. 将质量为的物体挂在垂直悬挂于固定支架上的弹簧的下端,构成一个弹簧振子,若物体在外力作用下(如用手下拉,或向上托)离开平衡位置少许,然后释放,则物体就在平衡点附近做简谐振动,其周期为: (2) 式中是待定系数,它的值近似为,可由实验测得,是弹簧本身的质量,而被称为弹簧的有效质量。通过测量弹簧振子的振动周期,就可由(2)式计算出弹簧的劲度系数。 3. 磁开关(磁场控制开关): 如图1所示,集成霍耳传感器是一种磁敏开关。在“1脚”和“2 脚”间加直流电压,“1脚”接电源正极、“2脚”接电源负极。当垂直于该传感器的磁感应强度大于某值时,该传感器处于“导通”状 态,这时处于“”脚和“”脚之间输出电压极小,近似为零,当磁感
强度小于某值时,输出电压等于“1脚”、“2脚”端所加的电源电压,利用集成霍耳开关这个特性,可以将传感器输出信号输入周期测定仪,测量物体转动的周期或物体移动所经时间。 【实验仪器】 FB737新型焦利氏秤实验仪1台,FB213A型数显计时计数毫秒仪 【实验步骤】 1. 用拉伸法测定弹簧劲度系数:(不使用毫秒仪) (1)按图2,调节底板的三个水平调节螺丝,使重锤尖端对准重锤基准的尖端。 (2)在主尺顶部安装弹簧,再依次挂入带配重的指针吊钩、砝码托盘,松开顶端挂钩锁紧螺钉,旋转顶端弹簧挂钩,使小指针正好轻轻靠在平面镜上(注意:力度要适当,若靠得太紧,可能会因摩擦太大带来附加的系统误差),以便准确读数。这时因初始砝码等已使弹簧被拉伸了一段距离。(可参考说明书中的装置图)
七年级数数学绝对值化简专题训练试题
绝对值的知识是初中代数的重要内容,在中考和各类竞赛中经常出现,含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一,解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义,将绝对值符号化去,将问题转化为不含绝对值符号的问题,确定绝对值符号内部分的正负,借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。 一、根据题设条件 例1 设化简的结果是()。 (A)(B)(C)(D) 思路分析由可知可化去第一层绝对值符号,第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去. 解 ∴应选(B). 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零,就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号,这是解答这类问题的常规思路. 二、借助数轴 例2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则代数式的值等于(). (A)(B)(C)(D) 思路分析由数轴上容易看出,这就为去掉绝对值符号扫清了障碍. 解原式 ∴应选(C).
归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上,借助数轴提供的信息让人去观察,一定弄清: 1.零点的左边都是负数,右边都是正数. 2.右边点表示的数总大于左边点表示的数. 3.离原点远的点的绝对值较大,牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了. 三、采用零点分段讨论法 例3 化简 思路分析本类型的题既没有条件限制,又没有数轴信息,要对各种情况分类讨论,可采用零点分段讨论法,本例的难点在于的正负不能确定,由于x是不断变化的,所以它们为正、为负、为零都有可能,应当对各种情况—一讨论. 解令得零点:; 令得零点:, 把数轴上的数分为三个部分(如图) ①当时, ∴原式 ②当时,, ∴原式 ③当时,,
∴原式 ∴ 归纳点评虽然的正负不能确定,但在某个具体的区段内都是确定的,这正是零点分段讨论法的优点,采用此法的一般步骤是: 1.求零点:分别令各绝对值符号内的代数式为零,求出零点(不一定是两个). 2.分段:根据第一步求出的零点,将数轴上的点划分为若干个区段,使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定. 3.在各区段内分别考察问题. 4.将各区段内的情形综合起来,得到问题的答案. 误区点拨千万不要想当然地把等都当成正数或无根据地增加一些附加条件,以免得出错误的结果. 练习: 请用文本例1介绍的方法解答l、2题 1.已知a、b、c、d满足且,那么 2.若,则有()。 (A)(B)(C)(D) 请用本文例2介绍的方法解答3、4题 3.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则式子化简结果为().
6.机械振动习题及答案
一、 选择题 1、一质点作简谐振动,其运动速度与时间的曲线如图所示,若质点的振动按余弦函数描述,则其初相为 [ D ] (A ) 6π (B) 56π (C) 56π- (D) 6π- (E) 23 π- 2、已知一质点沿y 轴作简谐振动,如图所示。其振动方程为3cos()4 y A t π ω=+,与之对应的振动曲线为 [ B ] 3、一质点作简谐振动,振幅为A ,周期为T ,则质点从平衡位置运动到离最大 振幅 2A 处需最短时间为 [ B ] (A );4T (B) ;6T (C) ;8 T (D) .12T 4、如图所示,在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m 的物体,再用此弹簧改系一质量为m 4的物体,最后将此弹簧截断为两个弹簧后并联悬挂质量为m 的物体, 此三个系统振动周期之比为 (A);2 1 : 2:1 (B) ;2:21:1 [ C ] (C) ;21:2:1 (D) .4 1 :2:1
5、一质点在x 轴上作简谐振动,振幅cm A 4=,周期s T 2=,其平衡位置取坐标原点。若0=t 时刻质点第一次通过cm x 2-=处,且向x 轴负方向运动,则质点第二次通过cm x 2-=处的时刻为 (A);1s (B) ;32s (C) ;34 s (D) .2s [ B ] 6、一长度为l ,劲度系数为k 的均匀轻弹簧分割成长度分别为21,l l 的两部分, 且21nl l =,则相应的劲度系数1k ,2k 为 [ C ] (A );)1(,121k n k k n n k +=+= (B );11,121k n k k n n k +=+= (C) ;)1(,121k n k k n n k +=+= (D) .1 1 ,121k n k k n n k +=+= 7、对一个作简谐振动的物体,下面哪种说法是正确的 [ C ] (A ) 物体处在运动正方向的端点时,速度和加速度都达到最大值; (B ) 物体位于平衡位置且向负方向运动时,速度和加速度都为零; (C ) 物体位于平衡位置且向正方向运动时,速度最大,加速度为零; (D ) 物体处于负方向的端点时,速度最大,加速度为零。 8、 一个质点作简谐振动,振幅为A ,在起始时刻质点的位移为 A 2 1 ,且向x 轴的正方向运动,代表此简谐振动的旋转矢量图为 [ B ]
(完整版)机械振动和机械波练习题【含答案】
机械振动和机械波练习题 一、选择题 1.关于简谐运动的下列说法中,正确的是[ ] A.位移减小时,加速度减小,速度增大 B.位移方向总跟加速度方向相反,跟速度方向相同 C.物体的运动方向指向平衡位置时,速度方向跟位移方向相反;背向平衡位置时,速度方向跟位移方向相同 D.水平弹簧振子朝左运动时,加速度方向跟速度方向相同,朝右运动时,加速度方向跟速度方向相反 2.弹簧振子做简谐运动时,从振子经过某一位置A开始计时,则[ ] A.当振子再次与零时刻的速度相同时,经过的时间一定是半周期 B.当振子再次经过A时,经过的时间一定是半周期 C.当振子的加速度再次与零时刻的加速度相同时,一定又到达位置A D.一定还有另一个位置跟位置A有相同的位移 3.如图1所示,两木块A和B叠放在光滑水平面上,质量分别为m和M,A与B之间的最大静摩擦力为f,B与劲度系数为k的轻质弹簧连接构成弹簧振子。为使A和B在振动过程中不发生相对滑动,则[ ] 4.若单摆的摆长不变,摆球的质量增为原来的4倍,摆球经过平衡位置时的速度减少为原来的二分之一,则单摆的振动跟原来相比 [ ] A.频率不变,机械能不变B.频率不变,机械能改变 C.频率改变,机械能改变D.频率改变,机械能不变 5.一质点做简谐运动的振动图象如图2所示,质点在哪两段时间内的速度与加速度方向相同[ ] A.0~0.3s和0.3~0.6s B.0.6~0.9s和0.9~1.2s C.0~0.3s和0.9~1.2s D.0.3~0.6s和0.9~1.2s
6.如图3所示,为一弹簧振子在水平面做简谐运动的位移一时间图象。则此振动系统[ ] A.在t1和t3时刻具有相同的动能和动量 B.在t3和t4时刻振子具有相同的势能和动量 C.在t1和t4时刻振子具有相同的加速度 D.在t2和t5时刻振子所受回复力大小之比为2∶1 7.摆A振动60次的同时,单摆B振动30次,它们周期分别为T1和T2,频率分别为f1和f2,则T1∶T2和f1∶f2分别等于[ ] A.2∶1,2∶1B.2∶1,1∶2 C.1∶2,2∶1 D.1∶1,1∶2 8.一个直径为d的空心金属球壳内充满水后,用一根长为L的轻质细线悬挂起来形成一个单摆,如图4所示。若在摆动过程中,球壳内的水从底端的小孔缓慢泄漏,则此摆的周期[ ] B.肯定改变,因为单摆的摆长发生了变化 C.T1先逐渐增大,后又减小,最后又变为T1 D.T1先逐渐减小,后又增大,最后又变为T1 9.如图5所示,AB为半径R=2m的一段光滑圆糟,A、B两点在同一水平高度上,且AB弧长20cm。将一小球由A点释放,则它运动到B点所用时间为[ ]
绝对值化简方法辅导
下面我们就人大附中初一学生的家庭作业进行讲解如何对绝对值进行化简 首先我们要知道绝对值化简公式: 例题1:化简代数式 |x-1| 可令x-1=0,得x=1 (1叫零点值) 根据x=1在数轴上的位置,发现x=1将数轴分为3个部分 1)当x<1时,x-1<0,则|x-1|=-(x-1)=-x+1 2)当x=1时,x-1=0,则|x-1|=0 3)当x>1时,x-1>0,则|x-1|=x-1 另解,在化简分组过程中我们可以把零点值归到零点值右侧的部分 1)当x<1时,x-1<0,则|x-1|=-(x-1)=-x+1 2)当x≥1时,x-1≥0,则|x-1|=x-1 例题2:化简代数式 |x+1|+|x-2| 解:可令x+1=0和x-2=0,得x=-1和x=2(-1和2都是零点值) 在数轴上找到-1和2的位置,发现-1和2将数轴分为5个部分 1)当x<-1时,x+1<0,x-2<0,则|x+1|+|x-2|=-(x+1)-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1 2)当x=-1时,x+1=0,x-2=-3,则|x+1|+|x-2|=0+3=3 3)当-1
4简谐振动习题
四、简谐振动习题 4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动: (1)拍皮球时球的运动; (2)如题4-1图所示,一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短). 题4-1图 解:要使一个系统作谐振动,必须同时满足以下三个条件:一 ,描述系统的各种参量,如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量;二,系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动;三,在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用. 或者说,若一个系统的运动微分方程能用 0d d 222=+ξωξ t 描述时,其所作的运动就是谐振动. (1)拍皮球时球的运动不是谐振动.第一,球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置; 第二,球在运动中所受的三个力:重力,地面给予的弹力,击球者给予的拍击力,都不是线 性回复力. (2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动,是谐振动.显然,小球在运动过程中 ,各种参量均为常量;该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点,即系统势能最小值位置点O ;而小球在运动中的回复力为θsin mg -,如题4-1图(b)所 示.题 中所述,S ?<<R ,故R S ?=θ→0,所以回复力为θmg -.式中负号,表示回复力的方向始终与角位移的方向相反.即小球在O 点附近的往复运动中所受回复力为线性的.若以小球为对象,则小球在以O '为圆心的竖直平面内作圆周运动,由牛顿第二定律, 在凹槽切线方向上有 θθ mg t mR -=22d d 令R g = 2 ω,则有 0d d 222=+ωθ t 4-2 劲度系数为1k 和2k 的两根弹簧,与质量为m 的小球按题4-2图所示的两种方式连 接,试证明它们的振动均为谐振动,并分别求出它们的振动周期.
气垫弹簧振子的简谐振动实验报告
××大学实验报告 学院:×× 系:物理系专业:×× 年级:××级 姓名:×× 学号:×× 实验时间:×× 指导教师签名:_______________ 实验四:气垫弹簧振子的简谐振动 一.实验目的与要求: 1. 考察弹簧振子的振动周期与振动系统参量的关系。 2. 学习用图解法求出等效弹簧的倔强系数和有效质量。 3. 学会气垫调整与试验方法。 二.实验原理: 1.弹簧的倔强系数 弹簧的伸长量x 与它所受的拉力成正比 F=kx k=X F 2.弹簧振子的简谐运动方程 根据牛顿第二定律,滑块m 1 的运动方程为 -k 1(x+x 01)-k 2(x-x 02)=m 2 2dt x d ,即-(k 1+k 2)x=m 2 2dt x d 式中,m=m 1+m 0(系统有效质量),m 0是弹簧有效质量,m 1是滑块质量。令 k=k 1+k 2,则 -kx= m 2 2dt x d 解为x=A sin (ω0t+ψ0 ),ω0= m k = m k k 2 1+ 而系统振动周期 T 0=0 2ωπ=2π k m
当 m 0《 m 1时,m 0=3 s m ,m s 是弹簧的实际质量(m 0与m s 的关系可简单写成 m 0=3 m s )。 本实验通过改变m 1测出相应的T ,以资考察T 和m 的关系,从而求出m 0和 k 。 三.主要仪器设备: 气垫导轨、滑块(包括挡光刀片)、光电门、测时器、弹簧。 四.实验内容及实验数据记录: 1.气垫导轨水平的调节 使用开孔挡光片,智能测时器选在2pr 功能档。让光电门A 、B 相距约60cm (取导轨中央位置),给滑块以一定的初速度(Δ t 1和Δt 2控制在20-30ms 内),让 它在导轨上依次通过两个光电门.若在同一方向上运动的Δ t 1和Δt 2的相对 误差小于3%,则认为导轨已调到水平.否则重新调整水平调节旋钮。 2.研究弹簧振子的振动周期与振幅的关系 先将测时器设置于6pd (测周期)功能档。按动选择钮,屏幕显示6pd 时,按动执行键,显示为0。每按一次选择键,显示加1;当达到预定值(如预置数为n =6,则表示测3个周期的时间)后,将滑块拉离平衡点6.00厘米(即选定某一振幅),再按执行键,放手让其运动,进入测周期操作。当屏幕上显示预置数减为0后,显示屏上出现总时间t ;由此可得周期T = n t 2。 再重新测量几次并取平均值。并测量滑块和弹簧的质量,利用T 0= 2ωπ =2π k m 计算弹簧的倔强系数。取不同的振幅测量,探讨周期与振幅是否有关。 3.观测简谐振动周期T 与m 的关系,并求出k 与弹簧的有效质量m 0。
第三讲 绝对值提高题
第三讲绝对值 1、绝对值的几何意义:在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值. 2、绝对值运算法则:一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的 绝对值是它的相反数;零的绝对值是零.即: 3、绝对值性质:任何一个实数的绝对值是非负数. 二典型例题分析: 例1、a,b为实数,下列各式对吗?若不对,应附加什么条件?请写在题后的横线上。 (1)|a+b|=|a|+|b|;; (2)|ab|=|a||b|;; (3)|a-b|=|b-a|;; (4)若|a|=b,则a=b;; (5)若|a|<|b|,则a<b;; (6)若a>b,则|a|>|b|,。例2、设有理数a,b,c在数轴上的对应点如图1-1所示,化简|b-a|+|a+c|+|c-b|. 例3、a+b<0,化简|a+b-1|-|3-a-b| 例4、若|x|=3,|y|=2,且|x-y|=y-x,求x+y的值.
一).填空题: 1.a >0时,|2a|=________;(2)当a >1时,|a-1|=________; 2. 已知130a b ++-=,则__________a b 3. 如果a>0,b<0,b a <,则a ,b ,—a ,—b 这4个数从小到大的顺序是__________(用大于号连接起来) 4. 若00xy z ><,,那么xyz =______0. 5.上山的速度为a 千米/时,下山的速度为b 千米/时,则此人上山下山的整个路程的平均速度是__________千米/时 (二).选择题: 6.值大于3且小于5的所有整数的和是( )A. 7 B. -7 C. 0 D. 5 7.知字母a 、b 表示有理数,如果a +b =0,则下列说法正确的是( ) A . a 、b 中一定有一个是负数 B. a 、b 都为0 C. a 与b 不可能相等 D. a 与b 的绝对值相等 8.下列说法中不正确的是( ) A.0既不是正数,也不是负数 B .0不是自然数 C .0的相反数是零 D .0的绝对值是0 9.列说法中正确的是( ) A 、a -是正数 B 、—a 是负数 C 、a -是负数 D 、a -不是负数 10.x =3,y =2,且x>y ,则x+y 的值为( ) A 、5 B 、1 C 、5或1 D 、—5或—1 11.a<0时,化简a a 等于( )A 、1 B 、—1 C 、0 D 、1± 12.若ab ab =,则必有( )A 、a>0,b<0 B 、a<0,b<0 C 、ab>0 D 、0≥ab 13.已知:x =3,y =2,且x>y ,则x+y 的值为( ) A 、5 B 、1 C 、5或1 D 、—5或—1 (三).解答题: 14.a +b <0,化简|a+b-1|-|3-a-b |. 15..若y x -+3-y =0 ,求2x+y 的值.
大物习题四答案
习题四 习题四 一、选择题 1.两个质点各自作简谐振动,它们的振幅相同、周期相同,第一个质点的振动方程为1cos()x A t ωα=+。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时,第二个质点正在最大正位移处,则第二个质点的振动方程为 [ ] (A ))π21cos(2++=αωt A x ; (B ))π21 cos(2-+=αωt A x ; (C ))π2 3 cos(2-+=αωt A x ; (D ))cos(2π++=αωt A x 。 答案:B 解:由题意,第二个质点相位落后第一个质点相位π/2,因此,第二个质点的初相位为π2 1-α,所以答案应选取B 。 2.劲度系数分别为k 1和k 2的两个轻弹簧串联在一起,下面挂着质量为m 的物体,构成一个竖挂的弹簧振子,则该系统的振动周期为 [ ] (A )21212) (2k k k k m T +π=; (B ) ) (221k k m T +π = ; (C ) 2121)(2k k k k m T +=π; (D )2 122k k m T +π=。 答案:C 解:两根弹簧串联,其总劲度系数2 121k k k k k += ,根椐弹簧振子周期公式,k m T π2=,代 入2 12 1k k k k k += 可得答案为C 。 3.一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上,(如图所示),作成一复摆.已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量 231 ml J =,此摆作微小振动的周期为 [ ] (A )g l π2; (B )g l 22π; (C )g l 322π; (D )g l 3π。 答案:C 解:由于是复摆,其振动的周期公式为g l mgl J T 322222π π π === ω ,所以答案为C 。
大学物理实验简谐振动与阻尼振动的实验报告
湖北文理学院物理实验教学示范中心 实 验 报 告 学院 专业 班 学号: 姓名: 实验名称 简谐振动与阻尼振动的研究 实验日期: 年 月 日 实验室: N1-103 [实验目的]: 1. 验证在弹性恢复力作用下,物体作简谐振动的有关规律;测定弹簧的弹性系数K 和有效质量m. 2. 测定阻尼振动系统的半衰期和品质因数,作出品质因数Q 与质量M 的关系曲线。 [仪器用具]:仪器、用具名称及主要规格(包括量程、分度值、精度等) 气垫导轨、滑块、附加质量(2)、弹簧(4)、光电门(2)、数字毫秒计. [实验原理]:根据自己的理解用简练的语言来概括(包括简单原理图、相关公式等) 1.简谐振动 在水平气垫导轨上的滑块m 的两端连接两根弹性系数1k 、2k 近乎相等的弹簧,两弹簧的另一端分别固定在气轨的两端点。滑块的运动是简谐振动。其周期为: 2 122k k M T +== π ω π 由于弹簧不仅是产生运动的原因,而且参 加运动。因此式中M 不仅包含滑块(振子)的质量m ,还有弹簧的有效质量0m 。M 称为弹簧振子系统的有效质量。经验 证:0m m M += 其中 s m m 31 0=,s m 为弹簧质量。假设:k k k ==21则有周期: 22T πω= = 若改变滑块的质量m ?,则周期2T 与m ?成正比。222 4422M m T k k ππ?=+。以2T 为纵坐标,以m ?为横坐标,作2T -m ?曲线。则为一条斜率为242k π的直线。由斜率可以求出弹簧的弹性系数k 。求出弹性系数后再根据式22 42M T k π=求出弹簧的 有效质量。 2.阻尼振动 简谐振动是一种振幅相等的振动,它是忽略阻尼振动的理想情况。事实上,阻尼力不可避免,而抵抗阻力做功的结果,使振动系统的能量逐渐减小。因此,实验中发生的一切自由振动,振幅总是逐渐减小以至等于零的。这种振动称为阻尼振动。用品质因数(即Q 值),来反映阻尼振动衰减的特性。其定义为:振动系统的总能量E 与在一个周期中所损耗能 量E ?之比的π2倍,即 2E Q E π =?;通过简单推导也有: 12 ln 2 T Q T π= 2 1T 是 阻尼振动的振幅从 0A 衰减为 2 0A 所用时 间,叫做半衰期。测出半衰期就可以计算出品质因数Q 。在实验中,改变滑块的质量。作质量与品质因数的关系曲线。 [实验内容]: 简述实验步骤和操作方法 1. 打开气泵观察气泵工作是否正常,气轨出气孔出气大小是否均匀。 2. 放上滑块,调节气轨底座,使气轨处于水平状态。 3. 把滑块拉离平衡位置,记录下滑块通过光电门10次所用的时间。 4. 改变滑块质量5次,重复第3步操作。 5. 画出m T -2 关系曲线,.据m T -2关系曲线,求出斜率K ,并求出弹性系数k 。 6. 用天平测量滑块(附挡光片)、每个附加物的质量后;求出弹簧的有效质量。 7. 用秒表测量滑块儿的振幅从A 0衰减到A 0/2所用的时间2 1T ;求出系统的品质因数Q 8. 滑块上增至4个附加物,重复步骤7作出Q-m ?的关系曲线;
(完整)初中数学七年级绝对值练习题
《绝对值》练习 一.选择题 1. -3的绝对值是( ) (A )3 (B )-3 (C )13 (D )-13 2. 绝对值等于其相反数的数一定是 A .负数 B .正数 C .负数或零 D .正数或零 3. 若│x│+x=0,则x 一定是 ( ) A .负数 B .0 C .非正数 D .非负数 5.绝对值最小的数( ) A .不存在 B .0 C .1 D .-1 6.当一个负数逐渐变大(但仍然保持是负数)时( ) A .它的绝对值逐渐变大 B .它的相反数逐渐变大 C .它的绝对值逐渐变小 D .它的相反数的绝对值逐渐变大 7.下列说法中正确的是( ) A .a -一定是负数 B .只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C .若b a =则a 与b 互为相反数 D .若一个数小于它的绝对值,则这个数是负数 8.绝对值不大于11.1的整数有( ) A .11个 B .12个 C .22个 D .23个 12.______7.3=-;______0=;______3.3=--;______75.0=+-.