高一数学_等比数列综合练习_精心整理_含答案版本

考点1等比数列的通项与前n 项和 题型1已知等比数列的某些项，求某项

【例1】已知

{}n a 为等比数列，162,262==a a ，则=10a

【解题思路】可以考虑基本量法，或利用等比数列的性质

【解析】方法1： 81162

2

45

1612=????====q q a a q a a ∴1312281162469110=?===q a q a a

方法2： 812

162264

===

a a q

，∴13122811624610=?==q a a 方法3：

{}n a 为等比数列

∴131222

162222

6102

6

102===?=?a a a a a a

【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法.

题型2 已知前n 项和n S 及其某项，求项数.

【例2】⑴已知n S 为等比数列

{}n a 前n 项和，93=n

S ，48=n a ，公比2=q ，则项数=n .

⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数. 【解题思路】⑴利用等比数列的通项公式1

1-=n n

q

a a 及q

q a S n n --=1)

1(1求出1a 及q ，代入n S 可求项数n ；⑵利用等差

数列、等比数列设出四个实数代入已知，可求这四个数.

【解析】⑴由93=n S ，48=n a ，公比2=q ，得532248293)12(1

11=?=????=?=--n a a n

n n . ⑵方法1：设这四个数分别为d c b a ,,,，则????

???=+=+=+=36

3722c b b a bd c c a b ；

方法2：设前2个数分别为b a ,，则第43、个数分别为a b --3736，，则 ???-=-+-=)

37()36()36(22

a b b a b b ，解得???==1612b a 或?????==4

81499b a ； 方法3：设第32、个数分别为c b ，，则第1个数为c b -2，第1个数为

b

c 2

，则

???==??????=++

-201636

22

c b c b b c c b 或????

?

==4

63481c b ； 方法4：设第32、个数分别为c b ，，设第4,1个数分别为

c

a c c a ++2

2,2；

方法5：设第43、个数分别为d c ,，则设第2,1个数分别为c d --36,37，则

???===????-=+-=-25

1620)36()37()36(22

d c c d c c d c 或.449

,463==d c 【名师指引】平时解题时，应注意多方位、多角度思考问题，加强一题多解的练习，这对提高我们的解题能力大有裨益.

题型3 求等比数列前n 项和

【例3】等比数列 ,8,4,2,1中从第5项到第10项的和. 【解题思路】可以先求出10S ，再求出4S ，利用410S S -求解；也可以先求出5a 及10a ，

由10765,,,,a a a a 成等比数列求解.

【解析】由2,121

==a a ，得2=q ，

∴102321)21(11010=--=

S ，152

1)

21(144=--=S ，∴.1008410=-S S 【例4】已知n S 为等比数列

{}n a 前n 项和，13233331-+++++=n n

a ，求n S

【解题思路】可以先求出n a ，再根据n a 的形式特点求解.

【解析】 2

1

2331)31(13

33311

32-=--=+++++=-n n n n

a ，

∴n n S n n

n 2131)31(32121)3333(2132---?

=-++++= 即.4

32143--=

n S n n 【例5】已知n S 为等比数列

{}n a 前n 项和，n n n a 3)12(?-=，求n S .

【解题思路】分析数列通项形式特点，结合等比数列前n 项和公式的推导，采用错位相减法求和. 【解析】 n n

n a 3)12(?-=

∴n n n S 3)12(35333132?-++?+?+?= ，----------------①

14323)12(3)32(3533313+?-+?-++?+?+?=n n n

n n S -------------②

①—②，得14323)12()3333(232+?--+++++=-n n n n S

63)22(3)12(3

1)

31(923111-?-=?----?+=++-n n n n n

∴.33)1(1+?-=+n n n S

【名师指引】根据数列通项的形式特点，等比数列求和的常用方法有：公式法、性质法、分解重组法、错位相减法，即数列求和从“通项”入手.

【新题导练】 1.已知

{}n a 为等比数列，6,3876321=++=++a a a a a a ，求131211a a a ++的值.

【解析】设等比数列

{}n a 的公比为q ，

6,3876321=++=++a a a a a a ，∴23

216

545=++++=

a a a a a a q ，∴131211a a a ++；

2.如果将100,50,20依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为 .

【解析】设这个常数为x ，则x x x +++

100,50,20成等比数列，

∴)100)(20()50(2x x x ++=+，解得45=x ，∴1741852054

5204550==++

=

q . 3.已知n S 为等比数列

{}n a 的前n 项和，364,243,362===n S a a ，则=n ；

【解析】3,1243

3

15

1612==????====q a q a a q a a 或3,11-=-=q a ， 当3,11==q a 时，63643

1)

31(1=?=--=

n S n n ； 当3,11-=-=q a 时，[]

n S n

n ?=+---=

3643

1)3(11无整数解. 4.已知等比数列

{}n a 中，21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 .

【解析】∵等比数列

()n a 中21a = ∴3123211

11S a a a a q q q q

?

?=++=++

=++ ??

? ∴当公比0q

>

时，31113S q q =++

≥+=； 当公比0q

<

时，31111S q q ??

=---≤-=- ???， ∴(][)3,13,S ∈-∞-+∞

5.已知n S 为等比数列

{}n a 前n 项和，0>n a ，80=n

S ，65602=n S ，前n 项中的数值最大的项为54，求100S .

【解析】由0>n

a ，80=n S ，65602=n S ，知1≠q ，

∴.65601)

1(,801)1(2121=--==--=

q

q a S q q a S n n n n

∴81821122=?=--=n n n

n n q q q S S ，∴1>q ,又 前n 项中的数值最大的项为: 5411==-n n q a a ，∴

3

2

1=q a ，∴.133,21001001-=?==S q a 考点2 证明数列是等比数列

【例6】已知数列

{}n a 和{}n b 满足：λ=1a ，43

21-+=+n a a n n ，)213()1(+--=n a b n n n ，其中λ为实数，

+∈N n . ⑴ 对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列；

⑵ 试判断数列

{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论.

【解题思路】⑴证明数列

{}n a 不是等比数列，只需举一个反例；⑵证明数列{}n b 是等比数列，

常用：①定义法；②中项法.

【解析】⑴ 证明：假设存在一个实数λ，使{}n a 是等比数列，则有3122a a a ?=，

即,09494

9494)494()332(

222=?-=+-?-=-λλλλλλλ矛盾. 所以{}n a 不是等比数列.

⑵ 解：因为[]21)1(3)1()213()1(11++--=+--=++n a n a b n n n n n

[])1423

2()1(183)1(111+--=+--=+++n a n a n n n n

n n n b n a 3

2)213()1(321

-=+--=+

又)18(11+-=λb ，所以

当)(0,18+∈=-=N n b n λ，此时{

}n b 不是等比数列； 当)8(,181+-=-≠λλb 时，由上可知)(3

2

,01++∈-=∴≠N n b b b n n n ，此时{}n b 是等比数列.

【名师指引】等比数列的判定方法： ⑴定义法：

q a a n

n =+1

（+∈N n ，0≠q 是常数）?{}n a 是等比数列； ⑵中项法：22

1++?=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ?{}n a 是等比数列.

【新题导练】

6.已知数列{}n a 的首项1

2

3

a =

，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．证明：数列1{1}n a -是等比数列；

【解析】 121n n n a a a +=+，∴ 111

111222n n n n

a a a a ++==+?，

∴

11111(1)2n n a a +-=-，又12

3

a =，∴11112a -=， ∴数列1{1}n a -是以12为首项，1

2

为公比的等比数列.

考点3 等比数列的性质

【例7】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n

S ，602=n S ，则=n S 3 .

【解题思路】结合题意考虑利用等比数列前n 项和的性质求解. 【解析】

{}n a 是等比数列，∴n n n n n S S S S S 232,,--为等比数列，

∴3

18236)60(5433=

?=-n n S S .

【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法.

【新题导练】 7.已知等比数列

{}n a 中，36)2(,04624=++>a a a a a n ，则=+53a a .

【解析】

{}n a 是等比数列，0>n a

∴?=+?=++36)(36)2(2534624a a a a a a 653=+a a .

考点4 等比数列与其它知识的综合

【例8】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()21n n n ba b S -=-

⑴证明：当2b =时，{}12n n

a n --?是等比数列；

⑵求

{}n a 的通项公式

【解题思路】由递推公式

{}0,,=n a S n n 求数列的通项公式)(n f a n

=，主要利用：

???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n

n ，同时注意分类讨论思想.

【解析】由题意知12a =，且 ()21n n n ba b S -=-，()11121n n n ba b S +++-=-

两式相减，得()()1121n n n n b

a a

b a ++--=-，即 12n n n a ba +=+ ①

⑴当2b =时，由①知 122n n n a a +=+

于是 ()()1122212n n n n n a n a n +-

+?=+-+?

()122n n a n -=-?

又1

112

10n a --?=≠，所以{}12n n a n --?是首项为1，公比为2=q 的等比数列。

⑵当2b =时，由（Ⅰ）知1122n n n a n ---?=，即()112n n a n -=+

当2b ≠

时，由①得 11111

22222n n n n n a ba b b

+++-

?=+-?-- 22n n b ba b =-?-122n n b a b ??=-

? ?-??

因此 11112222n n n n a b a b b ++??-?==-? ?--??

()212n

b b b -=

?- 得 ()1

2

1122222n n n n a b b n b -=??

=???+-≥??

?-? 【名师指引】退一相减是解决含有n S 的递推公式的重要手段，使其转化为不含n S 的递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式时，重视首项是否可以吸收是易错点，同时重视分类讨论，做到条理清晰是关键.

【新题导练】

8.设n S 为数列

{}n a 的前n 项和，1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N .

⑴ 设3n

n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；

⑵ 若)(1

++∈≥N n a a n n ，求a 的取值范围．

【解析】⑴依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+，

由此得1

13

2(3)n n n n S S ++-=-．因此，所求通项公式为 13(3)2n n n n b S a -=-=-，+∈N n ． ①

⑵ 由①知 13(3)2n n n S a -=+-，+∈N n ，于是，

当2≥n

时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-?---?

1223(3)2n n a --=?+-，

???

?????-+??? ???=?-+?=-----+3231222)3(342

2

211a a a a n n n n n n ，

当2≥n 时，?≥+n n a a 1903231222

2

-≥?≥????????-+??? ???--a a n n ，又2113a a a =+>．

综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，

． 7.(2009执信中学) 等差数列

{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．

【解析】解：设数列

{}n a 的公差为d ，则

3410a a d d =-=-， 642102a a d d =+=+， 1046106a a d d

=+=+．

由3610a a a ，，成等比数列得23106a a a =， 即2(10)(106)(102)d d d -+=+，

整理得2

10100d d -=， 解得0d =或1d =．

当0d

=时，20420200S a ==；当1d =时，14310317a a d =-=-?=，

于是20

12019

202

S a d ?=+

207190330=?+=． 8.(2009金山中学)已知数列

{}n a 的前n 项和为n S ，()1

(1)3

n n S a n N *=

-∈； ⑴求1a ，2a 的值；

⑵证明数列

{}n a 是等比数列，并求n S ．

【解析】⑴由 111(1)3

S a =- 得 11

2a =-

由2212211(1) (1)33S a a a a =-+=-即 2211(1)23a a ∴+=- -，得 214

a =

⑵ 1(1)3n n S a =- 1111111

(1)(1)()333

n n n n n n n a S S a a a a ++++∴=-=---=-

显然110

2n n

n a a a +≠∴=-，所以，{}n a 是以12-为公比的等比数列，1111

()()222

n n n S -=--=- 9.(2008湖北)

已知数列

{}n a 和{}n b 满足：λ=1a ，43

21-+=+n a a n n ，)213()1(+--=n a b n n n ，

其中λ为实数，+∈N n .

⑴ 对任意实数λ，证明数列

{}n a 不是等比数列； ⑵ 证明：当18-≠λ，数列{

}n b 是等比数列； ⑶设n S 为数列{

}n b 的前n 项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有12->n S ？ 若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.

【解析】⑴证明：假设存在一个实数λ，使{}n a 是等比数列，则有3122a a a ?=，

即,09494

9494)494()332(

222=?-=+-?-=-λλλλλλλ矛盾. 所以{}n a 不是等比数列.

⑵ 解：因为[]21)1(3)1()213()1(11++--=+--=++n a n a b n n n n n

[])1423

2()1(183)1(111+--=+--=+++n a n a n n n n

n n n b n a 3

2)213()1(321

-=+--=+

又)18(11+-=λb ，所以，当)8(,181+-=-≠λλb 时，

由上可知)(3

2

,01++∈-=∴≠N n b b b n n n ，

此时{

}n b 是以)8(+-λ为首项，3

2

-为公比的等比数列. ⑶当18-≠λ时，由⑵得 1

)3

2()8(--?+-=n n b λ，于是

??

????

--?+-=n n S )32(1)8(53λ，

当18-=λ时，0n b =，从而0.n S =上式仍成立.要使对任意正整数n , 都有12->n S .即

.18)3

2(12012)32(1)8(53---??????

--?+-n n λλ

令n n f )32(1)(--=，则1)(9

5

<≤n f

当n 为正奇数时，35)(1≤

5

<≤n f .

∴)(n f 的最大值为.3

5

)1(=f 于是可得 6185320-=-?<λ.

综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有12->n

S ，λ的取值范围为()6,-∞-.