二次函数知识点与典型试题

二次函数知识点总结与典型试题

二次函数知识点：

1．二次函数的概念：一般地，形如2

y ax bx c

=++（a b c

，，是常数，0

a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0

a≠，而b c

，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数2

y ax bx c

=++的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

⑵a b c

，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：2

y ax

=的性质：

结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

总结：

2. 2

y ax c

=+的性质：

结论：上加下减。

总结：

3. y a x h

=-的性质：

结论：左加右减。

总结：

4. ()2

y a x h k

=-+的性质：总结：

二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，

； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，

处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

三、二次函数()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较

请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成()2

y a x h k =-+。 总结：

从解析式上看，()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配

方可以得到前者，即2

2424b ac b y a x a a -?

?=++ ???

，其中2424b ac b h k a a -=-=

，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确

定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般

我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，

、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对

称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

五、二次函数2y ax bx c =++的性质

1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

，． 当2b x a <-

时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b

x a

=-时，y 有最小值

2

44ac b a

-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

，．当2b x a <-

时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b

x a =-时，y 有最大值2

44ac b a

-．

六、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；

2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都

可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a

二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．

⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．

总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决

定开口的大小． 2. 一次项系数b

在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，

当0b >时，02b

a -

<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b

a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；

当0b <时，02b

a

->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．

⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即

当0b >时，02b

a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；

当0b =时，02b

a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；

当0b <时，02b

a

-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．

总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．

3. 常数项c

⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；

⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；

⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 二、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1. 关于x 轴对称

2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；

()2

y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =---；

2. 关于y 轴对称

2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；

()2

y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =++；

3. 关于原点对称

2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2

y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称

2

y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2

2

2b y ax bx c a

=--+-；

()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =--+．

5. 关于点()m n ，

对称 ()2

y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2

22y a x h m n k =-+-+-

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：

① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，

，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠

的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.

② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点.

1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．

2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，

b ，

c 的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

图像参考：

y=-2x 2

y=3(x+4)2

2

y=3x 2

y=-2(x-3)2

2

2-3

2

第二部分 典型习题

１.抛物线y ＝x 2

＋2x －2的顶点坐标是 （ D ）

A.（2，－2）

B.（1，－2）

C.（1，－3）

D.（－1，－3）

第9题

２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）

Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0

C

A E

F

B

D

第２,３题图 第4题图

３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2

的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0

４.如图，已知?A B C 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，E

F B C //，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则?D E F 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（ Ｄ ）

D

O 4

24O

4

24

O 4

24

O

4

24

y

x

2482,484

EF x

EF x y x x -=?=-∴=-+ ５.抛物线322

--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 4 ．

6.已知二次函数11)(2k 2

－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22

＝－

＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤2

2114k

x x ＋－，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．

7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为

()c x b x y ++-=102.

（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式； （2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式.

解：（1）102-=x y 或642

--=x x y

将0)b （，代入，得c b =.顶点坐标为21016100

(,)24

b b b +++-，由题意得21016100

224

b b b b +++-?+=-，解得1210,6b b =-=-.

（2）22--=x y

8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1

时, 相应的输出值分别为5,3-,4-． （1）求此二次函数的解析式；

（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围.

解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,

则???

????-=++-=+?+?=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即???

??-=+=--=1

423

b a b a

c ,解得?????-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . （2)函数图象如图所示.

由图象可得，当输出值y 为正数时，

输入值x 的取值范围是1-x ． 9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变

化，而

且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：

⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?

⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式．

解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的

体温是上升的

它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃

⑶()221024216

12

≤≤++-

=x x x y 10.已知抛物线4)33

4(2

+++=x a ax y 与x 轴交于A 、

B 两点，与y 轴交于点

C ．是否存在实数a ，使得 △ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不 存在，请说明理由．

解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）．

设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0），

由04)334

(2

=+++x a ax ，解得 31-=x ，a

x 342-

=． ∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a

34

-，0）． ∴ |334

|+-

=a

AB ，522=+=OC AO AC ， =+=22OC BO BC 22

4|34|+-

a

． ∴ 98

91693432916|334|2222

+-=+??-=+-

=a

a a a a AB ， 252=AC ，16916

2

2

+=

a BC ． 〈ⅰ〉当2

2

2

BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°． 由2

2

2

BC AC AB +=，

得

)16916

(25989162

2++=+-a a a ． 解得 4

1

-=a ．

∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，9

4002

=BC ．

于是2

2

2

BC AC AB +=． ∴ 当4

1

-

=a 时，△ABC 为直角三角形． 〈ⅱ〉当2

2

2BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°． 由2

2

2

BC AB AC +=，得)16916

()98916(2522+++-=a

a a ． 解得 94

=

a ． 当94=a 时，39

434

34-=?=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意．

〈ⅲ〉当2

2

2

AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°． 由2

2

2

AB AC BC +=，得

)98

916(251691622+-+=+a

a a ． 解得 9

4

=

a ．不合题意． 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当4

1

-

=a 时，△ABC 为直角三角形． 11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.

（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB 5m 的值； （2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.

解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根.

∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;

又AB ＝∣x 1 — x 2121245x x x x -=2（+）∴m 2－4m ＋3=0 .

解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,

∴222,2.a ma m b a ma m b ?-+-+=??---+=-??①②

①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N. ∴2a m =- .

这时M 、N 到y 2m -又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2×

1

2

×（2－m 2m -∴解得m=－7 .

12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42

与x 轴的一个交点为A （－1，0）． （1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；

（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的

梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；

（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：

在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解法一：

（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），

∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．

（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42

与x 轴的一个交点为A （－1， 0）， ∴ 0)1(4)1(2

＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342

＋＋＝．

∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342

＋＋＝ 上， ∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4．

∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(2

1＝OD CD AB ?+．∴ 93)42(21

＝＋a ．

∴ a ±1．

∴ 所求抛物线的解析式为342

＋＋＝x x y 或342

---ax x y ＝． （3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ， 且

2

5

00

＝x y ．∴ 0025x y ＝－．

①设点E 在抛物线342

＋＋＝x x y 上，

∴3402

00＋＋＝x x y ．

解方程组?????3

4,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得???-；＝，＝15600y x ???

???

?'-'．＝，＝452100y x

∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-

，4

5

）． 设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小． ∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． 设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，

N

M

C

x y O

∴ ?????-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得???

???

?

.23,21＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2

321＋＝

x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得21＝y ．

∴ 点P 坐标为（－2，2

1

）．

②设点E 在抛物线342

---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝．

解方程组?????---.

34,2

50200

00x x y x y ＝＝－ 消去0y ，得03x 23x 02

0＝＋+． ∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根．

综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，2

1

），使△APE 的周长最小．

解法二：

（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42

与x 轴的一个交点为A （－1，0）， ∴ 0)1(4)1(2

＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342

＋＋＝． 令 y ＝0，即0342

＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ． ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．

（2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）． ∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线

a ax ax y 342＋＋＝上，

∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(2

1

＝＋OD CD AB ?．解得OD ＝3． ∴ 33＝a ．∴ a ±1．

∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342

－－＝－x x y ．

（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． ∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点

为

F ．

由PF ∥EQ ，可得EQ PF BQ BF ＝．∴ 4

5251PF

＝．∴ 21＝PF ．

∴ 点P 坐标为（－2，2

1

）．

以下同解法一．

13.已知二次函数的图象如图所示．

（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．

（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式

及自变量t 的取值范围；

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．

解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，

∴ )2(12-??=-a ．∴ 1=a ．∴ 22

--=x x y ．

其顶点M 的坐标是??

? ??-4921

，

． （2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），

∴ ???

??+=-+=.2

14920b k b k ，

．解得23=k ，3-=b ．

∴ 线段BM 所在的直线的解析式为32

3

-=

x y ． ∴ 323-=t h ，其中221<

1

432+-=t t ．

∴ s 与t 间的函数关系式是12

1432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是221

<

（3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ???

??4725，，??

? ??-45232，

P ． 设点P 的坐标为P )(n m ，，则22

--=m m n ．

222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，．

分以下几种情况讨论：

i ）若∠PAC ＝90°，则2

22AC PA PC +=．

∴ ?????+++=++--=.

5)1()2(222222n m n m m m n ，

解得：251=m ，12-=m （舍去）． ∴ 点??

?

??47251，P ．

ii ）若∠PCA ＝90°，则2

22AC PC PA +=．

∴ ?????+++=++--=.

5)2()1(22

2222n m n m m m n ，

解得：02343==

m m ，（舍去）．∴ 点??? ??452

3

2，－P ．

iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，AC PA >，所以边AC 的对角∠APC 不可能是直

角．

（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或边OC ）

的对边上，如图a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），

以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，此时未

知顶点坐标是E ???

??-5251，，F ??

? ??-5854，

．

图a 图b

14.已知二次函数22

－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数．

解：根据题意，得a －2＝－1.

∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是22

-x y ＝．

因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点． 15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．

（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；

（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计

算结果精确到1米）．

解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为

109

2

＋＝ax y ． 因为点A （25-，0）（或B （25

，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-?a ，得12518＝－a ．

因此所求函数解析式为)25

25(109125182≤≤-x x y ＋＝－．

（2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 所以109125182092＋－x =，得245

±

＝x ．

所以点D 的坐标为（24

5－，209）

，点E 的坐标为（245

，209）． 所以2

2

5)245(245＝－＝

-DE ． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为

385227501.0110002

2

5≈??＝（米）． 16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数c bx ax y ＋＋＝2

（a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．

（1）a 、c 的符号之间有何关系?

（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证

a 、c 互为倒数；

（3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值． 解:

（1）a 、c 同号． 或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．

（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），则210x x ＜＜． ∴ 1x OA =，2x OB =，c OC =．

据题意，1x 、2x 是方程)0(02

≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴ a

c x x =

?21． 由题意，得2

OC OB OA ＝?，即2

2

c c a

c

＝＝．

所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．

（3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋a

a b

x x ，∴ a ＞0． 解法一：AB ＝OB －OA ＝21221124)(x x x x x x -＋＝－， ∴ a

a ac a c a AB 32416)(4)4(22=-==

－． ∵ 34=AB ， ∴

3432＝a ．得21

=a ．∴ c ＝2. 解法二：由求根公式，a

a a ac x 3

22416424164±-±-±＝＝＝

，

∴ a x 321-＝

，a

x 3

22+＝． ∴ a

a a x x OA OB AB 3

2323212＝－－＝

－＝－＝+． ∵ 34＝AB ，∴

3432＝a ，得2

1

＝a ．∴ c ＝2． 17.如图，直线33

3

+-

=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点． （1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标； （2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：

（3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．

解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）． ∵ A 、B 是直线33

3

+-

=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0）

，B )3,0(． 又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ．

∴ 2

3

2,2321=

===

OB EN OA ON ． 连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 2

3=

-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23

,23-）．

（2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ． ∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-?=-a ．∴ 39

2

=a ．

∴ x x y 8

3

29322-=

为所求． （3）∵ 3

3

tan =

∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°． 由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ?=??-∠=∠30602

1

21ABO OBD ．

∴ OD ＝OB ·tan30°－1．∴ DA ＝2． ∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2． ∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP ＝60°．

∴ ∠BAP ＝∠BAO ＋∠DAP ＝30°＋60°＝90°．即 PA ⊥AB ． 即直线PA 是⊙E 的切线．